P1 - Processos Estocásticos - 2015-2

SME-805 Processos Estocásticos Prova 01/2015 SME-ICMC-USP Nome:----------------------------------No.USP. ----------------- 1. (2 pontos) Considere que X e Y são variáveis aleatórias que representam, respectiva- mente, o número de clientes dos sexos masculino e feminino que entram em uma loja por dia. Supondo que X e Y tem distribuição de Poisson com parâmetros λ1 e λ2 respectivamente. Queremos saber, se ao final de um dia de expediente a loja registrou a entrada de X + Y = n clientes, qual o valor esperado do número de clientes do sexo masculino (X) que entram na loja, neste dia? 2. (2 pontos) Supondo que cada cliente que entra em uma loja realizar uma compra, de forma independente, com probabilidade p. Supondo que n clientes entraram na loja na primeira metade do expediente e m entraram na segunda metade. Calcule o valor esperado do número de vendas na primeira metade do expediente dado que houveram K vendas durante todo expediente. 3. (2 pontos) Seja {Nn(ω), n ≥ 1} um processo estocástico binomial com probabilidade de sucesso p. a) Se o valor esperado E(N11|N5 = 1) = 3, determine o valor de p. b) Ache o valor esperado E(Nn+m|Nn) e generalize o resultado do item (a) para E(Nn+m|Nn = r) = s, com n ≤ s. 4. (3 pontos) Seja Tn(ω) o tempo do n-ésimo sucesso de um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, e Tn+m(ω) o tempo do (n+m)-ésimo sucesso. Sabemos que P(Tk+1 − Tk = m) = pqm−1, m = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ com q = 1−p, para qualquer k-ésimo sucesso. Mostre que: a) E(Tn+m|Tn) = Tn + m/p b) P(Tk > n + m|Tk > n) = qm = P(Tk > m) c) Justifique o fato de P(Tk = n) = ( n−1 ) pkq−k (k−1) para qualquer n = k + 1, k + 2, ⋅ ⋅ ⋅ 5. (1.0 ponto) Quais as duas propriedades que um processo {Zn; n ∈ N} que é esta- cionário e tem incrementos independentes deve e satisfazer. 6. (0.5 ponto) Em um avião pilotado por uma mulher viajavam somente quatro roma- nos e um inglês. Qual o nome da piloto? Prof. Marinho G Andrade Boa Sorte Maio/2012 1