P2 - Processos Estocásticos - 2015-2

USP-ICMC SME 805 - Processos Estocásticos Prova 02/2015 Nome: __________________________________________ No.USP:______________________ 1) (2,0 pontos) Considere uma cadeia de Markov com espaço de estado E = {0,1,2} e matriz de probabilidade de transição dada por: P = [0.6 0.4 0.1 0.3 0.4 0.4 0.2 0.1 0.5] a) Ache os valores de x, y e z e determine a distribuição de equilíbrio da cadeia π = (π0, π1, π2)T. b) Considere a distribuição de estado inicial p0 = P(X0 = 0) = 0.3, p1 = P(X0 = 1) = 0.4 e p2 = P(X0 = 2) = 0.3. Determine as seguintes probabilidades: i) P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2); ii) P(X2 = 1, X3 = 1|X1 = 0). c) Se é conhecido que o processo iniciou em X0 = 1, determine a probabilidade P(X0 = 1, X1 = 0, X2 = 2) 2) (2,0 pontos) Suponha que a chance de chover amanhã depende somente das condições do tempo hoje (se choveu ou não choveu hoje). Suponha também que se choveu hoje então choverá amanhã com probabilidade α; se não choveu hoje, então choverá amanhã com probabilidade β. Considerando como variável de estado Xt = 0 quando chove e Xt = 1 quando não chove em um dia t. a) Construa a matriz de probabilidade de transição de estado da cadeia de Markov usada para representar este fenômeno e determine a distribuição de equilíbrio do estado desta cadeia. b) Se α = 0.7 e β = 0.4, calcule a probabilidade de que choverá na sexta-feira dado que está chovendo na segunda-feira. 3) (2,0 pontos) Homens e mulheres chegam a um supermercado segundo processos de Poisson independentes com as respectivas taxas λ1 e λ2. Se N(t) é um processo que representa o número total de clientes que chegam ao supermercado no tempo t. Determine: a) P(N(1) = 1|N(3) = 4, N(7) = 6). b) P(N(10) = k|N(1) = 1, N(3) = 4), com k ≥ 5. c) Calcule E(N(10)|N(1) = 1, N(3) = 4). 4) (2,0 pontos) Caminhões chegam num armazém para descarga segundo uma distribuição de Poisson no ritmo de 3 caminhões por hora. A distribuição do tempo de atendimento é aproximadamente uma exponencial com média de 15 minutos. Calcular: a) o número médio de caminhões no sistema b) o tempo médio de espera no sistema c) a probabilidade de 6 caminhões estarem no sistema d) se a hora de um caminhão parado custa em média R$ 100,00, qual o custo médio gasto no sistema? 5) (2,0 pontos) Uma melhora no sistema da questão anterior diminui o tempo médio de atendimento de um caminhão em 20%. Qual o impacto desta melhoria no custo médio que é gasto no sistema? Sucesso Prof. Marinho G Andrade.