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Sistemas de Informação ·
Cálculo 1
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Segunda prova de C´alculo 1 – 22 / 07 / 2022 – Prof. Alexandre F. Ramos Leia atentamente todas as instru¸c˜oes a seguir. Respostas corretas que n˜ao apresentarem justificativas ser˜ao desconsideradas. As respostas devem estar escritas a m˜ao. As folhas de respostas devem ser reunidas em um s´o arquivo, formato .pdf. A primeira linha de cada p´agina da folha de respostas deve conter as seguintes informa¸c˜oes: Nome: ; N. USP: ; Turma: . Q.1 (Total: 4 ponto(s)). O n´umero de c´elulas de levedura em uma cultura de laborat´orio aumenta rapidamente no in´ıcio, mas eventualmente estabiliza. A popula¸c˜ao ´e modelada pela fun¸c˜ao: n = f(t) = a 1 + b e−0.7t , em que t ´e medido em horas. No instante t = 0 a popula¸c˜ao ´e de 20 c´elulas e est´a crescendo a uma taxa de 12 c´elulas/hora. a. (Vale: 0,5 ponto(s)). Encontre os valores de a e b. b. (Vale: 1,5 ponto(s)). Utilizando os valores de a b calculados anteriormente, expresse f(t), a velocidade de crescimento da popula¸c˜ao de leveduras e sua acelera¸c˜ao. c. (Vale: 2 ponto(s)). Esboce um gr´afico da fun¸c˜ao f(t) visando descrever o que ocorre com a popula¸c˜ao de levedura depois de muito tempo (use o roteiro da se¸c˜ao 4.5 do livro-texto). Em que instante a velocidade de crescimento da popula¸c˜ao ´e m´aximo? Qual a popula¸c˜ao de leveduras nesse instante? Q.2 (Total: 2 ponto(s)). Nos peixes, o peso B do c´erebro como uma fun¸c˜ao do peso corporal W foi modelado pela fun¸c˜ao potˆencia B = 0, 007W 2/3, onde B e W s˜ao medidos em gramas. Um modelo para o peso corporal como uma fun¸c˜ao de comprimento de corpo L (medido em cent´ımetros) ´e W = 0, 12L2,53. Se, em 10 milh˜oes de anos, o comprimento m´edio de uma certa esp´ecie de peixes evoluiu de 15 cm para 20 cm a uma taxa constante, qu˜ao r´apido estava crescendo o c´erebro dessa esp´ecie quando o comprimento m´edio era de 18 cm? Q.3 (Total: 4 ponto(s)). Se um proj´etil for disparado com uma velocidade inicial v em um ˆangulo de inclina¸c˜ao θ a partir da horizontal, ent˜ao sua trajet´oria, desprezando a resistˆencia do ar, ´e uma par´abola y = (tgθ)x − g 2v2cos2θx2, 0 < θ < π 2 . a. (Vale: 1,5 ponto(s)). Suponha que o proj´etil seja disparado da base de um plano que est´a inclinado em um ˆangulo α a partir da horizontal, tal que 0 < α < θ. Mostre que o alcance do proj´etil, medido no plano inclinado, ´e dado por: R(θ) = 2v2cosθ sen(θ − α) gcos2α . b. (Vale: 1 ponto(s)). Determine θ tal que R seja m´aximo. c. (Vale: 1,5 ponto(s)). Suponha que o plano esteja em um ˆangulo α abaixo da horizontal. Determine o alcance R e o ˆangulo segundo o qual o proj´etil deve ser disparado para maximizar R.
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