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Estatística e Ciência de Dados ·
Processos Estocásticos
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Nome e assinatura: Nro. USP: Terceira Prova - 29/11/2018 SME0805 - Processos Estocásticos Prof. Pablo Martín Rodríguez 2◦ Semestre de 2018 Exercício Pontos 1 2 3 Total • A prova é individual e deve ser entregue até 22h40 do dia 30/11. • Ler atentamente o local e horários para entrega da prova no site da disciplina: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/pablor/SME0805.html • Justifique adequadamente todas as questões, deixando claras as respostas. Não serão aceitas respostas sem justificativas. • Se houver suspeita de existência de “cópia” entre alunos(as) ou de ajuda de outras pessoas na realização desta prova, esta será avaliada na presencia dos(as) alunos(as) envolvidos(as) em horário a combinar. 1. (4 pontos) Considere o seguinte modelo de crescimento de uma população. Cada indivíduo dá nascimento a um novo indivíduo após um tempo exponencialmente distribuído de parâmetro α, ou morre após um tempo exponencialmente distribuído de parâmetro β (α > 0 e β > 0). Além disto, suponha que em tempos exponencialmente distribuídos de parâmetro 1, k indivíduos (k ≥ 1) chegam simultaneamente na população, mas somente se houver menos do que N indivíduos nela. Seja X(t) o número de indivíduos no instante de tempo t, para t ≥ 0. (a) Escreva o conjunto de estados e os parâmetros da cadeia de Markov {X(t)}t≥0. (b) A cadeia {X(t)}t≥0 é um processo de nascimento e morte? Justifique. (c) Escreva as equações de balanço para esta cadeia de Markov. (d) Sem calcular, indique qual seria uma boa aproximação para a probabilidade de que a popu- lação tenha no máximo N indivíduos (para valores grandes de t). 2. (3 pontos) Considere um processo de nascimento e morte {X(t)}t≥0 com taxas de nascimento {λi}i≥0 e taxas de morte {µi}i≥1. Encontre as probabilidades limites para este processo, justifi- cando cada passo no procedimento usado até chegar em tais valores. Indique qual restrição deve ser observada nos parâmetros para garantir a existência das probabilidades limites. 3. (3 pontos) Considere um modelo de filas M/M/3 com clientes impacientes. Isto é, suponha que cada cliente que esteja na fila abandona o sistema a uma taxa αn, n ≥ 0, em que n é o número de clientes que há na fila à frente do cliente em questão. (a) Escreva o conjunto de estados e os parâmetros da cadeia de Markov {X(t)}t≥0, em que X(t) denota o número de clientes no sistema no instante de tempo t, t ≥ 0. (b) Escreva as equações de balanço para esta cadeia de Markov. (c) Sem calcular, indique qual seria uma boa aproximação para o número médio de clientes na fila (para valores grandes de t).
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Nome e assinatura: Nro. USP: Terceira Prova - 29/11/2018 SME0805 - Processos Estocásticos Prof. Pablo Martín Rodríguez 2◦ Semestre de 2018 Exercício Pontos 1 2 3 Total • A prova é individual e deve ser entregue até 22h40 do dia 30/11. • Ler atentamente o local e horários para entrega da prova no site da disciplina: http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/pablor/SME0805.html • Justifique adequadamente todas as questões, deixando claras as respostas. Não serão aceitas respostas sem justificativas. • Se houver suspeita de existência de “cópia” entre alunos(as) ou de ajuda de outras pessoas na realização desta prova, esta será avaliada na presencia dos(as) alunos(as) envolvidos(as) em horário a combinar. 1. (4 pontos) Considere o seguinte modelo de crescimento de uma população. Cada indivíduo dá nascimento a um novo indivíduo após um tempo exponencialmente distribuído de parâmetro α, ou morre após um tempo exponencialmente distribuído de parâmetro β (α > 0 e β > 0). Além disto, suponha que em tempos exponencialmente distribuídos de parâmetro 1, k indivíduos (k ≥ 1) chegam simultaneamente na população, mas somente se houver menos do que N indivíduos nela. Seja X(t) o número de indivíduos no instante de tempo t, para t ≥ 0. (a) Escreva o conjunto de estados e os parâmetros da cadeia de Markov {X(t)}t≥0. (b) A cadeia {X(t)}t≥0 é um processo de nascimento e morte? Justifique. (c) Escreva as equações de balanço para esta cadeia de Markov. (d) Sem calcular, indique qual seria uma boa aproximação para a probabilidade de que a popu- lação tenha no máximo N indivíduos (para valores grandes de t). 2. (3 pontos) Considere um processo de nascimento e morte {X(t)}t≥0 com taxas de nascimento {λi}i≥0 e taxas de morte {µi}i≥1. Encontre as probabilidades limites para este processo, justifi- cando cada passo no procedimento usado até chegar em tais valores. Indique qual restrição deve ser observada nos parâmetros para garantir a existência das probabilidades limites. 3. (3 pontos) Considere um modelo de filas M/M/3 com clientes impacientes. Isto é, suponha que cada cliente que esteja na fila abandona o sistema a uma taxa αn, n ≥ 0, em que n é o número de clientes que há na fila à frente do cliente em questão. (a) Escreva o conjunto de estados e os parâmetros da cadeia de Markov {X(t)}t≥0, em que X(t) denota o número de clientes no sistema no instante de tempo t, t ≥ 0. (b) Escreva as equações de balanço para esta cadeia de Markov. (c) Sem calcular, indique qual seria uma boa aproximação para o número médio de clientes na fila (para valores grandes de t).