P1 Gabarito - Física 4 2019-2

Fisica IV - 4323204 Escola Politécnica - 2018 GABARITO DA P1 29 de agosto de 2019 Questao 1 A figura abaixo mostra uma camada superior de indice de refracéo n, = 1.5 de espessura t, depositada sobre uma camada espessa de indice de refragaéo ng = 3. O sistema esta imerso em ar (no = 1). Luz monocromatica com comprimento de onda Ay = 600nm, incide sobre a camada de espessura t com um angulo de incidéncia 0) pequeno. . 1 4 6, | nd 5 wet U (a) (0,5 ponto) Determine as frequéncias e os comprimentos de onda da luz nos trés meios. (b) (1,0 ponto) Obtenha a minima espessura t da camada superior para que ela funcione como uma camada anti-reflexo (minima reflexéo) para este comprimento de onda em incidéncia normal. (c) (1,0 ponto) Para a espessura t calculada no item anterior, encontre os comprimentos de onda da luz visivel (400 nm< Ag <800 nm) para os quais ha um maximo de reflexao (interferéncia construtiva) para incidéncia normal. Solucao da questao 1 (a) A frequéncia da luz é a mesma nos meios 0, 1 e 2. Portanto o seu valor é dado por f= y= 5.10'*s~!. Por outro lado, os comprimentos de onda da luz serao dados por Apo = 600nm, Ay = Ao /n1 = 400nm, Az = Ao/n2 = 200nm, respectivamente. (b) O raio incidente se divide no raio refletido 1 e no raio refratado 2, conforme a figura anterior. Como o indice de refragao do meio n; é maior que o do ar, o raio 1 vai se defasar de 7 radianos (ou equivalentemente de meio comprimento de onda). Pela mesma razao, 0 raio 2 incidindo sobre 0 meio 3 também sofrera defasagem de m radianos ao ser refletido. Para haver minima reflexao (interferéncia destrutiva) devemos ter entao 2t +a —m = (2m+1)z, de forma que a minima espessura (m = 0) é dada por Ayo tmin = — = —— = 100nm min 4 An d onde A; = Ag/m1, sendo Ao 0 comprimento de onda no ar. (c) Para o valor de espessura obtido no item anterior, haveré maximo de reflexao sempre que 2tmin 5 = 2mm, o que implica em m = oni = <onm. Para qualquer valor valor de 9 dentro do espectro visivel 400nm < Aj < 800nm, teremos m < 1, de forma que nao haverdé nenhum maximo de reflexao. Questao 2 Uma fonte de luz coerente e monocromatica de comprimento de onda X’ = 0,49um é utilizada num experimento cuja montagem esté esquematizada na figura abaixo. As distancias entre os anteparos consecutivos é L = 1m. Luz incide normalmente sobre o anteparo A, que possui duas fendas F; e F2, com mesma abertura e separadas por uma distancia d. A distancia d é tal que que os primeiros maéximos laterais de interferéncia se localizem sobre as fendas F3 e Fy, do anteparo B. Elas possuem a mesma abertura das fendas do anteparo A, mas estao separadas por uma distancia 2d. A !' 4 ! i | B dy BR 2d as 2 vt ~« 5 |. x >| ~< v8 > A B C tela (a) (0,5 ponto) Quais sao as diferencgas de fase entre as ondas provenientes de Fe Fy quando atingem as fendas F3 e F4. (b) (1,0 ponto) Qual é o valor da separacaéo d em milimetros? (c) (1,0 ponto) Qual é o valor limite da abertura a (em milimetros) da fenda Fs para que se possa distinguir dois maximos de difragaéo (provenientes das fendas F3 e F)) na tela? Solucgao da questao 2 (a) Como a distancia entre os anteparos é tal que os primeiros maéximos laterais de interferéncia se localizem sobre as fendas F3 e Fy, as diferengas de fase das ondas sao 27 e —27, respectivamente. (b) A distancia d pode ser calculada por meio da expressao para os maéximos de in- terferencia dsind = mA, onde m = 1. Supondo L >> d, podemos aproximar sind } tand = q obtendo entao d = VAL = 0, 7mm. (c) Os dois maximos de difragéo poderao ser distinguidos se sin 0, = A. Como L >>d e L >> ae os raios que sofrem difragao ao atingir a fenda sao provenientes das fendas F3 e Fy, podemos usar a expressao aproximada sind, ¥ tan 0, = 20 Desta forma obtemos a = AL e usando o resultado do item anterior, obtemos finalmente a= $=0,35mm. Questao 3 Em um universo onde a velocidade da luz vale c = Jz1n/ s, um corredor percorre certa distancia em um intervalo de tempo At = 10s, quando observado de um referencial S. Ao terminar a corrida, o relégio do corredor atribuird ao percurso um intervalo de tempo At’ = 5s. Sabe-se que o corredor manteve sua velocidade constante durante todo o percurso. (a) (1,0 ponto) Calcule a velocidade v do corredor em relacao ao referencial S. (b) (0,5 ponto) Calcule a distancia L percorrida pelo corredor no referencial S. (c) (1,0 ponto) Qual o comprimento que o corredor, situado em S’, atribui ao trecho da pista percorrido por ele? Solucgao da questao 3 (a) O intervalo de tempo At’ é um tempo proprio, de forma que ele relaciona-se com ~ 1 At por meio da expressao At = yAt’. Uma vez que y = Vinee obtemos —v?/e v =cy/1— (44)? = 10m/s. (b) A distancia LZ percorrida pelo corredor, para um observador em S, é dada por L = vAt = 100m. (c) Para um observador S, parado em relacao a pista, o trecho da pista Ly = L percor- rido pelo corredor é um comprimento proprio. Dessa forma, para o corredor em S’, a pista deverd ter comprimento menor dado por L’ = = = 50m. Questao 4 Considere dois referenciais inerciais S e S’, com origens O e O’, respectivamente. O referencial S’ move-se com velocidade de v = tei em relacao a S. (a) (1,5 ponto) Se um foguete é lancado de S com velocidade ti = sj + 2c), qual éa velocidade de lancamento ti’ do foguete para um observador em repouso em S$’? (b) (1,0 ponto) Supondo agora que dois pulsos de luz sejam enviados simultaneamente em S dos pontos x4 = 600m e xg = 800m na direcao de um detector colocado na origem O. Obtenha os intervalos de tempo entre as deteccoes dos pulsos de luz em O, medidos por observadores nos sistemas S e S$’? Solucgao da questao 4 (a) As componentes u/,, uj, e ul das velocidades em S’ podem ser calculadas a partir das expressoes wa ee 1 ugr/c?’ ul Uy . % 91 = vue /c?) ul = ——“ = a(1—vu,z/c?)’ respectivamente. Como v = 2c, obtemos 7 = 2. Por outro lado, tendo em vista que Ur = §, Uy = 7 e u, = 0, as componentes uj, uj, e uz em S’ sao obtidas, por substituicao, de forma que t” = —Si + 2c). (b) Sejam A e B os eventos correspondentes a detecgao dos pulsos de luz na origem. Para um observador em S, o intervalo de tempo At = tg — t,4 é dado por At = (xg—a,)/c = 3.10~®s. Para um observador em 9’, podemos relacionar At e At’ por vAx meio das transformacoes de Lorentz, de forma que At! = (a: — “S| . Como os c eventos sao detectados em Ax = 0, temos At! = yAt = 10s. Formulario Velocidade da luz no vacuo c= 3.108m/s e 1 nm=1079 m , Uz — U / Vy = a7... wv =y(x-ut), “t= uv, /2? y=, , Vyy/l —u?/e? vu, = Jaz, y l—uv,/c ” =4(t-) , Uz/1—w/e? 2 ’ Vv, = c 1—uv,/c? O referencial S’ se move em relacao a S com velocidade t = u7?. Y= : C=OV1-w/e, T= Lo ooo? — *0 ~~ ’ oT Jl -w/e Jl -—u?/e sen (8/2) ]? 2c [sen(3/2)]? 0 8/2 | ’ 0 COS (o/ ) 8/2 ’ \ @=2ndsenO/A, 8B =2nasenO/r, 2dsenO6= MA, Amin ¥ —. a