Lista 1 - Álgebra Linear 2021-2

la Lista Algebra Linear Exercicio 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo 0 conjunto V com as operacoes de + e - indicadas é um espaco vetorial sobre R. a) V = R3, e dados (21, y1, 21), (2, ya, 22) e (v7, y, Z) quaisquer em R*? ea ER, (11,91, 21) + (2, Yo, 22) = (W1 + 22, Y1 + Yo, 21 + 22) Ca: (x,Y, Z) = (ax, ay, az). b)V= (\5 a] € M2(R) : a,b € R} com as operacgoes usuais de M2(R). c) V = {(2,y) € R? : 3x — 2y = 0}, com as operacoes usuais de R?. d)V={f:R-R: f(-2) = f(x), Vx € R}, com as operagoes usuais de fungoes. e) V = R’ com as seguintes operacoes: (01, y1) + (®2, y2) = (221 — 2y1,y1 — 21) ea: (2, y) := (30x, —ax). f) V = R? com as seguintes operacoes: (11,41) + (2, yo) = (@1 + L2,41 + yz) € a: (x,y) = (az, 0). g) V =R?’ com as seguintes operacoes: (11,41) + (2, yo) = (41 + 1,0) e a: (x,y) = (ax, ay). h) V = {(2,y, z,w) € R4/y = 2, z = w?} com as operacées usuais de R*. i) V =R x R* com as seguintes operacoes: (11,41) + (2, Yo) = (T1 + T2, Yr Ye) Ca: (2, y) = (az, y*). Exercicio 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo 0 subconjunto W é um subespaco vetorial do espaco vetorial V. Caso nao sejam especificadas as operacgoes, considere as operacgoes usuais em V. a) V=M2,W = (\, : a,b,c € R} b) V =R’, W = (2,2,y,y): 2,y € R} c) V=P,(R), W = {p € P,(R) : p(0) = p(1)}. 1 d) V = Mn(R). Considere B ∈ Mn fixa e defina W = {A ∈ Mn : BA = 0} e) V = Mn×1(R), W = {X ∈ Mn×1(R) : AX = 0}, onde A ∈ Mn×n ´e fixada. f) V = Mn(R), W = {A ∈ Mn : At = A}. g) V = Mn(R), W = {A ∈ Mn : At = −A}. h) V = F(R, R), W = {f ∈ F(R, R) : f(x0) = 0}, x0 ∈ R. i) V = Mn(R), W = {A ∈ Mn : A ´e invert´ıvel} Exerc´ıcio 3. Quais dos seguintes subconjuntos de W de Rn s˜ao subespa¸cos vetoriais de Rn? Justifique. a) W = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ∈ Z}. b) W = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 = 0}. c) W = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ´e irracional}. Exerc´ıcio 4. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo s˜ao subespa¸cos vetoriais de F(R, R)? Justifique. a) Todas as fun¸c˜oes f ∈ F(R, R) tais que f(x2) = f(x)2, x ∈ R. b) Todas as fun¸c˜oes f ∈ F(R, R) tais que f(0) = f(1). c) Todas as fun¸c˜oes f ∈ F(R, R) tais que f(−3) = 2 + f(1). 2