P1 - Cálculo 1 - 2024-1

Cálculo - I - Prova 1 Prof. Dr. Helton Hideraldo Bíscaro 1. (dois pontos) Dê exemplo de uma função f : R -> R que seja contínua em todos os pontos da reta exceto nos inteiros. 2. (dois pontos) Considere a função f(x) = \left\{ √(3 + 6x²)/x se x ≠ 0 6 se x = 0 \right. (a) Calcule lim_x-->0 f(x). (b) Verifique se f é contínua em x = 0. 3. (dois pontos) Sabendo que lim_x-->0 (sen(x)/x) = 1, calcule o lim_x-->0 (sen²(ax²)/x²). 4. (dois pontos) Seja f : [a, b] -> R uma função contínua, porém não constante. Argumente porque devem existir números reais m, M com m < M de tal forma que Im(f), isto é, {f(x)/x ∈ [a, b]} é o intervalo [m, M]. 5. (dois pontos) Seja f(x) = x/(x²+1). (a) Determine os pontos no gráfico de f nos quais a reta tangente é paralela ao eixo x; (b) Estude o sinal de f'(x), isto é, encontre em quais intervalos ela é negativa e em quais é positiva; (c) calcule lim_x-->∞ f(x) e lim_x-->−∞ f(x). 6. (questão bônus: dois pontos) Um monge vai meditar durante o final de semana em um monastério no topo de uma montanha. Ele inicia a subida no sábado às 6:00 horas e a descida na segunda, no mesmo horário. Num determinado instante, durante a descida, ele sente que passou por aquele ponto durante a subida, naquele exato horário. Assumindo que o caminho de ida é o mesmo da volta, e que o percurso é composto somente de subida (descida na volta), use seus conhecimentos de cálculo para explicar este fato.