P1 - Álgebra Linear 2021-2

1a Prova de ´Algebra Linear e Aplicac¸˜oes - Data: 25/10/2021 Escreva seu nome, n´umero USP e sua data de nascimento (dia e mˆes) na folha de respostas. 1a¯ Quest˜ao: (Valor 2.5) Seja V = M4×1 o espa¸co das matrizes de ordem 4 × 1 e W = {X ∈ V : AX = 0}, onde A =   1 1 −1 0 2 0 1 1 3 1 0 1 0 −2 K L   , onde K e L s˜ao os digitos da data do seu anivers´ario. Por exemplo, 03 de outubro, K = 0 e L = 3 (se for 31, considerar 30). Mostre que W ´e um subespa¸co vetorial de V e encontre uma base para W. 2a¯ Quest˜ao: (Valor 2.5) Seja V = R4 e considere os seguintes subespa¸cos vetoriais de V : U = {(x, y, z, t) ∈ R4/a1x+a2y +a3z −t = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4/a4x+a5y +z +a6t = 0}, onde a1, a2, a3, a4, a5 e a6 s˜ao os primeiros 6 digitos do seu n´umero USP . Determinar uma base e a dimens˜ao de U, W, U + W e U ∩ W. 3a¯ Quest˜ao: a) (Valor 0.5) Seja B = {u, v, w} uma base de R3. Mostre que B′ = {u + v, u + w, v + w} tamb´em ´e uma base de R3. Justifique sua resposta. b) (Valor 2.0) Monte uma base B = {u, v, w} de R3, diferente da base canˆonica (Justifique sua resposta). Encontre a matriz de mudan¸ca de base da base B′ = {u + v, u + w, v + w} para a base B encontrada a partir de sua escolha para u, v e w. Encontre as coordenadas do vetor t com rela¸c˜ao `a base B′ sabendo que as coordenadas do vetor t com rela¸c˜ao `a base B s˜ao 2,-2 e 1. 4a¯ Quest˜ao: (Valor 2.5) Seja V um espa¸co vetorial e considere S um subconjunto n˜ao vazio de V . Defina o que ´e o espa¸co gerado por S. Se V = R3, descreva os subespa¸cos gerados pelos conjuntos S1 = {(1, 2, 3)}, S2 = {(1, −2, 1), (2, 1, 1)} e S3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e interprete geometricamente.