P2 - Álgebra Linear 2021-2

2a Prova de ´Algebra Linear e Aplicac¸˜oes - Data: 20/12/2021 Escreva seu nome, n´umero USP e sua data de nascimento (dia e ano) na folha de respostas. 1a¯ Quest˜ao: a) (Valor 1.0) Seja C = {(1, −1, 0, 3), (2, 0, −2, 1), (1, 0, 1, 0)} ⊂ R4. Complete C com um vetor v ∈ R4 para obter uma base B de R4. Justifique por que sua escolha de v realmente fornece uma base para R4. b) (Valor 1.0) Seja u = (x, y, z, t) um vetor qualquer do R4. Encontre as coordenadas de u em rela¸c˜ao `a base B obtida no item a). c) (Valor 1.0) Seja T : R4 → R3 tal que T(1, −1, 0, 3) = (1, 2, 1), T(2, 0, −2, 1) = (0, 1, −1), T(1, 0, 1, 0) = (1, 2, 0). Qual o valor de T(v), para v obtido no item a) ? Justifique sua resposta. d)(Valor 1.0) Determinar T(x, y, z, t) para qualquer (x, y, z, t) ∈ R4. 2a¯ Quest˜ao: Seja T : P2(R) → P2(R) um operador linear tal que (T(p0))(t) = 1 + t, (T(p1))(t) = t + t2 e (T(p2))(t) = 1 + t − 2t2, onde pi(t) = ti, para i = 0, 1, 2. ai) (Valor 1.0) Encontre T(p) para todo p ∈ P2(R). b) (Valor 1.0) Determine se T ´e injetora e se T ´e sobrejetora, justificando sua resposta. 3 a¯ Quest˜ao: Seja T ∈ L(R3) dado por T(x, y, z) = (ax + y + z, by + 2z, cz). Neste exerc´ıcio considere a = K + L, onde K e L s˜ao os d´ıgitos da data do seu anivers´ario, por exemplo, 03 de outubro, K = 0 e L = 3, b = a + 1 e c = a + 2. a)(Valor 1.0) Escrever a matriz de T com rela¸c˜ao `a base canˆonica, [T]C, e mostrar que T ´e diagonaliz´avel. b)(Valor 1.0) Escrever uma base B na qual a matriz de T com rela¸c˜ao a essa base ´e diagonal e tamb´em [T]B. c)(Valor 2.0) Usando os itens anteriores, calcular An, onde n ∈ N, ´e dada por A =   a 1 1 0 b 2 0 0 c   . onde a, b e c s˜ao os mesmos do item a). N˜ao precisa realizar a conta final, isto ´e, pode deixar indicado o produto das matrizes. Feliz Natal e Feliz 2022!!! Muita sa´ude para todos n´os!!!!