Análise Matemática: Limites e Continuidade de Funções e Aplicações

Análise Matemática Limites e continuidade de funções Contextualização Topologia aplicações na biologia celular estudo de proteínas química física como termodinâmica de supercondutores e cristais líquidos engenharia de materiais computação análise de imagem e robótica etc Limites e continuidade de funções aplicações na construção de modelos das mais variadas ciências httpsbitly2HRcerg httpsbitly37UbKeg acesso em 16 dez 2022 Conceitos principais Topologia Tipos de intervalos Tipos de conjuntos Limites de funções Existência de limites Limites laterais Continuidade de funções Introdução à topologia da reta Representação geométrica para Reta real reta orientada sem princípio e sem fim No corpo ordenado completo noções de valor absoluto para os pontos de distância entre e dada por e de intervalos Intervalo Reta real httpsbitly2Gv9yBw acesso em 16 dez 2022 No corpo ordenado existe a noção de intervalo Dado com denotamos Intervalos limitados httpsbitly2QFeHvv acesso em 16 dez 2022 Intervals ilimitados b x ℝ x b b x ℝ x b a x ℝ x a a x ℝ x a Vizinhanças e pontos interiores Vizinhança de um ponto conjunto tal que existe de modo que Nesse caso dizemos que é um ponto interior a O conjunto dos pontos interiores a é chamado de interior de e denotado por Exemplo seja um intervalo a b a b e p a b Vejamos que a b é uma vizinhança de p Seja p a b isto é a p b Assim p a 0 e b p 0 Considere ε 12minp a b p e note que ε p a e ε b p Logo a p ε p p ε b o que implica p ε p ε a b Portanto a b é uma vizinhança de p Conjuntos abertos Um conjunto é dito aberto se para todo ponto o conjunto for vizinhança de Conjunto em que todos os seus pontos são interiores Em linguagem matemática A é aberto se para cada existir tal que Exemplos interseção finita de abertos união arbitrária de abertos Pontos aderentes e pontos de acumulação Pontos aderentes e conjuntos fechados Exemplos Conjuntos fechados Pontos de acumulação Sejam a ℝ e A ℝ Dizemos que a é um ponto de acumulação de A se para todo ε 0 existir x a tal que x A a ε a ε a é ponto de acumulação se existe uma sequência de A com todos os elementos diferentes de a e que converge para a O conjunto dos pontos de acumulação de X é chamado de derivado de X e denotado por X Ponto isolado Um ponto que não é um ponto de acumulação é chamado de ponto isolado Isto é existe tal que Se é composto somente por pontos isolados dizemos que é discreto Exemplos e são conjuntos discretos Limite de funções reais Seja f A ℝ e a ℝ ponto de acumulação de A Dizemos que L ℝ é o limite da função f com x tendendo para a e escrevemos lim xa fx L quando dado ε 0 existir δ 0 tal que se x A com 0 x a δ então fx L ε Se não existir um número com essas propriedades então o limite de f não existe em a httpsbitly32r27Hx acesso em 16 dez 2022 Definição considerando o conceito de vizinhança Sendo f A ℝ e a ℝ um ponto de acumulação de A podemos dizer que lim xa fx L quando para toda vizinhança U de L existir uma vizinhança V de a tal que se x U a então fx V O ponto a não precisa pertencer ao domínio de f Fonte Vieira 2019 p122 Exemplo Seja f ℝ ℝ tal que fx x Observe que para todo a ℝ lim xa fx a De fato para todo ε 0 tomando δ ε 0 temos para cada x ℝ se 0 x a δ então fx a x a δ ε Resultados importantes O limite de uma função é único Sejam f X ℝ ℝ a X e L ℝ em que lim xa fx L Então para toda sequência de pontos xn X a tal que lim n xn a temos que lim n fxn L Limites no infinito Dizemos que o limite da função f quando x tende a infinito é igual a L e escrevemos lim x fx L quando dado ε 0 arbitrário existir K 0 tal que se x pertencer ao domínio de f com x K tivermos fx L ε Uma definição análoga pode ser dada para lim x fx L Conjuntos fechados e compactos Conjuntos fechados e compactos Suponha que você foi contratado para construir um curso de formação continuada para professores de matemática de ensino médio que deve abordar limites e continuidade de funções O objetivo é abordar conceitos de topologia da reta para familiarizálos com as estruturas como vizinhanças de um ponto conjuntos abertos fechados relacionando com conteúdos do Ensino Médio como é o caso dos intervalos Introdução relacionar intervalos abertos e fechados com os conceitos de conjuntos abertos e fechados e de vizinhança Abordagem de conjuntos fechados Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto Um conjunto é fechado se e somente se toda sequência convergente de elementos de convergirá para um elemento de caracterização de ponto aderente Conjuntos compactos Um conjunto é compacto se é fechado e limitado Exemplos Todo conjunto finito é compacto não é compacto por não ser fechado não é compacto porque não é limitado é compacto Teorema é compacto se e somente se toda sequência em possuir uma subsequência convergente em Demonstração Se é limitado toda sequência formada por elementos de é limitada Pelo teorema de BolzanoWeierstrass toda sequência limitada tem uma subsequência convergente mas pelo fato de ser compacto e consequentemente fechado então a subsequência converge para algum elemento de Teorema é compacto se e somente se toda sequência em possuir uma subsequência convergente em Demonstração é limitado caso contrário teríamos uma sequência monótona com limite infinito em que nenhuma de suas subsequências seria convergente Para mostrar que é fechado seja um ponto aderente a logo existe uma sequência em que converge a Se teríamos que a sequência e todas as suas subsequências convergiriam a o que contradiz o fato de que existe uma subsequência que converge em Logo é fechado Intervalos e conjuntos abertos Intervalos e conjuntos abertos Seja o intervalo com e O conjunto pode ser classificado como aberto Por quê Propriedades dos limites de funções reais Propriedades dos limites de funções reais Operações e limites sejam as funções f A R e g A R e a R um ponto de acumulação de A Se é válido que lim xa fx L e lim xa gx M então as seguintes relações também são válidas Limites laterais Exemplo seja A ℝ 0 e f A ℝ em que fx x fracxx begincases x 1 x 0 x 1 x 0 endcases O limite de f não existe em x 0 De fato considerando as sequências xn frac1n e yn frac1n convergentes para zero temos que fxn frac1n 1 o 1 fyn frac1n 1 o 1 fx x fracxx begincases x 1 x 0 x 1 x 0 endcases Em relação aos limites laterais como 0 A A podemos calcular os limites laterais e assim limx o 0 fx limx o 0 x 1 0 1 1 limx o 0 fx limx o 0 x 1 0 1 1 Assim os limites laterais existem mas são diferentes Continuidade de funções reais Continuidade de funções reais Seja uma função definida no conjunto e seja um ponto Dizemos que é contínua no ponto se dado arbitrário existir tal que se com então Se não for contínua em então dizemos que é descontínua em Se for contínua em todo então é contínua em Exemplo f A ℝ com A 01 1 e fx x² Se a A for ponto de acumulação a definição equivalente a dizer que lim xa fx fa Exemplo f ℝ ℝ com fx c ℝ para todo x ℝ Nesse caso para cada a ℝ temos que lim xa fx c fc Logo f é contínua em ℝ Relação entre continuidade e sequências Teorema Seja f A ℝ ℝ e a A Então f é contínua em a se e somente se para toda sequência de pontos xₙ A a com lim n xₙ a temos lim n fxₙ fa Propriedades das funções contínuas Propriedades das funções contínuas Teorema de permanência do sinal para funções contínuas seja contínua e Se então existe uma vizinhança de em que a função assume apenas valores positivos Podemos adaptar para o caso de valores negativos Operações e limites sejam as funções f A ℝ e g A ℝ ambas contínuas em α A Então são também contínuas as seguintes funções f g em que f gx fx gx f g em que fgx fx gx fg em que fgx fxgx e desde que ga 0 Sejam as funções f A ℝ e g A ℝ ambas contínuas em α A com fa ga Então existe uma vizinhança V de α na qual fx gx para todo x A V Para checar se uma função é descontínua em α obter uma sequência xn com lim n xn α mas tal que fxn não converja para fa Teorema do valor intermediário seja uma função contínua em e podemos supor por exemplo Então para todo tal que existe tal que Fonte Vieira 2019 p127 Funções contínuas e descontinuas Funções contínuas e descontínuas Suponha que você foi contratado para construir um curso de formação continuada para professores de Matemática do Ensino Médio o qual deve abordar limites e continuidade de funções O objetivo é abordar a continuidade de funções de forma intuitiva e rigorosa apresentando exemplos de funções descontínuas e aplicações Definição formal de função contínua é contínua em se dado arbitrário existir tal que se com então Situações práticas velocidade de um carro em função do tempo volume de água em uma represa em função do tempo etc Definição formal de função descontínua é descontínua em se existir tal que para todo for possível determinar com mas Situações práticas movimento que cessa bruscamente ligar e desligar um interruptor etc Exemplo fx x fracxx x 0 0 x 0 A função f é contínua em ℝ 0 No zero temos que limx0 fx 1 e limx0 fx 1 Como os limites laterais em torno de x 0 existem e são diferentes 0 é um ponto de descontinuidade de 1ª espécie Tipos de descontinuidades Descontinuidade removível Limites laterais existem e são iguais porém diferem do valor da função no ponto Descontinuidade de 1ª espécie ou do tipo salto Limites laterais existem e são diferentes Descontinuidade de 2ª espécie Limites laterais não existem Continuidade e estudo de funções reais Continuidade e estudo de funções reais Seja a função definida por O que podemos dizer a respeito do comportamento de com base na definição de função contínua Recapitulando Recapitulando Nessa aula aprendemos sobre Topologia Tipos de intervalos e de conjuntos Limites de funções Existência de limites Limites laterais Continuidade de funções httpsbitly2Kd12cY acesso em 16 dez 2022