Sequências e Séries de Números Reais - Parte 3: Existência de Subsequência Monótona

Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Existˆencia de Subsequˆencia Monotona Enquanto nem toda sequˆencia e monotona veremos que toda sequˆencia possui uma subsequˆencia monotona Proposicao 1 Se xn e uma sequˆencia de numeros reais entao existe uma subsequˆencia de xn que e monotona Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Demonstracao Para os propositos dessa prova diremos que o mesimo termo xm e destacado se xm xn sempre que n m isto e xm nunca e menor que nenhum termo que o sucede na sequˆencia Vamos considerar dois casos dependendo da sequˆencia xn possuir uma quantidade finita ou infinita de termos destacados 1 caso xn possui uma quantidade infinita de termos destacados Nesse caso listamos os termos destacados seguindo a ordem crescente dos ındices xm1xm2xmk Como cada termo e destacado temos xm1 xm2 xmk Portanto a subsequˆencia xmk e monotona naocrescente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 2 caso xn possui uma quantidade finita de termos destacados Nesse caso listamos os termos destacados seguindo a ordem crescente dos ındices xm1xm2xmr Seja s1 mr 1 o primeiro ındice apos o ultimo termo destacado Como xs1 nao e destacado existe s2 s1 tal que xs1 xs2 Como xs2 nao e destacado existe s3 s2 tal que xs2 xs3 Continuando dessa maneira obtemos a subsequˆencia xsk que e monotona crescente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teorema de BolzanoWeiertrass Teorema 1 Toda sequˆencia limitada de numeros reais possui uma subsequˆencia convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Series de Numeros Reais Seja an uma sequˆencia de numeros reais A partir de an construiremos uma nova sequˆencia Sn da seguinte forma S1 a1 S2 a1a2S3 a1a2a3 Sn a1 an n i1 ai Essa sequˆencia Sn e chamada de sequˆencia das somas parcias de an Se Sn for convergente com limSn S dizemos que a serie infinita n1 an e convergente com soma S Se Sn for divergente dizemos que a serie infinita n1 an e divergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Serie Geometrica Exemplo 1 A serie a ar ar2 n1 arn1 e convergente se r 1 com soma igual a a 1 r e e divergente caso contrario Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exercıcio 1 Use o teste da serie geometrica para analisar a convergˆencia das series a seguir Em caso de convergˆencia forneca a soma da serie a n0 πn 3n1 b n0 2n31n c n1 32n 43n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 2 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 1 nn 1 b n2 2 n2 1 Obs Exemplos como os dois anteriores em que as somas possuem parcelas que se cancelam sao chamadas de series telescopicas Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 2 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 1 nn 1 b n2 2 n2 1 Obs Exemplos como os dois anteriores em que as somas possuem parcelas que se cancelam sao chamadas de series telescopicas Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 3 Considere a serie n1 1 n Vamos mostrar que essa serie conhecida como serie harmˆonica e divergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Divergˆencia Proposicao 2 Se n1 an e convergente entao liman 0 Exemplo 4 Analise a convergˆencia da serie n1 n2 5n2 4 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exercıcio 2 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 2n 3n 6n b n1 3 5n 2 n Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Definicao 1 Uma serie e alternada se seus termos sao alternadamente positivos e negativos Exemplo 5 As seguintes series sao alternadas a n1 1n1 n 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 b n1 1nn n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Serie Alternada Toda serie alternada e da forma n1 1n1bn ou n1 1nbn onde bn 0 para todo n dependendo se o primeiro termo e positivo ou negativo Proposicao 3 Se uma serie alternada n1 1n1bn ou n1 1nbn satisfazer i bn1 bn para todo n ii limbn 0 entao a serie e convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Serie Alternada Toda serie alternada e da forma n1 1n1bn ou n1 1nbn onde bn 0 para todo n dependendo se o primeiro termo e positivo ou negativo Proposicao 3 Se uma serie alternada n1 1n1bn ou n1 1nbn satisfazer i bn1 bn para todo n ii limbn 0 entao a serie e convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 6 Analise a convergˆencia da serie n1 1n1 n2 n3 1 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Series de Termos Positivos Seja n1 an uma serie tal que an 0 para todo n Entao teremos Sn a1 a2 an a1 a2 an an1 Sn1 ou seja Sn e um sequˆencia monotona naodecrescente Assim se mostrarmos que Sn e limitada superiormente entao a serie sera convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Integral Proposicao 4 Suponha que f x seja uma funcao contınua positiva e decrescente eventualmente em 1 e seja an f n i Se 1 f xdx converge entao n1 an e convergente ii Se 1 f xdx diverge entao n1 an e divergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 7 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 1 n b n1 1 n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da pSerie Proposicao 5 Seja p R A serie n1 1 np e convergente apenas para p 1 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exercıcio 3 Use o teste da integral para analisar a convergˆencia das seguintes series a n1 1 n2 1 b n1 lnn n c n1 nen2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Testes de Comparacao Proposicao 6 Sejam n1 an e n1 bn duas series de termos positivos e tais que an bn Entao i Se n1 bn converge entao n1 an converge ii Se n1 an diverge entao n1 bn diverge Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 8 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 5 n2 4n 3 b n1 lnn n Exercıcio 4 Analise a convergˆencia das seguintes series por meio do teste da comparacao a n1 1 n b n1 n nn Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Comparacao no Limite Proposicao 7 Sejam n1 an e n1 bn duas series de termos positivos tais que lim an bn c onde c 0 Entao as duas series tˆem o mesmo comportamento ou seja ou ambas convergem ou ambas divergem Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 9 Analise a convergˆencia da serie n1 2n2 3n 5 n5 Exercıcio 5 Analise a convergˆencia das seguintes series por meio do teste da comparacao no limite a n1 n2 1 3n4 1 b n1 1 1 n 2 en Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Convergˆencia Absoluta Definicao 2 n1 an e absolutamente convergente se n1 an for convergente Definicao 3 Se n1 an e convergente mas nao e absolutamente convergente dizemos que n1 an e condicionalmente convergente Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 10 a A serie n1 1n1 n2 e convergente pelo Teste da Serie alternada e e absolutamente convergente pois n1 1n1 n2 n1 1 n2 converge b A serie n1 1n1 n e convergente pelo Teste da Serie alternada mas nao e absolutamente convergente pois n1 1n1 n n1 1 n diverge Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Proposicao 8 Toda serie absolutamente convergente e convergente Exemplo 11 Analise a convergˆencia da serie n1 cosn n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Proposicao 8 Toda serie absolutamente convergente e convergente Exemplo 11 Analise a convergˆencia da serie n1 cosn n2 Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Razao Teorema 2 Suponha que liman1 an L Entao a Se L 1 entao n1 an converge absolutamente b Se L 1 entao n1 an diverge c Se L 1 nada podemos afirmar Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 12 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 1nn3 3n b n1 nn n Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Teste da Raiz Teorema 3 Suponha que lim n an L Entao a Se L 1 entao n1 an converge absolutamente b Se L 1 entao n1 an diverge c Se L 1 nada podemos afirmar Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3 Exemplo 13 Analise a convergˆencia das seguintes series a n1 2n 3 3n 2 n b n1 1n arctg nn Dr Juscelino G Lopes Colegiado de Licenciatura em Matematica Universidade de Pernambuco Campus Petrolina Sequˆencias e Series de Numeros Reais Parte 3