Exercício - Divergência de Sequências - Análise Matemática - 2023-1

EXERCICIO Um ponto de prova para quem mostre que lim n→∞+ a0 + a1n + . . . + aqnq b0 + b1n + . . . + bpnp = ∞ se aq bp > 0 e q > p. A prova tem que usar a defini¸c˜ao de divergˆencia de sequˆecias. 1 Questão 1 Seja o seguinte limite: lim 𝑛→∞ 𝑎0 + 𝑎1𝑛 + ⋯ 𝑎𝑝𝑛𝑞 𝑏0 + 𝑏1𝑛 + ⋯ 𝑏𝑝𝑛𝑝 Como 𝑞 > 𝑝, podemos dividir todos os termos por 𝑛𝑝, obtendo: lim 𝑛→∞ 𝑎0 𝑛𝑝 + 𝑎1 𝑛 𝑛𝑝 + ⋯ 𝑎𝑝 𝑛𝑞 𝑛𝑝 𝑏0 𝑛𝑝 + 𝑏1 𝑛 𝑛𝑝 + ⋯ 𝑏𝑝 = lim 𝑛→∞ 𝑎0 𝑛𝑝 + 𝑎1 1 𝑛𝑝−1 + ⋯ 𝑎𝑝𝑛𝑞−𝑝 𝑏0 𝑛𝑝 + 𝑏1 1 𝑛𝑝−1 + ⋯𝑏𝑝 = lim 𝑛→∞ (𝑎0 𝑛𝑝 + 𝑎1 1 𝑛𝑝−1 + ⋯ 𝑎𝑝𝑛𝑞−𝑝) lim 𝑛→∞ (𝑏0 𝑛𝑝 + 𝑏1 1 𝑛𝑝−1 + ⋯𝑏𝑝) = lim 𝑛→∞ (𝑎0 𝑛𝑝 + 𝑎1 1 𝑛𝑝−1 + ⋯ ) + lim 𝑛→∞(𝑎𝑝𝑛𝑞−𝑝) lim 𝑛→∞ (𝑏0 𝑛𝑝 + 𝑏1 1 𝑛𝑝−1) + lim 𝑛→∞(𝑏𝑝) = lim 𝑛→∞(0 + 0 + ⋯ ) + 𝑎𝑝 lim 𝑛→∞(𝑛𝑞−𝑝) lim 𝑛→∞(0 + 0) + 𝑏𝑝 = 𝑎𝑝 lim 𝑛→∞(𝑛𝑞−𝑝) 𝑏𝑝 = 𝑎𝑝 𝑏𝑝 lim 𝑛→∞(𝑛𝑞−𝑝) Como 𝑞 > 𝑝, temos que o limite lim 𝑛→∞(𝑛𝑞−𝑝) tende a infinito E como 𝑎𝑝 𝑏𝑝 é um valor positivo, temos a sua multiplicação por lim 𝑛→∞(𝑛𝑞−𝑝) não afeta o sinal do limite Logo, o resultado do limite é +∞