Lista - Matemática Discreta - 2023-2

Na resolução dos problemas, explique seu raciocínio e o que você está fazendo de forma que eu possa acompanhá-lo(a). Soluções "mágicas" ou "geniais" não serão aceitas sem explicações. Problemas 1. [2 pontos] O conectivo lógico nor ("not-or") é definido pela relação p↓q ≡ ¬(p ∨ q). (a) Reescreva ¬p, p ∧ q e p ∨ q em termos do conectivo lógico nor; (b) Reescreva p → q e p ↔ q em termos do conectivo lógico nor. 2. [2 pontos] Seja A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) a diferença simétrica entre os conjuntos A e B. Dados três subconjuntos A, B e C quaisquer de um mesmo conjunto universo, mostre que: (a) A △ B = A ̅ ∩ B, onde X ̅ = {x: x ∉ X} denota o complemento de X; (b) A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C). 3. [2 pontos] Determine o valor verdade e estabeleça a negação das seguintes proposições: (a) (∃z ∈ ℝ)(∀x ∈ ℝ)(∀y ∈ ℝ)(x + y = z). (b) (∀x ∈ ℝ*)(∃y ∈ ℝ*)(xy = 1), onde ℝ* = ℝ \ {0}. 4. [2 pontos] Seja A = {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅} um conjunto formado por números inteiros distintos 1 ≤ aᵢ ≤ 8. Mostre que as somas dos elementos de cada um dos subconjuntos não-vazios de A não podem ser todas diferentes entre si. 5. [2 pontos] Quantas soluções inteiras positivas existem para a inequação x + y + z + t ≤ 25 satisfazendo as condições x > 4 e t ≥ 5?