Lista 4 - Análise Matemática - 2023-1

LISTA 4 Nos préximos exercicios, usamos as seguintes definigoes. Definition 1. Seja ACR abertoe f: ACR—-R fungao. Dizemos que f é€ (1) uniformemte continua em A se para todo ¢ > 0 existe d(e) > 0 tal que || f(x) — fly) I< e para todo x,y € A tais que || x — y ||< d(e). (2) Lipschitz se existe L > 0 tal que || f(x) — f(y) ||< L || «—y || para todo x,y € A. (3) a-Hélder (a € (0,1)) se existe L > 0 tal que || f(x) — f(y) |< Li\la-—yll*%, Va,y eA. Exercicios (1) Estudar as seguintes afirmacdes. Dar um exemplo se a afirmacao é falsa e apresente uma demostracao se é verdadeira. (a) Se f: R— R é uma fungao continua e B C R é limitado entao f(B) é limitado. (b) Se B Cc R é aberto e limitado e f : B — R é uma fungao continua, entao f(B) é limitado. (c) Se BC Ré compacto e S C B é fechado entaéo S é compacto. (2) Suponha que f : K C R > R é continua e que K é compacto. Mostre que f é uniformemente continua. (3) Mostre que uma funcao Lipschitz é uniformemente continua. Que pode dizer se f é a-Hélder. ? (4) A funcao f : RR dada por f(x) = x? é uniformemente continua. ? (5) A funcgao f : R—- R dada por f(x) = x” (n € N) é uniformemente continua. ? (6) Sem usar que [a,b] é compacto, mostre que a fungéo f : [a,b] R dada por f(x) = x” (n € N) é uniformemente continua. (7) Sem usar que [a,b] 6 compacto, mostre que a fungao f : [a,b] > R dada por f(x) = sin(z) é uniformemente continua. (8) Suponha que f : R > R é uma funcao e que existe L > 0 tal que | f’(x) |< L para todo x €R. Mostre que f(-) é uniformemente continua. (9) Sejay > Oe f : Rt + Ra fungao dada por f(s) = a. A funcao f(-) é uniformemente continua. ? 5 (10) Seja y > Oe f : Rt ++ R a fungcao dada por f(s) = <a. A fungao f(-) é uniformemente continua. ? (11) Suponha que g : R+> Rt é uma fungao continua é limitada e definamos f : Rt + R por f(s)= 2. A fungao f(-) é uniformemente continua. ? (12) Suponha que f : R > R uma fungAo limitada e continua e seja F : R > R a fungao dada por F'(#) = Jo f(s)ds. Mostre que F(-) é uniformemente continua. (13) Mostre que uma transformacéo T : R > R é uniformemente continua. (14) Suponha que f : R > R é uma funcao continua e que K CR. Prove that f(K) c f(K). (15) Mostre que a composta de duas funcoes continuas é continua. (Use a definigao ¢, d-). (16) Mostre que a composta de duas fungdes continuas é continua. (Use o resultado que carac- teriza as fungdes continuas usando sequéncias). (17) Mostre que a composta de duas fungdes continuas é continua. (Use o resultado que carac- teriza as fungdes continuas usando conjuntos abertos. ) (18) A composta de duas fungdes uniformemente continuas é uniformemente continua. ? 1