P3 Gabarito - Física 4 2018-2

Fisica IV - 4323204 Escola Politécnica - 2018 GABARITO DA P3 P3 — 29 de novembro de 2018 Questao 1 Considere um elétron que se encontra confinado dentro de um pogo de potencial unidi- mensional, com altura infinita e largura d. (a) (0,5 ponto) Escreva a equagaéo de Schrédinger independente do tempo para este elétron na regiao 0 < x < d (dentro do pogo). (b) (1,0 ponto) Obtenha as solugoes normalizadas w(x) do problema acima e as corres- pondentes energias permitidas E,, para o elétron na regiao 0 < x < d. (c) (1,0 ponto) Considere agora que o elétron encontra-se no estado quantico descrito pela fungao de onda w(2) = Asin(3mx/d), sendo A a constante de normalizagao obtida no item (b). Determine o comprimento de onda de de Broglie e o momento linear associado a este estado. (d) (1,0 ponto) Para o mesmo estado do item (c) determine a probabilidade de encontrar o elétron entre r =Oex=d/6. 1 Solucao da questao 1 (a) Como V(az) = 0 entre 0 < x < d, a equacao de Schrédinger é dada por h® dy(2) SY _ Bp e v(x) =0 parax <0ougr>d. (b) A equacao acima admite solucées do tipo 7)(x) = Asin(kx) + Bcos(kx), onde k? = 2 Uma vez que w(0) = ¥(d) = 0 temos que B= 0 ek = "F, onde n = 1, 2,3,.... As fungoes de onda normalizadas sao obtidas tendo em vista que fe \w|?dx = 1, de forma que A? fe sin?(ka)dx = 1. Uma vez que fe sin?(kx)dx = ¢— S2CkD obtemos A= V3 e finalmente | v(x) = \/3sin( 222) (c) Comparando w(x) com a forma geral do item (b), obtemos cuja energia é dada por Es = | O comprimento de onda 4 pode ser obtido a partir de ky, = an de forma que | A = = = 2d/3|. O mddulo do momento linear é calculado por meio da relacdo p? = 2mE, de forma que [ps = +34 | (d) A probabilidade de encontrarmos o elétron entre x = 0 e x = d/6 é dada por fe |a(x)/?dx = 2 pas sin?(3rx/d)dr. Uma vez que fe sin’(ka)dx = ¢— sinha) obtemos que fo \b(x)|?dx = 1/6]. 2 Questao 2 Uma particula de massa m, confinada num poco de potencial como indicado na figura, tem energia total E’ < Up. co | U(x) oo para x<0 (J) Up_.4_--------- U(r)= 4 0 para 0<2x<a (II) Up para x>a (III) I I Ill 0 a Xx (a) (1,5 ponto) Escreva a solugao geral da equacaéo de Schrédinger independente do tempo em termos dos parametros do problema. Justificar as respostas através da analise da equacao de Schrodinger. Nao € necessario encontrar o valor das constan- tes arbitrdrias nao nulas. (b) (1,0 ponto) Escreva as condigdes de contorno que a fungao de onda deve satisfazer (nao é necessario resolvé-las). (c) (1,0 ponto) Determine a probabilidade da particula estar na regiao III (x > a), em termos das constantes obtidas no item (a). 3 (a) A fungao de onda da particula é Ura) =0 na regiao I. Na regiao II, a equacao de Schrodinger é dada por he d?u71(2) "9m da. Ev (2), cuja solucgao é uma funcao de onda do tipo w77(x) = Asin(kx) + Bcos(kx). Como d?w1,/dx* = —k?[Asin(kx) + B cos(kx)| = —k?qy7 obtemos h? » 2mME V2mnE Na regiao III, a equacao de Schrodinger é dada por h? ad? r _ hd bii(2) + Uptrri (x) = Err (2), 2m dx cuja solucao é a funcgao de onda W777 = Ce~** obedece a equacao. Como d?q)77,;/dx? = B?Ce-®* = BwW17, obtemos h? 2m(Up _ E) V/ 2m(Up _ E) 50 vin = (Up — E)dirs(2) => 8 = > B= FI (b) As condigées de contorno sao as seguintes: v1(0) = vir (0) => B=0; Wrp(a) = Wr(a) —> Asin(ka) + B cos(ka) = Ce~°?; dir (2) dirr(2) . _ —_———| = —— A —B =— Ba dx |. dx |, <=> k|Acos(ka) sin(ka)| bCe (c) A probabilidade de encontrar a fungaéo na regiao III é , C? _44,|* C onde C foi calculado no item (0b). 4 Questao 3 Considere a seguinte fungao de onda do elétron no atomo de hidrogénio dada por (1,06) =Ce™, onde ag 6 0 raio de Bohr e C é uma constante real. (a) (1,0 ponto) Calcule a distancia, medida a partir do centro do nucleo, onde a prob- abilidade radial de encontrar o elétron 6 maxima. (b) (1,5 ponto) Calcule a constante C' e valor médio de r neste estado. (c) (0,5 ponto) Quais sao os nimeros quanticos associados ao estado do elétron corre- spondente a funcao de onda acima. Obtenha o médulo do momento angular orbital L. 5 Solucgao da questao 3 (a) Usando o elemento de volume em coordenadas esféricas e tendo em vista que a fungao de onda nao depende de @ e ¢, a densidade de probabilidade radial P(r) de encontrarmos o elétron a uma distancia r é dada por P(r) = 4rr?|p?? = AC? e72r/ 0 7? A posigaéo 7 em que P(r) é maxima é obtida derivando a expressao acima de forma que dP r = ana~ = Os =(1- \e-2¥/00 97 = 0 e portanto dr ao (b) Podemos encontrar a constante de normalizacao utilizando a mudanga de varidvel x = 2r/ao de forma que 3 se 3 1 4rC? (3) | e*x?*dxr = 4nC? (S) 2 = 1ajC? = 1 => C= ,/— 5. 2 0 2 TA O valor médio de r é ~ 2 4 * —2r/ao,3 (r) = riyfdV=3 e€ oredr. 0 49 Jo Utilizando novamente a mudanga de varidvel x = 2r/ag, teremos (r) = e | e "adr = 76 = 1,5 ao. (c) A fungao de onda acima corresponde an = 1 e consequentemente @ = 0, my = 0 (estado 1s). Como elétrons possuem spin 1/2, o nimero quantico associado a componente z do spin pode ser m, = 1/2 ou —1/2. O médulo do momento angular orbital é L = ,/@(€+ 1)h = 0, uma vez que ¢ = 0. 6 Formulario h=7x10J-s, leV=1,6x10719J, AzAp, > o h=h/(2n), L= /C@4+ 1h, L,=mh, S= V/s(s4+1)h, S, =m, h, J sen?(ax)dx = 5 — senor) Co CO 2 CO 2 1 Jo ae tdranl, [Nee dr = ~ra?, [8 ae dr = ave q 3/2, 2 72 ee) + U(x)p(x) = Ev(x), dV =drdydz, dV =r’ sin6drdédd, 7