P2 - Análise Matemática 2022-1

Prova 2 1. Sobre fungdes. Nos proximos exercicios f,g : [a,b] > R sao fungoes e c € [a, B]. (a) Prove that f(-) é continua em c © limn-+o f(%n) = f(c) para toda sequéncia ({n)nen formada por elementos da [a,b] que é convergente para c. (b) Prove que 0 conjunto {x € [a,b] : f(x) = 0} é fechado. (c) Prove que 0 conjunto {zx € [a,b]: f(a) < g(x)} é fechado. 2. Sobre conjuntos: Nos proximos exercicios A, B sao subconjuntos de R. (a) Se AC Bentéo AC B? Se AC B entao A’ c B’? (b) (A! =A", A=A.? (c) Existe A tal que (A’)’=Qe A’ #9. (d) Seja (%n)nen uma sequéncia de ntimeros reais, C = {rp :n € N} e D o conjunto dos pontos de aderéncia de (%n)nen, entao C = D? Exercicio Extra. (3) Suponha que a fungaéo f(-) é continua em [a,b]. Prove que existe xo € [a,b] tal que f (xo) = 8UPzre[a,b] f(z). (5 pontos) e As perguntas 1 e 2 valem 5 pontos e cada um dos seus itens tem o mesmo valor. Se responde a pergunta extra, que vale 5 pontos, pode escolher responder a pergunta 1 ou a pergunta dois. 1