P3 Gabarito - Física 4 2019-2

Fisica IV - 4323204 Escola Politécnica - 2019 GABARITO DA P3 P3 — 21 de novembro de 2019 Questao 1 Uma particula de massa m se move em uma dimensao na presenca de um poco de potencial de profundidade Up e largura 2L conforme a figura abaixo. A particula se encontra num estado estacionario de energia E < Ub. —L 0) L x (a) (1,0 ponto) Escreva a equacao de Schrédinger independente do tempo desta particula para —L < x < Le sua solugao geral. (b) (1,0 ponto) Escreva a equagao de Schrédinger independente do tempo desta particula para x < —Lex>Lesua solucao geral. Qual solucao é fisicamente aceitavel? (c) (0,5 ponto) Encontre as condigdes de contorno que as constantes arbitrarias intro- duzidas nos itens (a) e (b) devem satisfazer (nao é necessario resolver o sistema). (d) (1,0 ponto) Calcule a probabilidade de encontrar a particula na regiao |x| > L como funcao dessas constantes. 1 Solucao da questao 1 a) A equacaéo de Schrodinger independente do tempo é dada por (a) hn? dP? SF —E 5 g(t) = BU(a) . A solucao geral neste caso é dada por w(x) = Acos (kx) + Bsin (ky x) com k, = ven b) Para |x| > L a equagao de Schrodinger independente do tempo é dada por (b) quag g P p P hn? dP? om ge?) + Up (x) = Eyy(x) . A solugao geral neste caso é dada por w(x) = Ce®* + De~”* , onde ky = vena *) Para x > L a solucao fisicamente aceitavel é dada por W(e) = De®" , enquanto para x < —L a solucao fisicamente aceitavel é w(x) = Ce**. (c) A condigao de contorno em x = L fornece a relagaéo Acos(k,L) + Bsin (kL) = De~”” e a condicao de contorno em « = —L fornece a relagao Acos (k,L) — Bsin (kL) = Ce” (d) Usando a relagao P(a < x < b) = pr |w(x)|?dx, encontramos que a probabilidade da particula ser encontrada na regiao x > —L ou x > L é dada por -L 0° 2 ,—2koL 2,—2koL Ce Dre-*" sL)= C? koe gy | D? —2k2x — 2 a p(\a| ) [. € x + ; € x Oks + Iho 2 Questao 2 PARTE I (1,0 ponto) Um atomo de hidrogénio sofre uma transicéo eletrénica do estado 2p para o estado 1s, emitindo um foton. A transicao transcorre num intervalo de tempo 7, denomi- nado “tempo de vida” do estado 2p. Admitindo que a incerteza na posicao do féton seja igual ao comprimento do pulso de luz associado ao féton emitido, estime a incerteza no momento linear do féton. PARTE II Um elétron encontra-se num pogo de potencial unidimensional com barreiras infinitas, situado entre 0 < « < L. No instante t = 0, a fungao de onda deste elétron é dada por U(x,t = 0) = iA(x — L/2)?, sendo A uma constante reall. (a) (1,0 ponto) Encontre a derivada He) na posigao « = L/4 no instante t = 0. Expresse sua resposta em termos de A, L e das constantes universais. (b) (1,0 ponto) Justifique se o estado acima é estacionario. 3 Solucgao da questao 2 PARTE I De acordo com o principio da incerteza ApAx > A Uma vez que o féton possui tempo de vida T e se propaga com velocidade c, podemos estimar sua incerteza na posicao por Ax = ct. Portanto, obtemos Ap > sh. OBS: Caso seja usada a relagao ApAx > A, obtém-se Ap > 4. PARTE II (a) De acordo com a equacao de Schrédinger é dada por in@ea = HW(zx,t). No caso do pogo infinito, V(x) = 0 entre 0 < x < LI, ela torna-se OV (x,t) h? 0? L jh—— = —— —-V (r,t) = A(x — —). ‘ ot 2m Ox? (2,1) = GA(e 3? Utilizando o lado direito da equacaéo acima, obtemos wee = She A. (b) Para o estado ser estaciondrio devemos ter V(x, t) = (x)e”/", sendo E a energia do elétron, de forma que MG) = —£W (x,t). Uma vez que no presente caso Mee # WV(z,t) em t = 0 0 estado acima nao é estacionario. 4 Questao 3 A fungao de onda do elétron no atomo de hidrogénio, no estado 1s, é dada por W100 (r, 0, ?) = Ce %, onde ag 6 0 raio de Bohr e C é uma constante real. (a) (1,0 ponto) Determine a regiao do espaco em torno do proton onde a energia deste elétron, na descricao da mecanica quantica, 6 menor do que a energia potencial do elétron, na descricgao da mecanica cladssica. Apresente a resposta em termos do raio de Bohr ao. (b) (0,5 ponto) Use a condigéo de normalizacao para determinar o valor de C. (c) (1,0 ponto) Para este estado, escreva a expressao da distribuigao de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule 0 valor de r para o qual ela é maxima. (d) (1,0 ponto) Calcule o valor numérico da probabilidade de encontrar o elétron a uma distancia maior do que ag. Utilize as estimativas para poténcias de e: e = 2.7, e? = 7.4, e? = 20, et = 55. 5 Solucgao da questao 3 (a) A energia do dtomo de hidrogénio é dada por F,, = — Bata A regido em que ela 6 menor que sua energia potencial satisfaz a condicao me? - —e? 3262h?12n? — Amegr No estado n = 1 equivale a r > Sah" co = 2a9, sendo ap o raio de Bohr. (b) A constante de normalizacao é obtida lembrando-se que °° 2r °° 2r | Ce ~4rr7dr =1—> inc? | e ordr=1 0 0 Efetuando os calculos, obtemos que 2 2 3 oo Qor aor Ga _2r 1 4rC? (-“F -_) “| = 4073 =1 > C = —==. 9 9 4 0 Jras (c) Dada a distribuigao de probabilidades radial 1, _2 r)=—zr°e %, p(r) nas o valor de r no qual p(r) é maximo satisfaz a condigao 1 Qr?\ _ ar p(r)=—3 (2 — —) e %, Temos entao que p(r) =0>r= a. 6 (d) A probabilidade de encontrarmos o elétron na regiao r > ao é dada por Se lt xs p(r >a) = / —ze ~4rr'dr. ag 7G Efetuando a integral acima, obtemos 4 aor? aar—ag\ _2r|™ >a) = = f(-2 - SB - 2he 1 plr> ao) = (SSB edi () 4 (ag apg ag\ _ 220 9 = (24 04,2 a = 5e ~ = 0,675. 2 a € + 5 + 1)/°” € (2) 7 Formulario 34 19 h h=7x10°"%J-s, leV=1,6x107'°J, AxAp, > 3 h=h/(2r), L= /C@4+ 1h, L,=mh, S= V/s(s4+1)h, S, =m, h, 2 J sen?(ax)dx = 5 — senor) En _ ~ 308 enn do = ary Co CO 2 CO 2 1 Jo wre tdeanl, fee'dr=Vrat?, [S ae 'dr = gv" a7 3/2, ipAea = HWV(z,t), W(x,t) = w(x)e“"/" onde E é a energia. h? d(x) 2a: om da + U(x)U(x2) = Ev(x2), dV =drdydz, dV =r*siné@drdédd, fe ae*dx = 2— (d? + 2d+ 2)e4e f a2e-*dx = (d? + 2d + 2)e*. 8