Atividade de Estrutura de Concreto Armado

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas FUNDAMENTOS DO CONCRETO E PROJETO DE EDIFÍCIOS Libânio M Pinheiro São Carlos maio de 2007 ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 1 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos Março de 2004 INTRODUÇÃO Este é o capítulo inicial de um curso cujos objetivos são os fundamentos do concreto as bases para cálculo de concreto armado a rotina do projeto estrutural para edifícios de pequeno porte É um trabalho dedicado a alunos de graduação e a iniciantes em Engenharia Estrutural Interessados em aprofundar conhecimentos deverão consultar bibliografia complementar adequada 11 DEFINIÇÕES Concreto é um material de construção proveniente da mistura em proporção adequada de aglomerantes agregados e água a Aglomerantes Unem os fragmentos de outros materiais No concreto em geral se emprega cimento portland que reage com a água e endurece com o tempo b Agregados São partículas minerais que aumentam o volume da mistura reduzindo seu custo Dependendo das dimensões características φ dividemse em dois grupos Agregados miúdos 0075mm φ 48mm Exemplo areias Agregados graúdos φ 48mm Exemplo pedras c Pasta Resulta das reações químicas do cimento com a água Quando há água em excesso denominase nata USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 2 PASTA CIMENTO ÁGUA d Argamassa Provém da pela mistura de cimento água e agregado miúdo ou seja pasta com agregado miúdo ARGAMASSA CIMENTO AREIA ÁGUA e Concreto simples É formado por cimento água agregado miúdo e agregado graúdo ou seja argamassa e agregado graúdo USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 3 CONCRETO SIMPLES CIMENTO AREIA PEDRA ÁGUA Depois de endurecer o concreto apresenta boa resistência à compressão baixa resistência à tração comportamento frágil isto é rompe com pequenas deformações Na maior parte das aplicações estruturais para melhorar as características do concreto ele é usado junto com outros materiais f Concreto armado É a associação do concreto simples com uma armadura usualmente constituída por barras de aço Os dois materiais devem resistir solidariamente aos esforços solicitantes Essa solidariedade é garantida pela aderência CONCRETO ARMADO CONCRETO SIMPLES ARMADURA ADERÊNCIA g Concreto protendido No concreto armado a armadura não tem tensões iniciais Por isso é denominada armadura frouxa ou armadura passiva No concreto protendido pelo menos uma parte da armadura tem tensões previamente aplicadas denominada armadura de protensão ou armadura ativa CONCRETO PROTENDIDO CONCRETO ARMADURA ATIVA USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 4 h Argamassa armada É constituída por agregado miúdo e pasta de cimento com armadura de fios de aço de pequeno diâmetro formando uma tela No concreto a armadura é localizada em regiões específicas Na argamassa ela é distribuída por toda a peça i Concreto de alto desempenho CAD Pode ser obtido por exemplo pela mistura de cimento e agregados convencionais com sílica ativa e aditivos plastificantes Apresenta características melhores do que o concreto tradicional Em vez de sílica ativa podese também utilizar cinza volante ou resíduo de alto forno 12 VANTAGENS DO CONCRETO RESTRIÇÕES E PROVIDÊNCIAS Como material estrutural o concreto apresenta várias vantagens em relação a outros materiais Serão relacionadas também algumas de suas restrições e as providências que podem ser adotadas para contornálas 121 Vantagens do concreto armado Suas grandes vantagens são É moldável permitindo grande variabilidade de formas e de concepções arquitetônicas Apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação desde que seja feito um correto dimensionamento e um adequado detalhamento das armaduras A estrutura é monolítica fazendo com que todo o conjunto trabalhe quando a peça é solicitada Baixo custo dos materiais água e agregados graúdos e miúdos Baixo custo de mãodeobra pois em geral não exige profissionais com elevado nível de qualificação Processos construtivos conhecidos e bem difundidos em quase todo o país Facilidade e rapidez de execução principalmente se forem utilizadas peças prémoldadas O concreto é durável e protege a armação contra a corrosão Os gastos de manutenção são reduzidos desde que a estrutura seja bem projetada e adequadamente construída USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 5 O concreto é pouco permeável à água quando executado em boas condições de plasticidade adensamento e cura É um material seguro contra fogo desde que a armadura seja convenientemente protegida pelo cobrimento É resistente a choques e vibrações efeitos térmicos atmosféricos e a desgastes mecânicos 122 Restrições do concreto O concreto apresenta algumas restrições que precisam ser analisadas Devem ser tomadas as providências adequadas para atenuar suas conseqüências As principais são Baixa resistência à tração Fragilidade Fissuração Peso próprio elevado Custo de formas para moldagem Corrosão das armaduras 123 Providências Para suprir as deficiências do concreto há várias alternativas A baixa resistência à tração pode ser contornada com o uso de adequada armadura em geral constituída de barras de aço obtendose o concreto armado Além de resistência à tração o aço garante ductilidade e aumenta a resistência à compressão em relação ao concreto simples A fissuração pode ser contornada ainda na fase de projeto com armação adequada e limitação do diâmetro das barras e da tensão na armadura Também é usual a associação do concreto simples com armadura ativa formando o concreto protendido A utilização de armadura ativa tem como principal finalidade aumentar a resistência da peça o que possibilita a execução de grandes vãos ou o uso de seções menores sendo que também se obtém uma melhora do concreto com relação à fissuração O concreto de alto desempenho CAD apresenta características melhores do que o concreto tradicional como resistência mecânica inicial e final elevada baixa permeabilidade alta durabilidade baixa segregação boa trabalhabilidade alta aderência reduzida exsudação menor deformabilidade por retração e fluência entre outras USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 6 O CAD é especialmente apropriado para projetos em que a durabilidade é condição indispensável para sua execução A alta resistência é uma das maneiras de se conseguir peças de menores dimensões aliviando o peso próprio das estruturas Ao concreto também podem ser adicionadas fibras principalmente de aço que aumentam a ductilidade a absorção de energia a durabilidade etc A corrosão da armadura é prevenida com controle da fissuração e com o uso de adequado de cobrimento cujo valor depende do grau de agressividade do ambiente em que a estrutura for construída A padronização de dimensões a prémoldagem e o uso de sistemas construtivos adequados permite a racionalização do uso de formas permitindo economia neste quesito A argamassa armada é adequada para prémoldados leves de pequena espessura 13 APLICAÇÕES DO CONCRETO É o material estrutural mais utilizado no mundo Seu consumo anual é da ordem de uma tonelada por habitante Entre os materiais utilizados pelo homem o concreto perde apenas para a água Outros materiais como madeira alvenaria e aço também são de uso comum e há situações em que eles são imbatíveis Porém suas aplicações são bem mais restritas Algumas aplicações do concreto são relacionadas a seguir Edifícios mesmo que a estrutura principal não seja de concreto alguns elementos pelo menos o serão Galpões e pisos industriais ou para fins diversos Obras hidráulicas e de saneamento barragens tubos canais reservatórios estações de tratamento etc Rodovias pavimentação de concreto pontes viadutos passarelas túneis galerias obras de contenção etc Estruturas diversas elementos de cobertura chaminés torres postes mourões dormentes muros de arrimo piscinas silos cais fundações de máquinas etc USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 7 14 ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS Estrutura é a parte resistente da construção e tem as funções de resistir as ações e as transmitir para o solo Em edifícios os elementos estruturais principais são Lajes são placas que além das cargas permanentes recebem as ações de uso e as transmitem para os apoios travam os pilares e distribuem as ações horizontais entre os elementos de contraventamento Vigas são barras horizontais que delimitam as lajes suportam paredes e recebem ações das lajes ou de outras vigas e as transmitem para os apoios Pilares são barras verticais que recebem as ações das vigas ou das lajes e dos andares superiores as transmitem para os elementos inferiores ou para a fundação Fundação são elementos como blocos lajes sapatas vigas estacas etc que transferem os esforços para o solo USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 8 Pilares alinhados ligados por vigas formam os pórticos que devem resistir às ações do vento e às outras ações que atuam no edifício sendo o mais utilizado elemento de contraventamento Em edifícios esbeltos o travamento também pode ser feito por pórticos treliçados paredes estruturais ou núcleos Os dois primeiros situamse em geral nas extremidades do edifício Os núcleos costumam envolver a escada ou da caixa de elevadores Nos andares constituídos por lajes e vigas a união desses elementos pode ser denominada tabuleiro Os termos piso e pavimento devem ser evitados pois podem ser confundidos com pavimentação É crescente o emprego do concreto em pisos industriais e em pavimentos de vias urbanas e rodoviárias principalmente nos casos de tráfego intenso e pesado Nos edifícios com tabuleiros sem vigas as lajes se apóiam diretamente nos pilares sendo denominadas lajes lisas Se nas ligações das lajes com os pilares houver capitéis elas recebem o nome de lajescogumelo Nas lajes lisas há casos em que nos alinhamentos dos pilares uma determinada faixa é considerada como viga sendo projetada como tal são as denominadas vigasfaixa São muito comuns as lajes nervuradas Se as nervuras e as vigas que as suportam têm a mesma altura o uso de um forro de gesso por exemplo dão a elas a aparência de lajes lisas Nesses casos elas são denominadas lajes lisas nervuradas Nessas lajes também são comuns as vigasfaixa e os capitéis embutidos Nos edifícios são considerados elementos estruturais complementares escadas caixas dágua muros de arrimo consolos marquises etc 15 EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE Como foi visto no início este é o primeiro texto de uma série cujos objetivos são apresentar os fundamentos do concreto as bases para cálculo e a rotina do projeto estrutural para edifícios de pequeno porte Em um exemplo simples serão dimensionadas e detalhadas as lajes as vigas e os pilares As fundações serão estudadas em uma fase posterior Serão considerados edifícios de pequeno porte aqueles com estruturas regulares muito simples que apresentem USP EESC Dep Eng de Estruturas Introdução 9 até quatro pavimentos ausência de protensão cargas de uso nunca superiores a 3kNm2 altura de pilares até 4m e vãos não excedendo 6m vão máximo de lajes até 4m menor vão ou 2m no caso de balanços O efeito do vento poderá ser omitido desde que haja contraventamento em duas direções AGRADECIMENTOS À FAPESP e ao CNPq pelas bolsas de Iniciação Científica e de Pesquisador BIBLIOGRAFIA Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 61182003 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 72111982 Agregados para concreto Rio de Janeiro IBRACON 2001 Prática recomendada IBRACON para estruturas de pequeno porte São Paulo Instituto Brasileiro do Concreto Comitê Técnico CT301 Concreto Estrutural 39p PINHEIRO LM GIONGO JS 1986 Concreto armado propriedades dos materiais São Carlos EESCUSP Publicação 005 86 79p PINHEIRO LM 2003 Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto A São Carlos EESCUSP ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 2 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos Março de 2004 CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO Como foi visto no capítulo anterior a mistura em proporção adequada de cimento agregados e água resulta num material de construção o concreto cujas características diferem substancialmente daquelas apresentadas pelos elementos que o constituem Este capítulo tem por finalidade destacar as principais características e propriedades do material concreto incluindo aspectos relacionados à sua utilização 21 MASSA ESPECÍFICA Serão considerados os concretos de massa específica normal ρc compreendida entre 2000 kgm3 e 2800 kgm3 Para efeito de cálculo podese adotar para o concreto simples o valor 2400 kgm3 e para o concreto armado 2500 kgm3 Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado podese considerar para valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples acrescida de 100 kgm3 a 150 kgm3 22 PROPRIEDADES MECÂNICAS As principais propriedades mecânicas do concreto são resistência à compressão resistência à tração e módulo de elasticidade Essas propriedades são determinadas a partir de ensaios executados em condições específicas Geralmente os ensaios são realizados para controle da qualidade e atendimento às especificações 221 Resistência à compressão A resistência à compressão simples denominada fc é a característica mecânica mais importante Para estimála em um lote de concreto são moldados e preparados corposdeprova para ensaio segundo a NBR 5738 Moldagem e cura de corposdeprova cilíndricos ou prismáticos de concreto os quais são USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 22 ensaiados segundo a NBR 5739 Concreto Ensaio de compressão de corpos deprova cilíndricos O corpodeprova padrão brasileiro é o cilíndrico com 15cm de diâmetro e 30cm de altura e a idade de referência para o ensaio é 28 dias Após ensaio de um número muito grande de corposdeprova pode ser feito um gráfico com os valores obtidos de fc versus a quantidade de corposdeprova relativos a determinado valor de fc também denominada densidade de freqüência A curva encontrada denominase Curva Estatística de Gauss ou Curva de Distribuição Normal para a resistência do concreto à compressão Figura 21 Figura 21 Curva de Gauss para a resistência do concreto à compressão Na curva de Gauss encontramse dois valores de fundamental importância resistência média do concreto à compressão fcm e resistência característica do concreto à compressão fck O valor fcm é a média aritmética dos valores de fc para o conjunto de corposde prova ensaiados e é utilizado na determinação da resistência característica fck por meio da fórmula 165s f f cm ck O desviopadrão s corresponde à distância entre a abscissa de fcm e a do ponto de inflexão da curva ponto em que ela muda de concavidade O valor 165 corresponde ao quantil de 5 ou seja apenas 5 dos corpos deprova possuem fc fck ou ainda 95 dos corposdeprova possuem fc fck Portanto podese definir fck como sendo o valor da resistência que tem 5 de probabilidade de não ser alcançado em ensaios de corposdeprova de um determinado lote de concreto USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 23 Como será visto posteriormente a NBR 8953 define as classes de resistência em função de fck Concreto classe C30 por exemplo corresponde a um concreto com fck 30MPa Nas obras devido ao pequeno número de corposdeprova ensaiados calcula se fckest valor estimado da resistência característica do concreto à compressão 222 Resistência à tração Os conceitos relativos à resistência do concreto à tração direta fct são análogos aos expostos no item anterior para a resistência à compressão Portanto temse a resistência média do concreto à tração fctm valor obtido da média aritmética dos resultados e a resistência característica do concreto à tração fctk ou simplesmente ftk valor da resistência que tem 5 de probabilidade de não ser alcançado pelos resultados de um lote de concreto A diferença no estudo da tração encontrase nos tipos de ensaio Há três normalizados tração direta compressão diametral e tração na flexão a Ensaio de tração direta Neste ensaio considerado o de referência a resistência à tração direta fct é determinada aplicandose tração axial até a ruptura em corposdeprova de concreto simples Figura 22 A seção central é retangular medindo 9cm por 15cm e as extremidades são quadradas com 15cm de lado Figura 22 Ensaio de tração direta b Ensaio de tração na compressão diametral spliting test É o ensaio mais utilizado Também é conhecido internacionalmente como Ensaio Brasileiro Foi desenvolvido por Lobo Carneiro em 1943 Para a sua realização um corpodeprova cilíndrico de 15cm por 30 cm é colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa Figura 23 sendo aplicada uma força até a sua ruptura por tração indireta ruptura por fendilhamento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 24 Figura 23 Ensaio de tração por compressão diametral O valor da resistência à tração por compressão diametral fctsp encontrado neste ensaio é um pouco maior que o obtido no ensaio de tração direta O ensaio de compressão diametral é simples de ser executado e fornece resultados mais uniformes do que os da tração direta c Ensaio de tração na flexão Para a realização deste ensaio um corpodeprova de seção prismática é submetido à flexão com carregamentos em duas seções simétricas até à ruptura Figura 24 O ensaio também é conhecido por carregamento nos terços pelo fato das seções carregadas se encontrarem nos terços do vão Analisando os diagramas de esforços solicitantes Figura 25 podese notar que na região de momento máximo temse cortante nula Portanto nesse trecho central ocorre flexão pura Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão fctf são maiores que os encontrados nos ensaios descritos anteriormente Figura 24 Ensaio de tração na flexão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 25 Figura 25 Diagramas de esforços solicitantes ensaio de tração na flexão d Relações entre os resultados dos ensaios Como os resultados obtidos nos dois últimos ensaios são diferentes dos relativos ao ensaio de referência de tração direta há coeficientes de conversão Considerase a resistência à tração direta fct igual a 09 fctsp ou 07 fctf ou seja coeficientes de conversão 09 e 07 para os resultados de compressão diametral e de flexão respectivamente Na falta de ensaios as resistências à tração direta podem ser obtidas a partir da resistência à compressão fck ctm sup ctk ctm inf ctk 23 ck ctm 13 f f 07 f f 03 f f Nessas equações as resistências são expressas em MPa Será visto oportunamente que cada um desses valores é utilizado em situações específicas 223 Módulo de elasticidade Outro aspecto fundamental no projeto de estruturas de concreto consiste na relação entre as tensões e as deformações Sabese da Resistência dos Materiais que a relação entre tensão e deformação para determinados intervalos pode ser considerada linear Lei de USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 26 Hooke ou seja σ E ε sendo σ a tensão ε a deformação específica e E o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação Longitudinal Figura 26 Figura 26 Módulo de elasticidade ou de deformação longitudinal Para o concreto a expressão do Módulo de Elasticidade é aplicada somente à parte retilínea da curva tensãodeformação ou quando não existir uma parte retilínea a expressão é aplicada à tangente da curva na origem Neste caso temse o Módulo de Deformação Tangente Inicial Eci Figura 27 Figura 27 Módulo de deformação tangente inicial Eci O módulo de deformação tangente inicial é obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522 Concreto Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensãodeformação USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 27 Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto para a idade de referência de 28 dias podese estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando a expressão 12 ck ci 5600 f E Eci e fck são dados em MPa O Módulo de Elasticidade Secante Ecs a ser utilizado nas análises elásticas do projeto especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de limites de serviço deve ser calculado pela expressão Ecs 085 Eci Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou de uma seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único à tração e à compressão igual ao módulo de elasticidade secante Ecs 224 Coeficiente de Poisson Quando uma força uniaxial é aplicada sobre uma peça de concreto resulta uma deformação longitudinal na direção da carga e simultaneamente uma deformação transversal com sinal contrário Figura 28 Figura 28 Deformações longitudinais e transversais A relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada coeficiente de Poisson e indicada pela letra ν Para tensões de compressão menores que 05 fc e de tração menores que fct pode ser adotado ν 02 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 28 225 Módulo de elasticidade transversal O módulo de elasticidade transversal pode ser considerado Gc 04 Ecs 226 Estados múltiplos de tensão Na compressão associada a confinamento lateral como ocorre em pilares cintados por exemplo a resistência do concreto é maior do que o valor relativo à compressão simples O cintamento pode ser feito com estribos que impedem a expansão lateral do pilar criando um estado múltiplo de tensões O cintamento também aumenta a dutilidade do elemento estrutural Na região dos apoios das vigas pode ocorrer fissuração por causa da força cortante Essas fissuras com inclinação aproximada de 45 delimitam as chamadas bielas de compressão Portanto as bielas são regiões comprimidas com tensões de tração na direção perpendicular caracterizando um estado biaxial de tensões Nesse caso temse uma resistência à compressão menor que a da compressão simples Portanto a resistência do concreto depende do estado de tensão a que ele se encontra submetido 23 ESTRUTURA INTERNA DO CONCRETO Na preparação do concreto com as mistura dos agregados graúdos e miúdos com cimento e água tem início a reação química do cimento com a água resultando gel de cimento que constitui a massa coesiva de cimento hidratado A reação química de hidratação do cimento ocorre com redução de volume dando origem a poros cujo volume é da ordem de 28 do volume total do gel Durante o amassamento do concreto o gel envolve os agregados e endurece com o tempo formando cristais Ao endurecer o gel liga os agregados resultando um material resistente e monolítico o concreto A estrutura interna do concreto resulta bastante heterogênea adquire forma de retículos espaciais de gel endurecido de grãos de agregados graúdo e miúdo de várias formas e dimensões envoltos por grande quantidade de poros e capilares portadores de água que não entrou na reação química e ainda vapor dágua e ar Fisicamente o concreto representa um material capilar pouco poroso sem continuidade da massa no qual se acham presentes os três estados da agregação sólido líquido e gasoso USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 29 24 DEFORMAÇÕES As deformações do concreto dependem essencialmente de sua estrutura interna 241 Retração Denominase retração à redução de volume que ocorre no concreto mesmo na ausência de tensões mecânicas e de variações de temperatura As causas da retração são Retração química contração da água não evaporável durante o endurecimento do concreto Retração capilar ocorre por evaporação parcial da água capilar e perda da água adsorvida O tensão superficial e o fluxo de água nos capilares provocam retração Retração por carbonatação CaOH2 CO2 CaCO3 H2O ocorre com diminuição de volume 242 Expansão Expansão é o aumento de volume do concreto que ocorre em peças submersas Nessas peças no início temse retração química Porém o fluxo de água é de fora para dentro As decorrentes tensões capilares anulam a retração química e em seguida provocam a expansão da peça 243 Deformação imediata A deformação imediata se observa por ocasião do carregamento Corresponde ao comportamento do concreto como sólido verdadeiro e é causada por uma acomodação dos cristais que formam o material 244 Fluência Fluência é uma deformação diferida causada por uma força aplicada Corresponde a um acréscimo de deformação com o tempo se a carga permanecer Ao ser aplicada uma força no concreto ocorre deformação imediata com uma acomodação dos cristais Essa acomodação diminui o diâmetro dos capilares e aumenta a pressão na água capilar favorecendo o fluxo em direção à superfície Tanto a diminuição do diâmetro dos capilares quanto o acréscimo do fluxo aumentam a tensão superficial nos capilares provocando a fluência USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 210 No caso de muitas estruturas reais a fluência e a retração ocorrem ao mesmo tempo e do ponto de vista prático é conveniente o tratamento conjunto das duas deformações 245 Deformações térmicas Definese coeficiente de variação térmica αte como sendo a deformação correspondente a uma variação de temperatura de 1C Para o concreto armado para variações normais de temperatura a NBR 6118 permite adotar αte 105 C 25 FATORES QUE INFLUEM Os principais fatores que influem nas propriedades do concreto são Tipo e quantidade de cimento Qualidade da água e relação águacimento Tipos de agregados granulometria e relação agregadocimento Presença de aditivos e adições Procedimento e duração da mistura Condições e duração de transporte e de lançamento Condições de adensamento e de cura Forma e dimensões dos corposdeprova Tipo e duração do carregamento Idade do concreto umidade temperatura etc ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 3 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 31 de março 2003 AÇOS PARA ARMADURAS 31 DEFINIÇÃO E IMPORTÂNCIA Aço é uma liga metálica composta principalmente de ferro e de pequenas quantidades de carbono em torno de 0002 até 2 Os aços estruturais para construção civil possuem teores de carbono da ordem de 018 a 025 Entre outras propriedades o aço apresenta resistência e ductilidade muito importantes para a Engenharia Civil Como o concreto simples apresenta pequena resistência à tração e é frágil é altamente conveniente a associação do aço ao concreto obtendose o concreto armado Este material adequadamente dimensionado e detalhado resiste muito bem à maioria dos tipos de solicitação Mesmo em peças comprimidas além de fornecer ductilidade o aço aumenta a resistência à compressão 32 OBTENÇÃO DO PRODUTO SIDERÚRGICO Para a obtenção do aço são necessárias basicamente duas matériasprimas minério de ferro e coque O processo de obtenção denominase siderurgia que começa com a chegada do minério de ferro e vai até o produto final a ser utilizado no mercado O minério de ferro de maior emprego na siderurgia é a hematita Fe2O3 sendo o Brasil um dos grandes produtores mundiais USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 32 Coque é o resíduo sólido da destilação do carvão mineral É combustível e possui carbono Em temperaturas elevadas as reações químicas que ocorrem entre o coque e o minério de ferro separam o ferro do oxigênio Este reage com o carbono do coque formando dióxido de carbono CO2 principalmente Também é utilizado um fundente como o calcário que abaixa o ponto de fusão da mistura Minério de ferro coque e fundente são colocados pelo topo dos altosfornos e na base é injetado ar quente Um alto forno chega a ter altura de 50m a 100m A temperatura varia de 1000C no topo a 1500C na base A combinação do carbono do coque com o oxigênio do minério libera calor Simultaneamente a combustão do carvão com o oxigênio do ar fornece calor para fundir o metal O ponto de fusão é diminuído pelo fundente Na base do alto forno obtémse ferro gusa que é quebradiço e tem baixa resistência por apresentar altos teores de carbono e de outros materiais entre os quais silício manganês fósforo e enxofre A transformação de gusa em aço ocorre nas aciarias com a diminuição do teor de carbono São introduzidas quantidades controladas de oxigênio que reagem com o carbono formando CO2 33 TRATAMENTO MECÂNICO DOS AÇOS O aço obtido nas aciarias apresenta granulação grosseira é quebradiço e de baixa resistência Para aplicações estruturais ele precisa sofrer modificações o que é feito basicamente por dois tipos de tratamento a quente e a frio a Tratamento a quente Este tratamento consiste na laminação forjamento ou estiramento do aço realizado em temperaturas acima de 720C zona crítica USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 33 Nessas temperaturas há uma modificação da estrutura interna do aço ocorrendo homogeneização e recristalização com redução do tamanho dos grãos melhorando as características mecânicas do material O aço obtido nessa situação apresenta melhor trabalhabilidade aceita solda comum possui diagrama tensãodeformação com patamar de escoamento e resiste a incêndios moderados perdendo resistência apenas com temperaturas acima de 1150 C Figura 31 Estão incluídos neste grupo os aços CA25 e CA50 Figura 31 Diagrama tensãodeformação de aços tratados a quente Na Figura 31 temse P força aplicada A área da seção em cada instante A0 área inicial da seção a ponto da curva correspondente à resistência convencional b ponto da curva correspondente à resistência aparente c ponto da curva correspondente à resistência real USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 34 b Tratamento a frio ou encruamento Neste tratamento ocorre uma deformação dos grãos por meio de tração compressão ou torção e resulta no aumento da resistência mecânica e da dureza e diminuição da resistência à corrosão e da ductilidade ou seja decréscimo do alongamento e da estricção O processo é realizado abaixo da zona de temperatura crítica 720 C Os grãos permanecem deformados e dizse que o aço está encruado Nesta situação os diagramas de tensãodeformação dos aços apresentam patamar de escoamento convencional tornase mais difícil a solda e à temperatura da ordem de 600C o encruamento é perdido Figura 32 Está incluído neste grupo o aço CA60 Figura 32 Diagrama tensãodeformação de aços tratados a frio Na Figura 32 temse P força aplicada A área da seção em cada instante A0 área inicial da seção a ponto da curva correspondente à resistência convencional b ponto da curva correspondente à resistência aparente c ponto da curva correspondente à resistência real USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 35 34 BARRAS E FIOS A NBR 7480 1996 fixa as condições exigíveis na encomenda fabricação e fornecimento de barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado Essa Norma classifica barras os produtos de diâmetro nominal 5 ou superior obtidos exclusivamente por laminação a quente e como fios aqueles de diâmetro nominal 10 ou inferior obtidos por trefilação ou processo equivalente como por exemplo estiramento Esta classificação pode ser visualizada na Tabela 31 Tabela 31 Diâmetros nominais conforme a NBR 7480 1996 O comprimento normal de fabricação de barras e fios é de 11m com tolerância de 9 mas nunca inferior a 6m Porém comercialmente são encontradas barras de 12m levandose em consideração possíveis perdas que ocorrem no processo de corte 35 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS As características mecânicas mais importantes para a definição de um aço são o limite elástico a resistência e o alongamento na ruptura Essas características são determinadas através de ensaios de tração O limite elástico é a máxima tensão que o material pode suportar sem que se produzam deformações plásticas ou remanescentes além de certos limites 5 63 8 10 125 16 20 22 25 32 40 24 34 38 42 46 50 55 60 64 70 80 95 10 BARRAS Ø 5 Laminação a Quente CA 25 CA 50 FIOS Ø 10 Laminação a Frio CA 60 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 36 Resistência é a máxima força de tração que a barra suporta dividida pela área de seção transversal inicial do corpodeprova Alongamento na ruptura é o aumento do comprimento do corpodeprova correspondente à ruptura expresso em porcentagem Os aços para concreto armado devem obedecer aos requisitos Ductilidade e homogeneidade Valor elevado da relação entre limite de resistência e limite de escoamento Soldabilidade Resistência razoável a corrosão A ductilidade é a capacidade do material de se deformar plasticamente sem romper Pode ser medida por meio do alongamento ε ou da estricção Quanto mais dúctil o aço maior é a redução de área ou o alongamento antes da ruptura Um material não dúctil como por exemplo o ferro fundido não se deforma plasticamente antes da ruptura Dizse então que o material possui comportamento frágil O aço para armadura passiva tem massa específica de 7850 kgm3 coeficiente de dilatação térmica α 105 C para 20C T 150C e módulo de elasticidade de 210 GPa 36 ADERÊNCIA A própria existência do material concreto armado decorre da solidariedade existente entre o concreto simples e as barras de aço Qualitativamente a aderência pode ser dividida em aderência por adesão aderência por atrito e aderência mecânica A adesão resulta das ligações físicoquímicas que se estabelecem na interface dos dois materiais durante as reações de pega do cimento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 37 O atrito é notado ao se processar o arrancamento da barra de aço do bloco de concreto que a envolve As forças de atrito dependem do coeficiente de atrito entre aço e o concreto o qual é função da rugosidade superficial da barra e decorrem da existência de uma pressão transversal exercida pelo concreto sobre a barra A aderência mecânica é decorrente da existência de nervuras ou entalhes na superfície da barra Este efeito também é encontrado nas barras lisas em razão da existência de irregularidades próprias originadas no processo de laminação das barras As nervuras e os entalhes têm como função aumentar a aderência da barra ao concreto proporcionando a atuação conjunta do aço e do concreto A influência desse comportamento solidário entre o concreto simples e as barras de aço é medida quantitativamente através do coeficiente de conformação superficial das barras η A NBR 7480 1996 estabelece os valores mínimos para η1 apresentados na Tabela 32 Tabela 32 Valores mínimos de η para φ 10mm As barras da categoria CA50 são obrigatoriamente providas de nervuras transversais ou oblíquas Os fios de diâmetro nominal inferior a 10mm CA60 podem ser lisos η 10 mas os fios de diâmetro nominal igual a 10mm ou superior devem ter obrigatoriamente entalhes ou nervuras de forma a atender o coeficiente de conformação superficial η CA25 CA50 CA60 15 10 15 Categoria Coeficiente de conformação superficial mínimo para Ø 10mm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aços para armaduras 38 37 DIAGRAMA DE CÁLCULO O diagrama de cálculo tanto para aço tratado a quente quanto tratado a frio é o indicado na Figura 33 Figura 33 Diagrama tensãodeformação para cálculo fyk resistência característica do aço à tração fyd resistência de cálculo do aço à tração igual a fyk 115 fyck resistência característica do aço à compressão se não houver determinação experimental fyck fyk fycd resistência de cálculo do aço à compressão igual a fyck 115 εyd deformação específica de escoamento valor de cálculo O diagrama indicado na Figura 33 representa um material elastoplástico perfeito Os alongamentos εs são limitados a 10o e os encurtamentos a 35o no caso de flexão simples ou composta e a 2o no caso de compressão simples Esses encurtamentos são fixados em função dos valores máximos adotados para o material concreto ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 4 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 2 de abril 2003 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL A concepção estrutural ou simplesmente estruturação também chamada de lançamento da estrutura consiste em escolher um sistema estrutural que constitua a parte resistente do edifício Essa etapa uma das mais importantes no projeto estrutural implica em escolher os elementos a serem utilizados e definir suas posições de modo a formar um sistema estrutural eficiente capaz de absorver os esforços oriundos das ações atuantes e transmitilos ao solo de fundação A solução estrutural adotada no projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas relativos à capacidade resistente ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura 41 DADOS INICIAIS A concepção estrutural deve levar em conta a finalidade da edificação e atender tanto quanto possível às condições impostas pela arquitetura O projeto arquitetônico representa de fato a base para a elaboração do projeto estrutural Este deve prever o posicionamento dos elementos de forma a respeitar a distribuição dos diferentes ambientes nos diversos pavimentos Mas não se deve esquecer de que a estrutura deve também ser coerente com as características do solo no qual ela se apóia O projeto estrutural deve ainda estar em harmonia com os demais projetos tais como de instalações elétricas hidráulicas telefonia segurança som televisão ar condicionado computador e outros de modo a permitir a coexistência com qualidade de todos os sistemas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 42 Os edifícios podem ser constituídos por exemplo pelos seguintes pavimentos subsolo térreo tipo cobertura e casa de máquinas além dos reservatórios inferiores e superiores Existindo pavimentotipo o que em geral ocorre em edifícios de vários andares iniciase pela estruturação desse pavimento Caso não haja pavimentos repetidos partese da estruturação dos andares superiores seguindo na direção dos inferiores A definição da forma estrutural parte da localização dos pilares e segue com o posicionamento das vigas e das lajes nessa ordem sempre levando em conta a compatibilização com o projeto arquitetônico 42 SISTEMAS ESTRUTURAIS Inúmeros são os tipos de sistemas estruturais que podem ser utilizados Nos edifícios usuais empregamse lajes maciças ou nervuradas moldadas no local pré fabricadas ou ainda parcialmente préfabricadas Em casos específicos de grandes vãos por exemplo pode ser aplicada protensão para melhorar o desempenho da estrutura seja em termos de resistência seja para controle de deformações ou de fissuração Alternativamente podem ser utilizadas lajes sem vigas apoiadas diretamente sobre os pilares com ou sem capitéis casos em que são denominadas lajescogumelo e lajes planas ou lisas respectivamente No alinhamento dos pilares podem ser consideradas vigas embutidas com altura considerada igual à espessura das lajes sendo também denominadas vigasfaixa A escolha do sistema estrutural depende de fatores técnicos e econômicos dentre eles capacidade do meio técnico para desenvolver o projeto e para executar a obra e disponibilidade de materiais mãodeobra e equipamentos necessários para a execução USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 43 Nos casos de edifícios residenciais e comerciais a escolha do tipo de estrutura é condicionada essencialmente por fatores econômicos pois as condições técnicas para projeto e construção são de conhecimento da Engenharia de Estruturas e de Construção Este trabalho tratará dos sistemas estruturais constituídos por lajes maciças de concreto armado moldadas no local e apoiadas sobre vigas Posteriormente serão consideradas também as lajes nervuradas e as demais ora mencionadas 43 CAMINHO DAS AÇÕES O sistema estrutural de um edifício deve ser projetado de modo que seja capaz de resistir não só às ações verticais mas também às ações horizontais que possam provocar efeitos significativos ao longo da vida útil da construção As ações verticais são constituídas por peso próprio dos elementos estruturais pesos de revestimentos e de paredes divisórias além de outras ações permanentes ações variáveis decorrentes da utilização cujos valores vão depender da finalidade do edifício e outras ações específicas como por exemplo o peso de equipamentos As ações horizontais onde não há ocorrência de abalos sísmicos constituemse basicamente da ação do vento e do empuxo em subsolos O percurso das ações verticais tem início nas lajes que suportam além de seus pesos próprios outras ações permanentes e as ações variáveis de uso incluindo eventualmente peso de paredes que se apóiem diretamente sobre elas As lajes transmitem essas ações para as vigas através das reações de apoio As vigas suportam seus pesos próprios as reações provenientes das lajes peso de paredes e ainda ações de outros elementos que nelas se apóiem como por exemplo as reações de apoio de outras vigas Em geral as vigas trabalham à flexão e ao cisalhamento e transmitem as ações para os elementos verticais pilares e paredes estruturais através das respectivas reações USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 44 Os pilares e as paredes estruturais recebem as reações das vigas que neles se apóiam as quais juntamente com o peso próprio desses elementos verticais são transferidas para os andares inferiores e finalmente para o solo através dos respectivos elementos de fundação As ações horizontais devem igualmente ser absorvidas pela estrutura e transmitidas para o solo de fundação No caso do vento o caminho dessas ações tem início nas paredes externas do edifício onde atua o vento Esta ação é resistida por elementos verticais de grande rigidez tais como pórticos paredes estruturais e núcleos que formam a estrutura de contraventamento Os pilares de menor rigidez pouco contribuem na resistência às ações laterais e portanto costumam ser ignorados na análise da estabilidade global da estrutura As lajes exercem importante papel na distribuição dos esforços decorrentes do vento entre os elementos de contraventamento pois possuem rigidez praticamente infinita no seu plano promovendo assim o travamento do conjunto Neste trabalho não serão abordadas as ações horizontais visto que trata apenas de edifícios de pequeno porte em que os efeitos de tais ações são pouco significativos 44 POSIÇÃO DOS PILARES Recomendase iniciar a localização dos pilares pelos cantos e a partir daí pelas áreas que geralmente são comuns a todos os pavimentos área de elevadores e de escadas e onde se localizam na cobertura a casa de máquinas e o reservatório superior Em seguida posicionamse os pilares de extremidade e os internos buscando embutilos nas paredes ou procurando respeitar as imposições do projeto de arquitetura Devese sempre que possível dispor os pilares alinhados a fim de formar pórticos com as vigas que os unem Os pórticos assim formados contribuem significativamente na estabilidade global do edifício USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 45 Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultem distâncias entre seus eixos da ordem de 4 m a 6 m Distâncias muito grandes entre pilares produzem vigas com dimensões incompatíveis e acarretam maiores custos à construção maiores seções transversais dos pilares maiores taxas de armadura dificuldades nas montagens da armação e das formas etc Por outro lado pilares muito próximos acarretam interferência nos elementos de fundação e aumento do consumo de materiais e de mãodeobra afetando desfavoravelmente os custos Devese adotar 19cm pelo menos para a menor dimensão do pilar e escolher a direção da maior dimensão de maneira a garantir adequada rigidez à estrutura nas duas direções Posicionados os pilares no pavimentotipo devese verificar suas interferências nos demais pavimentos que compõem a edificação Assim por exemplo devese verificar se o arranjo dos pilares permite a realização de manobras dos carros nos andares de garagem ou se não afetam as áreas sociais tais como recepção sala de estar salão de jogos e de festas etc Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição dos pilares entre os diversos pavimentos pode haver a necessidade de um pavimento de transição Nesta situação a prumada do pilar é alterada empregandose uma viga de transição que recebe a carga do pilar superior e a transfere para o pilar inferior na sua nova posição Nos edifícios de muitos andares devem ser evitadas grandes transições pois os esforços na viga podem resultar exagerados provocando aumento significativo de custos 45 POSIÇÕES DE VIGAS E LAJES A estruturação segue com o posicionamento das vigas nos diversos pavimentos Além daquelas que ligam os pilares formando pórticos outras vigas podem ser necessárias seja para dividir um painel de laje com grandes dimensões seja para suportar uma parede divisória e evitar que ela se apóie diretamente sobre a laje USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 46 É comum por questões estéticas e com vistas às facilidades no acabamento e ao melhor aproveitamento dos espaços adotar larguras de vigas em função da largura das alvenarias As alturas das vigas ficam limitadas pela necessidade de prever espaços livres para aberturas de portas e de janelas Como as vigas delimitam os painéis de laje suas disposições devem levar em consideração o valor econômico do menor vão das lajes que para lajes maciças é da ordem de 35 m a 50 m O posicionamento das lajes fica então praticamente definido pelo arranjo das vigas 46 DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS De posse do arranjo dos elementos estruturais podem ser feitos os desenhos preliminares de formas de todos os pavimentos inclusive cobertura e caixa dágua com as dimensões baseadas no projeto arquitetônico As larguras das vigas são adotadas para atender condições de arquitetura ou construtivas Sempre que possível devem estar embutidas na alvenaria e permitir a passagem de tubulações O cobrimento mínimo das faces das vigas em relação às das paredes acabadas variam de 15cm a 25cm em geral Costumase adotar para as vigas no máximo três pares de dimensões diferentes para as seções transversais O ideal é que todas elas tenham a mesma altura para simplificar o cimbramento Em edifícios residenciais é conveniente que as alturas das vigas não ultrapassem 60cm para não interferir nos vãos de portas e de janelas A numeração dos elementos lajes vigas e pilares deve ser feita da esquerda para a direita e de cima para baixo Iniciase com a numeração das lajes L1 L2 L3 etc sendo que seus números devem ser colocados próximos do centro delas Em seguida são numeradas as vigas V1 V2 V3 etc Seus números devem ser colocados no meio USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Concepção Estrutural 47 do primeiro tramo Finalmente são colocados os números dos pilares P1 P2 P3 etc posicionados embaixo deles na forma estrutural Devem ser colocadas as cotas parciais e totais em cada direção posicionadas fora do contorno do desenho para facilitar a visualização Ao final obtémse o anteprojeto de todos os pavimentos inclusive cobertura e caixa dágua e podese prosseguir com o prédimensionamento de lajes vigas e pilares PRÉDIMENSIONAMENTO CAPÍTULO 5 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 3 abr 2003 PRÉDIMENSIONAMENTO O prédimensionamento dos elementos estruturais é necessário para que se possa calcular o peso próprio da estrutura que é a primeira parcela considerada no cálculo das ações O conhecimento das dimensões permite determinar os vãos equivalentes e as rigidezes necessários no cálculo das ligações entre os elementos 51 PRÉDIMENSIONAMENTO DAS LAJES A espessura das lajes pode ser obtida com a expressão Figura 51 c d h 2 φ d altura útil da laje φ diâmetro das barras c cobrimento nominal da armadura Figura 51 Seção transversal da laje USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Prédimensionamento 52 a Cobrimento da armadura Cobrimento nominal da armadura c é o cobrimento mínimo cmin acrescido de uma tolerância de execução c c cmin c O projeto e a execução devem considerar esse valor do cobrimento nominal para assegurar que o cobrimento mínimo seja respeitado ao longo de todo o elemento Nas obras correntes c 10mm Quando houver um controle rigoroso da qualidade da execução pode ser adotado c 5mm Mas a exigência desse controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto O valor do cobrimento depende da classe de agressividade do ambiente Algumas classes estão indicadas na Tabela 51 Tabela 51 Classes de agressividade ambiental Para essas classes I e II e para c 10mm a NBR 6118 2001 recomenda os cobrimentos indicados na Tabela 52 Tabela 52 Cobrimento nominal para c 10mm Seco Úmido ou ciclos de Seco Úmido ou ciclos de UR 65 molhagem e secagem UR 65 molhagem e secagem Rural I I I II Urbano I II I II Macroclima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral Microclima I II Laje 20 25 VigaPilar 25 30 Classe de agressividade ambiental Cobrimento nominal mm Componente ou elemento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Prédimensionamento 53 b Altura útil da laje Para lajes com bordas apoiadas ou engastadas a altura útil pode ser estimada por meio da seguinte expressão dest 25 01 x n l 100 l l l x y 0 7 n número de bordas engastadas l x menor vão l y maior vão Para lajes com bordas livres como as lajes em balanço deve ser utilizado outro processo c Espessura mínima A NBR 6118 2001 especifica que nas lajes maciças devem ser respeitadas as seguintes espessuras mínimas 5 cm para lajes de cobertura não em balanço 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN 52 PRÉDIMENSIONAMENTO DAS VIGAS Uma estimativa grosseira para a altura das vigas é dada por tramos internos hest 12 l0 tramos externos ou vigas biapoiadas hest 10 l0 balanços hest 5 l0 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Prédimensionamento 54 Num tabuleiro de edifício não é recomendável utilizar muitos valores diferentes para altura das vigas de modo a facilitar e otimizar os trabalhos de cimbramento Usualmente adotamse no máximo duas alturas diferentes Tal procedimento pode eventualmente gerar a necessidade de armadura dupla em alguns trechos das vigas Os tramos mais críticos em termos de vãos excessivos ou de grandes carregamentos devem ter suas flechas verificadas posteriormente Para armadura longitudinal em uma única camada a relação entre a altura total e a altura útil é dada pela expressão Figura 52 2 φ φl t c d h c cobrimento φt diâmetro dos estribos φl diâmetro das barras longitudinais Figura 52 Seção transversal da viga USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Prédimensionamento 55 53 PRÉDIMENSIONAMENTO DOS PILARES Iniciase o prédimensionamento dos pilares estimandose sua carga por exemplo através do processo das áreas de influência Este processo consiste em dividir a área total do pavimento em áreas de influência relativas a cada pilar e a partir daí estimar a carga que eles irão absorver A área de influência de cada pilar pode ser obtida dividindose as distâncias entre seus eixos em intervalos que variam entre 045l e 055l dependendo da posição do pilar na estrutura conforme o seguinte critério ver Figura 53 Figura 53 Áreas de influência dos pilares 045l pilar de extremidade e de canto na direção da sua menor dimensão 055l complementos dos vãos do caso anterior 050l pilar de extremidade e de canto na direção da sua maior dimensão No caso de edifícios com balanço considerase a área do balanço acrescida das respectivas áreas das lajes adjacentes tomandose na direção do balanço largura igual a 050l sendo l o vão adjacente ao balanço USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Prédimensionamento 56 Convém salientar que quanto maior for a uniformidade no alinhamento dos pilares e na distribuição dos vãos e das cargas maior será a precisão dos resultados obtidos Há que se salientar também que em alguns casos este processo pode levar a resultados muito imprecisos Após avaliar a força nos pilares pelo processo das áreas de influência é determinado o coeficiente de majoração da força normal α que leva em conta as excentricidades da carga sendo considerados os valores α 13 pilares internos ou de extremidade na direção da maior dimensão α 15 pilares de extremidade na direção da menor dimensão α 18 pilares de canto A seção abaixo do primeiro andartipo é estimada então considerandose compressão simples com carga majorada pelo coeficiente α utilizandose a seguinte expressão f 69 2 001 f 0 7 n A 30 A ck ck c α Ac b x h área da seção de concreto cm2 α coeficiente que leva em conta as excentricidades da carga A área de influência do pilar m2 n número de pavimentostipo n07 número que considera a cobertura com carga estimada em 70 da relativa ao pavimentotipo fck resistência característica do concreto kNcm2 A existência de caixa dágua superior casa de máquina e outros equipamentos não pode ser ignorada no prédimensionamento dos pilares devendo se estimar os carregamentos gerados por eles os quais devem ser considerados nos pilares que os sustentam Para as seções dos pilares inferiores o procedimento é semelhante devendo ser estimadas as cargas totais que esses pilares suportam BASES PARA CÁLCULO CAPÍTULO 6 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 6 maio 2003 BASES PARA CÁLCULO 61 ESTADOS LIMITES As estruturas de concreto armado devem ser projetadas de modo que apresentem segurança satisfatória Esta segurança está condicionada à verificação dos estados limites que são situações em que a estrutura apresenta desempenho inadequado à finalidade da construção ou seja são estados em que a estrutura se encontra imprópria para o uso Os estados limites podem ser classificados em estados limites últimos ou estados limites de serviço conforme sejam referidos à situação de ruína ou de uso em serviço respectivamente Assim a segurança pode ser diferenciada com relação à capacidade de carga e à capacidade de utilização da estrutura 611 Estados Limites Últimos São aqueles que correspondem à máxima capacidade portante da estrutura ou seja sua simples ocorrência determina a paralização no todo ou em parte do uso da construção São exemplos a Perda de equilíbrio como corpo rígido tombamento escorregamento ou levantamento b Resistência ultrapassada ruptura do concreto c Escoamento excessivo da armadura 0 εs 1 d Aderência ultrapassada escorregamento da barra e Transformação em mecanismo estrutura hipostática f Flambagem g Instabilidade dinâmica ressonância h Fadiga cargas repetitivas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 62 612 Estados Limites de Serviço São aqueles que correspondem a condições precárias em serviço Sua ocorrência repetição ou duração causam efeitos estruturais que não respeitam condições especificadas para o uso normal da construção ou que são indícios de comprometimento da durabilidade Podem ser citados como exemplos a Danos estruturais localizados que comprometem a estética ou a durabilidade da estrutura fissuração b Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou o seu aspecto estético flechas c Vibrações excessivas que causem desconforto a pessoas ou danos a equipamentos sensíveis 62 AÇÕES Ações são causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas Na prática as forças e as deformações impostas pelas ações são consideradas como se fossem as próprias ações sendo as forças chamadas de ações diretas e as deformações ações indiretas 621 Classificação As ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas segundo sua variabilidade com o tempo em permanentes variáveis e excepcionais a Ações permanentes As ações permanentes são aquelas que ocorrem com valores constantes ou com pequena variação em torno da média durante praticamente toda a vida da construção Elas podem ser subdivididas em ações permanentes diretas peso próprio da estrutura ou de elementos construtivos permanentes paredes pisos e USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 63 revestimentos por exemplo peso dos equipamentos fixos empuxos de terra não removíveis etc e ações permanentes indiretas retração recalques de apoio protensão Em alguns casos particulares como reservatórios e piscinas o empuxo de água pode ser considerado uma ação permanente direta b Ações variáveis São aquelas cujos valores têm variação significativa em torno da média durante a vida da construção Podem ser fixas ou móveis estáticas ou dinâmicas pouco variáveis ou muito variáveis São exemplos cargas de uso pessoas mobiliário veículos etc e seus efeitos frenagem impacto força centrífuga vento variação de temperatura empuxos de água alguns casos de abalo sísmico etc c Ações excepcionais Correspondem a ações de duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção mas que devem ser consideradas no projeto de determinadas estruturas São por exemplo as ações decorrentes de explosões choques de veículos incêndios enchentes ou abalos sísmicos excepcionais 63 VALORES REPRESENTATIVOS No cálculo dos esforços solicitantes devem ser identificadas e quantificadas todas as ações passíveis de atuar durante a vida da estrutura e capazes de produzir efeitos significativos no comportamento da estrutura 631 Para Estados Limites Últimos Com vistas aos estados limites últimos as ações podem ser quantificadas por seus valores representativos que podem ser valores característicos valores característicos nominais valores reduzidos de combinação e valores convencionais excepcionais USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 64 a Valores característicos Fk Os valores característicos quantificam as ações cuja variabilidade no tempo pode ser adequadamente expressa através de distribuições de probabilidade Os valores característicos das ações permanentes que provocam efeitos desfavoráveis na estrutura correspondem ao quantil de 95 da respectiva distribuição de probabilidade valor característico superior Fk sup Para as ações permanentes favoráveis os valores característicos correspondem ao quantil de 5 de suas distribuições valor característico inferior Fk inf Para as ações variáveis os valores característicos correspondem a valores que têm probabilidade entre 25 e 35 de serem ultrapassados no sentido desfavorável durante um período de 50 anos As ações variáveis que produzam efeitos favoráveis não são consideradas b Valores característicos nominais Os valores característicos nominais quantificam as ações cuja variabilidade no tempo não pode ser adequadamente expressa através de distribuições de probabilidade Para as ações com baixa variabilidade com valores característicos superior e inferior diferindo muito pouco entre si adotamse como característicos os valores médios das respectivas distribuições c Valores reduzidos de combinação Os valores reduzidos de combinação são empregados quando existem ações variáveis de naturezas distintas com possibilidade de ocorrência simultânea Esses valores são determinados a partir dos valores característicos através da expressão ψ0 Fk O coeficiente de combinação 0 ψ leva em conta o fato de que é muito pouco provável que essas ações variáveis ocorram simultaneamente com seus valores característicos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 65 d Valores convencionais excepcionais São os valores arbitrados para as ações excepcionais Em geral esses valores são estabelecidos através de acordo entre o proprietário da construção e as autoridades governamentais que nela tenham interesse 632 Para Estados Limites de Serviço Com vistas aos estados limites de serviço os valores representativos das ações podem ser valores reduzidos de utilização e valores raros de utilização a Valores reduzidos de utilização Os valores reduzidos de utilização são determinados a partir dos valores característicos multiplicandoos por coeficientes de redução Distinguemse os valores freqüentes ψ1Fk e os valores quasepermanentes ψ2 Fk das ações variáveis Os valores freqüentes decorrem de ações variáveis que se repetem muitas vezes ou atuam por mais de 5 da vida da construção Os valores quase permanentes por sua vez decorrem de ações variáveis de longa duração podem atuar em pelo menos metade da vida da construção como por exemplo a fluência b Valores raros de utilização São valores representativos de ações que atuam com duração muito curta sobre a estrutura no máximo algumas horas durante a vida da construção como por exemplo um abalo sísmico 64 TIPOS DE CARREGAMENTO Entendese por tipo de carregamento o conjunto das ações que têm probabilidade não desprezível de atuarem simultaneamente sobre a estrutura durante um determinado período de tempo préestabelecido Pode ser de longa duração ou transitório conforme seu tempo de duração USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 66 Em cada tipo de carregamento as ações devem ser combinadas de diferentes maneiras a fim de que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura Devem ser estabelecidas tantas combinações quantas forem necessárias para que a segurança seja verificada em relação a todos os possíveis estados limites últimos e de serviço Podese distinguir os seguintes tipos de carregamento passíveis de ocorrer durante a vida da construção carregamento normal carregamento especial carregamento excepcional e carregamento de construção 641 Carregamento Normal O carregamento normal decorre do uso previsto para a construção podendose admitir que tenha duração igual à vida da estrutura Este tipo de carregamento deve ser considerado tanto na verificação de estados limites últimos quanto nos de serviço Um exemplo deste tipo de carregamento é dado pela consideração em conjunto das ações permanentes e variáveis g q 642 Carregamento Especial O carregamento especial é transitório e de duração muito pequena em relação à vida da estrutura sendo em geral considerado apenas na verificação de estados limites últimos Este tipo de carregamento decorre de ações variáveis de natureza ou intensidade especiais cujos efeitos superam os do carregamento normal O vento é um exemplo de carregamento especial 643 Carregamento Excepcional O carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais sendo portanto de duração extremamente curta e capaz de produzir efeitos catastróficos Este tipo de carregamento deve ser considerado apenas na verificação de estados limites últimos e para determinados tipos de construção para as quais não possam ser tomadas ainda na fase de concepção estrutural medidas que anulem ou atenuem os efeitos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 67 644 Carregamento de Construção O carregamento de construção é transitório pois como a própria denominação indica referese à fase de construção sendo considerado apenas nas estruturas em que haja risco de ocorrência de estados limites já na fase executiva Devem ser estabelecidas tantas combinações quantas forem necessárias para a verificação das condições de segurança em relação a todos os estados limites que são de se temer durante a fase de construção Como exemplo temse cimbramento e descimbramento 65 SEGURANÇA Uma estrutura apresenta segurança se tiver condições de suportar todas as ações possíveis de ocorrer durante sua vida útil sem atingir um estado limite 651 Métodos Probabilísticos Os métodos probabilísticos para verificação da segurança são baseados na probabilidade de ruína conforme indica a Figura 61 O valor da probabilidade de ruína p é fixado pelas normas e embutido nos parâmetros especificados levando em consideração aspectos técnicos políticos éticos e econômicos Por questão de economia em geral adotase 01 10 6 p Figura 61 Esquema dos métodos probabilísticos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 68 652 Método Semiprobabilístico No método semiprobabilístico continuase com números empíricos baseados na tradição mas se introduzem dados estatísticos e conceitos probabilísticos na medida do possível É o melhor que se tem condições de aplicar atualmente sendo uma situação transitória até se conseguir maior aproximação com o método probabilístico puro Sendo Rk e Sk os valores característicos da resistência e da solicitação respectivamente e Rd e Sd os seus valores de cálculo o método pode ser representado pelo esquema da Figura 62 Figura 62 Esquema do método dos coeficientes parciais semiprobabilístico A idéia básica é a Majorar ações e esforços solicitantes valores representativos das ações resultando nas ações e solicitações de cálculo de forma que a probabilidade desses valores serem ultrapassados é pequena b Reduzir os valores característicos das resistências fk resultando nas resistências de cálculo com pequena probabilidade dos valores reais atingirem esse patamar c Equacionar a situação de ruína fazendo com que o esforço solicitante de cálculo seja igual à resistência de cálculo USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 69 Os coeficientes de majoração das ações e das solicitações são representados por γf Os coeficientes de minoração das resistências são indicados por γm sendo γc para o concreto e γs para o aço 66 ESTÁDIOS O procedimento para se caracterizar o desempenho de uma seção de concreto consiste em aplicar um carregamento que se inicia do zero e vai até a ruptura Às diversas fases pelas quais passa a seção de concreto ao longo desse carregamento dáse o nome de estádios Distinguemse basicamente três fases distintas estádio I estádio II e estádio III 661 Estádio I Esta fase corresponde ao início do carregamento As tensões normais que surgem são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de tração Temse um diagrama linear de tensões ao longo da seção transversal da peça sendo válida a lei de Hooke Figura 63 Figura 63 Comportamento do concreto na flexão pura Estádio I Levandose em consideração a baixa resistência do concreto à tração se comparada com a resistência à compressão percebese a inviabilidade de um possível dimensionamento neste estádio USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 610 É no estádio I que é feito o cálculo do momento de fissuração que separa o estádio I do estádio II Conhecido o momento de fissuração é possível calcular a armadura mínima de modo que esta seja capaz de absorver com adequada segurança as tensões causadas por um momento fletor de mesma magnitude Portanto o estádio I termina quando a seção fissura 662 Estádio II Neste nível de carregamento o concreto não mais resiste à tração e a seção se encontra fissurada na região de tração A contribuição do concreto tracionado deve ser desprezada No entanto a parte comprimida ainda mantém um diagrama linear de tensões permanecendo válida a lei de Hooke Figura 64 Figura 64 Comportamento do concreto na flexão pura Estádio II Basicamente o estádio II serve para a verificação da peça em serviço Como exemplos citamse o estado limite de abertura de fissuras e o estado limite de deformações excessivas Com a evolução do carregamento as fissuras caminham no sentido da borda comprimida a linha neutra também e a tensão na armadura cresce podendo atingir o escoamento ou não O estádio II termina com o inicio da plastificação do concreto comprimido USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 611 663 Estádio III No estádio III a zona comprimida encontrase plastificada e o concreto dessa região está na iminência da ruptura Figura 65 Admitese que o diagrama de tensões seja da forma parabólicoretangular também conhecido como diagrama parábolaretângulo Figura 65 Comportamento do concreto na flexão pura Estádio III A Norma Brasileira permite para efeito de cálculo que se trabalhe com um diagrama retangular equivalente Figura 66 A resultante de compressão e o braço em relação à linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas Figura 66 Diagrama retangular USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 612 É no estádio III que é feito o dimensionamento situação em que denomina cálculo na ruptura ou cálculo no estádio III 664 Diagramas de Tensão O diagrama parábolaretângulo Figura 65 é formado por um trecho retangular para deformação de compressão variando de 02 até 035 com tensão de compressão igual a 085fcd e um trecho no qual a tensão varia segundo uma parábola do segundo grau O diagrama retangular Figura 66 também é permitido pela NBR 6118 A altura do diagrama é igual a 08x A tensão é 085fcd no caso da largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminuir a partir desta para a borda comprimida e 080fcd no caso contrário 67 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA São situações em que pelo menos um dos materiais o aço ou o concreto atinge o seu limite de deformação alongamento último do aço εcu 10 encurtamento último do concreto εcu 035 na flexão e εcu 02 na compressão simples O primeiro caso é denominado ruína por deformação plástica excessiva do aço e o segundo ruína por ruptura do concreto Ambos serão estudados nos itens seguintes e referemse a uma seção como a indicada na Figura 67 No início algumas considerações devem ser ressaltadas A primeira refere se à perfeita aderência entre o aço e o concreto A segunda diz respeito à Hipótese de Bernoulli de que seções planas permanecem planas durante sua deformação A terceira está relacionada à nomenclatura quando mencionada a flexão sem que se especifique qual delas simples ou composta entendese que pode ser tanto uma quanto a outra USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 613 Figura 67 Seção retangular com armadura dupla 671 Ruína por Deformação Plástica Excessiva Para que o aço atinja seu alongamento máximo é necessário que a seção seja solicitada por tensões de tração capazes de produzir na armadura As uma deformação específica de 1 εs 1 Essas tensões podem ser provocadas por esforços tais como Tração uniforme ou nãouniforme Flexão simples ou composta Considerese a Figura 68 Nela se encontram à esquerda uma vista lateral da peça de seção indicada anteriormente Figura 67 e à direita o diagrama em que serão marcadas as deformações específicas Figura 68 Vista lateral da peça e limites das deformações USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 614 Nesse diagrama a linha tracejada à esquerda corresponde ao alongamento máximo de 1 limite do aço e a linha tracejada à direita ao encurtamento máximo do concreto na flexão 035 A linha cheia corresponde à deformação nula ou seja separa as deformações de alongamento e as de encurtamento a Reta a A linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1 é denominada reta a indicada também na Figura 69 Ela pode ser decorrente de tração simples se as áreas de armadura As e As forem iguais ou de uma tração excêntrica em que a diferença entre As e As seja tal que garanta o alongamento uniforme da seção Figura 69 Alongamento de 1 Reta a Para a notação ora utilizada a posição da linha neutra é indicada pela distância x até a borda superior da seção sendo esta distância considerada positiva quando a linha neutra estiver abaixo da borda superior e negativa no caso contrário Como para a reta a não há pontos de deformação nula considerase que x tenda para USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 615 b Domínio 1 Para diagramas de deformação em que ainda se tenha tração em toda a seção mas nãouniforme com εs 1 na armadura As e deformações na borda superior variando entre 1 e zero temse os diagramas de deformação num intervalo denominado domínio 1 Figura 610 Neste caso a posição x da linha neutra varia entre e zero O domínio 1 corresponde a tração excêntrica Figura 610 Domínio 1 c Domínio 2 O domínio 2 corresponde a alongamento εs 1 e compressão na borda superior com εc variando entre zero e 035 Figura 611 Neste caso a linha neutra já se encontra dentro da seção correspondendo a flexão simples ou a flexão composta com força normal de tração ou de compressão O domínio 2 é o último caso em que a ruína ocorre com deformação plástica excessiva da armadura Figura 611 Domínio 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 616 672 Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão De agora em diante serão considerados os casos em que a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido Como já foi visto denominase flexão a qualquer estado de solicitações normais em que se tenha a linha neutra dentro da seção Na flexão a ruptura ocorre com deformação específica de 035 na borda comprimida a Domínio 3 No domínio 3 a deformação εcu 035 na borda comprimida e εs varia entre 1 e εyd Figura 612 ou seja o concreto encontrase na ruptura e o aço tracionado em escoamento Nessas condições a seção é denominada subarmada Tanto o concreto como o aço trabalham com suas resistências de cálculo Portanto há o aproveitamento máximo dos dois materiais A ruína ocorre com aviso pois a peça apresenta deslocamentos visíveis e intensa fissuração Figura 612 Domínio 3 b Domínio 4 No domínio 4 permanece a deformação εcu 035 na borda comprimida e εs varia entre εyd e zero Figura 613 ou seja o concreto encontrase na ruptura mas o aço tracionado não atinge o escoamento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 617 Portanto ele é mal aproveitado Neste caso a seção é denominada superarmada A ruína ocorre sem aviso pois os deslocamentos são pequenos e há pouca fissuração Figura 613 Domínio 4 εyd εs 0 c Domínio 4a No domínio 4a Figura 614 as duas armaduras são comprimidas A ruína ainda ocorre com εcu 035 na borda comprimida A deformação na armadura As é muito pequena e portanto essa armadura é muito mal aproveitada A linha neutra encontrase entre d e h Esta situação só é possível na flexocompressão Figura 614 Domínio 4a 673 Ruína de Seção Inteiramente Comprimida Os dois últimos casos de deformações na ruína domínio 5 e a reta b encontramse nas Figuras 615 e 616 respectivamente USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 618 Figura 615 Domínio 5 Figura 616 Reta b a Domínio 5 No domínio 5 temse a seção inteiramente comprimida x h com εc constante e igual a 02 na linha distante 37 h da borda mais comprimida Figura 615 Na borda mais comprimida εcu varia de 035 a 02 O domínio 5 só é possível na compressão excêntrica b Reta b Na reta b temse deformação uniforme de compressão com encurtamento igual a 02 Figura 616 Neste caso x tende para USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 619 674 Diagrama Único da NBR6118 2001 Para todos os domínios de deformação com exceção das retas a e b a posição da linha neutra pode ser determinada por relações de triângulos Os domínios de deformação podem ser representados em um único diagrama indicado na Figura 617 Figura 617 Domínios de deformação na ruína Verificase nesta figura que da reta a para os domínios 1 e 2 o diagrama de deformações gira em torno do ponto A o qual corresponde à ruína por deformação plástica excessiva da armadura As Nos domínios 3 4 e 4a o diagrama de deformações gira em torno do ponto B relativo à ruptura do concreto com εcu 035 na borda comprimida Finalmente verificase que do domínio 5 e para a reta b o diagrama gira em torno do ponto C correspondente à deformação de 02 e distante 37 h da borda mais comprimida FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA EQUAÇÕES CAPÍTULO 7 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 12 maio 2003 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA EQUAÇÕES 71 HIPÓTESES No dimensionamento à flexão simples os efeitos do esforço cortante podem ser considerados separadamente Portanto será considerado somente o momento fletor ou seja flexão pura Admitese a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as envolve ou seja a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do concreto adjacente A resistência do concreto à tração é desprezada ou seja na região do concreto sujeita à deformação de alongamento a tensão no concreto é considerada nula Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais admitese a validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado limite último desde que a relação abaixo seja mantida 2 d l0 l0 distância entre as seções de momento fletor nulo d altura útil da seção Com a manutenção da forma plana da seção as deformações específicas longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a linha neutra USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 72 72 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO Permitese substituir o diagrama parábolaretângulo pelo retangular com altura y 08x e tensão σc 085fcd 085fckγc exceto nos casos em que a seção diminuir a partir da linha neutra no sentido da borda mais comprimida Nestes casos σc 095 085fcd 080fcd Os diagramas de tensões e alguns tipos de seção encontramse nas Figuras 71 e 72 respectivamente 20 085 f 085 f 080 f ou h x y 08x 35 εc cd cd cd Figura 71 Diagrama de tensões 085f σ 085f σ 080f σ 080f σ cd cd cd cd cd cd cd cd Figura 72 Alguns tipos de seção e respectivas tensões para diagrama retangular 73 DOMÍNIOS POSSÍVEIS Na flexão como a tração é resistida pela armadura a posição da linha neutra deve estar entre zero e d domínios 2 3 e 4 já que para x 0 domínio 1 a seção está toda tracionada e para x d domínio 4a e 5 a seção útil está toda comprimida Os domínios citados estão indicados na Figura 73 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 73 Figura 73 Domínios de deformação 731 Domínio 2 No domínio 2 a ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço com a deformação máxima de 10 portanto σsd fyd A deformação no concreto varia de 0 até 35 Figura 74 Logo o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e portanto é mal aproveitado A profundidade da linha neutra varia de 0 até 0259d 0 βx 0259 pois 0 259 10 53 53 s c c x23 ε ε ε β Figura 74 Deformações no Domínio 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 74 732 Domínio 3 No domínio 3 a ruína se dá por ruptura do concreto com deformação máxima εc 35 e na armadura tracionada a deformação varia de εyd até 10 ou seja o aço está em escoamento com tensão σs fyd Figura 75 É a situação ideal de projeto pois há o aproveitamento pleno dos dois materiais A ruína é dúctil pois ela ocorre com aviso havendo fissuração aparente e flechas significativas Dizse que as seção é subarmada A posição da linha neutra varia de 0259d até x34 0259 βx βx34 53 53 yd s c c x34 ε ε ε ε β s yd yd E f ε cu ε sε cu ε sε ε d x yd 10 35 Figura 75 Deformações no Domínio 3 733 Domínio 4 Assim como no domínio 3 o concreto encontrase na ruptura com εc 35 Porém o aço apresenta deformação abaixo de εyd e portanto ele está mal aproveitado As deformações podem ser verificadas na Figura 76 O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica além de perigosa pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço É uma ruptura brusca ou seja ocorre sem aviso Quando as peças de concreto são dimensionadas nesse domínio dizse que elas são superarmadas devendo ser evitadas para isso podese usar uma das alternativas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 75 Aumentar a altura h porque normalmente b é fixo dependendo da espessura da parede em que a viga é embutida Fixar x como xlim34 ou seja βx βx34 e adotar armadura dupla Outra solução é aumentar a resistência do concreto fck sε sε ε yd 0 d x cu ε εcu 35 Figura 76 Deformações no Domínio 4 74 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla Figura 77 considerase que as barras que constituem a armadura estão agrupadas concentradas no centro de gravidade dessas barras ε 35 cd σ sε sε R R M d A A b d h x y 08x s d s s c s c Figura 77 Resistências e deformações na seção USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 76 As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente Rc Rs Rs 0 Md γf x Mk Rc d y2 Rs d d As resultantes no concreto Rc e nas armaduras Rs e Rs são dadas por Rc b y σcd b 08x 085fcd 068 bd βx fcd Rs As σs Rs As σs Para diagrama retangular de tensões no concreto temse que y 08x d y2 d 1 08x2d d 1 04βx Com esses valores resultam as seguintes equações para armadura dupla 068 bd βx fcd As σs As σ s 0 1 Md 068 bd² βx fcd 1 04βx As σs d d 2 Para armadura simples As 0 As equações 1 e 2 resultam 068 bd βx fcd As σ s 0 1 Md 068 bd² βx fcd 1 04 β x 2 75 EXEMPLOS A seguir apresentamse alguns exemplos de cálculo de flexão simples 751 Exemplo 1 Cálculo da altura útil d e da área de aço As para seção retangular a Dados Concreto C25 Aço CA50 b 30 cm Mk 210 kNm βx βx23 0 259 10 53 53 s c c x23 ε ε ε β USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 77 b Equações de equilíbrio 068 bd βx fcd As σ s 0 1 Md 068 bd² βx fcd 1 04βx 2 c Cálculo de d equação 2 0 259 40 1 41 52 d 2 14 2 0259 1000 06830 d 5893 cm h 593 62 cm d Cálculo de As equação 1 0 115 50 A 41 52 0 259 0 68 30 5893 s As 1280 cm² 752 Exemplo 2 Idem exemplo anterior com βx βx34 a Cálculo de βx34 53 53 yd s c c x34 ε ε ε ε β 2 07 210000 50 115 E f s yd yd ε 0 628 2 07 53 53 x34 β b Cálculo de d equação 2 0 628 40 1 41 52 628 d 2 14 2 0 1000 06830 d 4142 cm h 423 45 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 78 c Cálculo de As equação 1 0 115 50 A 41 52 0 628 0 68 30 4142 s As 2181 cm² 753 Exemplo 3 Cálculo da altura útil d e da área de aço As para seção retangular a Dados Concreto C25 Aço CA50 b 30 cm h 45 cm d 42cm Mk 252 kNm b Cálculo de βx Na equação 2 supondo armadura simples Md 068 bd² βx fcd 1 04βx 40 1 41 52 0 68 30 42 41 25200 x x 2 β β 25704βx² 64260βx 35280 0 βx² 25βx 13725 0 βx 0814 βx βx34 Domínio 4 βx 1686 x d portanto descartado c Conclusão Como βx βx34 σ s fyd domínio 4 há solução melhor com armadura dupla 754 Exemplo 4 Idem exemplo anterior com Mk 315 kNm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 79 a Cálculo de βx equação 2 Md 068 bd² βx fcd 1 04βx 40 1 41 52 0 68 30 42 41 31500 x x 2 β β 25704βx² 64260βx 44100 0 βx² 25βx 17157 0 25² 4 x1 x 17157 06128 0 b Conclusão Não há solução para armadura simples Neste caso só é possível armadura dupla exemplo 5 755 Exemplo 5 Solução do exemplo anterior com armadura dupla a Dados Mk 315 kNm βx βx34 0628 d 3 cm b Cálculo de As Equação 2 Md 068 bd² βx fcd 1 04βx As σs d d 14 31500 068 30 422 0628 2514 1 04 0628 As 50115 423 As 819 cm² c Cálculo de As equação 1 068 bd βx fcd As σs As σs 0 068 30 42 0628 2514 819 50115 As 50115 0 As 3029 cm² USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína equações 710 d Armaduras possíveis As 6 Ø 25 Ase 30 cm² 2 camadas 8 Ø 222 Ase 3104 cm² 2 camadas As 2 Ø 25 Ase 10 cm² 3 Ø 20 Ase 945 cm² f Solução adotada Figura 78 Figura 78 Detalhamento da seção FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA TABELAS CAPÍTULO 8 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 27 maio 2003 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA TABELAS O emprego de tabelas facilita muito o cálculo de flexão simples em seção retangular Neste capítulo será revisto o equacionamento na flexão simples com o objetivo de mostrar a obtenção dos coeficientes utilizados nas tabelas além de mostrar o uso dessas tabelas 81 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Para o dimensionamento de peças na flexão simples considerase que as barras que constituem a armadura estão agrupadas e se encontram concentradas no centro de gravidade dessas barras ε 35 cd σ sε sε R R M d A A b d h x y 08x s d s s c s c Figura 81 Resistências e deformações na seção Do equilíbrio de forças e de momentos Figura 81 temse que Rc Rs Rs 0 Md γf Mk Rc d y2 Rs d d USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 82 As resultantes no concreto e nas armaduras podem ser dadas por Rc b y σcd b 08 085fcd 068 bd βx fcd Rs As σs Rs As σs Do diagrama retangular de tensão no concreto temse que y 08x d y2 d 1 08x2d d 1 04βx Substituindose esses valores nas equações de equilíbrio obtêmse 068 bd βx fcd As σs As σ s 0 1 Md 068 bd² βx fcd 1 04βx As σs d d 2 811 Armadura Simples No caso de armadura simples considerase As 0 portanto as equações 1 e 2 se reduzem a 068 bd βx fcd As σ s 0 1 Md 068 bd² βx fcd 1 04 β x 2 812 Armadura Dupla Para armadura dupla temse As 0 sendo válidas as equações 1 e 2 Quando por razões construtivas se tem uma peça cuja seção não pode ser aumentada e seu dimensionamento não é possível nos domínios 2 e 3 resultando portanto no domínio 4 tornase necessária a utilização de armadura dupla uma parte da qual se posiciona na zona tracionada e outra parte na zona comprimida da peça Para o cálculo dessa armadura limitase o valor de βx em βx34 e calculase o momento fletor máximo M1 que a peça resistiria com armadura simples Com este valor calculase a correspondente área de aço tracionado As1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 83 Como este valor do momento M1 é ultrapassado calculase uma seção fictícia com armadura dupla e sem concreto parte comprimida e parte tracionada para resistir o restante do momento M2 obtendose a parcela As2 da armadura tracionada e a armadura As comprimida No final somamse as duas armaduras tracionadas calculadas separadamente 82 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE Para a resolução das equações de equilíbrio de forças e de momentos necessitase de equações que relacionem a posição da linha neutra e as deformações no aço e no concreto Tais relações podem ser obtidas com base na Figura 82 cε ε sε d x d s Figura 82 Deformações no concreto e no aço d x x d x s s c ε ε ε d d 1 x s x s x c β ε β ε β ε 3 s c c x ε ε ε β 3a x x c s 1 β β ε ε 3b x x c s d d β ε ε β 3c USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 84 83 TABELAS PARA ARMADURA SIMPLES Para facilitar o cálculo feito manualmente podese desenvolver tabelas com coeficientes que reduzirão o tempo gasto no dimensionamento Esses coeficientes serão vistos a seguir 831 Coeficiente kc Por definição d 2 c M k bd Da equação 2 temse que 0 4 1 f 068 1 M bd k x cd x d 2 c β β kc f βx fcd onde fcd fck γ c 832 Coeficiente ks Este coeficiente é definido pela expressão d s s M k A d Da equação 1 obtémse que 068 bd βx fcd As σ s Substituindo na equação 2 temse Md As σ s d 1 04βx A partir desta equação definese o coeficiente ks 0 4 1 1 M A d k x s d s s β σ ks f βx σ s nos domínios 2 e 3 temse σ s fyd Os valores de kc e de ks encontramse na Tabela 11 PINHEIRO 1993 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 85 84 TABELAS PARA ARMADURA DUPLA Assim como para armadura simples também foram desenvolvidas tabelas para facilitar o cálculo de seções com armadura dupla d b A A A M M M 1 2 Seção 1 Seção 2 d h d d A As s d s1 s2 s Figura 83 Decomposição da seção para cálculo com armadura dupla De acordo com a decomposição da seção figura 83 temse Seção 1 Resiste ao momento máximo com armadura simples M1 bd² kclim em que kclim é o valor de kc para βx βx34 As1 kslim M1 d Seção 2 Seção sem concreto que resiste ao momento restante M2 Md M1 M2 As2 fyd d d As σs d d 841 Coeficiente ks2 Da equação de equilíbrio da seção 2 resulta d d M f 1 A 2 yd s2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 86 Fazendo yd s2 f 1 k temse d d M k A 2 s2 s2 ks2 f fyd 842 Coeficiente ks De modo análogo ao do item anterior obtémse d d M 1 A 2 s s σ Fazendo s s 1 k σ temse d d M k A 2 s s ks f σs f1 fyd σs f2 fyd dh 843 Armadura Total Os coeficientes ks2 e ks podem ser obtidos na Tabela 12 PINHEIRO 1993 Armadura tracionada As As1 As2 Armadura comprimida As 85 EXEMPLOS A seguir apresentamse alguns exemplos sobre o cálculo de flexão simples USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 87 851 EXEMPLO 1 Calcular a área de aço As para uma seção retangular Dados Concreto classe C25 Aço CA50 b 30 cm h 45 cm Mk 170 kNm h d 3 cm Solução d 45 3 42 cm kc bd² 30 42² 22 ks 0028 Tabela 11 PINHEIRO 1993 Md 14 17000 ks As d Md As 0028 14 17000 42 As 1587 cm² 852 EXEMPLO 2 Dimensionar a seção do exemplo anterior para Mk 315 kNm e armadura dupla Dados d 3 cm βx βx34 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína tabelas 88 29400kNcm 81 30 42 k bd M 2 lim c 2 1 Tabela 11 PINHEIRO 1993 2 1 s s1 2170cm 42 0 031 29400 d M k A M2 Md M1 14 31500 29400 14700 kNcm 2 2 s2 s2 8 67cm 3 42 0 023 14700 d d M k A Tabela 12 PINHEIRO 1993 2 s 8 67cm A s 0 023 k 0 067 45 3 h d Tabela 12 PINHEIRO 1993 As As1 As2 2170 867 3037 cm² As 6 Ø 25 Ase 30 cm² 2 camadas 8 Ø 222 Ase 3104 cm² 2 camadas As 2 Ø 25 Ase 10 cm² 3 Ø 20 Ase 945 cm² Solução adotada Figura 84 Figura 84 Detalhamento da seção retangular FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA SEÇÃO T CAPÍTULO 9 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos Setembro de 2004 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA SEÇÃO T 91 SEÇÃO T Até agora considerouse o cálculo de vigas isoladas com seção retangular mas nem sempre é isso que acontece na prática pois em uma construção podem ocorrer lajes descarregando em vigas Figura 91 Portanto há um conjunto laje viga resistindo aos esforços Quando a laje é do tipo prémoldada a seção é realmente retangular Figura 91 Piso de um edifício comum Laje apoiandose nas vigas 92 Ocorrência Esse tipo de seção ocorre em vigas de pavimentos de edifícios comuns com lajes maciças ou com lajes nervuradas com a linha neutra passando pela mesa em vigas de pontes Figura 92 entre outras peças Figura 92 Seção de uma ponte USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 92 93 Largura Colaborante No cálculo de viga como seção T devese definir qual a largura colaborante da laje que efetivamente está contribuindo para absorver os esforços de compressão De acordo com a NBR 6118 a largura colaborante bf será dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10 da distância a entre pontos de momento fletor nulo para cada lado da viga em que houver laje colaborante A distância a pode ser estimada em função do comprimento L do tramo considerado como se apresenta a seguir viga simplesmente apoiadaa 100 L tramo com momento em uma só extremidade a 075 L tramo com momentos nas duas extremidadesa 060 L tramo em balançoa 200 L Alternativamente o cálculo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura Além disso deverão ser respeitados os limites b1 e b3 conforme a figura 93 bw é a largura real da nervura ba é a largura da nervura fictícia obtida aumentandose a largura real para cada lado de valor igual ao do menor cateto do triângulo da mísula correspondente b2 é a distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa colaborante esta mesa só poderá ser considerada de acordo com o que se apresenta na figura 94 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 93 10a 0 50 b b 2 1 10a 0 b b 4 3 NBR 6118 bf bw b4 b2 b3 b1 b1 bw ba c c bf b3 bw b1 hf Figura 93 Largura de mesa colaborante bf 1 2 1 2 abertura bef Figura 94 Largura efetiva com abertura USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 94 94 Verificação do Comportamento Retangular ou T Verdadeira Para verificar se a seção da viga se comporta como seção T Figura 95 é preciso analisar a profundidade da altura y do diagrama retangular em relação à altura hf do flange espessura da laje Caso y seja menor ou igual a hf a seção deverá ser calculada como retangular de largura bf caso contrário ou seja se o valor de y for superior a hf a seção deverá ser calculada como seção T verdadeira O procedimento de cálculo é indicado a seguir Calculase βxf hf 08d Supondo seção retangular de largura bf calculase kc kc bfd² Md entrando na tabela 11 PINHEIRO 1993 tirase βx Se βx βxf cálculo como seção retangular com largura bf Se βx βxf cálculo como seção T verdadeira y h d h b w b f As f Figura 95 Seção T 95 Cálculo como Seção Retangular Procedese o cálculo normal de uma seção retangular de largura igual a bf Figura 96 Utilizase a tabela com o βx calculado para verificação do comportamento pois se partiu da hipótese que a seção era retangular Com este valor de βx tirase o valor de ks e calcula a área de aço através da equação d k M A d s s USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 95 y h y 08x d h cd σ b w b f As f b f Figura 96 Seção T falsa ou retangular 96 Cálculo como Seção T Verdadeira Para o cálculo como seção T verdadeira a hipótese de que a seção era retangular não foi confirmada portanto procedese da seguinte maneira figura 97 y y M M M 0 h b f b b f w hf hf b w b w d Figura 97 Seção T verdadeira Calculase normalmente o momento resistente M0 de uma seção de concreto de largura bf bw altura h e βx βxf Com esse valor de M0 calculase a área de aço correspondente Com a seção de concreto da nervura bw x h e com o momento que ainda falta para combater o momento solicitante M Md M0 calculase como uma seção retangular comum Figura 97 podendo ser esta com armadura simples ou dupla A área de aço total será a soma das armaduras calculadas separadamente para cada seção USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 96 Deverá existir uma armadura transversal com área mínima de 15cm²m para que haja solidariedade entre a alma e a mesa 97 EXEMPLOS A seguir apresentamse alguns exemplos envolvendo o cálculo de flexão simples em seção T 971 EXEMPLO 1 Calcular a área de aço para uma seção T com os seguintes dados Concreto classe C25 Aço CA50 bw 30 cm bf 80 cm h 45 cm hf 10 cm Mk 315 kNm h d 3 cm Solução d 45 3 42 cm 0 30 42 80 10 d 80 hf xf β 23 31500 14 42 80 M b d k 2 d 2 f c βx 029 βx 029 βxf T Falsa Cálculo como seção retangular de largura bf ks 0026 Tabela 11 PINHEIRO 1993 2 d s s 2730cm 42 31500 14 0 026 d M k A As 6 Ø 25 30 cm² 7 Ø 222 2716 cm² 2 camadas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 97 972 EXEMPLO 2 Calcular a área de aço do exemplo anterior para um momento Mk378 kNm a Verificação do comportamento 0 30 42 80 10 d 80 hf xf β kcf 31 e ksf 0026 72 37800 14 42 80 M bd k 2 d 2 c βx 036 βxf T Verdadeira b Flange 28452 kNcm 13 42 30 80 k bd M 2 cf 2 0 2 s0 1761cm 42 28452 0 026 A c Nervura M Md M0 14 x 37800 28452 24468 kNcm 81 k 22 24468 42 30 M b d k lim c 2 2 w c Armadura Simples 2 s 1631cm 42 24468 0 028 A d Total As 1761 1631 3392cm² As 7 Ø 25 35 cm² 2 na 2ª camada Solução adotada Figura 98 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína seção T 98 Figura 98 Detalhamento da seção T Obs Este detalhamento pode ser melhorado ADERÊNCIA E ANCORAGEM CAPÍTULO 10 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo 25 setembro 2003 ADERÊNCIA E ANCORAGEM Aderência bond em inglês é a propriedade que impede que haja escorregamento de uma barra em relação ao concreto que a envolve É portanto responsável pela solidariedade entre o aço e o concreto fazendo com que esses dois materiais trabalhem em conjunto A transferência de esforços entre aço e concreto e a compatibilidade de deformações entre eles são fundamentais para a existência do concreto armado Isto só é possível por causa da aderência Ancoragem é a fixação da barra no concreto para que ela possa ser interrompida Na ancoragem por aderência deve ser previsto um comprimento suficiente para que o esforço da barra de tração ou de compressão seja transferido para o concreto Ele é denominado comprimento de ancoragem Além disso em peças nas quais por disposições construtivas ou pelo seu comprimento necessitase fazer emendas nas barras também se deve garantir um comprimento suficiente para que os esforços sejam transferidos de uma barra para outra na região da emenda Isto também é possível graças à aderência entre o aço e o concreto 110011 TTIIPPO OSS DDEE AADDEERRÊÊNNCCIIAA Esquematicamente a aderência pode ser decomposta em três parcelas adesão atrito e aderência mecânica Essas parcelas decorrem de diferentes fenômenos que intervêm na ligação dos dois materiais 11001111 AAddeerrêênncciiaa ppoorr AAddeessããoo A aderência por adesão caracterizase por uma resistência à separação dos dois materiais Ocorre em função de ligações físicoquímicas na interface das barras com a pasta geradas durante as reações de pega do cimento Para pequenos deslocamentos relativos entre a barra e a massa de concreto que a envolve essa ligação é destruída A Figura 101 mostra um cubo de concreto moldado sobre uma placa de aço A ligação entre os dois materiais se dá por adesão Para separálos há necessidade de se aplicar uma ação representada pela força Fb1 Se a força fosse aplicada na USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 102 horizontal não se conseguiria dissociar a adesão do comportamento relativo ao atrito No entanto a adesão existe independente da direção da força aplicada Figura 101 Aderência por adesão 11001122 AAddeerrêênncciiaa ppoorr AAttrriittoo Por meio do arrancamento de uma barra em um bloco concreto Figura 102 verificase que a força de arrancamento Fb2 é maior do que a força Fb1 mobilizada pela adesão Esse acréscimo é devido ao atrito entre a barra e o concreto Figura 102 Aderência por atrito O atrito manifestase quando há tendência ao deslocamento relativo entre os materiais Depende da rugosidade superficial da barra e da pressão transversal σ exercida pelo concreto sobre a barra em virtude da retração Figura 102 Em barras curvas ou em regiões de apoio de vigas em pilares aparecem acréscimos dessas pressões de contato que favorecem a aderência por atrito O coeficiente de atrito entre aço e concreto é alto em função da rugosidade da superfície das barras resultando valores entre 03 e 06 LEONHARDT 1977 Na Figura 102 a oposição à ação Fb2 é constituída pela resultante das tensões de aderência τb distribuídas ao longo da barra USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 103 11001133 AAddeerrêênncciiaa M Meeccâânniiccaa A aderência mecânica é devida à conformação superficial das barras Nas barras de alta aderência Figura 103 as saliências mobilizam forças localizadas aumentando significativamente a aderência Figura 103 Aderência mecânica em barras nervuradas A Figura 104 LEONHARDT 1977 mostra que mesmo uma barra lisa pode apresentar aderência mecânica em função da rugosidade superficial devida à corrosão e ao processo de fabricação gerando um denteamento da superfície Para efeito de comparação são apresentadas superfícies microscópicas de barra de aço enferrujada barra recém laminada e fio de aço obtido por laminação a quente e posterior encruamento a frio por estiramento Notase que essas superfícies estão muito longe de serem efetivamente lisas Portanto a separação da aderência nas três parcelas adesão atrito e aderência mecânica é apenas esquemática pois não é possível quantificar isoladamente cada uma delas Figura 104 Rugosidade superficial de barras e fios lisos LEONHARDT 1977 1111 TTEENNSSÃÃO O DDEE AADDEERRÊÊNNCCIIAA Para uma barra de aço imersa em uma peça de concreto como a indicada na figura 105 a tensão média de aderência é dada por USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 104 Figura 105 Tensão de aderência b s b R π φl τ Rs é a força atuante na barra φ é o diâmetro da barra lb é o comprimento de ancoragem A tensão de aderência depende de diversos fatores entre os quais Rugosidade da barra Posição da barra durante a concretagem Diâmetro da barra Resistência do concreto Retração Adensamento Porosidade do concreto etc Alguns desses aspectos serão considerados na seqüência deste texto 103 SITUAÇÕES DE ADERÊNCIA Na concretagem de uma peça tanto no lançamento como no adensamento o envolvimento da barra pelo concreto é influenciado pela inclinação dessa barra Sua inclinação interfere portanto nas condições de aderência USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 105 Por causa disso a NBR 6118 2003 considera em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam com inclinação maior que 45º em relação à horizontal figura 106 a FIGURA 106 Situações de boa e de má aderência PROMON 1976 As condições de aderência são influenciadas por mais dois aspectos Altura da camada de concreto sobre a barra cujo peso favorece o adensamento melhorando as condições de aderência Nível da barra em relação ao fundo da forma a exsudação produz porosidade no concreto que é mais intensa nas camadas mais altas prejudicando a aderência Essas duas condições fazem com que a NBR 6118 2003 considere em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em posição horizontal ou com inclinação menor que 45º desde que USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 106 para elementos estruturais com h 60cm localizados no máximo 30cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima Figuras 106b e 106c para elementos estruturais com h 60cm localizados no mínimo 30cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima Figura 106d Em outras posições e quando do uso de formas deslizantes os trechos das barras devem ser considerados em má situação quanto à aderência No caso de lajes e vigas concretadas simultaneamente a parte inferior da viga pode estar em uma região de boa aderência e a parte superior em região de má aderência Se a laje tiver espessura menor do que 30cm estará em uma região de boa aderência Sugerese então a configuração das figuras 106e e 106f para determinação das zonas aderência 104 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto é dada pela expressão NBR 6118 2003 item 9321 ctd 3 2 1 bd f f η η η para barras nervuradas para barras entalhadas para barras lisas 2 25 4 1 0 1 η1 para situações demá aderência para situações deboa aderência 70 01 η2 mm para mm para 32 100 132 32 01 3 φ φ φ η O valor fctd é dado por item 825 da NBR 6118 2003 2 3 ck ctm ctm ctkinf c ctkinf ctd 03 f e f 07 f sendo f f f γ Portanto resulta 2 3 ck c ctd 021 f f γ USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 107 105 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que seus esforços sejam integralmente transmitidos para o concreto por meio de aderência de dispositivos mecânicos ou por combinação de ambos Na ancoragem por aderência os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura seguido ou não de gancho Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto considerandose este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre as barras ancoradas também for maior ou igual a 3φ Nas regiões situadas sobre apoios diretos a armadura de confinamento não é necessária devido ao aumento da aderência por atrito com a pressão do concreto sobre a barra 11005511 CCoom mpprriim meennttoo ddee AAnnccoorraaggeem m BBáássiiccoo Definese comprimento de ancoragem básico lb Figura 105 como o comprimento reto necessário para ancorar a força limite Rs As fyd admitindo ao longo desse comprimento resistência de aderência uniforme e igual a fbd obtida conforme o item 104 O comprimento de ancoragem básico lb é obtido igualandose a força última de aderência lb πφ fbd com o esforço na barra Rs As fyd ver Figura 105 lb πφ fbd Αsfyd Como 4 πφ 2 As obtémse bd yd b f f 4 φ l De maneira simplificada podese dizer que a partir do ponto em que a barra não for mais necessária basta assegurar a existência de um comprimento suplementar lb que garanta a transferência das tensões da barra para o concreto 11005522 CCoom mpprriim meennttoo ddee AAnnccoorraaggeem m NNeecceessssáárriioo Nos casos em que a área efetiva da armadura Αsef é maior que a área calculada Ascalc a tensão nas barras diminui e portanto o comprimento de USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 108 ancoragem pode ser reduzido na mesma proporção A presença de gancho na extremidade da barra também permite a redução do comprimento de ancoragem que pode ser calculado pela expressão bmin ef s s calc b 1 bnec A A l l l α no planonormal aodo gancho parabarrastracionadascom gancho com cobrimento 3 parabarras sem gancho φ α 7 0 0 1 1 lb é calculado conforme o item 1051 lbmin é o maior valor entre 03 lb 10 φ e 100 mm 11005533 AAnnccoorraaggeem m ddee BBaarrrraass CCoom mpprriim miiddaass Nas estruturas usuais de concreto armado pode ser necessário ancorar barras compridas nos seguintes casos em vigas quando há barras longitudinais compridas armadura dupla nos pilares nas regiões de emendas por traspasse no nível dos andares ou da fundação As barras exclusivamente compridas ou que tenham alternância de solicitações tração e compressão devem ser ancoradas em trecho reto sem gancho Figura 107 A presença do gancho gera concentração de tensões que pode levar ao fendilhamento do concreto ou à flambagem das barras Em termos de comportamento a ancoragem de barras comprimidas e a de barras tracionadas é diferente em dois aspectos Primeiramente por estar comprimido na região da ancoragem o concreto apresenta maior integridade está menos fissurado do que se estivesse tracionado e poderseia admitir comprimentos de ancoragem menores Um segundo aspecto é o efeito de ponta como pode ser observado na Figura 107 Esse fator é bastante reduzido com o tempo pelo efeito da fluência do concreto Na prática esses dois fatores são desprezados Portanto os comprimentos de ancoragem de barras comprimidas são calculados como no caso das tracionadas Porém nas comprimidas não se usa gancho No cálculo do comprimento de traspasse l0c de barras comprimidas adotase a seguinte expressão NBR 6118 2003 item 9523 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 109 c min bnec c 0 0 l l l l0cmin é o maior valor entre 06 lb 15 φ e 200 mm Figura 107 Ancoragem de barras comprimidas FUSCO 1975 110066 AANNCCO ORRAAG GEEM M NNO OSS AAPPO OIIO OSS De acordo com a NBR 6118 2003 item 18324 a armadura longitudinal de tração junto aos apoios deve ser calculada para satisfazer a mais severa das seguintes condições a no caso de ocorrência de momentos positivos a armadura obtida através do dimensionamento da seção b em apoios extremos para garantir ancoragem da diagonal de compressão armadura capaz de resistir a uma força de tração Rs dada por d d s N V d a R l 4 onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente A área de aço nesse caso é calculada pela equação yd s s calc f R A c em apoios extremos e intermediários por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão Asvão correspondente ao máximo momento positivo do tramo Mvão de modo que USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1010 Asapoio 13 Asvão se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto Mapoio 05 Mvão Asapoio 14 Asvão se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio 05 Mvão 11006611 CCoom mpprriim meennttoo m míínniim moo ddee aannccoorraaggeem m eem m aappooiiooss eexxttrreem mooss Em apoios extremos para os casos b e c anteriores a NBR 6118 2003 prescreve que as barras devem ser ancoradas a partir da face do apoio com comprimento mínimo dado por 60mm 55 sendo r o raio interno de curvatura do gancho Tab 101 r conforme 1051 φ nec b min be l l Desta forma podese determinar o comprimento mínimo necessário do apoio c t bemin min l no qual c é o cobrimento da armadura Figuras 108a e 108b a Barra com ponta reta b Barra com gancho Figura 108 Ancoragem no apoio A NBR 6118 2003 item 183241 estabelece que quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho medido normalmente ao plano do gancho de pelo menos 70 mm e as ações acidentais não ocorrerem com grande freqüência com seu valor máximo o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado prevalecendo as duas condições restantes USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1011 11006622 EEssffoorrççoo aa aannccoorraarr ee aarrm maadduurraa ccaallccuullaaddaa Na flexão simples o esforço a ancorar é dado por d face s V d a R l A armadura para resistir esse esforço com tensão σs fyd é dada por yd s s calc f R A 11006633 AArrm maadduurraa nneecceessssáárriiaa eem m aappooiiooss eexxttrreem mooss Na expressão do comprimento de ancoragem necessário item 1052 ef s s calc 1 b bnec A A l l α impondo bdisp bnec l l e s nec s ef A A obtémse s calc disp b b 1 s nec A A l α l A área das barras ancoradas no apoio não pode ser inferior a As nec 110077 AANNCCO ORRAAG GEEM M FFO ORRAA DDEE AAPPO OIIO O Algumas barras longitudinais podem ser interrompidas antes dos apoios Para determinar o ponto de início de ancoragem dessas barras há necessidade de se deslocar de um comprimento al o diagrama de momentos fletores de cálculo 11007711 DDeessllooccaam meennttoo aall ddoo ddiiaaggrraam maa O valor do deslocamento al é dado por item 17422c da NBR 6118 2003 α α d para estribos inclinados a 45º 20 d caso geral 50 cotg cotg 1 V V 2 V d a c max Sd Sdmax l em que α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da peça 45 α 90 O valor de Vc para flexão simples flexotração com a linha neutra cortando a seção ou para flexocompressão em vigas não protendidas é dado por Vc Vco 06fctdbwd USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1012 Vale ressaltar que nos casos usuais nos quais a armadura transversal estribos é normal ao eixo da peça α 90o e a expressão de l a resulta 50 d V V 2 V d a c max Sd Sdmax l O deslocamento al é fundamentado no comportamento previsto para resistência da viga à força cortante em que se considera que a viga funcione como uma treliça com banzo comprimido e diagonais bielas formados pelo concreto e banzo tracionado e montantes constituídos respectivamente pela armadura longitudinal e pelos estribos Nesse modelo há um acréscimo de esforço na armadura longitudinal de tração que é considerado através de um deslocamento al do diagrama de momentos fletores de cálculo 11007722 TTrreecchhoo ddee aannccoorraaggeem m Será calculado conforme o item 183231 da NBR 6118 2003 Figura 109 Figura 109 Ancoragem de barras em peças fletidas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1013 O trecho da extremidade da barra de tração considerado como de ancoragem tem início na seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir ou seja o esforço da armadura começa a ser transferido para o concreto A barra deve prolongarse pelo menos 10φ além do ponto teórico de tensão σs nula não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento de ancoragem necessário calculado conforme o item 1052 deste texto Assim na armadura longitudinal de tração das peças fletidas o trecho de ancoragem da barra terá início no ponto A Figura 108 do diagrama de forças Rs Mdz deslocado Se a barra não for dobrada o trecho de ancoragem deve prolongarse além de B no mínimo 10φ Se a barra for dobrada o início do dobramento poderá coincidir com o ponto B Figura 109 11007733 AAnnccoorraaggeem m eem m aappooiiooss iinntteerrm meeddiiáárriiooss Se o ponto A de início de ancoragem estiver na face do apoio ou além dela Figura 1010a e a força Rs diminuir em direção ao centro do apoio o trecho de ancoragem deve ser medido a partir dessa face com a força Rs dada no item 1062 Quando o diagrama de momentos fletores de cálculo não atingir a face do apoio as barras prolongadas até o apoio Figura 1010b devem ter o comprimento de ancoragem marcado a partir do ponto A e obrigatoriamente deve ultrapassar 10φ da face de apoio Quando houver qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região provocados por situações imprevistas particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques as barras deverão ser contínuas ou emendadas sobre o apoio Figura 1010 Ancoragem em apoios intermediários USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1014 110088 G GAANNCCHHO OSS DDAASS AARRM MAADDUURRAASS DDEE TTRRAAÇÇÃÃO O Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser item 9423 da NBR 6118 2003 semicirculares com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ Figura 1011a em ângulo de 45º interno com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ Figura 1011b em ângulo reto com ponta reta de comprimento não inferior as 8φ Figura 1011c Para barras lisas os ganchos devem ser semicirculares Vale ressaltar que segundo as recomendações da NBR 6118 2003 as barras lisas deverão ser sempre ancoradas com ganchos a b c Figura 1011 Tipos de ganchos Ainda segundo a NBR 6118 2003 o diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 101 Tabela 101 Diâmetros dos pinos de dobramento BITOLA mm CA 25 CA 50 CA 60 φ 20 4φ 5φ 6φ φ 20 5φ 8φ USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1015 110099 G GAANNCCHHO OSS DDO OSS EESSTTRRIIBBO OSS A NBR 6118 2003 item 946 estabelece que a ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas Os ganchos dos estribos podem ser semicirculares ou em ângulo de 45o interno com ponta reta de comprimento igual a 5φ porém não inferior a 5cm em ângulo reto com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φ porém não inferior a 7cm este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo igual ao valor dado na Tabela 102 Tabela 102 Diâmetros dos pinos de dobramento para estribos BITOLA CA 25 CA 50 CA 60 φt 10 3φt 3φt 3φt 10 φt 20 4φt 5φt φt 20 5φt 8φt AGRADECIMENTOS Aos colaboradores na redação e na revisão deste texto Marcos Vinícius Natal Moreira Murilo Alessandro Scadelai e Sandro Pinheiro Santos REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS 2003 NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro ABNT FUSCO PB 1975 Fundamentos da técnica de armar estruturas de concreto v3 São Paulo Grêmio Politécnico USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 1016 LEONHARDT F MÖNNIG E 1977 Construções de concreto princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado v1 Rio de Janeiro Interciência PROMON ENGENHARIA 1976 Tabelas para dimensionamento de concreto armado segundo a NB176 São Paulo McGrawHill do Brasil 269p LAJES MACIÇAS CAPÍTULO 11 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 26 maio 2003 LAJES MACIÇAS Lajes são elementos planos em geral horizontais com duas dimensões muito maiores que a terceira sendo esta denominada espessura A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar provenientes do uso da construção pessoas móveis e equipamentos e transferilos para os apoios Apresentase neste capítulo o procedimento para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado apoiadas sobre vigas ou paredes Nos edifícios usuais as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto aproximadamente 50 do total 111 VÃO LIVRE VÃO TEÓRICO E CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES No projeto de lajes a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres lo os vãos teóricos l e a relação entre os vãos teóricos Vão livre é a distância livre entre as faces dos apoios No caso de balanços é a distância da extremidade livre até a face do apoio Figura 1 O vão teórico l é denominado vão equivalente pela NBR 6118 2001 que o define como a distância entre os centros dos apoios não sendo necessário adotar valores maiores do que em laje isolada o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão em vão extremo de laje contínua o vão livre acrescido da metade da dimensão do apoio interno e da metade da espessura da laje no meio do vão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 112 Nas lajes em balanço o vão teórico é o comprimento da extremidade até o centro do apoio não sendo necessário considerar valores superiores ao vão livre acrescido da metade da espessura da laje na face do apoio Em geral para facilidade do cálculo é usual considerar os vãos teóricos até os eixos dos apoios Figura 1 Figura 1 Vão livre e vão teórico Conhecidos os vãos teóricos considerase l x o menor vão l y o maior e λ l y l x Figura 2 De acordo com o valor de λ é usual a seguinte classificação λ 2 laje armada em duas direções λ 2 laje armada em uma direção Figura 2 Vãos teóricos lx menor vão e ly maior vão x y l l λ USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 113 Nas lajes armadas em duas direções as duas armaduras são calculadas para resistir os momentos fletores nessas direções As denominadas lajes armadas em uma direção na realidade também têm armaduras nas duas direções A armadura principal na direção do menor vão é calculada para resistir o momento fletor nessa direção obtido ignorandose a existência da outra direção Portanto a laje é calculada como se fosse um conjunto de vigasfaixa na direção do menor vão Na direção do maior vão colocase armadura de distribuição com seção transversal mínima dada pela NBR 6118 2001 Como a armadura principal é calculada para resistir à totalidade dos esforços a armadura de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da direção principal prevendose por exemplo uma eventual concentração de esforços 112 VINCULAÇÃO A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos de vínculo de suas bordas Existem basicamente três tipos borda livre borda simplesmente apoiada e borda engastada Tabela 1 Tabela 1 Representação dos tipos de apoio Borda livre Borda simplesmente apoiada Borda engastada A borda livre caracterizase pela ausência de apoio apresentando portanto deslocamentos verticais Nos outros dois tipos de vinculação não há deslocamentos verticais Nas bordas engastadas também as rotações são impedidas Este é o caso por exemplo de lajes que apresentam continuidade sendo o engastamento promovido pela laje adjacente Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 114 espessura admitindose simplesmente apoiada a laje com maior espessura É claro que cuidados devem ser tomados na consideração dessas vinculações devendose ainda analisar a diferença entre os momentos atuantes nas bordas das lajes quando consideradas engastadas Na Tabela 2 são apresentados alguns casos de vinculação com bordas simplesmente apoiadas e engastadas Notase que o comprimento total das bordas engastadas cresce do caso 1 até o 6 exceto do caso 3 para o 4A Outros tipos de vínculos incluindo bordas livres são indicados em PINHEIRO 1993 Tabela 2 Casos de vinculação das lajes As tabelas para dimensionamento das lajes em geral consideram as bordas livres apoiadas ou engastadas com o mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão dessas bordas Na prática outras situações podem acontecer devendose utilizar um critério específico para cada caso para o cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 115 Pode ocorrer por exemplo uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada como mostrado na Figura 3 Um critério aproximado possível para este caso é indicado na Tabela 3 Figura 3 Caso específico de vinculação Tabela 3 Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada l l y1 y 3 Considerase a borda totalmente apoiada l l l y y1 y 3 2 3 Calculamse os esforços para as duas situações borda totalmente apoiada e borda totalmente engastada e adotamse os maiores valores no dimensionamento l l y1 y 2 3 Considerase a borda totalmente engastada Se a laje do exemplo anterior fosse armada em uma direção poderiam ser consideradas duas partes uma relativa à borda engastada e a outra à borda simplesmente apoiada Portanto seriam admitidas diferentes condições de vinculação para cada uma das partes resultando armaduras também diferentes para cada uma delas No caso de lajes adjacentes como indicado anteriormente vários aspectos devem ser analisados para se adotar o tipo de apoio nos vínculos entre essas lajes Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente apoiada para a outra em vez de engastada para ambas Tais considerações são indicadas na Figura 4 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 116 Figura 4 Critério para considerar bordas engastadas É importante salientar que critérios como este devem ser cuidadosamente analisados tendo em conta a necessidade de garantir a segurança estrutural 113 ESPESSURAS COBRIMENTOS MÍNIMOS E PRÉDIMENSIONAMENTO As espessuras das lajes e o cobrimento das armaduras devem estar de acordo com as especificações da NBR 6118 2001 1131 Espessuras mínimas De acordo com a NBR 6118 2001 as espessuras das lajes devem respeitar os seguintes limites mínimos 5cm para lajes de cobertura não em balanço 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço 10cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30kN 12cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30kN 15cm para lajes com protensão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 117 1132 Cobrimentos mínimos São especificados também os valores mínimos de cobrimento para armaduras das lajes de acordo com a agressividade do meio em que se encontram Esses valores são dados na Tabela 4 extraída da NBR 6118 2001 O valor de c que aparece nesta tabela é um acréscimo no valor do cobrimento mínimo das armaduras sendo considerado como uma tolerância de execução O cobrimento nominal é dado pelo cobrimento mínimo acrescido do valor da tolerância de execução c que deve ser maior ou igual a 10 mm Tabela 4 Cobrimento nominal para c 10mm Classe de agressividade ambiental Tabela 1 da Norma I II III IV Tipo e Componente de Estrutura Cobrimento nominal mm Laje de Concreto Armado 20 25 35 45 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete de madeira com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros tantos as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7475 NBR 6118 2001 respeitando um cobrimento nominal 15 mm Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm 1133 Prédimensionamento da altura útil e da espessura A NBR 6118 2001 não especifica critérios de prédimensionamento Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas a altura útil d em cm pode ser estimada por meio da expressão d 25 01 n l100 n é o número de bordas engastadas l é o menor valor entre lx e 07ly USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 118 Para lajes em balanço pode ser usado o critério da NBR 6118 1978 3 2 x d ψ ψ l Os coeficientes ψ2 e ψ3 dependem da vinculação e do tipo de aço respectivamente Podem ser encontrados nas tabelas de PINHEIRO 1993 Esta segunda expressão também pode ser utilizada para lajes que não estejam em balanço Porém para lajes usuais de edifícios costumam resultar espessuras exageradas A primeira expressão é mais adequada nesses casos 114 ESFORÇOS Nesta etapa consideramse ações reações de apoio e momentos fletores 1141 Ações As ações devem estar de acordo com as normas NBR 6120 e NBR 6118 Nas lajes geralmente atuam além do seu peso próprio pesos de revestimentos de piso e de forro peso de paredes divisórias e cargas de uso Na avaliação do peso próprio conforme item 822 da NBR 6118 2001 admitese o peso específico de 25 kNm3 para o concreto armado As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje dependem dos materiais utilizados Esses valores se encontram na Tabela 8 no final deste capítulo As cargas de paredes apoiadas diretamente na laje podem em geral ser admitidas uniformemente distribuídas na laje Quando forem previstas paredes divisórias cuja posição não esteja definida no projeto pode ser admitida além dos demais carregamentos uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta observado o valor mínimo de 1 kNm2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 119 Os valores das cargas de uso dependem da utilização do ambiente arquitetônico que ocupa a região da laje em estudo e portanto da finalidade da edificação residencial comercial escritórios etc Esses valores estão especificados na NBR 6120 1980 sendo os mais comuns indicados na Tabela 9 no final deste capítulo Podem ainda atuar cargas concentradas específicas Esses casos entretanto não serão contemplados neste trabalho 1142 Reações de apoio As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio Embora essa transferência aconteça com as lajes em comportamento elástico o procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118 2001 baseiase no comportamento em regime plástico a partir da posição aproximada das linhas de plastificação também denominadas charneiras plásticas Este procedimento é conhecido como processo das áreas a Processo das áreas Conforme o item 14761 da NBR 6118 2001 permitese calcular as reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído considerandose para cada apoio carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos traçandose a partir dos vértices na planta da laje retas inclinadas de 45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio engastado se o outro for simplesmente apoiado 90 a partir do apoio vinculado apoiado ou engastado quando a borda vizinha for livre Este processo encontrase ilustrado nos exemplos da Figura 5 Com base nessa figura as reações de apoio por unidade de largura serão dadas por v p A x x y l v p A x x y l v p A y y x l v p A y y x l 1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1110 p carga total uniformemente distribuída l x l y menor e maior vão teórico da laje respectivamente vx v x reações de apoio na direção do vão l x vy v y reações de apoio na direção do vão l y Ax Ax etc áreas correspondentes aos apoios considerados sinal referente às bordas engastadas Figura 5 Exemplos de aplicação do processo das áreas Convém destacar que as reações de apoio vx ou vx distribuemse em uma borda de comprimento ly e viceversa As reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio o que representa uma simplificação de cálculo Na verdade as reações têm uma distribuição não uniforme em geral com valores máximos na parte central das bordas diminuindo nas extremidades Porém a deslocabilidade das vigas de apoio pode modificar a distribuição dessas reações b Cálculo por meio de tabelas O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas como as encontradas em PINHEIRO 1993 Tais tabelas baseadas no Processo das Áreas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1111 fornecem coeficientes adimensionais νx νx νy νy a partir das condições de apoio e da relação λ l y l x com os quais se calculam as reações dadas por 10 p v 10 p v 10 p v 10 p v x y y x y y x x x x x x l l l l ν ν ν ν O fator de multiplicação depende de lx e é o mesmo para todos os casos Para as lajes armadas em uma direção as reações de apoio são calculadas a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição 2 x y l l λ Nas tabelas de PINHEIRO 1993 foram feitas correções dos valores obtidos pelo Processo das Áreas prevendose a possibilidade dos momentos nos apoios atuarem com intensidades menores que as previstas Quando isto ocorre o alívio na borda apoiada decorrente do momento na borda oposta não acontece com o valor integral Para não correr o risco de considerar reações de apoio menores do que aquelas que efetivamente possam acontecer os alívios foram consideradas pela metade 1143 Momentos fletores As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos o elástico que será aqui utilizado e o plástico que poderá ser apresentado em fase posterior a Cálculo elástico O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas delgadas Teoria de Kirchhoff supondo material homogêneo isótropo elástico e linear A partir das equações de equilíbrio das leis constitutivas do material Lei de Hooke e das relações entre deslocamentos e deformações fazendose as operações matemáticas necessárias obtémse a equação fundamental que rege o problema de placas equação de Lagrange 4 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1112 D p y w y x w 2 x w 4 4 2 2 4 4 4 5 1 12 Eh D 2 3 υ w função que representa os deslocamentos verticais p carga total uniformemente distribuída D rigidez da placa à flexão E módulo de elasticidade h espessura da placa ν coeficiente de Poisson Uma apresentação detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em TIMOSHENKO 1940 Na maioria dos casos não é possível determinar de forma exata uma solução para a equação diferencial 5 que ainda satisfaça às condições de contorno Em geral recorrese a processos numéricos para a resolução dessa equação utilizando por exemplo diferenças finitas elementos finitos elementos de contorno ou analogia de grelha b Cálculo por meio de tabelas Esses processos numéricos também podem ser utilizados na confecção de tabelas como as de Czerny e as de Bares obtidas por diferenças finitas As tabelas 25 e 26 de PINHEIRO 1993 empregadas neste trabalho foram baseadas nas de BARES 1972 com coeficiente de Poisson igual a 015 O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para as reações de apoio Os coeficientes tabelados µx µx µy µy são adimensionais sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1113 m p x x x µ l2 100 m p x x x µ l2 100 m p y y x µ l2 100 m p y y x µ l2 100 mx m x momentos fletores na direção do vão l x my m y momentos fletores na direção do vão l y Para as lajes armadas em uma direção os momentos fletores são calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição 2 x y l l λ 1144 Compatibilização de momentos fletores Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são conhecidos como momentos positivos e negativos respectivamente No cálculo desses momentos fletores consideramse os apoios internos de lajes contínuas como perfeitamente engastados Na realidade isto pode não ocorrer Em um pavimento em geral as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio nos vãos teóricos ou nos carregamentos resultando no apoio comum dois valores diferentes para o momento negativo Esta situação está ilustrada na Figura 6 Daí a necessidade de promover a compatibilização desses momentos Na compatibilização dos momentos negativos o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80 do maior Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura 6 ignorase a redução a favor da segurança 6 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1114 Caso contrário se houver acréscimo no valor do momento positivo a correção deverá ser feita somandose ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios como no caso da laje L2 da Figura 6 Pode acontecer da compatibilização acarretar diminuição do momento positivo de um lado e acréscimo do outro Neste caso ignorase a diminuição e considerase somente o acréscimo como no caso da laje L3 da Figura 6 Figura 6 Compatibilização de momentos fletores Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro por exemplo m12 05m21 um critério melhor consiste em considerar L1 engastada e armar o apoio para o momento m12 admitindo no cálculo da L2 que ela esteja simplesmente apoiada nessa borda m12 m21 L1 m1 L2 m23 L3 L4 m2 m3 m4 m32 m34 m43 L1 m1 L2 L3 L4 m4 08 m21 m12 m21 m12 2 08 m23 m23 m23 m32 2 08 m34 m34 m34 m43 2 m2 m21 m12 m23 m23 2 2 m3 m3 m34 m34 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1115 115 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Conhecidos os momentos fletores característicos compatibilizados mk passase à determinação das armaduras Esse dimensionamento é feito da mesma forma que para vigas admitindose a largura b 1m 100cm Obtémse dessa forma uma armadura por metro linear Podem ser utilizadas as tabelas de PINHEIRO 1993 sendo a Tabela 11 para o cálculo das áreas necessárias das armaduras e a Tabela 14a para a escolha do diâmetro e do espaçamento das barras Inicialmente determinase o momento fletor de cálculo em kNcmm m m d f k γ com γ f 1 4 Em seguida calculase o valor do coeficiente kc d 2 w c m k b d com bw 100 cm Conhecidos o concreto o aço e o valor de kc obtémse na Tabela 11 o valor de ks Calculase então a área de armadura necessária d s s m k a d d k m a d s s Na tabela 14a com o valor de as escolhese o diâmetro das barras e o seu espaçamento As armaduras devem respeitar os valores mínimos recomendados pela NBR 6118 2001 indicados nas tabelas 5 e 6 nas quais ρ as bw d Se for necessário calcular ρmin para fatores diferentes podese usar a equação yd cd min min f f ω ρ ωmin taxa mecânica mínima de armadura longitudinal Admitindose b 100cm e d em centímetros obtémse as em cm2 m USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1116 Tabela 5 Valores mínimos para as armaduras Armaduras negativas min s ρ ρ Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções min s 0 67 ρ ρ Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção min s ρ ρ Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção Tabela 6 Valores de ρmin ck f 20 25 30 35 40 45 50 ωmin ρmin 0035 0150 0150 0173 0201 0230 0259 0288 Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA50 c 14 e s 115 γ γ Caso esses fatores sejam diferentes ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmin dado Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118 algumas das quais são mencionadas a seguir Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h8 As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores A armadura secundária de flexão deve corresponder à porcentagem de armadura igual ou superior a 20 da porcentagem da armadura principal mantendose ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1117 116 VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS Na verificação da flecha de uma laje considerase a existência de fissuras o momento de inércia as flechas imediata diferida e total e os valores limites 1161 Existência de fissuras Durante a vida útil de uma estrutura e mesmo durante sua construção se atuar um carregamento que provoque um determinado estágio de fissuração a rigidez correspondente a esse estágio ocorrerá para sempre Com a diminuição da intensidade do carregamento as fissuras podem até fechar mas nunca deixarão de existir a Carregamento a considerar Neste texto a condição de fissuração será verificada para combinação rara Em lajes de edifícios em que a única ação variável é a carga de uso o valor da combinação rara coincide com o valor total da carga característica Portanto o momento fletor ma na seção crítica resulta r d rara a m m m Se fosse conhecido um carregamento de construção cujo momento fletor superasse mk deveria ser adotado o valor de ma relativo a esse carregamento de construção b Momento de fissuração A peça será admitida fissurada se o momento ma ultrapassar o momento de fissuração dado por item 173 da NBR 6118 2001 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1118 2 distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada h y 12 momento de inércia da seção bruta de concreto bh I item 825 da NBR 6118 2001 f 30 f f 15 para seção retangular α y I α f m t 3 c 2 3 ck ctm ct t ct c r No cálculo da resistência do concreto à tração direta fct a NBR 6118 2001 não especifica o quantil a ser adotado A opção pela resistência média quantil de 50 foi feita pelos autores 1162 Momento de Inércia Com os valores de ma e mr obtidos conforme o item anterior duas situações podem ocorrer ma mr e ma mr a ma mr Se ma não ultrapassar mr admitese que não há fissuras Nesta situação pode ser usado o momento de inércia da seção bruta de concreto Ic considerado no item anterior b ma mr No caso em que ma ultrapassar mr considerase que há fissuras na laje embora partes da laje permaneçam sem fissuras nas regiões em que o momento de fissuração não for ultrapassado Neste caso poderá ser considerado o momento de inércia equivalente dado por item 173111 da NBR 6118 2001 adaptado 2 3 a r c a r eq I m m 1 I m m I I2 é o momento de inércia da seção fissurada estádio II USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1119 Para se determinar I2 é necessário conhecer a posição da linha neutra no estádio II para a seção retangular com largura b100 cm altura total h altura útil d e armadura as em cm2m Considerando que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada x2 é obtido por meio da equação c s e s e 2 E E 0 x d a 2 bx α α Conhecido x2 obtémse I2 dado por 2 s e 3 2 x d a 3 bx I α 1163 Flecha Imediata A flecha imediata ai pode ser obtida por meio da tabela 22a de PINHEIRO 1993 com a expressão adaptada em MPa é o módulo de elasticidade secante do concreto 085 5600 f E E é o menor vão 03 para edifícios residenciais q é o valor da carga para combinação quase permanente g p 100 cm b coeficient e adimensional tabelado função do tipo de vinculação e de λ o é E I p 12 b 100 ck cs c x 2 2 x y c c 4 x ψ ψ α α l l l l a i Se ma mr devese usar Ieq no lugar de Ic USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1120 1164 Flecha diferida Segundo o item 173112 da NBR 6118 2001 a flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da fluência pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado por f 1 50 ξ α ρ b d A s ρ As é a armadura de compressão no caso de armadura dupla t t ξ 0 ξ ξ ξ é um coeficiente em função do tempo calculado pela expressão seguinte ou obtido diretamente na Tabela 7 0 68 0 996t t 0 32 t ξ para t 70 meses 2 t ξ para t 70 meses t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida t0 é a idade em meses relativa à aplicação da carga de longa duração Portanto a flecha diferida af é dada por i f f a a α Tabela 7 Valores de ξ e função do tempo Tabela 21 da NBR 6118 2001 Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente ξt 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1121 1165 Flecha total A flecha total at pode ser obtida por uma das expressões a 1 a a a a f i t f i t α 1166 Flechas Limites As flechas obtidas conforme os itens anteriores não devem ultrapassar os deslocamentos limites estabelecidos na Tabela 18 da NBR 61182001 na qual há várias situações a analisar Uma delas que pode ser a situação crítica corresponde ao limite para o deslocamento total relativo à aceitabilidade visual dos usuários dado por 250 alim lχ 117 VERIFICAÇÃO DO CISALHAMENTO As forças cortantes em geral são satisfatoriamente resistidas pelo concreto dispensando o emprego de armadura transversal A verificação da necessidade de armadura transversal nas lajes segundo a NBR 6118 2001 é dada em seu item 1941 As lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante quando a tensão convencional de cisalhamento obedecer à condição Rd1 w sd b d V τ q 3 ck Rd1 d 61 50 1 f α ρ τ l com d 1 61 Vsd é a força cortante de cálculo d é a altura útil da laje m USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1122 bd ρ As é a taxa geométrica de armadura longitudinal de tração αq é o coeficiente que depende do tipo e da natureza de carregamento e que vale 0097 para cargas lineares paralelas ao apoio A parcela de força cortante decorrente de cargas diretas cujo afastamento a do eixo do apoio seja inferior ao triplo da altura útil d pode ser reduzida na proporção a3d l 3 d 1 014 para cargas distribuídas podendo ser adotado αq 017 quando 20 d l sendo l xl para lajes apoiadas ou o dobro do comprimento teórico em caso de balanço Esta verificação se aplica a lajes sem protensão e com espessura constante Para lajes protendidas ou para espessura variável a consideração de tais influências no cálculo de Vsd deve ser feita como apresentado respectivamente nos itens 174122 e 174123 da NBR 61182001 Em caso de necessidade de armadura transversal ou seja quando não se verifica a condição estabelecida no início deste item aplicamse segundo a Norma os critérios estabelecidos no seu item 1742 relativo a elementos lineares com resistência dos estribos obtida conforme o item 1942 da NBR 6118 2001 118 BARRAS SOBRE OS APOIOS O comprimento das barras negativas deve ser determinado com base no diagrama de momentos fletores na região dos apoios Em edifícios usuais em apoios de lajes retangulares que não apresentem bordas livres os comprimentos das barras podem ser determinados de forma aproximada com base no diagrama trapezoidal indicado na Figura 7 adotandose para l um dos valores USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1123 o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes quando ambas foram consideradas engastadas nesse apoio o menor vão da laje admitida engastada quando a outra foi suposta simplesmente apoiada nesse vínculo Com base nesse procedimento aproximado são possíveis três alternativas para os comprimentos das barras indicadas nas figuras 7a 7b e 7c respectivamente a Um só tipo de barra Figura 7a Adotase um comprimento a1 para cada lado do apoio com a1 igual ao menor valor entre φ 10 em geral maior valor 25 0 a a b 1 l l l 6 51 d a l deslocamento do diagrama NBR 6118 2001 l b comprimento de ancoragem com gancho Tabela 15 PINHEIRO 1993 φ diâmetro da barra b Dois tipos de barras Figura 7b Consideramse dois comprimentos de barras com a21 e a22 dados pelos maiores valores entre φ 10 em geral maior valor 0 25 2 a 0 25 a b 21 l l l l 7 φ 10 em geral maior valor 2 a 25 0 a a b 22 l l l l 8 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1124 Figura 7 Alternativas para as armaduras negativas c Barras alternadas de mesmo comprimento Figura 7c Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento considerando na alternativa anterior as expressões que em geral conduzem aos maiores valores φ φ 10 2 a 0 25 10 0 25 a a a 22 21 l l l 0 75d 20 8 3 a φ l 9 Podese estimar o comprimento das barras com o emprego da expressão 9 e posicionálas considerando os valores 3 a a21 2 3a a22 1 10 Em geral esses comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1125 Para garantir o correto posicionamento das barras da armadura sobre os apoios recomendase adotar perpendicularmente a elas barras de distribuição com as mesmas áreas e espaçamentos indicados para armadura positiva secundária na Tabela 5 no item 5 deste trabalho 119 BARRAS INFERIORES Considerase que as barras inferiores estejam adequadamente ancoradas desde que se estendam pelo menos de um valor igual a 10φ a partir da face dos apoios Nas extremidades do edifício elas costumam ser estendidas até junto a essas extremidades respeitandose o cobrimento especificado Nos casos de barras interrompidas fora dos apoios seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios especificados para as vigas Podem ser adotados também os comprimentos aproximados e as distribuições indicadas na Figura 8 Figura 8 Comprimentos e distribuição das barras inferiores 1110 ARMADURA DE CANTO Nos cantos de lajes retangulares formados por duas bordas simplesmente apoiadas há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de momentos volventes momentos torçores Quando não for calculada armadura específica para USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1126 resistir a esses momentos deve ser disposta uma armadura especial denominada armadura de canto indicada na Figura 9 A armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares Tanto a armadura superior quanto a inferior deve ter área de seção transversal pelo menos igual à metade da área da armadura no centro da laje na direção mais armada As barras deverão se estender até a distância igual a 15 do menor vão da laje medida a partir das faces dos apoios A armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares conforme indicado na Figura 9 Figura 9 Armadura de canto Como em geral as barras da armadura inferior são adotadas constantes em toda a laje não é necessária armadura adicional inferior de canto Já a armadura superior se faz necessária e para facilitar a execução recomendase adotar malha ortogonal superior com seção transversal em cada direção não inferior a asx 2 1111 PESO DOS MATERIAIS E CARGAS DE USO Os pesos de alguns materiais de construção e os valores mínimos de algumas cargas de uso são indicados nas tabelas 8 e 9 respectivamente USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1127 Tabela 8 Peso específico dos materiais de construção Materiais Peso específico aparente kNm3 Rochas Arenito Basalto Gnaisse Granito Mármore e calcáreo 26 30 30 28 28 Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílicocalcáreos 22 20 18 13 18 20 Revestimentos e concretos Argamassa de cal cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado 19 21 125 24 25 Madeiras Pinho cedro Louro imbuia pau óleo Guajuvirá guatambu grápia Angico cabriúva ipê róseo 5 65 8 10 Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco 785 28 85 114 89 725 74 85 75 Materiais diversos Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico Vidro plano 12 13 17 15 21 26 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1128 Tabela 9 Valores mínimos de cargas de uso Local kNm2 Arquibancadas 4 Bancos Escritórios e banheiro Salas de diretoria e de gerência 2 15 Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros a ser determinada ou 25 kNm2 por metro de altura porém com mínimo de 25 4 6 Casas de máquinas incluindo máquinas a ser determinada porém com o mínimo de 75 Cinemas Platéia com assentos fixos Estúdios e platéia com assentos móveis Banheiro 3 4 2 Clubes Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de bilhar e banheiro 3 4 5 2 Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2 Cozinhas não residenciais A ser determinada em cada caso porém com mínimo de 3 Edifícios residenciais Dormitórios sala copa cozinha e banheiro Despensa área de serviço e lavanderia 15 2 Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 25 Escolas Corredor e sala de aula Outras salas 3 2 Escritórios Sala de uso geral e banheiro 2 Forros Sem acesso ao público 05 Galerias de arte A ser determinada em cada caso porém com o mínimo de 3 Galerias de lojas A ser determinada em cada caso porém com o mínimo de 3 Garagens e estacionamentos Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25 kN por veículo 3 Ginásios de esportes 5 Hospitais Dormitórios enfermarias salas de recuperação de cirurgia de raio X e banheiro Corredor 2 3 Laboratórios Incluindo equipamentos a ser determinada porém com mínimo de 3 Lavanderias Incluindo equipamentos 3 Lojas 4 Restaurantes 3 Teatros Palco Demais dependências iguais às especificadas para cinemas 5 Terraços Com acesso ao público Sem acesso ao público Inacessível a pessoas 3 2 05 Vestíbulo Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 15 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes maciças 1129 BIBLIOGRAFIA BARES R 1972 Tablas para el calculo de placas y vigas pared Barcelona Gustavo Gili CARVALHO RC FIGUEIREDO FILHO JR 2001 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado segundo a NBR6118 NB180 e a proposta de 1999 NB199 São Carlos EdUFSCar NBR 6118 1978 Projeto e execução de obras de concreto armado Rio de Janeiro Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118 2001 Projeto de estruturas de concreto Associação Brasileira de Normas Técnicas Projeto de revisão da NBR 6118 NBR 6120 1980 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações Rio de Janeiro Associação Brasileira de Normas Técnicas PINHEIRO LM 1993 Concreto armado tabelas e ábacos São Carlos Escola de Engenharia de São Carlos USP TIMOSHENKO SP 1940 Theory of plates and shells New York McGrawHill 492p PROJETO DE LAJES MACIÇAS CAPÍTULO 12 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos Marcos V N Moreira 29 agosto 2007 PROJETO DE LAJES MACIÇAS 6121 DADOS INICIAIS A forma das lajes com todas as dimensões necessárias encontrase no desenho C1 no final do capítulo A partir desse desenho obtêmse os vãos efetivos item 14722 da NBR 61182003 considerados neste texto até os eixos dos apoios e indicados na Figura 1 Outros dados concreto C25 aços CA50 63 mm φ e CA60 5 mm φ e cobrimento c 2 cm tabela 61 da NBR 61182003 ambientes urbanos internos secos e Tabela 72 classe de agressividade ambiental I L1 L2 L3 L4 V1 V3 V2 V5 V6 V4 Figura 1 Vãos até os eixos dos apoios 122 VINCULAÇÃO No vínculo L1L2 há continuidade entre as lajes e elas são de portes semelhantes ambas serão consideradas engastadas Podese considerar como de portes semelhantes as lajes em que o momento da menor seja superior à metade do momento da outra no vínculo em comum USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 122 No vínculo L1L3 a laje L1 é bem maior que L3 Esta pode ser considerada engastada mas aquela não deve ser pois o momento fletor proveniente da L1 provocaria na L3 grandes regiões com momentos negativos comportamento diferente do que em geral se considera para lajes de edifícios Portanto será considerada para a L1 a vinculação indicada na figura 2 Figura 2 Vínculos L1L2 e L1L3 dimensões em centímetros Porém como se verifica a condição y 2x 3 2 l l a laje L1 será calculada como se fosse engastada ao longo de toda essa borda No vínculo L2L3 a laje L2 é bem maior que a L3 Esta será considerada engastada e aquela apoiada A laje L4 encontrase em balanço e não haverá equilíbrio se ela não for engastada Porém ela não tem condições de receber momentos adicionais provenientes das lajes vizinhas Portanto as lajes L2 e L3 devem ser admitidas simplesmente apoiadas nos seus vínculos com a L4 Em conseqüência do que foi exposto resultam os vínculos indicados na figura 3 e os tipos das lajes L1 L2 L3 e L4 são respectivamente 2B 2A 3 ver por exemplo a tabela 4 no final deste capítulo e laje em balanço 1y 2x 3 2 l l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 123 Figura 3 Vínculos das lajes 123 PRÉDIMENSIONAMENTO Conforme critério proposto por MACHADO 2003 para lajes maciças com bordas apoiadas ou engastadas a altura útil d pode ser estimada por meio da expressão dimensões em centímetros 100 25 01n d est l n é o número de bordas engastadas l é o menor valor entre lx menor vão e 07ly A altura h pode ser obtida com a equação 2 c d h φl Como c 2cm e adotandose para prédimensionamento φl 10mm 1cm resulta 25cm d h O prédimensionamento das lajes L1 L2 e L3 está indicado na folha ML1 no final deste capítulo USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 124 Para a laje L4 em balanço pode ser adotado critério indicado nas tabelas 4 a 6 que se encontram no final do capítulo Na tabela 4 para lajes maciças considerandose 115 σsd 500MPa CA50 obtémse Ψ3 25 Na tabela 6 para lajes em balanço 50 Ψ2 Portanto para a laje L4 resulta cm 88 25 50 110 d 3 2 x est ψ ψ l Será adotada a espessura h 10cm para todas as lajes Nas lajes em que hadot hest deverão ser verificadas as flechas 124 AÇÕES REAÇÕES E MOMENTOS FLETORES O cálculo de L1 L2 e L3 está indicado na folha ML2 Para as reações de apoio e os momentos fletores foram utilizadas as tabelas 7 a 9 e 10 a 12 respectivamente Essas tabelas encontramse no final do capítulo Importante Quando a posição das paredes for conhecida e principalmente quando elas forem de alvenaria seus efeitos devem ser cuidadosamente considerados nos elementos que as suportam Neste projeto foi considerada uma carga de paredes divisórias de 10 kNm2 atuando nas lajes L1 L2 e L3 O cálculo da laje L4 foi feito conforme o esquema indicado na figura 4 Figura 4 Esquema da laje L4 Para esta laje as cargas uniformemente distribuídas são 2 2 2 p r pp 650 kNm 300 350 q g p 300 kNm q 3 50 kNm 100 250 g g g g q g1 q1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 125 Na extremidade será considerada uma mureta de ½ tijolo cerâmico 19 kNm2 com 110 m de altura e uma carga variável de 20 kNm 4 09 kNm 200 209 q g p 200 kNm q 209 kNm 110 91 g 1 1 1 1 1 Para esses carregamentos a reação de apoio e o momento fletor sobre o apoio resultam respectivamente 24 kNm 11 4 09 110 6 50 p p r 1 l 8 43 kNmm 110 4 09 2 110 6 50 p 2 p m 2 1 2 l l As reações de apoio das lajes podem ser indicadas dentro de semicírculos como na folha ML3 Os momentos fletores estão indicados na folha ML4 na qual se encontram também os momentos fletores compatibilizados dentro dos retângulos 125 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Antes de se iniciar o cálculo das armaduras devemse considerar algumas disposições construtivas 1251 Diâmetro das barras A NBR 61182003 prescreve que para lajes qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h8 item 201 Para h 10cm temse 125 mm 12 5 mm 8 10 8 h max max φ φ A Norma não especifica para essas barras um diâmetro mínimo Porém costumase adotar φ 5mm exceto no caso de telas soldadas em que são usuais diâmetros menores 1252 Espaçamento máximo Quanto ao espaçamento máximo a NBR 61182003 no item 201 considera dois casos armadura principal e armadura secundária a Armadura principal Consideramse principais as armaduras negativas positivas na direção do menor vão para lajes λ 2 positivas nas duas direções para λ 2 Nesses casos smax 2 h ou 20cm prevalecendo o menor desses valores na região dos maiores momentos fletores Para h 10cm esses valores se confundem Portanto smax 20cm b Armadura secundária São admitidas secundárias as também conhecidas como armaduras de distribuição São elas as positivas na direção do maior vão para λ 2 as negativas perpendiculares às principais que além de servirem como armadura de distribuição ajudam a manter o correto posicionamento dessas barras superiores durante a execução da obra até a hora da concretagem da laje Para essas barras temse smax 33 cm 1253 Espaçamento mínimo A NBR 61182003 não especifica espaçamento mínimo que deve ser adotado em função de razões construtivas como por exemplo para permitir a passagem de vibrador 126 É usual adotarse espaçamento entre 10cm e smax este no caso igual a 20cm Nada impede porém que se adote espaçamento pouco menor que 10cm 1254 Armadura mínima Segundo a NBR 61182003 item 173521 a armadura mínima de tração deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir respeitada a taxa mínima absoluta de 015 Mdmin 08 W0 fctksup W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada fctksup é a resistência característica superior do concreto à tração item 825 da NBR 61182003 O dimensionamento para Mdmin deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela 173 da NBR 61182003 Segundo essa tabela 173 para concreto C25 ρsmin 015 taxa esta relativa à área total da seção de concreto Ac bh Para lajes conforme a tabela 191 da NBR 61182003 devem ser considerados os casos indicado a seguir a Armadura negativa e armadura positiva principal para λ 2 as1min ρmin bh 015100 100 10 150 cm²m b Armaduras positivas para λ 2 as2min 067ρmin bh 067 150 100 cm²m nas duas direções 127 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 128 c Armadura de distribuição ρ cm m 090 05 150 075 cm m b h 5 0 a 20 a 2 2 min princ s s3min Tabela 191 da Norma 126 CÁLCULO DAS ARMADURAS Para os momentos fletores compatibilizados indicados na folha ML4 o cálculo das armaduras está indicado na Folha ML5 em que foram utilizadas as tabelas 13 e 14 1261 Armaduras negativas Para armadura negativa temse d h c φ2 Convém iniciar o dimensionamento pelo maior momento para o qual se pode admitir inicialmente φ 10mm 1cm Sendo h 10cm e c 2cm resulta d h c φ2 10 2 05 75cm Com espaçamento entre smin da ordem de 10cm e smax neste caso igual a 20cm se resultarem barras de diâmetro muito diferente do admitido no início devese analisar a necessidade de se adotar novo valor da altura útil d e de fazer novo cálculo da armadura Pode ser necessário até mesmo modificar a espessura das lajes situação em que os cálculos precisam ser alterados desde o valor do peso próprio Adotado o diâmetro e o espaçamento relativos ao maior momento esse cálculo serve de orientação para os cálculos subseqüentes Convém observar que espaçamentos maiores acarretam menor número de barras diminuindo custos de execução Destacase também que não se pode adotar armadura menor que a mínima neste caso as1min 150cm2m item anterior 1254a 1262 Armaduras positivas As armaduras positivas são colocadas junto ao fundo da laje respeitandose o cobrimento mínimo Há dois casos a considerar barras inferiores e barras sobrepostas às inferiores a Barras inferiores As barras correspondentes à direção de maior momento fletor que em geral coincide com a direção do menor vão devem ser colocadas próximas ao fundo da laje Neste caso a altura útil é calculada como no caso da armadura negativa ou seja d h c φi 2 sendo φi o diâmetro dessas barras inferiores Convém iniciar pelo maior momento positivo como foi feito para as barras negativas Os cálculos anteriores dão uma boa indicação dos novos diâmetros a serem adotados no cálculo da altura útil d Obtidas essas armaduras devese assegurar que elas obedeçam às áreas mínimas neste caso iguais a item 1254 deste capítulo as1min 150cm²m para λ 2 e as2min 100cm²m para λ 2 b Barras sobrepostas às inferiores As barras relativas à direção de menor momento fletor são colocadas por cima das anteriores Sendo φi o diâmetro dessas barras inferiores e φs o diâmetro das barras sobrepostas a altura útil destas é dada por d h c φi φs2 Por exemplo para a laje L2 na direção vertical d 10 20 08 082 68cm Essas barras devem respeitar as áreas mínimas item 1254 deste capítulo as2min 100cm²m para λ 2 as3min 090cm²m ou o valor que for maior para λ 2 129 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1210 1263 Armadura de distribuição das barras negativas Devem respeitar à área mínima as3min dada pelo maior dos valores 02 asprinc 05 asmin ou 090 cm2m No vínculos L1L2 será adotada a armadura 138 cm m 692 20 a 2 s3min φ63 c 22 cm ase 142 cm2m Nos demais vínculos admitirseá 0 90 cm m a 2 s3min adotouse φ63 c 30 cm ase 104 cm2m Essas armaduras estão indicadas no Desenho C2 ab no final do capítulo 126 FLECHA NA LAJE L2 Será verificada a flecha na laje L2 na qual deverá ocorrer a maior flecha 1261 Verificação se há fissuras A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior momento positivo em serviço para combinação rara dado na folha ML4 636 kN cmm m m yk drara com o momento de fissuração mr dado por item 1731 da NBR 61182003 t c ct r y I f m α α 15 para seções retangulares item 825 02565 kNcm 2565 MPa 25 30 30 f f 2 2 3 3 2 ck ctm ct f 4 3 3 c 8333 cm 12 100 10 12 h b I cm 05 2 10 2 h 2 h h h x y t USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1211 Resulta kN cmm 641 50 5 02565 8333 1 y I f m t c ct r α Como mdrara mr não há fissuras e a flecha pode ser calculada com o momento de inércia Ic da seção bruta sem considerar a presença da armadura Caso contrário isto é se mdrara fosse maior que mr a flecha deveria ser calculada com o momento de inércia equivalente baseado no item 173211 da NBR 61182003 1262 Flecha imediata A flecha imediata pode ser obtida por meio da tabela 16 indicada no final deste capítulo com a expressão adaptada E I p 12 b 100 a c 4 x i l α 4 4 4 c 2 ck c 2 x 2 4 2 2 0 8333 10 cm 8333 cm I I item 828 23800 MPa 2380 kNcm 0 85 5600 25 0 85 5600 f E cm 46 10 cm 460 2 folha ML 5 40 10 kNcm 03 300 540 kNm 450 q g p 100 cm b 109 Laje tipo 2A 02 4 ψ λ α l Resulta cm 0 41 a 0 8333 10 2380 10 64 10 5 40 12 100 100 4 02 E I p 12 b 100 a i 4 8 4 4 c 4 x i α l 1263 Flecha total A flecha total é dada pela flecha inicial mais a flecha diferida Pode ser obtida multiplicandose a inicial pelo coeficiente f 1 α com f α dado no item 173212 da NBR 61182003 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1212 50 1 f ρ Δξ α Para um tempo infinito t 70 meses e carregamento aplicado em t0 1 mês obtémse tabela 171 da NBR 61182003 132 068 2 t t 0 ξ Δξ ξ ρ 0 taxa de armadura de compressão Resulta a flecha total 0 95 cm a 1 132 0 41 a 1 a t f i t α 1264 Flecha limite Flecha limite admitida pela NBR 61182003 na tabela 132 para aceitabilidade sensorial 184 cm 250 460 250 x l Como 250 a x t l a flecha atende esta especificação da citada Norma Pode ser necessária a verificação de outros tipos de efeito indicados na tabela 132 Fazendo um cálculo análogo para a laje L1 terseia tipo 2B λ 182 mxk 626 kNmm α 549 lx 380 cm ai 026 cm e 152 cm 060 cm 250 a x t l Portanto com relação às flechas poderia ser adotada uma espessura menor para as lajes USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1213 127 CISALHAMENTO Deve ser verificado de acordo com o item 194 da NBR 61182003 para os maiores valores das forças cortantes que atuam nas lajes Na folha ML3 na borda direita da L1 ocorre o maior valor v 1445 kNm 128 COMPRIMENTO DAS BARRAS SOBRE OS APOIOS A armação das lajes encontrase no desenho C2 ab no final deste capítulo O cálculo dos comprimentos das barras sobre os apoios internos é diferente do relativo à laje L4 em balanço 1281 Apoios internos Podem ser adotadas barras alternadas com comprimentos horizontais dados pela expressão 075 d 20 8 3 a xmax φ l No vínculo L1L2 serão adotadas barras de comprimento calculado com lxmax 460 cm laje L2 figura 1 Nos vínculos L1L3 e L2L3 considerase lxmax 230 cm da laje L3 pois a L2 foi admitida simplesmente apoiada nesses vínculos O cálculo dos comprimentos das barras para os apoios internos está indicado na tabela 1 ver também desenho C2 ab 1282 Laje L4 em balanço Sendo l o comprimento da barra no balanço adotase o comprimento total do trecho horizontal igual a l 25 ver figura 6 e desenho C2 ab 25 25 110 2 270 cm a l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1214 Tabela 1 Comprimentos dos trechos horizontais das barras em centímetros a valor inteiro mais próximo múltiplo de 5 cm 1418 657 709 858 858 1366 1418 15 Figura 6 Comprimento total do trecho horizontal nos vínculos L2L4 e L3L4 129 COMPRIMENTO DAS BARRAS POSITIVAS O comprimento das barras positivas pode ser obtido com base na figura 7 e no desenho C1 Figura 7 Comprimento das barras positivas Vínculo lxmax φ d 38 lxmax 20φ 075d a a3a 2a3a aadot L1L2 460 10 75 1725 20 56 198 65 130 195 L1L3 L2L3 230 063 768 863 126 58 105 35 70 105 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1215 Nos apoios de extremidade serão adotadas barras com ganchos de 90º prolongados até a face externa respeitandose o cobrimento Nos apoios internos com lajes adjacentes serão adotadas barras sem ganchos prolongadas de pelo menos 10φ a partir da face do apoio O cálculo dos comprimentos das barras positivas está indicado na tabela 2 na qual φ é o diâmetro da barra folha ML6 no final do capítulo l0 é o vão livre desenho C1 d e e l l Δ Δ são os acréscimos de comprimento à esquerda e à direita de valor t c ou 10φ para φ 10 mm podese adotar 10 cm no lugar de 10φ t é a largura do apoio c é o cobrimento da armadura c 2cm l1nec l0 Dle Dld l1adot é o valor adotado do trecho horizontal da barra l1nec l0 Dle Dld Δ gl é o acréscimo de comprimento de um ou de dois ganchos se houver tabela 15 ltot l1adot Dlg ltot é o comprimento total da barra USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1216 Tabela 2 Comprimento das barras positivas em centímetros Para a laje L1 na direção vertical o comprimento l1nec 706cm é o valor máximo para que seja respeitado o cobrimento nas duas extremidades da barra Em geral os valores adotados l1adot são múltiplos de 5 cm ou de 10 cm Os comprimentos adotados estão indicados no desenho C2 ab 1210 ARMADURAS DE CANTO Na laje L1 nos dois cantos esquerdos e na laje L2 canto superior direito não há armadura negativa Nessas posições serão colocadas armaduras superiores de canto conforme o detalhe 3 do desenho C2 ab válido para os três cantos Para as lajes L1 e L2 os maiores valores de xl e da armadura positiva são folhas ML1 e ML5 respectivamente lx 460cm e 296 cm m a 2 s Então o comprimento do trecho horizontal das barras de canto e a área por unidade de largura são lh lx 5 110 cm 18 92 2 20 5 460 t 2 156 cm m tabela 14 148 cm m Adotado 63 c 20 a 2 296 2 a a 2 se 2 s sc φ O detalhe das armaduras de canto encontrase no desenho C2 ab Laje Direção φ l0 le ld l1nec l1adot lg ltot Horiz 08 360 18 8 386 390 8 398 L1 Vert 05 670 18 18 706 705 55 715 Horiz 08 480 8 18 506 510 8 518 L2 Vert 08 440 8 18 466 470 8 478 Horiz 063 480 63 63 4926 500 500 L3 Vert 063 210 18 63 2343 240 6 246 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1217 1211 NÚMERO DAS BARRAS Há várias maneiras de numerar as barras Como as primeiras a serem posicionadas nas formas são as barras positivas recomendase começar por elas e em seguida numerar as negativas 12111 Numeração das barras positivas O procedimento ora sugerido consiste em numerar primeiro as barras positivas começando pelas barras horizontais da esquerda para a direita e de cima para baixo Para numerar as barras verticais girase o desenho de 90º no sentido horário o que equivale a posicionar o observador à direita do desenho Continuase a numeração seguindo o mesmo critério adotado para as barras horizontais A numeração das barras inferiores está indicada no Desenho C2 ab Essas barras são as seguintes N1 N2 N6 Para garantir o correto posicionamento das barras convém que seja colocado de forma clara nos desenhos de armação das lajes BARRAS POSITIVAS DE MAIOR ÁREA POR METRO DEVEM SER COLOCADAS POR BAIXO N1 N5 e N6 12112 Numeração das barras negativas Terminada a numeração das barras positivas iniciase a numeração das barras negativas com os números subseqüentes N7 N8 etc Elas podem ser numeradas com o mesmo critério da esquerda para a direita de cima para baixo com o desenho na posição normal e em seguida fazendo a rotação de 90º da folha no sentido horário Obtêmse dessa maneira as barras N7 N8 N9 e N10 indicadas no desenho C2 ab já citado Na seqüência são numeradas as barras de distribuição da armadura negativa e outras barras eventualmente necessárias USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1218 12113 Barras de distribuição As barras N10 já citadas são de distribuição nos vínculos L2L4 e L3L4 Outras barras de distribuição relativas às armaduras negativas são N11 no vínculo L1L2 e N12 nos vínculos L1L3 e L2L3 ver desenho C2 ab O cálculo dos comprimentos das barras de distribuição é feito em geral como em barras corridas assim denominadas aquelas em que não há posição definida para as emendas Essas emendas devem ser desencontradas ou seja não devem ser feitas em uma única seção Para levar em conta as emendas o comprimento calculado deve ser majorado em 5 O comprimento das emendas deve ser indicado no desenho de armação Os comprimentos médios das barras corridas resultam ver desenho C1 N11 lm 440 18 18 105 500cm N12 lm 210 18 18 480 18 18 105 800cm 12114 Barras de canto As barras de canto serão as N13 desenho C2 ab 1212 QUANTIDADE DE BARRAS A quantidade in de barras i N pode ser obtida pela equação i j i s n b bj é a largura livre na direção perpendicular à das barras desenho C1 si é o espaçamento das barras Ni desenho C2 ab Poucas vezes ni vai resultar um número inteiro Mesmo nesses casos e nos demais devese arredondar ni para o número inteiro imediatamente inferior ao valor obtido conforme está indicado na tabela 3 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1219 Para a N11 em vez de cinco foram adotadas quatro barras de cada lado 1213 DESENHO DE ARMAÇÃO A armação das lajes encontrase nos desenhos C2 ab e C2 bb nos quais estão também a relação das barras com diâmetros quantidades e comprimentos e o resumo das barras com tipo de aço bitola comprimento total número inteiro em metros massa de cada bitola kNm massa total mais 10 número inteiro em quilogramas por conta de perdas e a soma dessas massas REFERÊNCIAS MACHADO Claudinei Pinheiro 2003 Informação pessoal NBR 61182003 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro ABNT Barra bj si nicalc niadot N1 670 18 372 37 N2 440 18 244 24 N3 210 33 64 6 N4 360 20 180 17 N5 480 20 240 23 N6 480 17 282 28 N7 450 11 409 40 N8 470 20 235 23 N9 220 20 110 10 N10 e 150 33 45 4 N10 d 100 33 30 2 N11 120 22 55 5 N12 60 30 20 2 N13 92 20 46 4 Tabela 3 Quantidade das barras bj e si em centímetros USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1220 RELAÇÃO DOS ANEXOS Tabelas de cálculo Tabela 4 Prédimensionamento valores de ψ2 e ψ3 Tabela 5 Prédimensionamento valores de ψ2 Tabela 6 Prédimensionamento valores de ψ2 Tabela 7 Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 8 Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 9 Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 10 Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 11 Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 12 Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 13 Flexão simples em seção retangular armadura simples Tabela 14 Área de seção de barras por metro de largura Tabela 15 Comprimentos de ganchos e dobras Tabela 16 Flechas em lajes com carga uniforme Folhas de memória de cálculo ML1 Prédimensionamento ML2 Esforços nas lajes ML3 Reações de apoio ML4 Momentos fletores ML5 Cálculo das armaduras ML6 Esquema das barras Desenhos C1 Forma das Lajes C2 ab Armação das Lajes C2 bb Armação das Lajes USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1221 Tabela 4 PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 E ψ3 TIPO TIPO x y l λ l ψ2 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ x y l λ l 100 150 170 170 180 190 190 200 200 220 100 105 148 167 168 178 186 189 197 198 217 105 110 146 164 167 176 183 188 194 197 215 110 115 144 161 165 174 179 187 191 195 212 115 120 142 158 164 172 176 186 188 194 210 120 125 140 155 162 170 172 185 185 192 207 125 130 138 152 161 168 169 184 182 191 205 130 135 136 149 159 166 165 183 179 189 202 135 140 134 146 158 164 162 182 176 188 200 140 145 132 143 156 162 158 181 173 186 197 145 150 130 140 155 160 155 180 170 185 195 150 155 128 137 153 158 151 179 167 183 192 155 160 126 134 152 156 148 178 164 182 190 160 165 124 131 150 154 144 177 161 180 187 165 170 122 128 149 152 141 176 158 179 185 170 175 120 125 147 150 137 175 155 177 182 175 180 118 122 146 148 134 174 152 176 180 180 185 116 119 144 146 130 173 149 174 177 185 190 114 116 143 144 127 172 146 173 175 190 195 112 113 141 142 123 171 143 171 172 195 200 110 110 140 140 120 170 140 170 170 200 ψ3 PARA VIGAS E LAJES 115 ssd MPa VIGAS E LAJES NERVURADAS LAJES MACIÇAS 250 25 35 320 22 33 400 20 30 500 17 25 600 15 20 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro e PR Wolsfensberger dest l ψ2ψ3 onde l lx menor vão ssd tensão na armadura para solicitação de cálculo Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1222 Tabela 5 PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 TIPO TIPO a b γ l l ψ3 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ a b γ l l 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 055 059 072 061 072 065 066 055 060 067 090 070 090 077 080 060 065 073 105 078 105 087 092 065 070 079 119 084 119 096 101 070 075 083 130 090 130 103 110 075 080 087 140 095 140 110 117 080 085 091 149 099 149 116 124 085 090 094 157 103 157 121 130 090 095 097 164 107 164 126 135 095 100 100 170 110 170 130 140 100 110 100 170 109 170 130 139 110 120 100 170 108 170 130 138 120 130 100 170 107 170 130 137 130 140 100 170 106 170 130 136 140 150 100 170 105 170 130 135 150 160 100 170 104 170 130 134 160 170 100 170 103 170 130 133 170 180 100 170 102 170 130 132 180 190 100 170 101 170 130 131 190 200 100 170 100 170 130 130 200 200 100 170 100 170 120 120 200 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro dest l ψ2ψ3 onde l menor vão entre la e lb la vão perpendicular a borda livre ψ3 é dado na Tabela 21a Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1223 100 050 060 060 070 100 110 048 059 059 068 110 120 046 058 058 066 120 130 044 057 057 064 130 140 042 056 056 062 140 150 040 055 055 060 150 160 038 054 054 058 160 170 036 053 053 056 170 180 034 052 052 054 180 190 032 051 051 052 190 200 030 050 050 050 200 200 050 050 200 10 12 17 05 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos Tabela 6 PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 TIPO TIPO ψ2 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ ψ2 PARA VIGAS E LAJES ARMADAS NUMA SÓ DIREÇÃO x 2 ψ ψ3 l l l est 3 d onde menor vão ψ é dado na Tabela 3 x y l l λ x y l l λ USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1224 Tabela 7 REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x lx ly 2A l x y y x 2B y lx l x y x y l λ l νx νy νx νy νy νx νx νy x y l l λ 100 250 250 183 275 402 275 402 183 100 105 262 250 192 280 410 282 413 183 105 110 273 250 201 285 417 289 423 183 110 115 283 250 210 288 422 295 432 183 115 120 292 250 220 291 427 301 441 183 120 125 300 250 229 294 430 306 448 183 125 130 308 250 238 295 432 311 455 183 130 135 315 250 247 296 433 316 462 183 135 140 321 250 256 296 433 320 468 183 140 145 328 250 264 296 433 324 474 183 145 150 333 250 272 296 433 327 479 183 150 155 339 250 280 296 433 331 484 183 155 160 344 250 287 296 433 334 489 183 160 165 348 250 293 296 433 337 493 183 165 170 353 250 299 296 433 340 497 183 170 175 357 250 305 296 433 342 501 183 175 180 361 250 310 296 433 345 505 183 180 185 365 250 315 296 433 347 509 183 185 190 368 250 320 296 433 350 512 183 190 195 372 250 325 296 433 352 515 183 195 200 375 250 329 296 433 354 518 183 200 200 500 250 500 296 433 438 625 183 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 p v 10 x ν l p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1225 Tabela 8 REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 3 x y y x 4A l x y y x 4B y lx x y l x y l λ l νx νx νy νy νx νy νx νy x y l l λ 100 217 317 217 317 144 356 356 144 100 105 227 332 217 317 152 366 363 144 105 110 236 346 217 317 159 375 369 144 110 115 245 358 217 317 166 384 374 144 115 120 253 370 217 317 173 392 380 144 120 125 260 380 217 317 180 399 385 144 125 130 263 390 217 317 188 406 389 144 130 135 273 399 217 317 195 412 393 144 135 140 278 408 217 317 202 417 397 144 140 145 284 415 217 317 209 422 400 144 145 150 289 423 217 317 217 425 404 144 150 155 293 429 217 317 224 428 407 144 155 160 298 436 217 317 231 430 410 144 160 165 302 442 217 317 238 432 413 144 165 170 306 448 217 317 245 433 415 144 170 175 309 453 217 317 253 433 418 144 175 180 313 458 217 317 259 433 420 144 180 185 316 463 217 317 263 433 422 144 185 190 319 467 217 317 272 433 424 144 190 195 322 471 217 317 278 433 426 144 195 200 325 475 217 317 283 433 428 144 200 200 438 625 217 317 500 433 500 144 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 p v 10 x ν l p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1226 Tabela 9 REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 5A x y y x l 5B l x y y lx x 6 y l y lx x y l λ l νx νx νy νx νy νy νx νy x y l l λ 100 171 250 303 303 171 250 250 250 100 105 179 263 308 312 171 250 262 250 105 110 188 275 311 321 171 250 273 250 110 115 196 288 314 329 171 250 283 250 115 120 205 300 316 336 171 250 292 250 120 125 213 313 317 342 171 250 300 250 125 130 222 325 317 348 171 250 308 250 130 135 230 336 317 354 171 250 315 250 135 140 237 347 317 359 171 250 321 250 140 145 244 357 317 364 171 250 328 250 145 150 250 366 317 369 171 250 333 250 150 155 256 375 317 373 171 250 339 250 155 160 261 383 317 377 171 250 344 250 160 165 267 390 317 381 171 250 348 250 165 170 272 398 317 384 171 250 353 250 170 175 276 404 317 387 171 250 357 250 175 180 280 411 317 390 171 250 361 250 180 185 285 417 317 393 171 250 365 250 185 190 289 422 317 396 171 250 368 250 190 195 292 428 317 399 171 250 372 250 195 200 296 433 317 401 171 250 375 250 200 200 438 625 317 500 171 250 500 250 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 p v 10 x ν l p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1227 Tabela 10 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x lx ly 2A l x y y x l 2B y lx l x y Tipo x y l λ l μx μy μx μy μy μx μx μy x y l l λ 100 423 423 291 354 840 354 840 291 100 105 462 425 326 364 879 377 879 284 105 110 500 427 361 374 918 399 917 276 110 115 538 425 398 380 953 419 949 268 115 120 575 422 435 386 988 438 980 259 120 125 610 417 472 389 1016 455 1006 251 125 130 644 412 509 392 1041 471 1032 242 130 135 677 406 544 393 1064 486 1054 234 135 140 710 400 579 394 1086 500 1075 225 140 145 741 395 612 391 1105 512 1092 219 145 150 772 389 645 388 1123 524 1109 212 150 155 799 382 676 385 1139 534 1123 204 155 160 826 374 707 381 1155 544 1136 195 160 165 850 366 728 378 1167 553 1148 187 165 170 874 358 749 374 1179 561 1160 179 170 175 895 353 753 369 1188 568 1172 174 175 180 916 347 756 363 1196 575 1184 168 180 185 935 338 810 358 1205 581 1194 167 185 190 954 329 863 353 1214 586 1203 159 190 195 973 323 886 345 1217 590 1208 154 195 200 991 316 908 336 1220 594 1213 148 200 200 1250 316 1250 336 1220 703 1250 148 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 p m 100 x μ l p carga uniforme lx menor vão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1228 Tabela 11 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 3 x y y x l 4A l x y y x l 4B y lx x y l Tipo x y l λ l μx μx μy μy μx μy μy μx μx μy x y l l λ 100 269 699 269 699 201 309 699 309 699 201 100 105 294 743 268 718 232 323 743 322 720 192 105 110 319 787 267 736 263 336 787 335 741 183 110 115 342 828 265 750 293 346 826 346 756 173 115 120 365 869 262 763 322 356 865 357 770 163 120 125 386 903 256 772 363 364 903 366 782 156 125 130 406 937 250 781 399 372 933 374 793 149 130 135 424 965 245 788 434 377 969 380 802 141 135 140 442 993 239 794 469 382 1000 386 811 133 140 145 458 1017 232 800 503 386 1025 391 813 126 145 150 473 1041 225 806 537 390 1049 396 815 119 150 155 486 1062 216 809 570 390 1070 400 820 114 155 160 499 1082 207 812 603 389 1091 404 825 108 160 165 510 1099 199 814 635 385 1108 407 828 103 165 170 521 1116 191 815 667 381 1124 410 830 098 170 175 531 1130 185 816 697 379 1139 412 831 095 175 180 540 1143 178 817 727 376 1153 414 832 091 180 185 548 1155 172 817 755 372 1165 415 833 087 185 190 556 1167 166 818 782 367 1177 416 833 083 190 195 563 1178 163 819 809 360 1183 416 833 080 195 200 570 1189 160 820 835 352 1188 417 833 076 200 200 703 1250 160 820 1250 352 1188 417 833 076 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 p m 100 x μ l p carga uniforme lx menor vão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1229 Tabela 12 MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 5A x y y x l 5B l x y y lx x 6 y l y lx Tipo x y l λ l μx μx μy μy μx μx μy μy μx μx μy μy x y l l λ 100 202 546 252 617 252 617 202 546 202 515 202 515 100 105 227 598 256 646 270 647 197 556 222 550 200 529 105 110 252 650 260 675 287 676 191 565 242 585 198 543 110 115 276 711 263 697 302 699 184 570 265 614 194 551 115 120 300 772 265 719 316 722 177 575 287 643 189 559 120 125 323 881 264 736 328 740 170 575 297 667 183 564 125 130 345 859 261 751 340 757 162 576 306 690 177 568 130 135 366 874 257 763 350 770 155 575 319 709 171 569 135 140 386 888 253 774 359 782 147 574 332 728 165 570 140 145 405 916 248 783 367 791 141 573 343 743 157 571 145 150 423 944 243 791 374 800 135 572 353 757 149 572 150 155 439 968 239 798 380 807 129 569 361 768 143 572 155 160 455 991 234 802 386 814 123 566 369 779 136 572 160 165 470 1013 228 803 391 820 118 562 376 788 129 572 165 170 484 1034 222 810 395 825 113 558 383 797 121 572 170 175 497 1053 215 813 399 830 107 556 388 805 117 572 175 180 510 1071 208 817 402 834 100 554 392 812 113 572 180 185 520 1088 202 816 405 838 097 555 396 818 107 572 185 190 530 1104 196 814 408 842 094 556 399 824 101 572 190 195 540 1120 188 813 410 845 091 560 402 829 099 572 195 200 550 1135 180 812 412 847 088 564 405 833 096 572 200 200 703 1250 180 812 417 833 088 564 417 833 096 572 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 p m 100 x μ l p carga uniforme lx menor vão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1230 002 519 415 346 297 259 231 208 0046 0023 0019 004 262 209 174 150 131 116 105 0047 0023 0020 006 176 141 117 101 88 78 70 0047 0024 0020 008 133 106 89 76 67 59 53 0048 0024 0020 010 107 86 72 61 54 48 43 0048 0024 0020 012 90 72 60 52 45 40 36 0048 0024 0020 014 78 62 52 45 39 35 31 0049 0024 0020 016 69 55 46 39 34 31 28 0049 0025 0021 018 62 49 41 35 31 27 25 0050 0025 0021 020 56 45 37 32 28 25 22 0050 0025 0021 022 51 41 34 29 26 23 21 0050 0025 0021 024 47 38 32 27 24 21 19 0051 0025 0021 026 44 35 30 25 22 20 18 0051 0026 0021 028 41 33 28 24 21 18 17 0052 0026 0022 030 39 31 26 22 20 17 16 0052 0026 0022 032 37 30 25 21 18 16 15 0053 0026 0022 034 35 28 23 20 18 16 14 0053 0027 0022 036 33 27 22 19 17 15 13 0054 0027 0022 038 32 26 21 18 16 14 13 0054 0027 0023 040 31 25 20 18 15 14 12 0055 0027 0023 042 30 24 20 17 15 13 12 0055 0028 0023 0438 29 23 19 16 14 13 11 0056 0028 0023 044 28 23 19 16 14 13 11 0056 0028 046 27 22 18 16 14 12 11 0056 0028 048 27 21 18 15 13 12 11 0057 0029 050 26 21 17 15 13 11 10 0058 0029 052 25 20 17 14 13 11 10 0058 0029 054 24 20 16 14 12 11 10 0059 0029 056 24 19 16 14 12 11 10 0059 0030 058 23 19 15 13 12 10 09 0060 0030 060 23 18 15 13 11 10 09 0061 0030 0628 22 18 15 13 11 10 09 0061 0031 064 22 17 14 12 11 10 09 0062 068 21 17 14 12 10 09 08 0063 072 20 16 13 12 10 09 08 0065 076 20 16 13 11 10 09 08 0066 0772 19 15 13 11 10 09 08 0067 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro Diagrama retangular de tensões no concreto γc 14 e γs 115 Para γc 14 multiplicar b por 14γc antes de usar a tabela CA25 CA50 CA60 C30 C35 C40 C45 De acordo com a NBR 61182003 3 Tabela 13 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES C50 2 C20 C25 D O M Í N I O cm kN M bd k 2 d 2 c d βc x cm kN M A d k 2 d s s USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1231 s s cm 50 63 80 100 125 160 cm 50 392 624 1006 1570 2454 4022 50 55 356 567 915 1427 2231 3656 55 60 327 520 838 1308 2045 3352 60 65 302 480 774 1208 1888 3094 65 70 280 446 719 1121 1753 2873 70 75 261 416 671 1047 1636 2681 75 80 245 390 629 981 1534 2514 80 85 231 367 592 924 1444 2366 85 90 218 347 559 872 1363 2234 90 95 206 328 529 826 1292 2117 95 100 196 312 503 785 1227 2011 100 110 178 284 457 714 1115 1828 110 120 163 260 419 654 1023 1676 120 125 157 250 402 628 982 1609 125 130 151 240 387 604 944 1547 130 140 140 223 359 561 876 1436 140 150 131 208 335 523 818 1341 150 160 123 195 314 491 767 1257 160 170 115 184 296 462 722 1183 170 175 112 178 287 449 701 1149 175 180 109 173 279 436 682 1117 180 190 103 164 265 413 646 1058 190 200 098 156 252 393 614 1006 200 220 089 142 229 357 558 914 220 240 082 130 210 327 511 838 240 250 078 125 201 314 491 804 250 260 075 120 193 302 472 773 260 280 070 111 180 280 438 718 280 300 065 104 168 262 409 670 300 330 059 095 152 238 372 609 330 De acordo com a NBR 74801996 ÁREA DA SEÇÃO DE BARRAS POR METRO DE LARGURA aS cm2m Tabela 14 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro DIÂMETRO NOMINAL mm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1232 CA25 CA25 A A B C A A B C 5 7 8 8 9 9 9 7 11 5 63 9 10 10 12 11 11 9 13 63 8 11 13 12 15 14 14 12 17 8 10 14 16 15 18 18 18 14 21 10 125 17 20 19 23 25 27 21 28 125 16 22 25 24 29 32 35 27 36 16 20 32 45 38 40 44 57 42 48 20 22 35 49 42 44 48 62 47 53 22 25 40 56 48 50 55 71 53 60 25 32 51 71 61 64 70 90 68 77 32 40 63 89 77 81 87 113 85 97 40 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com os itens 9423 e 9461 da NBR 61182003 Arm tração n 2 Estribos n 5 n 10 n 5 CA50 φ TIPO A TIPO C TIPO B n 4 n 8 Tabela 15 COMPRIMENTOS DE GANCHOS E DOBRAS cm CA25 E CA50 ACRÉSCIMO DE COMPRIMENTO PARA DOIS GANCHOS l2 l1 φ ARMADURAS DE TRAÇÃO ESTRIBOS CA50 r nφ i nφ ir nφ ir USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1233 Tabela 16 FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE α Tipo de Laje x y l λ l 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 100 476 326 326 246 225 225 184 184 149 105 526 368 348 272 260 235 208 196 163 110 574 411 370 296 297 245 231 208 177 115 620 455 389 318 335 253 254 218 190 120 664 500 409 340 374 261 277 228 202 125 708 544 426 361 414 268 300 237 214 130 749 588 443 380 456 274 322 246 224 135 790 632 458 399 501 277 342 253 234 140 829 674 473 415 541 280 362 261 241 145 867 715 487 431 583 285 380 267 249 150 903 755 501 446 625 289 398 273 256 155 939 795 509 461 666 291 414 278 262 160 971 832 518 473 706 292 430 282 268 165 1004 868 522 486 746 292 445 283 273 170 1034 903 526 497 784 293 459 284 277 175 1062 936 536 506 821 293 471 286 281 180 1091 969 546 516 858 294 484 288 285 185 1116 1000 553 525 893 294 496 290 288 190 1141 1029 560 533 925 295 507 292 290 195 1165 1058 568 541 958 295 517 294 293 200 1189 1087 576 549 990 296 528 296 296 1563 1563 650 650 1563 313 650 313 313 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 4 α x ia l c p b 100 12 E I b largura da seção lx menor vão Ec módulo de elasticidade p carga uniforme ly maior vão I Momento de Inércia USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1234 L1 L2 L3 L4 L1 L2 L3 lx cm 380 460 230 ly cm 690 500 500 07ly cm 483 350 350 l cm 380 350 230 n 1 1 2 dest cm 91 84 53 hest cm 116 109 78 h cm 10 10 10 l é o menor valor entre lx e 07 ly n é o número de bordas engastadas Critério Assunto Folha dest 25 01n l100 Prédimensionamento ML1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1235 L1 L2 L3 Tipo 2B 2A 3 lx m 380 460 230 ly m 690 500 500 lylx 182 109 217 Peso Próprio 250 250 250 Piso Revestimento 100 100 100 Divisórias 100 100 100 Carga de uso 300 300 300 g 450 450 450 q 300 300 300 p 750 750 750 νx 346 201 438 νx 507 625 νy 183 285 217 νy 417 317 rx 986 693 756 rx 1445 1078 ry 522 983 374 ry 1439 547 μx 578 361 703 μx 1189 1250 μy 166 374 160 μy 918 820 mx 626 573 279 mx 1288 496 my 180 594 063 my 1457 325 Reações de Apoio kNm Momentos Fletores kNmm Lajes Características Ações kNm2 Unidades Assunto Folha kN e m Esforços nas lajes ML2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1236 522 986 1445 983 374 1124 756 1078 693 693 1439 547 522 V1 V3 V2 V4 V6 V5 L1 L2 L3 L4 Unidades Assunto Folha kNm Reações de Apoio ML3 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1237 180 0 626 626 325 325 063 843 843 636 1373 626 180 279 496 573 180 063 843 843 0 0 594 1288 1457 626 180 279 496 0 573 Unidades Assunto Folha kNmm Momentos Fletores ML4 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1238 MOMENTO mk md φ d kc ks asnec φ cs ase L1L2 1373 1922 10 75 29 0027 692 φ 10 c 11 714 L1L3 325 455 63 768 13 0024 142 φ 63 c 20 156a L2L4 L3L4 843 1180 10 75 48 0025 393 φ 10 c 20 393 L2L3 496 694 63 768 85 0024 217 φ 63 c 14 223 mx 626 876 8 76 66 0024 277 φ 8 c 18 279 L1 λ182 my 180 252 5 695 192 0023 083 φ 5 c 20 098b mx 1 573 802 8 68 58 0025 295 φ 8 c 17 296 L2 λ109 my 636 890 82 76 65 0024 281 φ 8 c 18 279 mx 279 391 63 768 151 0024 122 φ 63 c 20 156a L3 λ217 my 63 88 63 705 565 0023 029 φ 63 c 33 095c 1 Momento direção vertical a as1min 150 cm²m 2 Barra direção horizontal por baixo b as2min 100 cm²m c as3min 090 cm²m Unidades Assunto Folha kN e cm Cálculo das armaduras ML5 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1239 8 8 130 65 130 65 8 70 35 70 35 8 8 70 35 70 35 8 N4 φ 5c20 N1 φ 8c18 N3 φ 63c33 N5 φ 63c20 N10 42 φ 63c33 N6 φ 8c17 N2 φ 8c18 N9 φ 63c20 N8 φ 10c20 N7 φ 10c11 5 5 8 6 7 7 8 8 8 270 8 N9 φ 63c14 N1 N2 e N5 por baixo N10 face superior por baixo da N8 c 2cm Especificações Assunto Folha φ 5 mm CA60 Demais CA50 Esquema das barras ML6 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1240 P1 20x20 P2 20x20 P3 20x20 P4 20x20 P5 20x20 P6 20x20 P7 20x20 P8 20x20 P9 20x20 L1 h10 L2 h10 L3 h10 L4 h10 V1 20x40 V3 20x40 V2 20x40 V4 20x40 V5 20x40 V6 20x40 Dimensões em cm Especificações Assunto Desenho C25 γc 14 CA50 c 2cm Forma das Lajes C1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1241 398 211 470 466 240 121 510 N2 24 φ 8c18 518 Detalhe 3 Detalhe 3 500 Detalhe 3 N7 40 φ 10c11 8 130 65 130 65 8 N9 10 φ 63c20 8 8 70 35 70 35 N8 23 φ 10c20 286 8 8 270 34N9 φ 63c14 8 8 70 35 70 35 N10 42 φ 63c33 480 7 7 8 N5 23 φ 63c20 246 6 N3 6 φ 63c33 500 5 5 8 N1 37 φ 8c18 N4 17 φ 5c20 715 8 N6 28 φ 8c17 428 705 390 Detalhe 1 N7 V5 Detalhe 3 3x 4N11 4N11 N11 44 φ 63c22 lm500 Detalhe 2 N9 V5V2 2N12 2N12 N11 22 φ 63c30 lm800 8 8 N13 4 φ 63c20 126 4 N13 c20 110 Aços Assunto Desenho N1 N2 e N5 por baixo N10 face superior por baixo da N8 Armação das Lajes C2 ab USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças 1242 Unitário Total N1 8 37 398 14726 N2 8 24 518 12432 N3 63 6 500 3000 N4 5 17 715 12155 N5 63 23 246 5658 N6 8 28 478 13384 N7 10 40 211 8440 N8 10 23 286 6578 N9 63 44 121 5324 N10 63 6 480 2880 N11 63 8 500 4000 N12 63 4 800 3200 N13 63 24 126 3024 Barra φ mm Quantidade RELAÇÃO DAS BARRAS Comprimento m φ Compr Total Massa Massa total 10 mm m kgm kg 5 122 0154 21 63 271 0245 73 8 405 0395 176 10 150 0617 102 Total 372 CA60 CA50 RESUMO DAS BARRAS Aços Assunto Desenho φ 5mm CA60 Demais CA50 Armação das Lajes C2 bb CISALHAMENTO EM VIGAS CAPÍTULO 13 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 13 set 2007 CISALHAMENTO EM VIGAS As vigas em geral são submetidas simultaneamente a momento fletor e a força cortante Em etapa anterior o efeito do momento fletor foi analisado separadamente Neste capítulo considerase o efeito conjunto dessas duas solicitações com destaque para o cisalhamento 131 COMPORTAMENTO RESISTENTE Considerese a viga biapoiada Figura 131 submetida a duas forças F iguais e eqüidistantes dos apoios armada com barras longitudinais tracionadas e com estribos para resistir os esforços de flexão e de cisalhamento respectivamente A armadura de cisalhamento poderia também ser constituída por estribos associados a barras longitudinais curvadas barras dobradas Para pequenos valores da força F enquanto a tensão de tração for inferior à resistência do concreto à tração na flexão a viga não apresenta fissuras ou seja as suas seções permanecem no Estádio I Nessa fase originase um sistema de tensões principais de tração e de compressão Com o aumento do carregamento no trecho de momento máximo entre as forças a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras fissuras de flexão verticais Nas seções fissuradas a viga encontrase no Estádio II e a resultante de tração é resistida exclusivamente pelas barras longitudinais No início da fissuração da região central os trechos junto aos apoios sem fissuras ainda se encontram no Estádio I Continuando o aumento do carregamento surgem fissuras nos trechos entre as forças e os apoios as quais são inclinadas por causa da inclinação das tensões principais de tração σI fissuras de cisalhamento A inclinação das fissuras USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 132 corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões principais isto é aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração Com carregamento elevado a viga em quase toda sua extensão encontra se no Estádio II Em geral apenas as regiões dos apoios permanecem isentas de fissuras até a ocorrência de ruptura A Figura 131 indica a evolução da fissuração de uma viga de seção T para vários estágios de carregamento Figura 131 Evolução da fissuração 132 MODELO DE TRELIÇA O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch no início do século XX e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça Considerando uma viga biapoiada de seção retangular Mörsch admitiu que após a fissuração seu comportamento é similar ao de uma treliça como a indicada na Figura 132 formada pelos elementos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 133 banzo superior cordão de concreto comprimido banzo inferior armadura longitudinal de tração diagonais comprimidas bielas de concreto entre as fissuras diagonais tracionadas armadura transversal de cisalhamento Na Figura 132 está indicada armadura transversal com inclinação de 90 formada por estribos Figura 132 Analogia de treliça Essa analogia de treliça clássica considera as seguintes hipóteses básicas fissuras e portanto as bielas de compressão com inclinação de 45 banzos paralelos treliça isostática portanto não há engastamento nos nós ou seja nas ligações entre os banzos e as diagonais armadura de cisalhamento com inclinação entre 45 e 90 Porém resultados de ensaios comprovam que há imperfeições na analogia de treliça clássica Isso se deve principalmente a três fatores a inclinação das fissuras é menor que 45 os banzos não são paralelos há o arqueamento do banzo comprimido principalmente nas regiões dos apoios USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 134 a treliça é altamente hiperestática ocorre engastamento das bielas no banzo comprimido e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que a das barras tracionadas Para um cálculo mais refinado tornamse necessários modelos que considerem melhor a realidade do problema Por esta razão como modelo teórico padrão adotase a analogia de treliça mas a este modelo são introduzidas correções para levar em conta as imprecisões verificadas 133 MODOS DE RUÍNA Numa viga de concreto armado submetida a flexão simples vários tipos de ruína são possíveis entre as quais ruínas por flexão ruptura por falha de ancoragem no apoio ruptura por esmagamento da biela ruptura da armadura transversal ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento e ruína por flexão localizada da armadura longitudinal a Ruínas por flexão Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3 a ruína ocorre após o escoamento da armadura ocorrendo abertura de fissuras e deslocamentos excessivos flechas que servem como aviso da ruína Nas vigas dimensionadas no Domínio 4 a ruína se dá pelo esmagamento do concreto comprimido não ocorrendo escoamento da armadura nem grandes deslocamentos o que caracteriza uma ruína sem aviso b Ruptura por falha de ancoragem no apoio A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio em decorrência do efeito de arco No caso de ancoragem insuficiente pode ocorrer o colapso na junção da diagonal comprimida com o banzo tracionado junto ao apoio A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente usualmente se propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da viga USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 135 O deslizamento da armadura longitudinal na região de ancoragem pode causar ruptura por cisalhamento da alma A rigor esse tipo de ruptura não decorre da força cortante mas sim da falha na ancoragem do banzo tracionado na diagonal comprimida nas proximidades do apoio c Ruptura por esmagamento da biela No caso de seções muito pequenas para as solicitações atuantes as tensões principais de compressão podem atingir valores elevados incompatíveis com a resistência do concreto à compressão com tração perpendicular estado duplo Temse então uma ruptura por esmagamento do concreto Figura 133 A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior da capacidade resistente da viga à força cortante limite esse que depende portanto da resistência do concreto à compressão Figura 133 Ruptura por esmagamento da biela d Ruptura da armadura transversal Corresponde a uma ruína por cisalhamento decorrente da ruptura da armadura transversal Figura 134 É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento resultante da deficiência da armadura transversal para resistir às tensões de tração devidas à força cortante o que faz com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas partes A deficiência de armadura transversal pode acarretar outros tipos de ruína que serão descritos nos próximos itens USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 136 Figura 134 Ruptura da armadura transversal e Ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento No caso de armadura de cisalhamento insuficiente essa armadura pode entrar em escoamento provocando intensa fissuração fissuras inclinadas com as fissuras invadindo a região comprimida pela flexão Isto diminui a altura dessa região comprimida e sobrecarrega o concreto que pode sofrer esmagamento mesmo com momento fletor inferior àquele que provocaria a ruptura do concreto por flexão Figura 135 Figura 135 Ruptura do banzo comprimido decorrente do esforço cortante f Ruína por flexão localizada da armadura longitudinal A deformação exagerada da armadura transversal pode provocar grandes aberturas das fissuras de cisalhamento O deslocamento relativo das seções adjacentes pode acarretar na flexão localizada da armadura longitudinal levando a viga a um tipo de ruína que também decorre do cisalhamento Figura 136 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 137 Figura 136 Ruína por flexão localizada da armadura longitudinal 134 MODELOS DE CÁLCULO A NBR 61182003 item 1741 admite dois modelos de cálculo que pressupõem analogia com modelo de treliça de banzos paralelos associado a mecanismos resistentes complementares traduzidos por uma parcela adicional Vc O modelo I admite item 17422 bielas com inclinação θ 45o Vc constante independente de VSd VSd é a força cortante de cálculo na seção O modelo II considera item 17423 bielas com inclinação θ entre 30o e 45o Vc diminui com o aumento de VSd Nos dois modelos devem ser consideradas as etapas de cálculo verificação da compressão na biela cálculo da armadura transversal deslocamento al do diagrama de força no banzo tracionado Na seqüência será considerado o modelo I 135 VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO NA BIELA Independente da taxa de armadura transversal deve ser verificada a condição VSd VRd2 VSd é a força cortante solicitante de cálculo γf VSk na região de apoio é o valor na respectiva face VSd VSd face VRd2 é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína da biela no modelo I item 17422 da NBR 61182003 VRd2 027 αv2 fcd bw d α v2 1 fck 250 fck em MPa ou α v2 1 fck 25 fck em kNcm2 136 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL Além da verificação da compressão na biela deve ser satisfeita a condição VSd VRd3 Vc Vsw VRd3 é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal Vc é parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça resistência ao cisalhamento da seção sem armadura transversal Vsw é a parcela de força absorvida pela armadura transversal No cálculo da armadura transversal considerase VRd3 VSd resultando Vsw VSd Vc 138 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 139 a Cálculo de VSd Prescrições da NBR 61182003 item 174121 para o cálculo da armadura transversal no trecho junto ao apoio no caso de apoio direto carga e reação de apoio em faces opostas comprimindoas para carga distribuída VSd VSdd2 igual à força cortante na seção distante d2 da face do apoio a parcela da força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância a 2d do eixo teórico do apoio pode ser reduzida multiplicandoa por a 2d Nesses casos considerar VSd VSdface ou VSd VSdeixo está a favor da segurança b Cálculo de Vc Para modelo I na flexão simples item 17422b da NBR 61182003 Vc 06 fctd bw d fctd fctkinf γc fctkinf 07 fctm 07 03 fck23 021 fck23 Para γc 14 resulta Vc 009 fck23 bw d fck em MPa item 825 da NBR 61182003 c Cálculo da armadura transversal De acordo com o modelo I item 17422 da NBR 61182003 Vsw Asw s 09 d fywd sen α cos α Asw é a área de todos os ramos da armadura transversal s é o espaçamento da armadura transversal fywd é a tensão na armadura transversal α é o ângulo de inclinação da armadura transversal 45 α 90 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 1310 Em geral adotamse estribos verticais α 90 e o problema consiste em determinar a área desses estribos por unidade de comprimento ao longo do eixo da viga asw Asw s Nessas condições temse Vsw asw 09 d fywd ou asw Vsw 09 d fywd A tensão fywd no caso de estribos é dada pelo menor dos valores fyd e 435MPa Portanto para aços CA50 ou CA60 podese adotar fywd 435 MPa 435 kN cm2 137 ARMADURA TRANSVERSAL MÍNIMA Para garantir dutilidade à ruína por cisalhamento a armadura transversal deve ser suficiente para suportar o esforço de tração resistido pelo concreto na alma antes da formação de fissuras de cisalhamento Segundo o item 174111 da NBR 61182003 a armadura transversal mínima deve ser constituída por estribos com taxa geométrica fywk fctm 20 s sen bw sw A sw α ρ fctm 03 fck23 item 825 da NBR 61182003 fywk é resistência característica de escoamento da armadura transversal Portanto a taxa mínima ρswmin da armadura transversal depende das resistências do concreto e do aço Os valores de ρswmin são dados na Tabela 131 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 1311 Tabela 131 Valores de ρswmin AÇO CONCRETO C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 01768 02052 02317 O2568 02807 03036 03257 CA50 00884 01026 01159 01284 01404 01580 01629 CA60 00737 00855 00965 01070 01170 01265 01357 A armadura mínima é calculada por meio da equação swmin b w s sw A aswmin ρ 138 FORÇA CORTANTE RELATIVA À TAXA MÍNIMA A força cortante solicitante VSdmin relativa à taxa mínima é dada por VSdmin Vswmin Vc com Vswmin ρswmin 09 bd fywd 139 DETALHAMENTO DOS ESTRIBOS Apresentamse as prescrições indicadas na NBR 61182003 item 18332 a Diâmetro mínimo e diâmetro máximo O diâmetro do estribo deve estar no intervalo 5 mm φt bw 10 Quando a barra for lisa φt 12mm No caso de estribos formados por telas soldadas φtmin 42 mm desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão da armadura USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 1312 b Espaçamento longitudinal mínimo e máximo O espaçamento mínimo entre estribos na direção longitudinal da viga deve ser suficiente para a passagem do vibrador garantindo um bom adensamento Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos o espaçamento máximo deve atender às seguintes condições VSd 067 VRd2 smáx 06 d 300 mm VSd 067 VRd2 smáx 03 d 200 mm c Número de ramos dos estribos O número de ramos dos estribos deve ser calculado em função do espaçamento transversal máximo entre ramos sucessivos dos estribos VSd 020 VRd2 st max d 800 mm VSd 020 VRd2 st max 06d 350 mm d Ancoragem Os estribos para cisalhamento devem ser fechados através de um ramo horizontal envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração e ancorados na face oposta Portanto nas vigas biapoiadas os estribos podem ser abertos na face superior com ganchos nas extremidades Quando esta face puder também estar tracionada o estribo deve ter o ramo horizontal nesta região ou complementado por meio de barra adicional Portanto nas vigas com balanços e nas vigas contínuas devem ser adotados estribos fechados tanto na face inferior quanto na superior e Emendas As emendas por transpasse são permitidas quando os estribos forem constituídos por telas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 1313 Embora não sejam usuais as emendas por traspasse também são permitidas se os estribos forem constituídos por barras de alta aderência ou seja de aço CA50 ou CA60 1310 EXEMPLO DE APLICAÇÃO No final do capítulo sobre Vigas apresentamse todas as etapas do projeto de uma viga biapoiada o cálculo de cisalhamento inclusive ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 14 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo 2004 out 06 ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 141 MOMENTO DE FISSURAÇÃO Mr Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II A separação entre essas duas partes é definida pelo momento de fissuração Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada item 173 da NBR 61182003 t c ct r y I f M α α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta α para seções retangulares 51 para seções T ou duplo T 21 A resistência do concreto à tração direta fct é obtida conforme o item 825 da NBR 61182003 Para determinação de Mr no estado de limite de formação de fissura deve ser usado o fctkinf e no estado limite de deformação excessiva o fctm em MPa deformação excessiva f 30 f em MPa formação de fissura 0 21f f f 2 3 ck ctm 2 3 ck inf ctk ct Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada Para seção retangular resulta 12 b h I 3 c yt h x x 142 HOMOGENEIZAÇÃO DA SEÇÃO Por ser formado por dois materiais concreto e aço com propriedades diferentes é necessário homogeneizar a seção para alguns cálculos Essa homogeneização é feita substituindose a área de aço por uma área correspondente de concreto obtida a partir da área de aço As multiplicandoa por αe EsEc USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 142 1421 Estádio I No estádio I o concreto resiste à tração Para seção retangular a posição da linha neutra e o momento de inércia são calculados com base na Figura 141 Figura 141 Seção retangular no Estádio I No cálculo da posição x1 da linha neutra basta fazer MLN 0 sendo MLN o momento estático da seção em relação à linha neutra Para a seção retangular da figura 141 temse 1 s e LN x 0 x d 1 A 2 x x h b h 2 b x x M α αe EsEc Es 210 GPa 210 000 MPa Item 835 da NBR 61182003 Ec 085 Eci 085 5600 1 2 fck 4760 1 2 fck em MPa item 828 da NBR 61182003 A expressão para cálculo da posição x1 da linha neutra resulta s e s e 2 1 A 1 h b d A 1 2 h b x α α Para a mesma seção retangular da Figura 141 o momento de inércia resulta 2 1 s e 2 1 3 1 x d 1 A 2 h x b h 12 b h I α Para seção circular temse 64 I 4 1cir πφ No cálculo de I1 é desprezível o momento de inércia da armadura em relação ao próprio eixo USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 143 1422 Estádio II No estádio II o concreto tracionado é desprezado pois ele está fissurado Figura 142 Figura 142 Seção retangular no Estádio II Com procedimento análogo ao do estádio I desprezandose a resistência do concreto à tração temse para seção retangular no estádio II Figura 142 2 0 2 x x d A b x x M s e LN α Portanto a posição da linha neutra x2 é obtida por meio da equação 0 A d x A x 2 b s e 2 s e 2 2 α α Momento de inércia I2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 12 x d A x b x b x I s e α ou 2 2 3 2 2 3 x d A b x I s e α 143 FORMAÇÃO DE FISSURAS O estado limite de formação de fissuras corresponde ao momento de fissuração calculado com fct fctkinf Esse valor de Mr é comparado com o momento fletor relativo à combinação rara de serviço dada por item 11832 da NBR 61182003 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 144 qjk j1 q1k gik d ser F F F F ψ Fdser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas Ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS Tabela 141 Tabela 141 Valores de ψ0 ψ1 e ψ2 NBR 61182003 Para edifícios em geral em que a única ação variável é a carga de uso temse k qk gk d ser F F F F Portanto r d rara M M Se r d rara M M há fissuras caso contrário não 144 DEFORMAÇÃO Na verificação das deformações de uma estrutura devese considerar combinação quasepermanente de ações e rigidez efetiva das seções ψ0 ψ1 1 ψ2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo nem de elevadas concentrações de pessoas 2 05 04 03 Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada concentração de pessoas 3 07 06 04 Bibliotecas arquivos oficinas e garagens 08 07 06 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 06 03 0 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 06 05 03 2 Edifícios residenciais 3 Edifícios comerciais e de escritórios Ações γf2 Cargas acidentais de edifícios 1 Para valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga ver seção 23 da NBR 61182003 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 145 A combinação quasepermanente é dada por item 11832 da NBR 61182003 qjk 2j gik d ser F F F ψ Fdser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fqjk é o valor característico das ações variáveis principais diretas Ψ2 é o fator de redução de combinações quase permanente para ELS Tabela 141 Para edifícios em geral em que a única ação variável é a carga de uso temse Tabela 141 ψ2 03 qk 2 gk d ser F F F ψ 1441 Flecha imediata em vigas A flecha imediata pode ser calculada admitindose comportamento elástico e pode ser obtida por meio de tabelas em função das condições de apoio e do tipo de carregamento PINHEIRO 1993 apresenta tabelas com expressões do tipo δ β α M é um momento aplicado E I M P é uma carga concentrada E I P p é uma carga linearmente distribuída E I p a 2 3 4 i l l l α β δ são coeficientes tabelados e l é o vão teórico Conforme a NBR 61182003 o módulo de elasticidade e o momento de inércia podem ser obtidos respectivamente conforme os itens 828 e 173211 1 2 ck 1 2 ck ci cs 4760 f 0 85 5600 f 0 85 E E E 2 3 a r c 3 a r eq I M M 1 I M M I I Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto I2 é o momento de inércia da no estádio II calculado com αe EsEc Ma é o momento fletor na seção crítica para combinação quase permanente Mr é o momento de fissuração calculado com fctfctm O valor de Mr deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas 1442 Flecha diferida A flecha adicional diferida decorrente das cargas de longa duração em função da fluência pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão NBR 61182003 item 173112 αf Δξ 1 50ρ ρ é a taxa de armadura de compressão armadura dupla dada por ρ As bd Δξ ξt ξt0 Tabela 142 t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida t0 é a idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração Obtémse portanto Flecha diferida af αf ai Flecha total at ai αf ai ai 1 αf Tabela 142 Valores de ξ Tabela 171 da NBR 61182003 Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente ξt 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 1443 Verificação das flechas Os deslocamentos obtidos devem ser comparados com os valores limites dados na Tabela 143 e com os demais valores indicados na Tabela 132 da NBR 61182003 Caso esses limites sejam ultrapassados temse entre as soluções possíveis Aumentar a idade para aplicação da carga aumentar t0 mantendo o escoramento por mais tempo ou retardando a execução de revestimentos paredes etc Adotar uma contraflecha ac que pode ser estimada por meio da expressão flecha imediata mais metade da flecha diferida ac ai 1 αf 2 ai af 2 146 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 147 É usual arredondar o valor da contraflecha ac para o múltiplo de 05 cm mais próximo do valor calculado A contraflecha pode ser adotada mesmo quando os deslocamentos estiverem abaixo dos limites da Norma Tabela 143 Limites para deslocamentos Parte da Tabela 132 da NBR 61182003 145 ABERTURA DE FISSURAS Na verificação de abertura de fissuras deve ser considerada combinação freqüente de ações Para edifícios em geral em que a carga de uso é a única ação variável temse qk 1 gk d ser F F F ψ com ψ1 0 4 Tabela 141 1451 Valor da abertura de fissuras A abertura de fissuras w determinada para cada região de envolvimento é a menor entre 1 w e 2 w dadas pelas expressões item 17332 da NBR 61182003 Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total l250 outro Vibrações sentidas no piso Devidos a cargas acidentais l350 superfícies que devem drenar água Coberturas e varandas Total l2501 Total l350 contraflecha2 Ocorrido após a construção do piso l600 Elementos que suportam equipamentos sensíveis Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento De acordo com recomendação do fabricante do equipamento 1As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas de modo a não se ter acúmulo de água 2Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas Entretanto a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l350 Aceitabilidade sensorial Efeitos estruturais em serviço Ginásios e pistas de boliche Pavimentos que devem permanecer planos USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 148 ρ σ η φ σ σ η φ 45 4 E 12 5 w f 3 E 12 5 w w ri si si i i 2 ctm si si si i i 1 σsi φi Esi ρri são definidos para cada área de envolvimento em exame Figura 143 Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi Figura 143 Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada de diâmetro φi ρri é a taxa de armadura em relação à área Acri dada por cri si ri A A ρ σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada calculada no Estádio II cálculo este que pode ser feito com αe15 item 17332 da NBR 61182003 ηi é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada η1 para armadura passiva dado no item 9321 da NBR 61182003 η 25parabarrasnervuradas 2 4parabarrasdentadas 1 parabarraslisas 01 1 2 3 ck ctm f 30 f em MPa item 825 da NBR 61182003 Figura 143 Concreto de envolvimento da armadura Figura 173 da NBR 61182003 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 149 1452 Cálculo de σsi Há duas maneiras de se calcular o valor de σsi indicadas a seguir a Cálculo refinado No Estádio II obtémse x2 e I2 item 1422 Neste caso a Norma permite adotar αe15 2 2 d freq e s 2 2 freq d e s cs I x d M x d I M α σ α σ σ b Cálculo aproximado É feito adotandose z 080d Figura 144 s d freq s 80 d A 0 M σ Figura 144 Braço de alavanca 1453 Valor limite Em função da classe de agressividade ambiental Tabela 61 da NBR 61182003 a abertura máxima característica wk das fissuras é dada na Tabela 144 Tabela 144 Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura Parte de tabela 133 da NBR 61182003 Tipo de concreto estrutural Classe de agressividade ambiental CAA Exigências relativas à fissuração Combinação de ações em serviço a utilizar Concreto simples CAA I a CAA IV Não há CAA I ELS W wk 04 mm CAA II a CAA III ELS W wk 03 mm Concreto armado CAA IV ELS W wk 02 mm Combinação freqüente USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1410 Caso o valor obtido para wk wklim as providências possíveis são Diminuir o diâmetro da barra diminui φ Aumentar o número de barras mantendo o diâmetro diminui σs Aumentar a seção transversal da peça diminui φ 146 EXEMPLO Verificar os ELS para a viga biapoiada indicada na Figura 145 Dados seção 22cm x 40cm l 410cm concreto C25 aço CA50 armadura longitudinal 4φ20 1260 cm2 d 359cm classe II de Agressividade Ambiental Figura 145 Viga biapoiada 1461 Momento de fissuração t c ct r y I f M α α 15 seção retangular 4 3 3 c 117333cm 12 22 40 12 b h I 20cm 2 40 2 h x h yt a Formação de fissura 2 2 3 2 3 ck ctkinf ct 01795kNcm 1795MPa 0 21 25 0 21 f f f 15 8 kNm 1580kNcm 20 01795 117333 51 Mr USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1411 1051 kNm 8 410 50 8 p M 2 2 d rara l há fissuras 15 8 kNm M 1051 kNm M r d rara b Deformação excessiva 2 2 3 2 3 ck ctm ct 0 2565kNcm 2565MPa 25 30 f 30 f f 22 6 kNm 2257kNcm 20 0 2565 117333 51 Mr 1462 Momento de inércia no estádio II 0 2 2 2 2 α α A d x A x b s e s e Item 142 Es 210000 MPa 23800 MPa 4760 25 4760 f E 1 2 1 2 ck c 8 82 23800 210000 E E α c s e 0 8 82 12 60 35 9 8 82 12 60 2 22 2 2 2 x x 0 36269 1010 x x 2 2 2 A raíz negativa é ignorada cm x 2 14 66 2 2 3 2 2 3 x d A b x I s e α 4 2 2 3 2 73 240 8 82 12 60 35 9 14 66 3 22 14 66 cm I I 1463 Deformação excessiva a Combinação quasepermanente 100 kN cm 43 43kN m 10 30 40 q g p 2 qp ψ b Momento de inércia equivalente É obtido com a expressão indicada no item 1441 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1412 2 3 a r c 3 a r eq I M M 1 I M M I I São conhecidos os valores item 1461 e 1462 Mr 22 6 kNm EL Deformação Item 1461b 1051 kNm M M d rara a Item 1461a 4 c I 117333 cm Item 1461 4 2 I 67380 cm Item 1462 Resulta 4 3 3 73679 73240 1051 22 6 1 117333 1051 22 6 cm I I eq c Flecha imediata A flecha imediata é obtida com a expressão Tabela 32a caso 6 PINHEIRO 1993 E I p 384 5 a 4 i l O módulo de elasticidade do concreto foi calculado no item 1462 2 1 2 12 ck cs 2380kN cm 23800MPa 4760 25 4760 f E E Substituindo os valores já obtidos resulta cm a a i i 0 902 2380 73679 410 100 43 384 5 4 d Flecha diferida 50 1 f ρ ξ α Item 1442 132 Tabela142 0 68 2 1mês t 70meses t 0 ξ ρ 0Armadura simples USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1413 132 1 132 f α cm a a a f i f f 1191 132 0 902 α e Flecha total cm a a a t f i t 209 0902 1 132 1 α f Flecha limite Da Tabela 143 para aceitabilidade visual 164cm 250 410 250 alim l Há necessidade de contraflecha pois cm a cm a lim t 164 209 g Contraflecha cm a a a a f i f i c 149 2 1191 0 902 2 2 1 α Item 1453 Adotase contraflecha de 15cm 1464 Abertura de fissuras a Dados iniciais φ 20 mm η 225 Barras nervuradas CA50 Es 210 000 MPa 21 000 kNcm2 Item 825 da NBR 61182003 b Taxa de armadura ρri Com base na Figura 143 há duas regiões de envolvimento a considerar Figura 146 das barras externas A cries e das barras internas Acriint O espaçamento horizontal e h das barras longitudinais é dado por 3 4 2 2c b e t h φl φ Há três espaços entre as barras USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1414 Para b22cm c25cm φt063cm e φl 2cm resulta 258 cm 3 02 4 0 63 2 52 2 22 eh As respectivas áreas de envolvimento resultam φ φ φ φ 8 2 c e c A t h t criest l l 12281cm2 02 8 0 63 2 52 258 02 0 63 52 2 t h criint 8762 cm 02 8 0 63 2 58 52 02 8 e c A φ φ φ l l Adotase o menor desses dois valores resultando 2 cri 8762cm A 2 28 0 0228 8762 02 A A cri si ri ρ Figura 146 Área Acr c Momento fletor para combinação freqüente qk 1 gk d freq M M M ψ ψ1 0 4 Tabela14 1 841 kNm 8 410 40 M 2 gk 210 kNm 8 410 10 M 2 qk 92 5 kNm 0 4 210 841 M d freq USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1415 d Cálculo aproximado de σs 2 s d freq s 2556kNcm 1260 0 80 35 9 9250 80 d A 0 M σ e Cálculo de σs no estádio II com αe Es Ec 882 2 2 2 23 66 73240 14 66 8 82 9250 35 9 kN cm I x d M freq d e s α σ f Cálculo de σs no estádio II com αe 15 Linha neutra 0 2 2 2 2 α α A d x A x b s e s e 0 15 12 60 35 9 15 12 60 2 22 2 2 2 x x 0 616 82 1718 2 2 2 x x A raíz negativa é ignorada cm x 2 17 69 Momento de inércia 2 2 3 2 2 3 x d A b x I s e α 4 2 2 3 2 103269 17 69 15 12 60 35 9 3 22 17 69 cm I I Valor de σs para αe 15 2 2 2 24 47 103269 15 9250 35 9 17 69 kNcm I x d M freq d e s σ α Notase que este valor de σs é muito próximo dos obtidos nos itens anteriores USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Estados Limites de Serviço 1416 g Cálculo de wk ρ σ η φ σ σ η φ 45 4 E 12 5 w f 3 E 12 5 w w ri si si i i 2 ctm si si si i i 1 k 0 26mm 0 2565 3 2556 21000 2556 2 25 12 5 20 w 1 019mm 45 0 0228 4 21000 2556 2 25 12 5 20 w 2 Obtémse portanto 0 4mm w 019mm w lim k Item 1453 AGRADECIMENTOS Aos colaboradores na redação nos desenhos e na revisão deste texto Marcos Vinícius Natal Moreira Anastácio Cantisani de Carvalho UFAM e Sandro Pinheiro Santos REFERÊNCIA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS 2003 NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro ABNT VIGAS CAPÍTULO 15 Libânio M Pinheiro Cassiane D Muzardo Sandro P Santos 30 setembro 2003 VIGAS Vigas são elementos lineares em que a flexão é preponderante NBR 6118 2003 item 14411 Portanto os esforços predominantes são momento fletor e força cortante Nos edifícios em geral as vigas servem de apoio para lajes e paredes conduzindo suas cargas até os pilares Como neste capítulo o efeito do vento não será considerado as vigas serão dimensionadas para resistir apenas às ações verticais 151 DADOS INICIAIS O primeiro passo para o projeto das vigas consiste em identificar os dados iniciais Entre eles incluemse classes do concreto e do aço e o cobrimento forma estrutural do tabuleiro com as dimensões preliminares em planta distância até o andar superior reações de apoio das lajes cargas das paredes por metro quadrado dimensões das seções transversais das vigas obtidas num pré dimensionamento Em seguida devem ser considerados esquema estático vãos e dimensões da seção transversal a Vinculação No início deste cálculo simplificado as vigas serão admitidas simplesmente apoiadas nos pilares Posteriormente serão consideradas suas ligações com os pilares de extremidade b Vão livre e vão teórico Vão livre l 0 é a distância entre as faces dos apoios Figura 151 O vão efetivo lef também conhecido como vão teórico l pode ser calculado por l l0 a1 a2 com a1 igual ao menor valor entre t1 2 e 03h e a2 igual a t2 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 152 No entanto é usual adotar o vão teórico como sendo simplesmente a distância entre os eixos dos apoios Nas vigas em balanço vão livre é a distância entre a extremidade livre e a face externa do apoio e o vão teórico é a distância até o centro do apoio Figura 151 Vão livre e vão teórico c Prédimensionamento As vigas não devem apresentar largura menor que 12cm Esse limite pode ser reduzido respeitandose um mínimo absoluto de 10cm em casos excepcionais sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições item 1322 da NBR 6118 2003 alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nessa Norma lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931 Sempre que possível a largura das vigas deve ser adotada de maneira que elas fiquem embutidas nas paredes Porém nos casos de grandes vãos ou de tramos muito carregados pode ser necessário adotar larguras maiores Nesses casos procurase atenuar o impacto na arquitetura do edifício Como foi visto no Capítulo 5 item 52 uma estimativa grosseira para a altura das vigas é dada por tramos intermediários hest l012 tramos extremos ou vigas biapoiadas hest l010 balanços hest l05 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 153 As vigas não podem invadir os espaços de portas e de janelas Considerase a abertura de portas com 220m de altura Para simplificar o cimbramento procurase padronizar as alturas das vigas Não é usual adotar mais que duas alturas diferentes Tal procedimento pode eventualmente gerar a necessidade de armadura dupla em alguns trechos Os tramos mais carregados e principalmente os de maiores vãos devem ter suas flechas verificadas posteriormente 152 AÇÕES Em geral as cargas nas vigas são peso próprio reações de apoio das lajes e peso de paredes Eventualmente as vigas podem receber cargas de outras vigas As vigas podem também receber cargas de pilares nos casos de vigas de transição ou em vigas de fundação Com exceção das cargas provenientes de outras vigas ou de pilares que são concentradas as demais podem ser admitidas uniformemente distribuídas a Peso próprio Com base no item 822 da NBR 6118 2003 na avaliação do peso próprio de peças de concreto armado pode ser considerada a massa específica ρc 2500kgm3 b Reações das lajes No cálculo das reações das lajes e de outras vigas é recomendável discriminar as parcelas referentes às ações permanentes e às ações variáveis para que se possam estabelecer as combinações das ações inclusive nas verificações de fissuração e de flechas c Peso de paredes No cômputo do peso das paredes em geral nenhum desconto é feito para vãos de portas e de janelas de pequenas dimensões Essa redução pode ser feita quando a área de portas e janelas for maior do que 13 da área total devendose nesse caso incluir o peso dos caixilhos vidros etc Os pesos específicos dos materiais que compõem as paredes podem ser obtidos na Tabela 8 Peso específico dos materiais de construção que se encontra no capítulo 11 Lajes Maciças USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 154 153 ESFORÇOS Nas estruturas usuais de edifícios para o estudo das cargas verticais as vigas podem ser admitidas simplesmente apoiadas nos pilares observandose a necessidade das correções indicadas no item 1531 Se a carga variável for no máximo igual a 20 da carga total a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração da alternância de cargas item 14673 da NBR 6118 2003 Mais detalhes serão vistos na seqüência no item b a Correções adicionais para vigas simplesmente apoiadas nos pilares No cálculo em que as vigas são admitidas simplesmente apoiadas nos pilares deve ser observada a necessidade das seguintes correções adicionais item 14671 da NBR 6118 2003 não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio medida na direção do eixo da viga for maior que a quarta parte da altura do pilar não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga deve ser considerado nos apoios externos momento igual ao momento de engastamento perfeito Meng multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações rsup rinf rvig rsup rinf Meng Mvig l r I rigidez do elemento avaliada conforme indicado na figura 148 da NBR 6118 2003 inf sup vig índices referentes ao pilar inferior ao pilar superior e à viga respectivamente b Carga acidental maior que 20 da carga total No cálculo de uma viga contínua com carga uniforme para se determinar a combinação de carregamento mais desfavorável para uma determinada seção deve se considerar em cada tramo que a carga variável atue com valor integral ou com valor nulo Na verdade devem ser consideradas pelo menos três combinações de carregamento a todos os tramos totalmente carregados b tramos alternados totalmente carregados ou com valor nulo da carga variável e c idem alterando a ordem dos carregamentos isto é os tramos totalmente carregados passam a ter carga USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 155 variável nula e viceversa Essas três situações devem ser consideradas quando a carga variável é maior que 20 da carga total Mesmo assim é prática comum no projeto de edifícios usuais considerar apenas a primeira das três combinações citadas Esse procedimento em geral não compromete a segurança dada a pequena magnitude das cargas variáveis nesses edifícios em relação à carga total 154 VERIFICAÇÕES Antes do cálculo das armaduras é necessário verificar se a seção transversal é suficiente para resistir aos esforços de flexão e de cisalhamento a Momento Fletor O momento limite para armadura simples é dado por c lim d lim k b d M 2 k c lim valor de kc correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 ver Tabela 11 de PINHEIRO 1993 Podese usar armadura simples para d lim d máx M M ou armadura dupla para M d máx até um valor da ordem de M d lim 12 no caso de aço CA50 Para valores maiores de M d máx pode ser necessário aumentar a seção da viga O emprego de seção T quando for possível também é uma alternativa Outras providências menos práticas seriam diminuir o momento fletor alterando a vinculação o vão ou a carga ou aumentar a resistência do concreto Esta talvez seja a menos viável pois em geral se adota a mesma resistência do concreto para todos os elementos estruturais b Força Cortante A máxima força cortante VSd na face dos apoio não deve ultrapassar a força cortante última VRd2 relativa à ruína das bielas comprimidas de concreto dada por item 17422 da NBR 6118 1973 VRd2 027 αv2 fcd bw d αv2 1 fck 250 fck em MPa ou αv2 1 fck 25 fck em kNcm2 fcd resistência de cálculo do concreto bw menor largura da seção compreendida ao longo da altura útil USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 156 d altura útil da seção igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração O estudo completo da ação da força cortante encontrase no capítulo sobre Cisalhamento em Vigas 155 CÁLCULO DAS ARMADURAS E OUTRAS VERIFICAÇÕES O cálculo das armaduras é feito a partir dos diagramas de esforços já com seus valores de cálculo ver figura 153 memorial sintetizado As armaduras longitudinais e transversais são calculadas respectivamente das maneiras indicadas nos capítulos sobre Flexão Simples na Ruína Tabelas para Seção Retangular e Cisalhamento em Vigas As verificações de ancoragem nos apoios e dos estados limites de serviço foram estudadas respectivamente nos capítulos sobre Aderência e Ancoragem e Estados Limites de Serviço Exemplos desses cálculos são apresentados no item 157 156 REAÇÕES DE APOIO TOTAIS Calculadas as reações de apoio de todas as vigas do andar pode ser elaborado um esquema do tabuleiro com as reações em cada pilar discriminandose as parcelas referentes a cada viga e indicandose os valores totais Estes serão somados às ações provenientes dos demais andares para se efetuar o dimensionamento de cada tramo dos pilares 157 EXEMPLO DE VIGA BIAPOIADA Apresentase o projeto da viga V1 apoiada nas vigas V2 e V3 Figura 152 Figura 152 Forma da viga biapoiada USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 157 Recomendase elaborar um memorial sintetizado como o indicado na Figura 153 que inclui as informações essenciais para o projeto e os principais resultados obtidos entre os quais nome da viga e dimensões da seção transversal em cm classe do concreto e do aço cobrimento nominal em cm valores de referência Mdlim VRd2 e VSdmin unidades kN e m esquema estático com identificação dos apoios e seus comprimentos em cm vãos teóricos em cm valores característicos das cargas parciais pp laje sup laje inf par etc e totais p com destaque para as cargas variáveis q em kNm esforços característicos Vk Rk e Mk unidades kN e m diagramas de esforços de cálculo Vd e Md unidades kN e m barras longitudinais φl em mm com seus comprimentos em cm estribos φt em mm espaçamento e comprimento dos trechos com mesmo espaçamento em cm 1571 Dados iniciais Os dados iniciais estão indicados na Figura 153 dimensões em centímetros Nome da viga V1 Dimensões da seção 22 x 40 Classe do concreto C25 e do aço CA50 Cobrimento c 25 Classe I Esquema estático Dimensões dos apoios na direção do eixo da viga 22 Vão teórico 410 Nome dos apoios V2 e V3 1572 Ações As cargas admitidas uniformes são peso próprio reações das lajes e carga de parede Figura 153 As partes das reações de apoio das lajes relativas à carga variável estão entre parênteses pp 022 x 040 x 25 22 kNm laje sup 200 kNm 57 kNm laje inf 150 kNm 43 kNm valores obtidos no cálculo de lajes par 400 x 32 128 kNm 4m de parede 32 kNm2 carga total p 500 kNm carga variável q 100 kNm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 158 Figura 153 Memorial sintetizado USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 159 1573 Esforços e diagramas Numa viga biapoiada o cálculo dos esforços é muito simples Seus valores característicos são Figura 153 Mk pl2 8 500 x 4102 8 1051 kNm Vk pl 2 500 x 410 2 1025 kN Neste caso as reações nos apoios V2 e V3 são iguais às forças cortantes nos eixos dos apoios Portanto seus valores são V2 1025 kN e V3 1025 kN Em seguida são traçados os diagramas dos esforços de cálculo Figura 153 cujos valores máximos são Mdmax γf Mk 14 1051 1471 kNm Vdeixo γf Vk 14 1025 1435 kN Nas faces dos apoios temse Vdface Vdeixo pd t 2 1435 14 500 022 2 1358 kN 1574 Verificações Os esforços máximos Mdmax e Vdface serão comparados com os valores de referência Mdlim VRd2 e VSdmin indicados na Figura 153 no alto à direita a Altura útil Para a seção indicada na Figura 154 temse d h d c φt φl 2 Considerando c 25 cm φt 063 cm e φl 2 cm φt e φl estimados temse d 25 063 20 2 413 41 cm d h d 40 41 359 cm Figura 154 Seção transversal da viga USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1510 b Momento máximo com armadura simples PINHEIRO 1993 Tabela 11 157 5 kNm 15752kNcm 81 22 35 9 k b d M 2 lim c 2 d lim 157 5 kNm M 1471 kNm M d lim d máx Armadura simples c Força cortante VRd2 Para unidades kN e cm temse 342 7 kN 14 22 35 9 52 25 52 1 0 27 d b f 0 27 V w cd v Rd2 α 342 7 kN V 135 8 kN V Rd2 Sdface Bielas resistem d Força cortante VSdmin relativa a armadura transversal mínima c swmín Sdmín V V V 317 kN 43 5 22 35 9 90 100 01026 b d f 90 V ywd swmín swmín ρ ρwmin dado na Tabela 131 do capítulo 13 Cisalhamento em Vigas 2 23 23 ck c 0 21 ctd 01282 kNcm 12825 MPa 25 41 021 f f γ 608 kN 01282 22 359 60 b d f 60 V ctd c Resulta 92 5 kN 60 8 317 V Sdmín sw mín sw Sdmín Sdface a a 925 kN V 135 8 kN V e Trecho com armadura transversal maior que a mínima 73 cm 0 73m 70 92 5 143 5 p V V a d Sdmín Sdeixo USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1511 1575 Dimensionamento da armadura de flexão 91 14710 22 35 9 M b d k 2 d 2 c Tabela 11 Pinheiro1993 0 030 k 91 k s c 2 d s s 1229cm 35 9 0 030 14710 d M k A PINHEIRO 1993 Tabela 13a 4φ20 1260 cm2 As barras longitudinais de flexão estão indicadas na Figura 153 O cálculo dos comprimentos das barras interrompidas antes dos apoios denominado decalagem será visto no item 1579 1576 Dimensionamento da armadura transversal cisalhamento Com Sdmín Sd V V há armadura transversal maior que a mínima Os cálculos dessas armaduras encontramse nos itens seguintes ver também a Figura 153 a Armadura transversal junto ao apoio Força cortante a d2 da face do apoio 123 2 kN 2 0 359 14 50 135 8 2 d p V V d Sdface Sdd 2 624kN 60 8 123 2 V V V c Sdd 2 sw 444cm m 00444cm cm 435 359 90 624 d f 90 V s A a 2 2 ywd sw sw sw 2 22cm m estribos de 2 ramos n a 2 sw Podese adotar φ5 c 9 222 cm2m φ63 c 14 225 cm2m b Armadura transversal mínima cm m m m b s A a w swmín swmín swmín 2 2 2 26 0 000226 0 001026 0 22 ρ Utilizandose estribos de dois ramos temse USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1512 cm m s A a sw sw 2 113 Podese adotar φ5 c 175 114 cm2m φ63 c 28 112 cm2m c Diâmetro dos estribos mm t mín 5 φ mm b w t máx 22 01 φ Adotando φt 5 mm ou φt 63 mm são satisfeitas as duas condições d Espaçamento máximo longitudinal dos estribos Se VSd 067 VRd2 então smáx 06 d 300 mm Se VSd 067 VRd2 então smáx 03 d 200 mm Rd2 Rd2 Sdface 2 Rd Sdface 0 67 V 0 40 V V 0 40 342 7 135 8 V V Portanto 22cm 35 9 60 d 60 smáx e Número de ramos dos estribos Se VSd 020 VRd2 então st máx d 800 mm Se VSd 020 VRd2 então st máx 06d 350 mm Rd2 Rd2 Sdface 0 20 V 0 40 V V Portanto 22cm 35 9 60 d 60 smáx Para estribos de dois ramos 2 ramos 22cm s 1637cm 0 63 52 2 22 2 c b s t máx t w t φ 1577 Comprimento de ancoragem a Resistência de aderência ctd bd f f η η η 3 2 1 32mm para 01 situação de boa aderência 01 50barras nervuradas 25 CA 2 3 2 1 φ η η η USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1513 2 ctd 01282kN cm f Item 1574d 2 bd 0 289kN cm 01282 01 01 2 25 f b Comprimento de ancoragem básico 75cm 0 289 115 50 4 02 f f 4 bd yd b φ l 1578 Ancoragem no apoio A notação é indicada na figura 155 Figura 155 Ancoragem no apoio a Dimensão mínima do apoio φ φ φ 6cm 60mm 19cm 95 20 55 4 55 r lbmín OK 19cm 19 5 cm 52 22 c t bmín bdisp l l Na direção perpendicular ao gancho devese ter cobrimento cm c 7 b Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd dface s V d a R l 60 8 2 135 8 135 8 V V 2 V d a c face d dface l 0905 05 OK 122 9 kN 0 905 135 8 R s USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1514 2 yd s s calc 2 83cm 50 115 122 9 f R A c Armadura necessária no apoio nec s s cal b 1 bdisp A A α l l 2 s calc disp b b 1 s nec 7 62cm 2 83 19 5 75 70 A A α l l Como 2 3 90 3 1169 1 3 1 0 cm A A M s vão s apoio apoio É necessário prolongar três barras até o apoio 2 s mec 2 s apoio 7 62cm A 9 45 cm 3 20 A φ 1579 Decalagem da armadura longitudinal Como foi visto no item 1578 três barras devem ser prolongadas até os apoios Portanto deve ser calculado somente o comprimento da 4a barra ver Figura 153 Como 2 s calc 2 s ef 1229cm A 1260cm A o comprimento de ancoragem necessário é menor que b l porém não pode ser menor que lbmín dado pelo maior dos valores φ 10 cm 100mm 20 cm 10 20 10 225 cm 03 75 0 3 b mín b l l No cálculo de lbmec adotase α1 1 Barra sem gancho lb 75 cm Item 1577 2 s calc 1229 cm A Item 1575 2 s ef 1260cm A 4φ20 Com esses valores obtémse 73cm 1260 75 1229 01 A A ef s s cal b 1 bmec α l l lbemin 225 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1515 b Deslocamento al Como 0 905 d a l Item 1578 resulta 32cm 0 905 35 9 0 905 d a l c Comprimento da 4a barra φ 105cm 73 32 0 a 0 154cm 02 10 32 102 10 a 102 bmec 4e l l l l 308cm 154 2 4d 4e 4 l l l Valor adotado 308cm t l4 múltiplo de 10 cm 15710 Estados limites de serviço A verificação dos estados limites de serviço momento de fissuração abertura de fissuras e deformação excessiva encontrase no capítulo Estados Limites de Serviço Não há providências a tomar 15711 Desenho de armação Com base no memorial sintetizado da Figura 153 pode ser construído o desenho de armação que se encontra na Figura 156 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 1516 Figura 156 Desenho de armação ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 16 Murilo A Scadelai Libânio M Pinheiro 9 nov 2005 PILARES Pilares são elementos estruturais lineares de eixo reto usualmente dispostos na vertical em que as forças normais de compressão são preponderantes e cuja função principal é receber as ações atuantes nos diversos níveis e conduzilas até as fundações Junto com as vigas os pilares formam os pórticos que na maior parte dos edifícios são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura As ações verticais são transferidas aos pórticos pelas estruturas dos andares e as ações horizontais decorrentes do vento são levadas aos pórticos pelas paredes externas 161 CARGAS NOS PILARES Nas estruturas usuais compostas por lajes vigas e pilares o caminho das cargas começa nas lajes que delas vão para as vigas e em seguida para os pilares que as conduzem até a fundação As lajes recebem as cargas permanentes peso próprio revestimentos etc e as variáveis pessoas máquinas equipamentos etc e as transmitem para as vigas de apoio As vigas por sua vez além do peso próprio e das cargas das lajes recebem também cargas de paredes dispostas sobre elas além de cargas concentradas provenientes de outras vigas levando todas essas cargas para os pilares em que estão apoiadas Os pilares são responsáveis por receber as cargas dos andares superiores acumular as reações das vigas em cada andar e conduzir esses esforços até as fundações Nos edifícios de vários andares para cada pilar e no nível de cada andar obtém se o subtotal de carga atuante desde a cobertura até os andares inferiores Essas cargas no nível de cada andar são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar A carga total é usada no projeto da fundação Nas estruturas constituídas por lajes sem vigas os esforços são transmitidos diretamente das lajes para os pilares Nessas lajes devese dedicar atenção especial à verificação de punção 162 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS No dimensionamento de pilares a determinação das características geométricas está entre as primeiras etapas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 162 1621 Dimensões mínimas Com o objetivo de evitar um desempenho inadequado e propiciar boas condições de execução a NBR 61182003 no seu item 1323 estabelece que a seção transversal dos pilares qualquer que seja a sua forma não deve apresentar dimensão menor que 19 cm Em casos especiais permitese a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm desde que no dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional γn indicado na Tabela 1 e baseado na equação n 195 005 b γ b é a menor dimensão da seção transversal do pilar em cm Tabela 1 Valores do coeficiente adicional γn em função de b NBR 61182003 B cm 19 18 17 16 15 14 13 12 γn 100 105 110 115 120 125 130 135 Portanto o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares quando de seu dimensionamento Todas as recomendações referentes aos pilares são válidas nos casos em que a maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão h 5b Quando esta condição não for satisfeita o pilar deve ser tratado como pilar parede NBR 61182003 item 185 Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm² Exemplos de seções mínimas 12cm x 30cm 15cm x 24cm 18cm x 20cm 1622 Comprimento equivalente Segundo a NBR 61182003 item 156 o comprimento equivalente le do pilar suposto vinculado em ambas extremidades é o menor dos valores Figura 1 l l l h 0 e lo é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais supostos horizontais que vinculam o pilar h é a altura da seção transversal do pilar medida no plano da estrutura l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado No caso de pilar engastado na base e livre no topo le 2l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 163 h l0 h2 h2 l l0 h Figura 1 Distâncias lo e l 1623 Raio de giração Definese o raio de giração i como sendo A I i I é o momento de inércia da seção transversal A é a área de seção transversal Para o caso em que a seção transversal é retangular resulta 12 h i 12 h b h 12 h b A I i 2 3 1624 Índice de esbeltez O índice de esbeltez é definido pela relação i λ el 163 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES Os pilares podem ser classificados conforme as solicitações iniciais e a esbeltez 1631 Pilares internos de borda e de canto Quanto às solicitações iniciais os tipos de plilares são mostrados na Figura 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 164 PILAR INTERNO PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO Figura 2 Classificação quanto às solicitações iniciais Serão considerados internos os pilares em que se pode admitir compressão simples ou seja em que as excentricidades iniciais podem ser desprezadas Nos pilares de borda as solicitações iniciais correspondem a flexão composta normal ou seja admitese excentricidade inicial em uma direção Para seção quadrada ou retangular a excentricidade inicial é perpendicular à borda Pilares de canto são submetidos a flexão oblíqua As excentricidades iniciais ocorrem nas direções das bordas 1632 Classificação quanto à esbeltez De acordo com o índice de esbeltez λ os pilares podem ser classificados em pilares robustos ou pouco esbeltos λ λ1 pilares de esbeltez média λ1 λ 90 pilares esbeltos ou muito esbeltos 90 λ 140 pilares excessivamente esbeltos 140 λ 200 A NBR 61182003 não admite em nenhum caso pilares com λ superior a 200 164 EXCENTRICIDADES DE PRIMEIRA ORDEM As excentricidades de primeira ordem são comentadas a seguir 1641 Excentricidade inicial Em estruturas usuais de edifícios ocorre um monolitismo nas ligações entre vigas e pilares que compõem os pórticos A excentricidade inicial oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas ocorre em pilares de borda e de canto USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 165 A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas com as expressões Figura 3 N M e topo i topo e N M e base i base Figura 3 Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar Os momentos no topo e na base podem ser obtidos no cálculo do pórtico usando por exemplo o programa Ftool MARTHA 2001 Segundo a NBR 61182003 pode também ser admitido esquema estático apresentado na Figura 4 Figura 4 Esquema estático Para esse esquema estático pode ser considerado nos apoios extremos momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 166 na viga sup inf vig sup inf 3r 3r r 4 3r r 3 no tramo superior do pilar sup inf vig sup 3r 3r r 4 r 3 no tramo inferior do pilar sup inf vig inf 3r 3r 4r 3r ri é a rigidez do elemento i no nó considerado avaliada de acordo com a Figura 4 e dada por i i i I r l 1642 Excentricidade acidental Segundo a NBR 61182003 na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas devem ser consideradas as imperfeições do eixo dos elementos da estrutura descarregada Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos imperfeições globais e imperfeições locais Muitas das imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação mas as imperfeições dos eixos das peças não Elas devem ser explicitamente consideradas porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção a Imperfeições globais Na análise global das estruturas reticuladas sejam elas contraventadas ou não deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 5 a Figura 5 Imperfeições geométricas globais NBR 61182003 l 100 1 θ1 2 1 1 1 n a θ θ USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 167 l é a altura total da estrutura em metros n é o número total de elementos verticais contínuos θ1min 1400 para estruturas de nós fixos ou θ1min 1300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento Entre os dois vento e desaprumo pode ser considerado apenas o mais desfavorável que provoca o maior momento total na base de construção O valor máximo de θ1 será de 1200 b Imperfeições locais Na análise local de elementos dessas estruturas reticuladas devem também ser levados em conta efeitos de imperfeições geométricas locais Para a verificação de um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar Figura 6 1 2 1 3 1 2 1 1P ilar de contraventam ento 2P ilar contraventado 3Elem ento de ligação entre os pilares 1 e 2 aFalta de retilinidade bD esaprum o Lance de pilar E lem ento de ligação Figura 6 Imperfeições geométricas locais NBR 61182003 Admitese que nos casos usuais a consideração da falta de retilinidade seja suficiente Assim a excentricidade acidental ea pode ser obtida pela expressão 2 e 1 a θ l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 168 No caso de elementos usualmente vigas e lajes que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado Figura 6 Para pilar em balanço obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo ou seja θ l 1 ae 1643 Momento mínimo Segundo a NBR 61182003 o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem dado por M1dmin Nd 0015 003h h é a altura total da seção transversal na direção considerada em metros Nas estruturas reticuladas usuais admitese que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais separadamente isto é o pilar deve ser verificado sempre à flexão oblíqua composta onde em cada verificação pelo menos um dos momentos respeita o valor mínimo indicado 1644 Excentricidade de forma Em edifícios as posições das vigas e dos pilares dependem fundamentalmente do projeto arquitetônico Assim é comum em projetos a coincidência entre faces internas ou externas das vigas com as faces dos pilares que as apóiam Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar as reações das vigas apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma A Figura 7 apresenta exemplos de excentricidades de forma em pilares intermediários de borda e de canto As excentricidades de forma em geral não são consideradas no dimensionamento dos pilares pelas razões apresentadas a seguir A Figura 8 mostra as vigas VT01 e VT04 que se apóiam no pilar P01 com excentricidades de forma efy e efx respectivamente As tensões causadas pela reação da viga VT01 pelo Princípio de SaintVenant propagamse com um ângulo de 45o e logo se uniformizam distribuindose por toda a seção do pilar em um plano P A excentricidade de forma provoca no nível de cada andar um momento fletor MVT01 RVT01efy que tende a ser equilibrado por um binário A Figura 8 também representa esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos os momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram Observase que em cada piso atuam pares de forças em sentidos contrários com valores da mesma ordem de grandeza e que portanto tendem a se anular USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 169 efx P1 y x a Pilar interno b Pilar de borda P2 efx y x c Pilar de canto P1 efx y x efy Figura 7 Exemplos de excentricidades de forma em pilares VT 01 VT 04 efy B PO1 efx 45 Corte BB Fd VT01 P01 VT04 L01 RVT04 RVT01 Andar i plano p e fy i 2 i 1 i i 1 i 2 MVT01 VT01 M VT01 M VT01 M VT04 VT04 VT04 VT04 B VT04 x y Figura 8 Excentricidades de forma e binários correspondentes USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1610 A rigor apenas nos níveis da fundação e da cobertura as excentricidades de forma deveriam ser consideradas Entretanto mesmo nesses níveis elas costumam ser desprezadas No nível da fundação sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos andares superiores o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta significativamente os resultados do dimensionamento Já no nível da cobertura os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura mínima em geral capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de forma 1645 Excentricidade suplementar A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência A consideração da fluência é complexa pois a duração de cada ação tem que ser levado em conta ou seja o histórico de cada ação precisaria ser conhecido O cálculo da excentricidade suplementar é obrigatório em pilares com índice de esbeltez λ 90 de acordo com a NBR 61182003 O valor dessa excentricidade ec em que o índice c referese a creep fluência em inglês pode ser obtida de maneira aproximada pela expressão 1 2718 e N M e Sg e Sg N N φN a Sg Sg c 2 e c ci e I 10 E N l força de flambagem de Euler MSg NSg são os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente ea é a excentricidade acidental devida a imperfeições locais ϕ é o coeficiente de fluência Eci 5600 fck ½ MPa Ic é o momento de inércia no estádio I e l é o comprimento equivalente do pilar 165 ESBELTEZ LIMITE O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de análises teóricas de pilares considerando material elásticolinear Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2a ordem começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar Em estruturas de nós fixos dificilmente um pilar de pórtico não muito esbelto terá seu dimensionamento afetado pelos efeitos de 2a ordem pois o momento fletor total máximo provavelmente será apenas o de 1a ordem num de seus extremos Diversos fatores influenciam no valor da esbeltez limite Os preponderantes são excentricidade relativa de 1a ordem e1h vinculação dos extremos do pilar isolado forma do diagrama de momentos de 1a ordem USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1611 Segundo a NBR 61182003 os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 que pode ser calculado pelas expressões 1 1 b 25 125 e h λ α 90 35 λ1 sendo e1 a excentricidade de 1a ordem A NBR 61182003 não deixa claro como se adota este valor Na dúvida podese admitir no cálculo de λ1 e1 igual ao menor valor da excentricidade de 1a ordem no trecho considerado Para pilares usuais de edifícios vinculados nas duas extremidades na falta de um critério mais específico é razoável considerar e1 0 O coeficiente αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir a Pilares biapoiados sem forças transversais B b b A M 060 040 040 sendo 04 10 M α α MA é o momento fletor de 1a ordem no extremo A do pilar maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado MB é o momento fletor de 1a ordem no outro extremo B do pilar tomase para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário b Pilares biapoiados com forças transversais significativas ao longo da altura αb 1 c Pilares em balanço C b b A M 080 020 085 sendo 085 10 M α α MA é o momento fletor de 1a ordem no engaste MC é o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em balanço d Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento mínimo ver item 1643 αb 1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1612 166 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM A força normal atuante no pilar sob as excentricidades de 1a ordem excentricidade inicial provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade denominada excentricidade de 2a ordem A determinação dos efeitos locais de 2a ordem segundo a NBR 61182003 em barras submetidas à flexocompressão normal pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados A consideração da fluência é obrigatória para índice de esbeltez λ 90 acrescentandose ao momento de 1a ordem M1d a parcela relativa à excentricidade suplementar ec 167 MÉTODOS DE CÁLCULO Apresentamse conceitos do método geral do pilar padrão e dos métodos simplificados indicados pela NBR 61182003 1671 Método geral O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade É aplicável a qualquer tipo de pilar inclusive nos casos em que as dimensões da peça a armadura ou a força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus resultados que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura pois considera a não linearidade geométrica de maneira bastante precisa Considerese o pilar da Figura 9 engastado na base e livre no topo sujeito à força excêntrica de compressão Nd l e N d Figura 9 Pilar sujeito à compressão excêntrica Sob a ação do carregamento o pilar apresenta uma deformação que por sua vez gera nas seções um momento incremental Ndy provocando novas deformações e novos momentos Figura 10 Se as ações externas Nd e Md forem menores que a capacidade resistente da barra essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra Temse portanto uma forma fletida estável Figura 10a Caso contrário se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra o pilar perde estabilidade Figura 10b A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável Nd e a y a a Equilíbrio estável Nd e y b Equilíbrio instável Figura 10 Configurações fletidas A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável como mostra a Figura 11 de flecha a com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos respeitada a compatibilidade entre curvaturas deformações e posições da linha neutra assim como as equações constitutivas dos materiais e sem haver na seção crítica deformação convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço a e y n Nd x y2 2 1 y1 0 y0 a 1 2 Figura 11 Deformada estável 1613 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1614 1672 Pilar padrão Como o método geral é extremamente trabalhoso tendo em vista o número muito grande de operações matemáticas tornase inviável a utilização desse método sem o auxílio do computador A NBR 61182003 permite a utilização de alguns métodos simplificados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado cujas aproximações são relativas às nãolinearidades física e geométrica Por definição pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha a dada por base 2 e base 2 r 1 10 r 40 a l l A elástica do pilar indicada na Figura 12 é admitida senoidal dada pela equação 1 a y x Figura 12 Elástica do pilar padrão π x a sen y l 1 Nessas condições temse π π x cos a y l l π π x sen a y 2 l l Como 2 2 dx d y r 1 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1615 Para a seção média temse 2 2 x x 2 a y r 1 π l l l Assim a flecha máxima pode ser 2 x 2 2 r 1 a l l π Para o caso do pilar em balanço temse base 2 e r 1 10 a l em que π2 10 Obtendose a flecha máxima podese obter também o momento total já que o momento de 2a ordem pode ser obtido facilmente pela equação 2 N a M 2 base base 2 e 2 base r 1 N 10 M l 2 1673 Método da curvatura aproximada O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ 90 A nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a configuração deformada da barra seja senoidal A nãolinearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por r e e 1 10 2 2 l 1r é a curvatura na seção crítica que pode ser avaliada pela expressão h h r 0 005 50 0 005 1 ν h é a altura da seção na direção considerada ν NSd Acfcd é a força normal adimensional Assim o momento total máximo no pilar é dado por USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1616 dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M α l 1674 Método da rigidez κ aproximada O método do pilar padrão com rigidez κ aproximada é permitido para λ 90 nos pilares de seção retangular constante armadura simétrica e constante ao longo do comprimento A nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformada da barra seja senoidal A nãolinearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez O momento total máximo no pilar é dado por 1dA 2 1dA b dtot M 120 1 M M κ ν λ α 3 κ é valor da rigidez adimensional dado aproximadamente por ν κ d d tot N h M 5 32 1 4 Observase que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo de Mdtot e para o cálculo de κ utilizase o valor de Mdtot Assim a solução pode ser obtida por tentativas Usualmente poucas iterações são suficientes 168 CÁLCULO SIMPLIFICADO A NBR 61182003 item 1725 apresenta processos aproximados para dimensionamento à flexão composta normal e à flexão composta oblíqua 1681 Flexão composta normal O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com armadura simétrica sujeitas a flexocompressão normal em que a força normal reduzida ν seja maior ou igual a 07 pode ser realizado como um caso de compressão centrada equivalente em que β h e 1 N N Sd Sdeq e 0 M Sdeq cd c Sd A f ν N N h M h e Sd Sd USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1617 h d 80 0 01 39 0 1 α β sendo o valor de α dado por α 1αS se αS 1 em seções retangulares α αS se αS 1 em seções retangulares α 6 se αS 6 em seções retangulares α 4 em seções circulares Supondo que todas as barras sejam iguais αS é dado por 1 n 1 n v h S α O arranjo de armadura adotado para detalhamento Figura 13 deve ser fiel aos valores de αS e dh pressupostos nv barras de área As nv nh MSd h d d b nh barras de área As Figura 13 Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αS Figura 172 da NBR 61182003 1682 Flexão composta oblíqua Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1618 1 M M M M yy Rd y Rd xx Rd Rdx α α MRdx MRdy são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta segundo os dois eixos principais de inércia x e y da seção bruta com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd Esses são os valores que se deseja obter MRdxx MRdyy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal com o mesmo valor de NRd Esses valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo α é um expoente cujo valor depende de vários fatores entre eles o valor da força normal a forma da seção o arranjo da armadura e de suas porcentagens Em geral pode ser adotado α 1 a favor da segurança No caso de seções retangulares podese adotar α 12 169 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Serão considerados o cobrimento das armaduras dos pilares e alguns aspectos relativos às armaduras longitudinais e às transversais 1691 Cobrimento das armaduras O cobrimento das armaduras é considerado no item 747 da NBR 61182003 Cobrimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado Para garantir o cobrimento mínimo cmin o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal cnom que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução c Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais estabelecidos na Tabela 2 para c 10 mm nom min c c c Tabela 2 Valores de cnom em pilares de concreto armado para c 10 mm NBR 61182003 Classe de agressividade I II III IV cnom mm 25 30 40 50 Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor c 5 mm mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto Permitese então redução de 5 mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 2 Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa em geral à face externa do estribo O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1619 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode superar em 20 o cobrimento nominal ou seja cnom d 21 max 1692 Armaduras longitudinais A escolha e a disposição das armaduras devem atender não só à função estrutural como também às condições de execução particularmente com relação ao lançamento e adensamento do concreto Os espaços devem permitir a introdução do vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do pilar item 1821 da NBR 61182003 As armaduras longitudinais colaboram para resistir à compressão diminuindo a seção do pilar e também resistem às tensões de tração Além disso têm a função de diminuir as deformações do pilar especialmente as decorrentes da retração e da fluência O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 18 da menor dimensão da seção transversal item 18421 da NBR 61182003 b8 10 mm lφ 1693 Limites da taxa de armadura longitudinal Segundo o item 17353 da NBR 61182003 a armadura longitudinal mínima deve ser c yd d s min 0 004 A f 015 N A O valor máximo da área total de armadura longitudinal é dado por c s max 8 A A A maior área de armadura longitudinal possível deve ser 8 da seção real considerandose inclusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda 1694 Número mínimo de barras A NBR 61182003 no item 18422 estabelece que as armaduras longitudinais devem ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro A Figura 14 apresenta o número mínimo de barras para alguns tipos de seção USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1620 Figura 14 Número mínimo de barras 1695 Espaçamento das barras longitudinais O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais medido no plano da seção transversal fora da região de emendas deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores Figura 15 φ diâmetro máximo do agregado 12 d mm 20 a max l Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por traspasse a a a Øl Sem emendas por traspasse lb a Øl Com emendas por traspasse Figura 15 Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da fôrma o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador O espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado sem exceder 40 cm ou seja cm b s 40 2 l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1621 Para LEONHARDT MÖNNIG 1978 esse espaçamento máximo não deve ser maior do que 30 cm Entretanto para pilares com dimensões até 40 cm basta que existam as barras longitudinais nos cantos 1696 Armaduras transversais A armadura transversal de pilares constituída por estribos e quando for o caso por grampos suplementares deve ser colocada em toda a altura do pilar sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes item 1843 da NBR 61182003 Os estribos devem ser fechados geralmente em torno das barras de canto ancorados com ganchos que se transpassam colocados em posições alternadas Os estribos têm as seguintes funções a garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais b garantir a costura das emendas de barras longitudinais c confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil De acordo com a NBR 61182003 o diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 14 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal ou seja 4 mm 5 t lφ φ Em pilares com momentos nas extremidades portanto nos pilares em geral e nos prémoldados LEONHARDT MÖNNIG 1978 recomendam que se disponham nas suas extremidades 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st2 e st4 Figura 16 Figura 16 Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados LEONHARDT MÖNNIG 1978 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1622 FUSCO 1994 ainda comenta que de modo geral nos edifícios os estribos não são colocados nos trechos de intersecção dos pilares com as vigas que neles se apóiam Isso decorre do fato de a presença de estribos nesses trechos dificultar muito a montagem da armadura das vigas A NBR 61182003 deixa claro que é obrigatória a colocação de estribos nessas regiões 1697 Espaçamento máximo dos estribos O espaçamento longitudinal entre estribos medido na direção do eixo do pilar deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores φ φ 25 para CA 25 50 para CA 12 dimensão da seção menor cm 20 st l l Permitese adotar o diâmetro dos estribos 4 t φ lφ desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação fyk em MPa 2 t max yk 1 s 90000 f φ φ l 1698 Estribos suplementares Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura situadas junto à superfície devem ser tomadas precauções para evitála A NBR 61182003 item 1824 considera que os estribos poligonais garantem contra flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas situadas no máximo à distância de 20φt do canto se nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras não contando a do canto Figura 17 t t t t t t Figura 17 Proteção contra a flambagem das barras longitudinais LEONHARDT MÖNNIG 1981 Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou barras fora dele deve haver estribos suplementares Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta terminada em ganchos ele deve atravessar a seção do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1623 Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto junto a uma das barras o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado como indicado na Figura 18 Essa amarra garantirá contra a flambagem essa barra encostada e mais duas no máximo para cada lado não distantes dela mais de 20φt No caso da utilização dessas amarras para que o cobrimento seja respeitado é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do pilar um estribo poligonal e uma barra com ganchos dois estribos poligonais barra com gancho envolvendo o estribo principal Figura 18 Estribos suplementares e ganchos É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode dificultar a concretagem Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos para evitar os estribos suplementares A NBR 61182003 comenta ainda que no caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto não há necessidade de estribos suplementares Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal 1610 EXEMPLOS DE CÁLCULO Será feito o dimensionamento do pilar P5 Figura 19 e Figura 20 utilizandose o Método da Curvatura Aproximada segundo a NBR 61182003 16101 Dados Concreto C25 aço CA 50 Cobrimento nominal cnom 25 cm e d40 cm Nk 650 kN Comprimento do pilar 290 cm Figura 20 Seção transversal 15 cm x 45 cm Carga total na viga pk 24 kNm Como a menor dimensão do pilar é inferior a 19 cm no dimensionamento deve se multiplicar as ações por um coeficiente adicional γn indicado na Tabela 1 na qual b é a menor dimensão da seção transversal do pilar Dessa forma temse USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1624 h 9 cm h 9 cm h 9 cm h 9 cm h 9 cm P1 P2 P3 P6 P5 15x45 P4 P7 P8 25x45 P9 P10 P11 P12 V1 15 x 50 V2 15 x 60 V3 15 x 60 V4 15 x 50 V5 15 x 50 V6 15 x 60 V7 15 x 50 Figura 19 Planta de forma do edifício V6 15x40 V6 15x40 P5 15x45 P8 25x45 V2 V2 V3 V3 Figura 20 Vista lateral USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1625 650 21 41 15 1 20 k n f d n N N cm b γ γ γ N d 1092 kN ν 14 52 45 15 1092 h f b N cd d ν 091 16102 Comprimento equivalente raio de giração e índice de esbeltez O comprimento equivalente le do pilar deve ser o menor dos seguintes valores 290 265 15 250 0 cm cm h e e l l l l le 265 cm Calculandose o raio de giração e o índice de esbeltez temse 12 15 12 h i i 433 cm λ 4 33 265 i el λ 61 2 16103 Excentricidade inicial Para o cálculo da excentricidade inicial devem ser definidas algumas grandezas a Vão efetivo da viga O vão efetivo da viga V6 é calculado conforme a Figura 21 2 1 0 ef l a a l cm h cm t a 20 402 12 57 152 2 1 1 1 cm 57 a1 cm h cm t a 20 402 12 22 5 452 2 1 2 2 a 2 20 cm 20 57 462 5 2 1 0 a a ef l l lef 490 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1626 l0 t1 t2 h Figura 21 Vão efetivo da viga b Momentos na ligação vigapilar Para o cálculo dos momentos na ligação vigapilar será considerado o esquema apresentado na Figura 22 Portanto para o caso em estudo temse Figura 23 132 5 25 12656 2 265 12 45 15 3 inf sup e I r r l 3 inf sup 95 5 cm r r 490 80000 490 12 40 15 l I r 3 ef vig vig rvig 163 3 lvig Figura 22 Esquema estático para cálculo do momento de ligação vigapilar 2 inf l 2 sup l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1627 650 kN Figura 23 Esquema estático para pilar em estudo 12 4 90 24 12 2 p l2 M eng 4802 kN m M eng 3 95 5 4 163 3 3 95 5 3 95 5 4802 3 4 3 3 inf sup sup sup r r r r M M vig eng 1122 kN m Msup 3 95 5 4 163 3 3 95 5 3 95 5 4802 3 4 3 3 sup inf inf inf r r r r M M vig eng 1122 kN m Minf kNm M M M vig 22 44 22 1122 11 inf sup O momento total no topo e base do pilar em estudo resulta 1122 21 41 M M d base d topo 1885 kN cm 1885 kN m M M d base d topo c Excentricidade inicial no topo e na base 1092 1885 N d d i M e ei 1 73 cm d Momento mínimo 1 min 0015 003 14 12 650 0015 003 015 d d M N h M1dmin 2129 kNm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1628 e Verificação da dispensa dos efeitos de 2a ordem Para pilares biapoiados sem cargas transversais e sendo os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar 2129 kNm M 1885 kNm M M 1dmin B A temse segundo o item 1582d da NBR 611282003 b α 10 Considerandose e1 0 resulta α λ 01 25 h e 12 5 25 b 1 1 λ 1 25 1 35 λ 90 1 λ 35 Como λ 612 λ1 35 Devem ser considerados os efeitos de 2a ordem 16104 Método da Curvatura Aproximada 1dmin d M N 0015 003 h 14 12 650 0015 003 015 M1dmin 2129 kNm 1dA 1dmín M 1885 kNm M 2129 kNm 2129 kNm M 1dA h 0 005 50 h 0 005 r 1 ν 0 033 015 0 005 0 0236 50 015 0 91 0 005 r 1 00236 r 1 3939 kNm α 0 0236 10 2 65 650 21 41 2129 01 r 1 10 N M M 2 2 e d 1dA b dtot l 361 cm 650 21 41 3939 N M e d dtot tot µ 022 µ ν 15 3 61 0 91 h e tot Será considerado 0 25 0 27 15 4 h d Utilizandose o ábaco A5 de Venturini 1987 obtémse c cd s yd 15 45 25 A f 14 090 A 2772 2772 090 50 f 115 ω ω ω 2 S A 2495 cm USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1629 Taxa de Armadura ρ 2495 370 1545 Armadura adotada 12 φ 16 mm 240 cm² Alternativa 8 φ 20 mm 2520 cm² 16105 Estribos a Diâmetro φ φ 5 mm 4 mm 164 4 t l Adotado φt 5 mm b Espaçamento φ φ cm 20 19 2 cm 61 12 12 cm menor dimensão 15 t l Adotado s 15 cm Figura 24 Detalhe da seção 12 φ 16 estribos φ 5 c 15 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1630 c Estribos suplementares 10 cm 50 20 20 t φ As quatro barras centrais precisam de estribo suplementar São adotados os estribos múltiplos indicados na Figura 24 16106 Método da Rigidez κ Aproximada Utilizando as eq3 e 4 item 1674 temse 1a Iteração Será adotado para 1a aproximação o momento total obtido pelo método anterior 3939 kNm M 01 dtot κν 650 41 21 015 3939 5 1 32 1 7048 ν κ 1 21 kNm 38 120 7048 6120 1 2129 01 M 2 11 dtot Para a segunda iteração podese considerar como estimativa razoável a média entre os valores anteriores 2 3821 3939 M 02 dtot 3880 kNm M 20 dtot 2a Iteração 3880 kNm M 20 dtot κν 650 41 21 015 3880 5 1 32 1 6990 ν κ 2 47 kNm 38 120 6990 6120 1 2129 01 M 2 12 dtot Adotandose a média dos dois últimos valores temse 2 3847 3880 M 03 dtot 3864 kNm M 30 dtot 650 21 41 3864 N M e d dtot tot 354 cm etot 00354 m USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1631 ν µ 15 3 54 0 91 h etot µ 021 Utilizandose o ábaco A5 de Venturini 1987 obtémse ω ω 0 88 2772 86 0 115 50 41 52 45 15 f f A A 88 0 yd cd c s 2 s A 2439 cm Taxa de Armadura 361 45 15 2439 ρ 2 menor que o anterior O dimensionamento também pode ser feito usando programas computacionais como por exemplo os encontrados no site wwwcesecufprbrconcretoarmado 1611 CONCLUSÕES Inicialmente é importante salientar que a excentricidade de 1a ordem e1 não inclui a excentricidade acidental ea apenas a excentricidade inicial ei sendo que a excentricidade acidental não interfere no resultado quando M1dA M1d Min pois este último leva em conta uma excentricidade acidental mínima No cálculo de λ1 a NBR 6118 não deixa claro qual a seção em que se deve considerar a excentricidade de primeira ordem e1 Para pilares usuais de edifícios ainda se pode imaginar que e1 deva ser considerado no centro do pilar No entanto para pilares em balanço existe a dúvida sobre onde considerar a excentricidade se no meio do pilar ou no engaste Para se determinar a influência da solidariedade dos pilares com a viga no cálculo do momento atuante no pilar podese considerar o esquema estático da Figura 17 No entanto os coeficientes da NBR 61182003 não estão em acordo com esse esquema conforme pode ser constatado no item 14671 dessa Norma USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Pilares 1632 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 61182003 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro ABNT FUSCO P B Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Editora Pini 1994 LEONHARDT F MÖNNIG E 1978 Construções de concreto princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado Rio de Janeiro Interciência MARTHA L F 2001 Ftool twodimensional frame analysis tool Versão Educacional 209 Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUCRio Departamento de Engenharia Civil e TecgrafPUCRio Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica Disponível em httpwwwtecgrafpucriobrftool VENTURINI W S RODRIGUES R O 1987 Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta EESCUSP São Carlos Site wwwcesecufprbrconcretoarmado programas para cálculo de flexão composta normal e oblíqua ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 17 Libânio M Pinheiro Julio A Razente 01 dez 2003 LAJES NERVURADAS 1 INTRODUÇÃO Uma laje nervurada é constituída por um conjunto de vigas que se cruzam solidarizadas pela mesa Esse elemento estrutural terá comportamento intermediário entre o de laje maciça e o de grelha Segundo a NBR 61182003 lajes nervuradas são lajes moldadas no local ou com nervuras prémoldadas cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte As evoluções arquitetônicas que forçaram o aumento dos vãos e o alto custo das formas tornaram as lajes maciças desfavoráveis economicamente na maioria dos casos Surgem como uma das alternativas as lajes nervuradas ver figura 171 Figura 171 Laje nervurada bidirecional FRANCA FUSCO 1997 Resultantes da eliminação do concreto abaixo da linha neutra elas propiciam uma redução no peso próprio e um melhor aproveitamento do aço e do concreto A resistência à tração é concentrada nas nervuras e os materiais de enchimento têm como função única substituir o concreto sem colaborar na resistência USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 172 Essas reduções propiciam uma economia de materiais de mãodeobra e de fôrmas aumentando assim a viabilidade do sistema construtivo Além disso o emprego de lajes nervuradas simplifica a execução e permite a industrialização com redução de perdas e aumento da produtividade racionalizando a construção 2 FUNÇÕES ESTRUTURAIS DAS LAJES As lajes recebem as ações verticais perpendiculares à superfície média e as transmitem para os apoios Essa situação confere à laje o comportamento de placa Outra função das lajes é atuar como diafragmas horizontais rígidos distribuindo as ações horizontais entre os diversos pilares da estrutura Nessas circunstâncias a laje sofre ações ao longo de seu plano comportandose como chapa Concluise portanto que as lajes têm dupla função estrutural de placa e de chapa O comportamento de chapa é fundamental para a estabilidade global da estrutura principalmente nos edifícios altos É através das lajes que os pilares contraventados se apóiam nos elementos de contraventamento garantindo a segurança da estrutura em relação às ações laterais Embora o arranjo de armaduras em geral seja determinado em função dos esforços de flexão relativos ao comportamento de placa a simples desconsideração de outros esforços pode ser equivocada Uma análise do efeito de chapa se faz necessária principalmente em lajes constituídas por elementos prémoldados Na figura 172 é mostrado um exemplo de transferência de forças e de tensões em laje formada por painéis prémoldados comportandose como diafragma 3 CARACTERÍSTICAS DAS LAJES NERVURADAS Serão considerados os tipos de lajes nervuradas a presença de capitéis e de vigas faixa e os materiais de enchimento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 173 Figura 172 Comportamento de laje como diafragma EL DEBS 2000 31 Tipos de Lajes Nervuradas As lajes nervuradas podem ser moldadas no local ou podem ser executadas com nervuras prémoldadas a Laje moldada no local Todas as etapas de execução são realizadas in loco Portanto é necessário o uso de fôrmas e de escoramentos além do material de enchimento Podese utilizar fôrmas para substituir os materiais inertes Essas fôrmas já são encontradas em polipropileno ou em metal com dimensões moduladas sendo necessário utilizar desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças Figura 173 b Laje com nervuras prémoldadas Nessa alternativa as nervuras são compostas de vigotas prémoldadas que dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional Essas vigotas são capazes de suportar seu peso próprio e as ações de construção necessitando apenas de USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 174 cimbramentos intermediários Além das vigotas essas lajes são constituídas de elementos de enchimento que são colocados sobre os elementos prémoldados e também de concreto moldado no local Há três tipos de vigotas Figura 174 Figura 173 Laje nervurada moldada no local Figura 174 Vigotas prémoldadas FRANCA FUSCO1997 32 Lajes Nervuradas com Capitéis e com Vigasfaixa Em regiões de apoio temse uma concentração de tensões transversais podendo ocorrer ruína por punção ou por cisalhamento Por serem mais frágeis esses tipos de ruína devem ser evitados garantindose que a ruína caso ocorra seja por flexão Além disso de acordo com o esquema estático adotado pode ser que apareçam esforços solicitantes elevados que necessitem de uma estrutura mais robusta Concreto armado Concreto protendido Vigota treliçada USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 175 Nesses casos entre as alternativas possíveis podese adotar Figura 175 região maciça em volta do pilar formando um capitel faixas maciças em uma ou em duas direções constituindo vigasfaixa Figura 175 Capitel e vigafaixa 33 Materiais de enchimento Como foi visto a principal característica das lajes nervuradas é a diminuição da quantidade de concreto na região tracionada podendose usar um material de enchimento Além de reduzir o consumo de concreto há um alívio do peso próprio Portanto o material de enchimento deve ser o mais leve possível mas com resistência suficiente para suportar as operações de execução Devese ressaltar que a resistência do material de enchimento não é considerada no cálculo da laje Podem ser utilizados vários tipos de materiais de enchimento entre os quais blocos cerâmicos blocos vazados de concreto e blocos de EPS poliestireno expandido também conhecido como isopor Esses blocos podem ser substituídos por vazios obtidos com fôrmas constituídas por caixotes reaproveitáveis USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 176 a Blocos cerâmicos ou de concreto Em geral esses blocos são usados nas lajes com vigotas prémoldadas Figura 176 devido à facilidade de execução Eles são melhores isolantes térmicos do que o concreto maciço Uma de suas restrições é o peso específico elevado para um simples material de enchimento Figura 176 Lajes com vigotas prémoldadas PEREIRA 2001 b Blocos de EPS Os blocos de EPS vêm ganhando espaço na execução de lajes nervuradas sendo utilizados principalmente junto com as vigotas treliçadas prémoldadas Figura 177 As principais características desses blocos são Permite execução de teto plano Facilidade de corte com fio quente ou com serra Resiste bem às operações de montagem das armaduras e de concretagem com vedação eficiente Coeficiente de absorção muito baixo o que favorece a cura do concreto moldado no local Baixo módulo de elasticidade permitindo uma adequada distribuição das cargas Isolante termoacústico c Caixotes reaproveitáveis A maioria dessas formas é de polipropileno ou de metal Sua principal vantagem são os vazios que resultam diminuindo o peso próprio da laje ver figura 175 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 177 Após a execução para retirar os caixotes podese injetar ar comprimido O número de reutilizações dessas formas pode ultrapassar cem vezes As fôrmas reaproveitáveis dispensam o uso do tabuleiro tradicional que pode ser substituído por pranchas colocadas apenas na região das nervuras As vigotas pré moldadas substituem com vantagens essas pranchas simplificando a execução Figura 177 Blocos de EPS com vigotas treliçadas FRANCA FUSCO 1997 4 CONSIDERAÇÕES DE PROJETO A prática usual consiste em adotar painéis com vãos maiores que os das lajes maciças apoiados em vigas mais rígidas que as nervuras Apresentamse a seguir as dimensões limites segundo a NBR 6118 2003 item 13242 A vinculação será definida com base na resistência do concreto à compressão USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 178 41 Dimensões mínimas As prescrições quanto às dimensões mínimas da mesa e das nervuras são indicadas na Figura 178 a Espessura da mesa Quando não houver tubulações horizontais embutidas a espessura da mesa deve ser maior ou igual a 115 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm A espessura da mesa deve ser maior ou igual a 4cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 125mm b Largura das nervuras A largura das nervuras não deve ser inferior a 5cm Se houver armaduras de compressão a largura das nervuras não deve ser inferior a 8cm 42 Critérios de projeto Os critérios de projeto dependem do espaçamento e entre os eixos das nervuras Para e 65cm pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permitese a consideração dos critérios de laje Para e entre 65 e 110cm exigese a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas permitese essa verificação como laje se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90cm e a largura média das nervuras for maior que 12cm Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos maior que 110cm a mesa deve ser projetada como laje maciça apoiada na grelha de vigas respeitandose os seus limites mínimos de espessura USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 179 Figura 178 Seção típica e dimensões mínimas 43 Vinculação Para as lajes nervuradas procurase evitar engastes e balanços visto que nesses casos têmse esforços de compressão na face inferior região em que a área de concreto é reduzida Nos casos em que o engastamento for necessário duas providências são possíveis limitar o momento fletor ao valor correspondente à resistência da nervura à compressão utilizar mesa na parte inferior Figura 179 situação conhecida como laje dupla ou região maciça de dimensão adequada 5 AÇÕES E ESFORÇOS SOLICITANTES As ações devem ser calculadas de acordo com a NBR 61201980 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações A laje nervurada pode ser tratada como placa em regime elástico Assim o cálculo dos esforços solicitantes em nada difere daquele realizado para lajes maciças Para cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio podem ser utilizadas as tabelas de PINHEIRO 1993 Para obter os esforços nas nervuras conhecidos os esforços por unidade de largura basta multiplicar esse valor pela distância entre eixos das nervuras USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1710 Figura 179 Diagrama de momentos para lajes nervuradas contínuas engastadas Vale lembrar que em lajes nervuradas de grandes dimensões em planta e submetidas a cargas concentradas elevadas o cálculo deve considerar a posição dessas cargas a localização e a rigidez das nervuras as condições de apoio das lajes a posição dos pilares e a deformabilidade das vigas de sustentação Para isso podem ser utilizados programas computacionais adequados 6 VERIFICAÇÕES Podem ser necessárias as seguintes verificações flexão nas nervuras cisalhamento nas nervuras flexão na mesa cisalhamento na mesa e flecha da laje 61 Flexão nas nervuras Obtidos os momentos fletores por nervura o cálculo da armadura necessária deve ter em vista USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1711 No caso de mesa comprimida que é o usual a seção a ser considerada é uma seção T Em geral a linha neutra encontrase na mesa e a seção comportase como retangular com seção resistente bfh No caso de mesa tracionada quando não se tem laje dupla a seção resistente é retangular bwh ver nomenclatura na figura 178 Vale lembrar que outros aspectos devem ser considerados ancoragens nos apoios deslocamentos dos diagramas armaduras mínimas fissuração etc No item 173521 da NBR 61182003 as taxas mínimas de armadura variam em função da forma da seção e do fck do concreto Tabela 171 Nas seções tipo T a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante Tabela 171 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Tabela 173 da NBR 61182003 Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA50 γc 14 e γs 115 Caso esses fatores sejam diferentes ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado 62 Cisalhamento nas nervuras De acordo com a NBR 61182003 itens 13242 e 174112b a verificação do cisalhamento nas nervuras depende da distância entre elas 20 25 30 35 40 45 50 0035 0150 0150 0173 0201 0230 0259 0288 0024 0150 0150 0150 0150 0158 0177 0197 0031 0150 0150 0153 0178 0204 0229 0255 0070 0230 0288 0345 0403 0518 0518 0575 Forma da seção Valores de ρmin AsminAc fck ω Retangular T mesa comprimida T mesa tracionada Circular USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1712 a Distância entre eixos das nervuras menor ou igual a 65cm Para lajes com espaçamento entre eixos menor ou igual a 65cm para a verificação do cisalhamento da região das nervuras permitese considerar os critérios de laje A verificação da necessidade de armadura transversal nas lajes é dada pelo item 1941 da NBR 61182003 As lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão Vsd VRd1 A resistência de projeto ao cisalhamento para lajes sem protensão é dada por d b 40 k 21 V w 1 Rd Rd1 ρ τ ctd Rd 0 25 f τ c ctkinf ctd f f γ d b A w s1 ρ1 não maior que 0 02 k é um coeficiente que tem os seguintes valores para elementos onde 50 da armadura inferior não chega até o apoio k 1 para os demais casos d 61 k não menor que 1 com d em metros fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que b nec d l além da seção considerada com l b nec definido em 9425 e figura 191 NBR 61182003 bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1713 De acordo com o item 825 da NBR 61182003 em MPa 0 21f 07 03 f 07 f f 2 3 ck 23 ck ctm ckinf Resulta em MPa 0 0525 f 2 3 ck τRd Em caso de necessidade de armadura transversal ou seja quando não se verifica a condição estabelecida no início deste item aplicamse os critérios estabelecidos nos itens 1742 e 1942 NBR 6118 2003 b Distância entre eixos das nervuras de 65cm até 90cm A verificação de cisalhamento pode ser como lajes da maneira indicada no item anterior se a largura média das nervuras for maior que 12cm NBR 61182003 item 13242b c Distância entre eixos das nervuras entre 65cm e 110cm Para lajes com espaçamento entre eixos das nervuras entre 65cm e 110cm as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas Deve ser colocada armadura perpendicular à nervura na mesa por toda a sua largura útil com área mínima de 15cm2m Como foi visto no item anterior ainda se permite a consideração de laje se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90cm e a espessura média das nervuras for maior que 12cm 63 Flexão na mesa Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 e 110cm exigese a verificação da flexão da mesa NBR 61182003 item 13242b Essa verificação também deve ser feita se existirem cargas concentradas entre nervuras USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1714 A mesa pode ser considerada como um painel de lajes maciças contínuas apoiadas nas nervuras Essa continuidade implica em momentos negativos nesses apoios devendo portanto ser disposta armadura para resistir a essa solicitação além da armadura positiva Outra possibilidade é considerar a mesa apoiada nas nervuras Dessa forma podem ocorrer fissuras na ligação das mesas sobre as nervuras 64 Cisalhamento na mesa O cisalhamento nos painéis é verificado utilizandose os critérios de lajes maciças da mesma forma indicada no item 62a deste texto Em geral o cisalhamento somente terá importância na presença de cargas concentradas de valor significativo Recomendase sempre que possível que ações concentradas atuem diretamente nas nervuras de forma a evitar a necessidade de armadura de cisalhamento na mesa 65 Flecha Na verificação da flecha em lajes segundo a NBR 61182003 item 1931 devem ser usados os critérios estabelecidos no item 1732 dessa Norma considerandose a possibilidade de fissuração estádio II O referido item 1732 estabelece limites para flechas segundo a Tabela 132 da Norma citada levandose em consideração combinações de ações conforme o item 11831 dessa Norma O cálculo da flecha é feito utilizandose processos analíticos estabelecidos pela própria Norma item 1732 que divide o cálculo em duas parcelas flecha imediata e flecha diferida A determinação do valor de tais parcelas é apresentada a seguir e abordada pela Norma nos itens 173211 e 173212 respectivamente USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1715 De acordo com o item 11831 da NBR 61182003 as combinações de serviço classificadas como quase permanentes são aquelas que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas A tabela 114 do item 11832 da Norma traz a seguinte expressão para combinações quase permanentes Fdser Σ Fgik Σ ψ2j Fqjk onde Fdser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço Fgik são as ações devidas às cargas permanentes Fqjk são as ações devidas às cargas variáveis ψ2j é o coeficiente dado na tabela 112 do item 1171 cujos valores podem ser adotados de acordo com os valores da Tabela 172 deste texto Tabela 172 Valores do coeficiente ψ2 Tipos de ações ψ2 Cargas acidentais em edifícios residenciais 03 Cargas acidentais em edifícios comerciais 04 Cargas acidentais em bibliotecas arquivos oficinas e garagens 06 Pressão dinâmica do vento 0 Variações uniformes de temperatura 03 a Flecha imediata A parcela referente à flecha imediata como o próprio nome já diz referese ao deslocamento imediatamente após a aplicação dos carregamentos que pode ser calculado com a utilização de tabelas tais como as apresentadas em PINHEIRO 1993 em função da vinculação das lajes USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1716 Vale salientar que a Norma estabelece uma expressão para o cálculo da rigidez equivalente considerandose a possibilidade da laje estar fissurada Essa rigidez equivalente é dada por 3 3 r r cs c II cs c eq a a M M EI E I 1 I E I M M cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto III é o momento de inércia da seção fissurada estádio II a M é o momento fletor na seção crítica do vão considerado momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços para a combinação de ações considerada nessa avaliação r M momento de fissuração que deve ser reduzido à metade no caso de barras lisas Ecs módulo de elasticidade secante do concreto b Flecha diferida A parcela referente à flecha diferida segundo a Norma é decorrente das cargas de longa duração em função da fluência e é calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f α dado por f 1 50 ξ α ρ s 0 w A e t t ρ b d ξ ξ ξ As é a área de armadura de compressão em geral As0 ξ é um coeficiente em função do tempo calculado pela expressão seguinte ou obtido diretamente na Tabela 173 extraída da mesma Norma USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1717 t 032 t 0680996 t para t 70 meses t 2 para t 70 meses ξ ξ t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida 0t é a idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração Portanto a flecha total é obtida multiplicandose a flecha imediata por 1 αf Tabela 173 Valores do coeficiente ξ em função do tempo Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente ξt 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 c Flecha Limite Segundo a NBR 61182003 os deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações São classificados em quatro grupos aceitabilidade sensorial efeitos específicos efeitos em elementos não estruturais e efeitos em elementos estruturais Devem obedecer aos limites estabelecidos pela tabela 18 do item 133 dessa Norma d Contraflecha Segundo a NBR 61182003 os deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas No caso de se adotar contraflecha de valor ao a flecha total a ser verificada passa a ser atot ao alim A contraflecha ao pode ser adotada como um múltiplo de 05cm com valor estimado pela soma da flecha imediata com metade da flecha diferida ou seja ao ai af 2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Lajes nervuradas 1718 BIBLIOGRAFIA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto e execução de obras de concreto armado Rio de Janeiro 1978 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro 2001 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6120 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações Rio de Janeiro 1980 AMERICAN CONCRETE INSTITUTION ACI 318 Building code requirements for reinforced concrete Detroit Michigan 2002 ATEX Brasil Encarte técnico Lagoa Santa MG 2002 BOCCHI JÚNIOR CF Lajes nervuradas de concreto armado São Carlos 183p Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo 1995 DROPPA JÚNIOR A Análise estrutural de lajes formadas por elementos pré moldados tipo vigota com armação treliçada São Carlos 177p Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo 1999 EL DEBS MK Concreto prémoldado fundamentos e aplicações São Carlos Projeto REENGE Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo 2000 FERREIRA LM PINHEIRO LM Lajes nervuradas notas de aula São Carlos 1999 FRANCA ABM FUSCO PB As lajes nervuradas na moderna construção de edifícios São Paulo AFALA ABRAPEX 1997 FUSCO PB Técnicas de armar as estruturas de concreto São Paulo Pini 1994 PEREIRA V Manual de projeto de lajes prémoldadas treliçadas São Paulo Associação dos fabricantes de lajes de São Paulo 2000 PINHEIRO LM Concreto armado tabelas e ábacos São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas EESCUSP 1993 ESTRUTURAS DE CONCRETO CAPÍTULO 18 Juliana S Lima Mônica CC da Guarda Libânio M Pinheiro 29 novembro 2007 TORÇÃO 1 GENERALIDADES O fenômeno da torção em vigas vem sendo estudado há algum tempo com base nos conceitos fundamentais da Resistência dos Materiais e da Teoria da Elasticidade Vários pesquisadores já se dedicaram à compreensão dos tipos de torção à análise da distribuição das tensões cisalhantes em cada um deles e finalmente à proposição de verificações que permitam estimar resistências para as peças e impedir sua ruína Apesar dos primeiros estudos sobre torção serem atribuídos a Coulomb as contribuições de SaintVenant aplicação da torção livre em seção qualquer e Prandlt utilização da analogia de membrana é que impulsionaram a solução para o problema da torção No caso específico de análise de peças de concreto foi a partir de Bredt teoria dos tubos de paredes finas que o fluxo das tensões foi compreendido Na parte experimental podemse destacar os estudos de Mörsch Thürlimann e Lampert fundamentais para o conhecimento do comportamento mecânico de vigas submetidas à torção Em geral os estudos sobre torção desconsideram a restrição ao empenamento como nas hipóteses de SaintVenant mas na prática as próprias regiões de apoio pilares ou outras vigas tornam praticamente impossível o livre empenamento Como conseqüência surgem tensões normais de coação no eixo da peça e há uma certa redução da tensão cisalhante Esse efeito pode ser desconsiderado no dimensionamento das seções mais usuais de concreto armado perfis maciços ou fechados nos quais a rigidez à torção é alta uma vez que as tensões de coação tendem a cair bastante com a fissuração da peça e o restante passa a ser resistido apenas pelas armaduras mínimas Assim os princípios básicos de dimensionamento propostos para a torção clássica de SaintVenant continuam adequados com uma certa aproximação para várias situações práticas No caso de seções delgadas entretanto a influência do empenamento pode ser considerável e devem ser utilizadas as hipóteses da flexotorção de Vlassov para o dimensionamento Um método simplificado é apresentado na Revisão da NBR 6118 mas não será objeto de análise deste trabalho O dimensionamento à torção baseiase nas mesmas condições dos demais esforços enquanto o concreto resiste às tensões de compressão as tensões de tração devem ser absorvidas pela armadura A distribuição dos esforços pode ser feita de diversas formas a depender da teoria e do modelo adotado USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 182 A teoria que é mais amplamente aceita para a distribuição das tensões decorrentes da torção é a da treliça espacial generalizada na qual se baseiam as formulações das principais normas internacionais A filosofia desse método é a idealização da peça como uma treliça cujas tensões de compressão causadas pelo momento torçor serão resistidas por bielas comprimidas concreto e as de tração por diagonais tracionadas armaduras Vale a lembrança de que não é todo tipo de momento torçor que precisa ser considerado para o dimensionamento das vigas A chamada torção de compatibilidade resultante do impedimento à deformação pode ser desprezada desde que a peça tenha capacidade de adaptação plástica Em outras palavras com a fissuração da peça sua rigidez à torção cai significativamente reduzindo também o valor do momento atuante É o que ocorre em vigas de bordo que tendem a girar devido ao engastamento na laje e são impedidas pela rigidez dos pilares Por outro lado se a chamada torção de equilíbrio que é a resultante da própria condição de equilíbrio da estrutura não for considerada no dimensionamento de uma peça pode levar à ruína É o caso de vigasbalcão e de algumas marquises A seguir será apresentada uma síntese dos conceitos que fundamentam os critérios de dimensionamento à torção relacionados às disposições da Revisão da NBR 6118 2 TEORIA DE BREDT A partir dos estudos de Bredt percebeuse que quando o concreto fissura Estádio II seu comportamento à torção é equivalente ao de peças ocas tubos de paredes finas ainda não fissuradas Estádio I figura 1c Essa afirmativa é respaldada na própria distribuição das tensões tangenciais provocadas por momentos torçores figura 1b as quais na maioria das seções são nulas no centro e máximas nas extremidades T a c t Ae cτ b τc Figura 1 Tubo de paredes finas USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 183 A partir dos conceitos de Resistência dos Materiais podese chegar à chamada primeira fórmula de Bredt dada por t 2 A T e c τ 1 τc é a tensão tangencial na parede provocada pelo momento torçor T é o momento torçor atuante Ae é a área delimitada pela linha média da parede da seção equivalente t é a espessura da parede equivalente 3 TRELIÇA ESPACIAL GENERALIZADA O modelo da treliça espacial generalizada que é adotado para os estudos de torção tem origem na treliça clássica idealizada por Ritter e Mörsch para cisalhamento e foi desenvolvido por Thürlimann e Lampert Essa treliça espacial é composta por quatro treliças planas na periferia da peça tubo de paredes finas da Teoria de Bredt sendo as tensões de compressão absorvidas por barras bielas que fazem um ângulo θ com o eixo da peça e as tensões de tração absorvidas por barras decompostas nas direções longitudinal armação longitudinal e transversal estribos a 90o Podese observar que a concepção desse modelo baseiase na própria trajetória das tensões principais de peças submetidas à torção figura 2 T T x σI Iσ II σ II σ Figura 2 Trajetória das tensões principais provocadas por torção Apenas para a apresentação das expressões que regem o dimensionamento será considerada uma seção quadrada com armadura longitudinal formada por quatro barras uma em cada canto da seção e armadura transversal formada por estribos a 90o figura 3 31 Biela de concreto Como o momento atuante deve igualar o resistente temse no plano ABCD d d T sen θ 2 C l 2 sen θ 2 T C d d l 3 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 184 θ inclinação da biela l cotg θ Bielas comprimidas Estribo Barras Longitudinais θ A B C D l cotg θ l l l cotg θ l cotg θ y y Y X Z T PLANO ABCD Rld Rwd Cd A C sen θ d C sen θ d C sen θ d C sen θ d NÓ A l l d C wd R ld R Figura 3 Treliça espacial generalizada Sendo σcd o valor de cálculo da tensão de compressão e observando que a força Cd atua sobre uma área dada por t y temse sen θ 2 T t y d cd σ l t sen θ 2 y Td cd σ l 4 Mas cos θ y l 5 2 Ae l 6 Logo t sen2θ A T e d cd σ 7 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 185 Nas bielas comprimidas a tensão resistente é menor que o valor do fcd Dentre as várias razões podese citar a existência de tensões transversais que não são consideradas no modelo e interferem no estado de tensões da região e a abertura de fissuras da peça Assim cd v cd f 50 α σ 8 onde fcd é a resistência de cálculo do concreto à compressão αv é o coeficiente de efetividade do concreto dado por α 250 f 1 ck v MPa 9 32 Armadura longitudinal Para o equilíbrio de forças na direção X cos θ 4 C R 4 d d l 10 Como ywd so d f A R l onde Aso é a área de uma das barras longitudinais fywd é a tensão de escoamento do aço com seus valores de cálculo e so s 4 A A l utilizandose a eq3 a eq 10 pode ser escrita como cotg θ 2 T f A d ywd s l l Distribuindo a armação de forma uniforme em todo o contorno u 4l para reduzir a possibilidade de abertura de fissuras nas faces da viga e lembrando da eq6 temse cotg θ u 2 T f u A d ywd s l l cotg θ f 2 A T u A ywd e d s l 11 33 Estribos Para o equilíbrio das forças do nó A na direção Z sen θ C R d wd 12 Mas ywd 90 wd f A s cotg R θ l USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 186 onde s é o espaçamento longitudinal dos estribos s lcotg θ é o número de estribos concentrados na área de influência do nó A Substituindo na eq12 lembrando da eq2 θ θ θ sen sen 2 T f A s cotg d ywd 90 l l Substituindo a eq 6 e rearrumando θ gt f 2 A T s A ywd e d 90 13 34 Torçor resistente Para determinação do momento torçor resistente de uma seção já dimensionada podese rearrumar a eq11 u A f A 2 T θ tg s ywd e d l que fornece a inclinação da biela comprimida e substituíla na eq13 resultando 2 ywd e 2 d s 90 f 2 A T u A s A l u A s A f 2 A T s 90 ywd e d l 14 4 INTERAÇÃO DE TORÇÃO CISALHAMENTO E FLEXÃO Boa parte dos estudos de torção é relativa a torção pura isto é aquela decorrente da aplicação exclusiva de um momento torçor em uma viga Essa situação entretanto não é usual A grande maioria das vigas torcionadas também está submetida a forças cortantes e momentos fletores o que dá origem a um estado de tensões mais complexo e mais difícil de ser analisado A experiência vem demonstrando que de uma maneira geral a filosofia e os princípios básicos de dimensionamento propostos para a torção simples também são adequados com uma certa aproximação para solicitações compostas Por isso em geral o procedimento adotado para o dimensionamento a solicitações compostas é a simples superposição dos resultados obtidos para cada um dos esforços solicitantes separadamente que se mostra a favor da segurança Por exemplo a armadura de tração prevista pela torção que estiver na parte comprimida pela flexão poderia ser reduzida se fosse considerado o alívio sofrido por sua resultante de tração nessa região Ou ainda como em uma das faces USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 187 laterais da peça as diagonais solicitadas pela torção e pelo cisalhamento são opostas poderia ser considerado o alívio na resultante de tração no estribo e conseqüentemente reduzirse sua área Evidentemente na face lateral oposta as diagonais têm a mesma direção e a armação necessária vem do somatório daquelas calculadas para cada um dos dois esforços separadamente E para a verificação da tensão na biela comprimida desta face não bastará se observar o comportamento das resultantes relativas à torção e ao cisalhamento separadamente surge a necessidade de uma nova verificação que considere a interação delas Na figura 4 apresentase uma superfície que mostra a interação dos três tipos de esforços com base em resultados experimentais Qualquer ponto interior a essa superfície indica que a verificação da tensão na biela foi atendida Podese observar que para uma mesma relação ult sd V V o momento torçor resistente diminui com o aumento da relação ult sd M M Cabe a ressalva de que a superposição dos efeitos das treliças de cisalhamento e de torção só estará coerente se a inclinação da biela comprimida for adotada a mesma nos dois casos T T 1 1 1 03 1 1 1 05 a 06 sd ult ult V V sd ult M M sd Figura 4 Diagrama de interação 5 DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO SEGUNDO A NOVA NBR 6118 A grande novidade desse novo texto em relação à NBR 611878 é que agora o modelo adotado é o de treliça espacial generalizada descrito anteriormente e não mais a treliça clássica Assim o projetista tem a possibilidade de determinar a inclinação da biela comprimida e com mais liberdade para trabalhar o arranjo das armaduras a serem utilizadas realizando um dimensionamento totalmente compatível com o cisalhamento USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 188 Ocorreram alterações na determinação da seção vazada equivalente e nas verificações a serem realizadas para o dimensionamento sendo estas agora escritas em termos de momentos torçores e não mais em termos de tensões Dessa forma acreditase que o processo de dimensionamento tornase mais coerente inclusive com a tendência das normas internacionais As taxas mínimas e os espaçamentos também foram modificados em relação à flexão e ao cisalhamento isoladamente Para a torção as novas prescrições são descritas a seguir 51 Torção de compatibilidade Como já foi comentado apenas a torção de equilíbrio precisa ser considerada no dimensionamento de vigas A torção de compatibilidade pode ser desprezada desde que sejam respeitados os limites de armadura mínima de cisalhamento e Rd2 sd V 70 V 15 sendo θ α d sen2 b f 0 27 V w cd v Rd2 16 já para estribos a 90o com o eixo da peça 52 Determinação da seção vazada equivalente Uma novidade da nova NBR 6118 é que não se define mais a espessura da parede equivalente apenas com base no cobrimento das armaduras como era feito anteriormente Ficam definidos os seguintes critérios μ he A 17 1 e 2 C h 18 onde he é a espessura da parede da seção equivalente A é a área da seção μ é o perímetro da seção cheia c 2 C t 1 φ φ l 19 sendo φl o diâmetro da armadura longitudinal φt o diâmetro da armadura transversal c o cobrimento da armadura USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 189 53 Definição da inclinação da biela comprimida Assim como no cisalhamento a inclinação da biela deve estar compreendida entre 30o e 45o sendo que o valor adotado deve ser o mesmo para as duas verificações 54 Verificação da biela comprimida Para se assegurar o não esmagamento da biela comprimida na torção pura a nova NBR 6118 exige a verificação da seguinte condição Rd2 sd T T 20 sendo TRd2 o momento torçor que pode ser resistido pela biela Este torçor pode ser obtido pela substituição da eq 8 na eq7 que rearrumada fornece sen2θ h A f 50 T e e cd v Rd2 α 21 55 Verificação da tensão na biela comprimida para solicitações combinadas A nova NBR 6118 menciona que no caso de torção e cisalhamento deve ser obedecida a seguinte verificação 1 T T V V 2 Rd sd Rd2 sd 22 Observe que essa expressão linear figura 5 fornece resultados conservadores em relação àqueles esboçados na figura 4 No EUROCODE 2 1992 por exemplo a expressão equivalente à eq22 é de segundo grau Observese ainda também com base na figura 4 que a eq22 só se mostra adequada para situações em que o momento fletor de cálculo não ultrapassa cerca de 50 a 60 do momento último da seção apesar da nova NBR 6118 não trazer comentários a respeito disso T 1 1 Rd2 sd T VRd2 Vsd Figura 5 Diagrama de interação torção x cortante segundo a nova NBR 6118 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1810 56 Determinação da armadura longitudinal Deve ser verificada a seguinte condição Rd4 sd T T 23 sendo TRd4 o momento torçor que pode ser resistido pela armadura longitudinal dado por tg θ f 2 A u A T ywd e s Rd4 l 24 que é decorrente da eq11 lembrando que u é o perímetro da seção equivalente 57 Determinação dos estribos Deve ser verificada a seguinte condição Rd 3 sd T T 25 sendo TRd3 o momento torçor que pode ser resistido pelos estribos dado por cotg θ f 2 A s A T ywd e 90 Rd 3 26 que é obtida a partir da eq13 58 Armadura longitudinal e estribos para solicitações combinadas No banzo tracionado pela flexão somamse as armaduras longitudinais de flexão e de torção A armadura transversal total também deve ser obtida pela soma das armaduras de cisalhamento e de torção No banzo comprimido podese reduzir a armadura de torção devido aos esforços de compressão do concreto na espessura he e comprimento Δu correspondente à barra considerada 59 Verificação da taxa de armadura mínima A taxa de armadura mínima como se sabe vem da necessidade de se garantir a ductilidade da peça e melhorar a distribuição das fissuras Em relação à NBR 611878 sua Revisão está mais coerente por reconhecer que há influência da resistência característica do concreto É dada por ywk ctm w sw w f f 20 s b A ρ 27 sendo fctm a tensão média de tração dada por 3 2 ck ctm f 30 f Não há referência quanto à taxa mínima de armadura longitudinal 6 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Apenas as barras longitudinais e os estribos que estiverem posicionados no interior da parede da seção vazada equivalente deverão ser considerados efetivos para resistir aos esforços gerados pela torção São válidas as mesmas disposições construtivas de diâmetros espaçamentos e ancoragem para armaduras longitudinais de flexão e estribos de cisalhamento propostos na nova NBR 6118 que tem alterações em relação ao texto anterior Especificamente para a torção valem as recomendações apresentadas a seguir 61 Armaduras longitudinais Para que efetivamente existam os tirantes supostos no modelo de treliça é necessário se dispor uma barra de armadura longitudinal em cada canto da seção De acordo com a nova NBR 6118 devese procurar atender à relação ΔA s ℓ Δu em todo o contorno da viga sendo Δu o trecho do perímetro correspondente a cada barra de área ΔA s Em outras palavras a armadura longitudinal de torção não deve estar concentrada nas faces superior e inferior da viga e sim uniformemente distribuída em todo o perímetro da seção efetiva Apesar de não haver prescrição na norma devese preferencialmente adotar ϕ ℓ 10mm nos cantos O espaçamento de eixo a eixo de barra tanto na direção vertical quanto na horizontal deverá ser s ℓ 350mm 62 Estribos Os estribos devem estar posicionados a 90º com o eixo longitudinal da peça devendo ser fechados e adequadamente ancorados por ganchos em ângulo de 45º Além disso devem envolver as armaduras longitudinais 7 EXEMPLO Seja a viga V1 da marquise esquematizada na figura 6 a qual está submetida à torção de equilíbrio além de flexão e cisalhamento O fck adotado foi de 25 MPa o cobrimento de 25 cm de acordo com as exigências da nova NBR 6118 e a altura útil d50251020634637 cm 1811 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1812 370 30 30 285 35 P1 3035 P2 3035 V13550 300 50 PLANTA VISTA 8 16 285 35 P1 P2 VIGA V1 3846 kN 3846 kN 1923 kNm 2145 kNmm d2 d2 3064 kN 3509 kN 3509 kN V 4290 kNm 3915 kNm 4290 kNm T 3915 kNm 935 kNm 935 kNm 2911 kNm M Figura 6 Viga V1 do exemplo 71 Verificação da biela comprimida Para não haver esmagamento da biela comprimida de acordo com a eq 22 1 T T V V 2 Rd Sd Rd2 Sd 4913 kN 14 3509 VSd e kN cm 5481 14 3915 TSd Considerando a inclinação θ 45o na eq 16 o w cd v Rd2 35 4637 sen2 45 41 52 250 25 1 0 27 d sen2 b f 0 27 V θ α 70424 kN V Rd2 Seguese a determinação da seção vazada equivalente a partir das eqs 17 e 18 μ he A USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1813 1750 cm2 35 50 b h A e 170 cm 50 2 35 h 2 b μ 1029 cm 170 1750 A he μ 1 e 2 C h 3 63 cm 52 0 63 2 01 c 2 C t 1 φ φ l 7 26cm 3 63 2 2 C h 1 e Adotouse então he 8 cm Logo 2 e 1134 cm 8 8 50 35 A 138 cm 8 50 8 2 35 u Temse então a partir da eq 21 o e e cd v Rd2 1134 8 sen2 45 41 52 250 1 25 05 sen2θ h A f 50 T α 7290 kN cm T Rd2 Assim 1 T T V V 2 Rd Sd Rd2 Sd 1 0 82 0 75 0 07 7290 5481 70424 4913 OK Observese que há uma certa folga na verificação o que permitiria uma redução da inclinação da biela Como conseqüência haveria uma redução da área de aço transversal necessária e um acréscimo da área de aço longitudinal Observase entretanto que esse procedimento é mais eficiente nos casos em que o esforço cortante é grande e a redução da área dos estribos é maior que o acréscimo das barras longitudinais Em geral nos demais casos não compensa adotar valores menores de θ 72 Dimensionamento à flexão 4075 4 kN cm 2911 41 Md 1309 kN cm 935 41 Md No dimensionamento as armaduras obtidas foram Asl 211 cm2 Asl 065 cm2 Entretanto para seções retangulares de fck 25 MPa a nova NBR 6118 prescreve a área de aço mínima dada por 2 w min s min 2 63 cm 0 0015 35 50 d b A ρ l l que deverá ser respeitada tanto para a armadura positiva quanto para a negativa USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1814 73 Dimensionamento ao cisalhamento A partir das verificações realizadas no dimensionamento ao cisalhamento também para θ 45o observase que a própria seção já resistiria ao cortante atuante É necessário que a peça tenha apenas uma armadura mínima dada por m 3 60 cm 35 500 25 30 20 b f f 20 b s A 2 3 2 w ywk ctm w w min min sw ρ 74 Dimensionamento à torção Considerase também a inclinação da biela comprimida θ 45o Cálculo da armadura longitudinal A partir das eqs 23 e 24 Rd4 sd T T u A 98606 7 115 tg 45 50 2 1134 u A tg θ f 2 A u A T s s ywd e s Rd4 l l l u A 98606 7 5481 sl m 5 56 cm u A 2 s l Cálculo dos estribos Utilizandose as eqs 25 e 26 Rd 3 sd T T s A 98608 7 115 cotg 45 50 2 1134 s A cotg θ f 2 A s A T 90 90 ywd e 90 Rd 3 s A 98608 7 5481 90 m 5 56 cm s A 2 90 75 Detalhamento a Armadura longitudinal A área total da armadura longitudinal é obtida pela soma das parcelas correspondentes à flexão e à torção que deve ser feita para cada uma das faces da viga Na face superior a flexão exige Asl 065 cm2 A parcela da torção é dada por 2 s 150 cm 0 08 5 56 0 35 A l A área de aço total nessa face vale então Asltot 065 150 215 cm2 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1815 Observese entretanto que esta área é menor que a mínima prescrita na nova NBR 6118 Portanto para a face superior a área de aço vale Asltot Asl min 263 cm2 4 φ 10 Na face inferior a flexão exige Asl 211 cm2 A parcela da torção é a mesma anterior 2 s 150 cm A l A área de aço total nessa face vale então Asltot 211 150 361 cm2 5 φ 10 que já supera a área de aço mínima exigida pela flexão Nas faces laterais como a altura da viga é menor que 60 cm não é necessária a utilização de armadura de pele Há apenas a parcela da torção cuja área de aço vale 2 s 2 34 cm 0 08 5 56 0 50 A l ou seja Asltot 234 cm2 3 φ 10 a Estribos A área final dos estribos é dada pela soma das parcelas correspondentes ao cisalhamento e à torção s A s A 90 sw mas neste exemplo como já foi visto não é necessária armadura para o cisalhamento Há apenas a parcela da torção que já supera a área de aço mínima exigida Assim em cada face devese ter 9 c 8 m 5 56 cm s A 2 TOTAL 90 φ que obedece ao espaçamento longitudinal máximo entre estribos segundo a Norma Vd 067 VRd2 smáx 06d 30 cm smáx 278 cm O detalhamento final da seção transversal é apresentado na figura 7 que precisa ser corrigida Na face superior devem ser colocadas 4φ10 em vez das 3φ10 indicadas 3φ10 φ8 c 9 3φ10 5φ10 3φ10 Figura 7 Detalhamento final da Viga V1 na face superior 4φ10 em vez de 3φ10 USP EESC Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 1816 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS A utilização do modelo de treliça espacial generalizada é a principal mudança introduzida pela nova NBR 6118 permitindo que se trabalhe com a mesma inclinação da biela de 30o a 45o tanto na torção quanto no cisalhamento Além disso com essas novas diretrizes o projetista tem a possibilidade de realizar um dimensionamento mais eficiente para cada seção estudada já que com a escolha dos valores de θ e he podese distribuir mais conveniente as parcelas de esforços das bielas e das armaduras Assim acreditase que as novas prescrições respaldadas nas principais normas internacionais estão mais criteriosas em relação às da versão anterior AGRADECIMENTOS Ao CNPq e à CAPES pelas bolsas de estudo REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 61181978 Projeto e execução de obras de concreto armado Rio de Janeiro 1978 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Revisão da NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto 2000 COMITÉ EUROINTERNACIONAL DU BÉTON CEBFIP Model Code 1990 Bulletin d Information n204 1991 COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION Eurocode 2 Design of concrete structures Part 1 General rules and rules for buildings Brussels CEN 1992 FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTON Structural concrete textbook on behavior design and performance FIB Bulletin v2 1999 LEONHARDT F MÖNNIG E Construções de concreto princípios básicos de estruturas de concreto armado v1 Rio de Janeiro Interciência 1977 SUSSEKIND JC Curso de concreto v2 Rio de Janeiro Globo 1984 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas CONCRETO ARMADO ESCADAS José Luiz Pinheiro Melges Libânio Miranda Pinheiro José Samuel Giongo Março de 1997 2 SUMÁRIO 1 GENERALIDADES 04 11 Dimensões 04 12 Tipos 05 2 AÇÕES 05 21 Peso próprio 05 22 Revestimentos 05 23 Ação variável ou ação de uso 06 24 Gradil mureta ou parede 07 3 ESCADAS RETANGULARES 08 31 Escadas armadas transversalmente 08 32 Escadas armadas longitudinalmente 09 33 Escadas armadas em cruz 10 34 Escadas com patamar 11 35 Escadas com laje em balanço 12 36 Escadas em viga reta com degraus em balanço 13 37 Escadas com degraus engastados um a um escada em cascata 14 4 ESCADAS COM LAJES ORTOGONAIS 16 41 Escadas em L 16 411 Escada em L com vigas em todo o contorno externo 16 412 Escada em L sem uma viga inclinada 18 42 Escadas em U 20 421 Escada em U com vigas em todo o contorno externo 20 422 Escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4 22 423 Escada em U sem a viga inclinada V3 23 43 Escadas em O 26 431 Escada em O com vigas em todo o contorno externo 26 432 Escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 ou V1 e V3 28 3 5 ESCADAS COM LANCES ADJACENTES 29 51 Escada com lances adjacentes com vigas inclinadas no contorno externo 30 52 Escada com lances adjacentes sem as vigas inclinadas V2 e V4 32 53 Escada com lances adjacentes sem a viga V3 33 6 OUTROS TIPOS DE ESCADA 35 7 EXEMPLO ESCADA DE UM EDIFÍCIO PARA ESCRITÓRIOS 36 71 Avaliação da espessura da laje 39 72 Cálculo da espessura média 40 73 Ações nas lajes 40 74 Reações de apoio 41 75 Vãos referentes aos lances inclinados e aos patamares 42 76 Dimensionamento dos lances L2 e L4 42 77 Dimensionamento dos patamares L1 e L3 44 78 Dimensionamento das vigas VE1 VE2 e VE3 46 781 Viga VE1 22 cm x 30 cm 47 782 Viga VE2 22 cm x 30 cm 48 783 Viga VE3 22 cm x 30 cm 49 79 Detalhamento 50 791 Detalhamento das lajes 50 792 Detalhamento da viga VE1 53 793 Detalhamento da viga VE2 53 794 Detalhamento da viga VE3 54 710 Comprimento das barras 54 711 Quantidade de barras 55 BIBLIOGRAFIA 58 4 1 GENERALIDADES Apresentase um estudo das escadas usuais de concreto armado Escadas especiais com comportamento diferente do trivial não serão aqui analisadas 11 Dimensões Recomendase para a obtenção de uma escada confortável que seja verificada a relação s 2 e 60 cm a 64 cm Figura 1 onde s representa o valor do passo e e representa o valor do espelho ou seja a altura do degrau Entretanto alguns códigos de obra especificam valores extremos como por exemplo s 25 cm e e 19 cm Valores fora destes intervalos só se justificam para escadas com fins especiais como por exemplo escadas de uso eventual Impõese ainda que a altura livre hl seja no mínimo igual a 210 m Sendo lv o desnível a vencer com a escada lh o seu desenvolvimento horizontal e n o número de degraus temse e n l v lh s n 1 s 2 e 60 cm a 64 cm tan α e s h h cm 1 1 7 cos h α h h e m 1 2 n e l v Figura 1 Recomendações para algumas dimensões da escada Considerandose s 2 e 62 cm valor médio entre 60 cm e 64 cm apresentamse alguns exemplos escadas interiores apertadas s 25 cm e 185 cm escadas interiores folgadas s 28 cm e 170 cm escadas externas s 32 cm e 150 cm escadas de marinheiro s 0 e 310 cm Segundo MACHADO 1983 a largura da escada deve ser superior a 80 cm em geral e da ordem de 120 cm em edifícios de apartamentos de escritórios e também em hotéis 5 Já segundo outros projetistas a largura correntemente adotada para escadas interiores é de 100 cm sendo que para escadas de serviço podese ter o mínimo de 70 cm 12 Tipos Serão estudados os seguintes tipos de escadas retangulares armadas transversalmente longitudinalmente ou em cruz com patamar com laje em balanço em viga reta com degraus em balanço com degraus engastados um a um escada em cascata com lajes ortogonais com lances adjacentes 2 AÇÕES As ações serão consideradas verticais por m2 de projeção horizontal 21 Peso próprio O peso próprio é calculado com a espessura média hm definida na Figura 2 e com o peso específico do concreto igual a 25 kNm3 Se a laje for de espessura constante e o enchimento dos degraus for de alvenaria o peso próprio será calculado somandose o peso da laje calculado em função da espessura h1 ao peso do enchimento calculado em função da espessura média e2 Figura 3 Figura 2 Laje com degraus de concreto Figura 3 Laje com degraus de alvenaria 22 Revestimentos Para a força uniformemente distribuída de revestimento inferior forro somada à de piso costumam ser adotados valores no intervalo de 08 kNm2 a 12 kNm2 Para o caso de materiais que aumentem consideravelmente o valor da ação como por exemplo o mármore aconselhase utilizar um valor maior 6 23 Ação variável ou ação de uso Os valores mínimos para as ações de uso especificados pela NBR 6120 1980 são os seguintes escadas com acesso público 30 kNm2 escadas sem acesso público 25 kNm2 Ainda conforme a NBR 6120 1980 em seu item 2217 quando uma escada for constituída de degraus isolados estes também devem ser calculados para suportar uma força concentrada de 25 kN aplicada na posição mais desfavorável Como exemplo para o dimensionamento de uma escada com degraus isolados em balanço além da verificação utilizandose ações permanentes g e variáveis q devese verificar o seguinte esquema de carregamento ilustrado na Figura 4 Figura 4 Degraus isolados em balanço dimensionamento utilizandose a força concentrada variável Q Neste esquema o termo g representa as ações permanentes linearmente distribuídas e Q representa a força concentrada de 25 kN Portanto para esta verificação têmse os seguintes esforços Momento fletor M g Q l l 2 2 Força cortante V g Q l No entanto este carregamento não deve ser considerado na composição das ações aplicadas às vigas que suportam os degraus as quais devem ser calculadas para a carga indicada anteriormente 30 kNm2 ou 25 kNm2 conforme a Figura 5 Figura 5 Ações a serem consideradas no dimensionamento da viga 7 24 Gradil mureta ou parede Quando a ação de gradil mureta ou parede não está aplicada diretamente sobre uma viga de apoio ela deve ser considerada no cálculo da laje A rigor esta ação é uma força linearmente distribuída ao longo da borda da laje No entanto esta consideração acarreta um trabalho que não se justifica nos casos comuns Sendo assim uma simplificação que geralmente conduz a bons resultados consiste em transformar a resultante desta ação em outra uniformemente distribuída podendo esta ser somada às ações anteriores O cálculo dos esforços é feito então de uma única vez a Gradil O peso do gradil varia em geral no intervalo de 03 kNm a 05 kNm b Mureta ou parede O valor desta ação depende do material empregado tijolo maciço tijolo cerâmico furado ou bloco de concreto Os valores usuais incluindo revestimentos são indicados na tabela 1 Tabela 1 Ações para mureta ou parede Material Espessura Ação kNm2 Tijolo maciço 12 tijolo 15 cm 27 1 tijolo 25 cm 45 Tijolo furado 12 tijolo 15 cm 19 1 tijolo 25 cm 32 10 cm 19 Bloco de concreto 15 cm 25 20 cm 32 Segundo o item 2215 da NBR 6120 1980 ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 08 kNm na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kNm Figura 6 Figura 6 Ações definidas pela NBR 6120 1980 para parapeitos 8 3 ESCADAS RETANGULARES Serão consideradas as escadas armadas transversalmente longitudinalmente e em cruz as escadas com patamar e as com laje em balanço além das escadas com degraus isolados engastados em viga reta e as escadas em cascata 31 Escadas armadas transversalmente Sendo l o vão teórico indicado na Figura 7 e p a força total uniformemente distribuída os esforços máximos dados por unidade de comprimento são Momento fletor m p l2 8 Força cortante v p l 2 Em geral a taxa de armadura de flexão resulta inferior à mínima asmín No cálculo da armadura mínima recomendase usar h1 asmín 015 bw h1 sendo h1 7 cm Permitese usar também a espessura h mostrada na Figura 7 por ela ser pouco inferior a h1 Figura 7 Escada armada transversalmente Denominandose a armadura de distribuição de asdistr obtémse a da armadura principal cm m sdistr 1 5 0 90 2 O espaçamento máximo das barras da armadura principal não deve ser superior a 20 cm Já o espaçamento da armadura de distribuição não deve superar 33 cm Este tipo de escada é comumente encontrado em residências sendo construída entre duas paredes que lhe servem de apoio Neste caso não se deve esquecer de considerar no cálculo da vigabaldrame a reação da escada na alvenaria 9 32 Escadas armadas longitudinalmente O peso próprio é em geral avaliado por m2 de projeção horizontal É pouco usual a consideração da força uniformemente distribuída por m2 de superfície inclinada Conforme a notação indicada na Figura 8 o momento máximo dado por unidade de largura é igual a m p l2 8 ou m pi i l 2 8 l vão na direção horizontal p força vertical uniformemente distribuída li vão na direção inclinada pi força uniformemente distribuída perpendicular ao vão inclinado Figura 8 Escada armada longitudinalmente O valor da força inclinada uniformemente distribuída pi pode ser obtido da seguinte forma considerase largura unitária e calculase a força resultante que atua verticalmente P projetase esta força na direção perpendicular ao vão inclinado Pi dividese essa força Pi pelo valor do vão inclinado li de forma a se obter uma força uniformemente distribuída pi na direção perpendicular ao vão inclinado O roteiro referente a este cálculo está ilustrado na Figura 9 Com base no procedimento mencionado têmse as seguintes expressões li l cos α P p l Pi P cos α p l cos α pi Pi li p l cos α l cos α p cos α2 10 Figura 9 Roteiro para obtenção do valor de pi O esforço cortante v por unidade de largura nas extremidades resulta v p p p i i l l l 2 2 2 2 cos cos cos α α α Supondo as mesmas condições de apoio nas duas extremidades a força resultante projetada na direção do vão inclinado P sen α irá produzir as reações p l sen α 2 de tração na extremidade superior e de compressão na extremidade inferior As tensões produzidas são pequenas e em geral não precisam ser levadas em consideração As extremidades poderão ser engastadas e para este caso deverão ser consideradas as devidas condições estáticas Tanto no dimensionamento quanto no cálculo da armadura mínima utilizase a altura h Figura 8 33 Escadas armadas em cruz Os esforços são calculados utilizandose tabelas para ações verticais e considerandose os vãos medidos na horizontal Este tipo de escada está ilustrado na Figura 10 Para o dimensionamento na direção transversal podese utilizar a altura h1 no cálculo da armadura mínima Já na direção longitudinal utilizase a altura h O cálculo das vigas horizontais não apresenta novidades Nas vigas inclinadas as ações são admitidas verticais por metro de projeção horizontal e os vãos são medidos na horizontal 11 Figura 10 Escada armada em cruz 34 Escadas com patamar Para este tipo de escada são possíveis várias disposições conforme mostra a Figura 11 O cálculo consiste em se considerar a laje como simplesmente apoiada lembrando que a ação atuante no patamar em geral é diferente daquela atuante na escada propriamente dita Figura 11 Tipos de patamares MANCINI 1971 Nos casos a e b dependendo das condições de extremidade o funcionamento real da estrutura pode ser melhor interpretado com o cálculo detalhado a seguir Considerase o comportamento estático da estrutura representado na Figura 12 12 Figura 12 Comportamento estático MANCINI 1971 A reação RB pode ser dada pela composição das compressões Ce e Cp que ocorrem na escada e no patamar respectivamente Essas compressões podem ocorrer em função das condições de apoio nas extremidades da escada Já os casos c e d não são passíveis deste tratamento por se tratarem de estruturas deformáveis Considerandose o cálculo mencionado escada simplesmente apoiada deve se tomar muito cuidado no detalhamento da armadura positiva A armadura mostrada na Figura 13a tenderá a se retificar saltando para fora da massa de concreto que nessa região tem apenas a espessura do cobrimento Para que isso não aconteça temse o detalhamento correto ilustrado na Figura 13b a Incorreto b Correto Figura 13 Detalhamento da armadura 35 Escadas com laje em balanço Neste tipo de escada uma de suas extremidades é engastada e a outra é livre Na Figura 14 o engastamento da escada se faz na viga lateral V O cálculo da laje é bastante simples sendo armada em uma única direção com barras principais superiores armadura negativa No dimensionamento da viga devese considerar o cálculo à flexão e à torção Este último esforço deverá ser absorvido por pilares ou por vigas ortogonais Na Figura 15 os espelhos dos degraus trabalham como vigas engastadas na viga lateral recebendo as ações verticais provenientes dos degraus dadas por unidade de projeção horizontal Já os elementos horizontais passos são dimensionados como lajes geralmente utilizandose uma armadura construtiva 13 Figura 14 Laje em balanço engastada em viga lateral MANCINI 1971 Figura 15 Laje em balanço com espelhos trabalhando como vigas 36 Escadas em viga reta com degraus em balanço Os degraus são isolados e se engastam em vigas que podem ocupar posição central ou lateral Figura 16 Figura 16 Escada em viga reta com degraus em balanço Mesmo no caso da viga ocupar posição central devese considerar a possibilidade de carregamento assimétrico ocasionando torção na viga com ações variáveis q e Q atuando só de um lado ver item 23 Os degraus são armados como pequenas vigas sendo interessante devido à sua pequena largura a utilização de estribos Detalhes típicos são mostrados na Figura 17 Para estes casos a prática demonstra que é interessante adotar dimensões mais robustas que as mínimas estaticamente determinadas A leveza deste tipo de escada pode ser responsável por problemas de vibração na estrutura Os degraus podem também ser engastados em uma coluna que neste caso estará sujeita a flexão composta 14 Figura 17 Detalhes típicos 37 Escadas com degraus engastados um a um escada em cascata Se a escada for armada transversalmente ou seja caso se possa contar com pelo menos uma viga lateral recaise no tipo ilustrado na Figura 15 do item 35 Caso a escada seja armada longitudinalmente segundo MACHADO 1983 ela deverá ser calculada como sendo uma viga de eixo não reto Os elementos verticais poderão estar flexocomprimidos ou flexotracionados Já os elementos horizontais são solicitados por momento fletor e por força cortante para o caso de estruturas isostáticas com reações verticais Temse este exemplo ilustrado na Figura 18 Segundo outros projetistas podese considerar os degraus engastados um no outro ao longo das arestas resistindo aos momentos de cálculo Neste caso devido ao grande número de cantos vivos recomendase dispor de uma armadura na face superior Figura 19 As armaduras indicadas na Figura 19 podem ser substituídas pelas barras indicadas na Figura 18b referente a vãos grandes 15 Para vãos pequenos Para vãos grandes a Esquema geral b Detalhamento típico c Esquema estático e diagrama dos esforços Figura 18 Exemplo de escada em cascata MACHADO 1983 16 Figura 19 Esquema para escada em cascata 4 ESCADAS COM LAJES ORTOGONAIS Podem ser em L em U ou em O Apresentase processo de cálculo simplificado que pode ser utilizado nos casos comuns 41 Escadas em L Este tipo de escada está ilustrado na Figura 20 Podem ter ou não vigas ao longo do contorno externo Figura 20 Escada em L 411 Escada em L com vigas em todo o contorno externo Uma escada em L com vigas em todo o contorno externo encontrase esquematizada na Figura 21a As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas conforme indicado na Figura 21b O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 22 As lajes L1 e L2 são consideradas apoiadas em três bordas com a quarta borda livre As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes 17 Os momentos fletores podem ser obtidos por exemplo nas tabelas indicadas por PINHEIRO 1993 utilizandose para este caso a tabela referente à laje tipo 7 O detalhamento típico das armaduras encontrase na Figura 23 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 21 Escada em L com vigas no contorno externo forma estrutural e esquema das reações de apoio Figura 22 Esquema para cálculo dos momentos fletores 18 Figura 23 Detalhe típico das armaduras 412 Escada em L sem uma viga inclinada Uma escada em L sem uma das vigas inclinadas encontrase indicada na Figura 24a A Figura 24b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 24 Escada em L sem uma viga inclinada forma estrutural e esquema das reações de apoio O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 25a Considerase que a laje L1 esteja apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2 Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V3 A reação de apoio da laje L1 na L2 obtida pelo processo das áreas é considerada uniformemente distribuída na L2 Esta reação resulta no valor indicado a seguir que é somado à ação que atua diretamente na laje L2 p c a c d 2 2 1 19 Para obtenção dos momentos fletores na laje L1 como já foi visto podemse utilizar tabelas considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e a outra livre Já a laje L2 é considerada biapoiada com m p l2 8 onde l no caso é igual ao comprimenmto c d O termo p representa a ação total que atua na laje L2 sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje à reação proveniente da laje L1 O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 25b recomendandose posicionar as barras longitudinais da laje L2 por baixo das relativas à laje L1 a Escada em L sem uma viga inclinada b Detalhe das armaduras Figura 25 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 20 42 Escadas em U Este tipo de escada está ilustrado na Figura 26 Pode ter ou não vigas ao longo do contorno externo Figura 26 Escada em U 421 Escada em U com vigas em todo o contorno externo Uma escada em U com vigas em todo o contorno externo encontrase esquematizada na Figura 27a As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas conforme indicado na Figura 27b O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 28 As lajes L1 L2 e L3 são consideradas apoiadas em três bordas com a quarta borda livre As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes Conforme já visto no item 411 os momentos fletores podem ser obtidos através de tabelas O detalhamento típico das armaduras encontrase na Figura 29 21 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 27 Escada em U com vigas no contorno externo forma estrutural e esquema das reações de apoio Figura 28 Esquema para cálculo dos momentos fletores Figura 29 Detalhe típico das armaduras 22 422 Escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4 Uma escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4 encontrase indicada na Figura 30a A Figura 30b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 31a Considerase a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V3 Já a laje L2 é considerada apoiada na viga V3 e nas lajes L1 e L3 Por fim a laje L3 apoiase nas vigas V3 e V5 As reações de apoio da laje L2 nas lajes L1 e L3 obtidas pelo processo das áreas são consideradas uniformemente distribuídas nas lajes L1 e L3 Portanto essas reações devem ser somadas às ações que atuam diretamente nas lajes L1 e L3 Os momentos fletores que atuam na laje L2 podem ser calculados utilizandose tabelas e considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e a outra livre Já as lajes L1 e L3 são consideradas biapoiadas com m p l2 8 onde l no caso é igual ao comprimenmto a b O termo p representa a ação total que atua em cada laje sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente em cada laje à reação proveniente da laje L2 O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 31b com as armaduras longitudinais das lajes L1 e L3 passando por baixo das relativas à laje L2 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 30 Escada em U sem vigas inclinadas V2 e V4 forma estrutural e esquema das reações de apoio 23 a Escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4 b Detalhe das armaduras Figura 31 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 423 Escada em U sem a viga inclinada V3 Uma escada em U sem a viga inclinada V3 encontrase indicada na Figura 32a A Figura 32b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 33a Considerase a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2 Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V4 Por fim a laje L3 apoiase na laje L2 e nas vigas V4 e V5 24 As reações de apoio das lajes L1 e L3 obtidas pelo processo das áreas são consideradas uniformemente distribuídas na laje L2 Portanto essas reações devem ser somadas à ação que atua diretamente na laje L2 Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados utilizandose tabelas e considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e a outra livre Já a laje L2 é considerada biapoiada com m p l2 8 onde l no caso é igual ao comprimenmto 2c d O termo p representa a ação total que atua na laje L2 sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje às reações provenientes das lajes L1 e L3 O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 33b Recomendase que as barras da armadura longitudinal da laje L2 passem por baixo daquelas correspondentes às lajes L1 e L3 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 32 Escada em U sem a viga inclinada V3 forma estrutural e esquema das reações de apoio 25 a Escada em U sem a viga inclinada V3 b Detalhe das armaduras Figura 33 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 26 43 Escadas em O Este tipo de escada está ilustrado na Figura 34 Pode ter ou não vigas ao longo do contorno externo Figura 34 Escada em O 431 Escada em O com vigas em todo o contorno externo Uma escada em O com vigas em todo o contorno externo encontrase esquematizada na Figura 35a As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas conforme indicado na Figura 35b O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 36 As lajes L1 L2 L3 e L4 são consideradas apoiadas em três bordas com a quarta borda livre As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes Os momentos fletores podem ser obtidos mediante o uso de tabelas considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e uma livre O detalhamento típico das armaduras é análogo ao mostrado para escada em U corte BB Figura 29 Devese sempre que possível passar a armadura perpendicular à uma borda livre por cima da armadura que tenha extremidades ancoradas em vigas 27 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 35 Escada em O com vigas no contorno externo forma estrutural e esquema das reações de apoio Figura 36 Escada em O com vigas no contorno externo esquema para cálculo dos momentos fletores 28 432 Escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 ou V1 e V3 Uma escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 encontrase indicada na Figura 37a A Figura 37b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 38a Consideramse as lajes L2 e L4 apoiadas nas vigas V1 e V3 Já a laje L1 é considerada apoiada na viga V1 e nas lajes L2 e L4 Por fim a laje L3 apoiase na viga V3 e nas lajes L2 e L4 As reações de apoio das lajes L1 e L3 obtidas pelo processo das áreas são consideradas uniformemente distribuídas nas lajes L2 e L4 Portanto as reações provenientes das lajes L1 e L3 devem ser somadas às ações que atuam diretamente nas lajes L2 e L4 Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados mediante o uso de tabelas considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e a outra livre Já as lajes L2 e L4 são consideradas biapoiadas com m p l2 8 onde l no caso é igual ao comprimenmto 2c d O termo p representa a ação total que atua na laje sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente em cada laje às reações provenientes das lajes L1 e L3 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 37 Escada em O sem vigas inclinadas V2 e V4 forma estrutural e esquema das reações de apoio 29 O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 38b Recomendase que a armadura longitudinal das lajes L2 e L4 passe por baixo daquelas correspondentes às lajes L1 e L3 a Escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 b Detalhe das armaduras Figura 38 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 5 ESCADAS COM LANCES ADJACENTES Este tipo de escada está ilustrado na Figura 39 Podem ter ou não vigas ao longo do contorno externo Nas figuras utilizadas para representar este tipo de escada a linha tracejada que acompanha internamente os lances da escada representa a faixa de sobreposição de um lance em outro 30 Figura 39 Escada com lances adjacentes 51 Escada com lances adjacentes com vigas inclinadas no contorno externo Uma escada com lances adjacentes com vigas em todo o contorno externo encontrase esquematizada na Figura 40a As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas conforme indicado na Figura 40b O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 41a As lajes L1 L2 e L3 são consideradas apoiadas em três bordas com a quarta borda livre a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 40 Escada com lances adjacentes com vigas no contorno externo forma estrutural e esquema das reações de apoio 31 Os momentos fletores podem ser obtidos mediante o uso de tabelas considerandose carregamento uniformemente distribuído e considerandose três bordas apoiadas e a outra livre O detalhamento típico das armaduras encontrase na Figura 41b a Esquema para cálculo de momentos fletores b Detalhe típico das armaduras Figura 41 Escada com lances adjacentes com vigas no contorno externo esquema de cálculo e detalhe das armaduras 32 52 Escada com lances adjacentes sem as vigas inclinadas V2 e V4 Uma escada com lances adjacentes sem as vigas inclinadas V2 e V4 encontra se indicada na Figura 42a A Figura 42b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 42 Escada com lances adjacentes sem as vigas inclinadas V2 e V4 forma estrutural e esquema das reações de apoio O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 43a Considerase a laje L1 como estando apoiada nas vigas V1 e V3 Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V3 e V5 Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L2 são calculados considerandoas biapoiadas m p l2 8 O termo p representa a ação total que atua nas lajes L1 e L2 Com relação à Figura 43a o termo l representa o maior vão ab O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 43b 33 a Escada com lances adjacentes sem as vigas inclinadas V2 e V4 b Detalhe das armaduras Figura 43 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 53 Escada com lances adjacentes sem a viga V3 Uma escada com lances adjacentes sem a viga V3 encontrase indicada na Figura 44a A Figura 44b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas O cálculo dos momentos fletores encontrase esquematizado na Figura 45a Considerase a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2 Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V4 34 Por fim a laje L3 apoiase nas vigas V4 e V5 e na laje L2 As reações de apoio das lajes L1 e L3 na laje L2 obtidas pelo processo das áreas são consideradas uniformemente distribuídas na laje L2 Portanto estas reações devem ser somadas às ações que atuam diretamente na laje L2 Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados utilizandose tabelas e considerandose carregamento uniformemente distribuído três bordas apoiadas e a outra livre Já a laje L2 é considerada biapoiada com m p l2 8 onde l no caso é igual ao comprimenmto d O termo p representa a ação total que atua na laje sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje L2 às reações provenientes das lajes L1 e L3 O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 45b Recomendase que a armadura longitudinal da laje L2 passe por baixo daquela correspondente às lajes L1 e L3 a Forma estrutural b Reações de apoio Figura 44 Escada com lances adjacentes sem a viga V3 forma estrutural e esquema das reações de apoio 35 a Escada com lances adjacentes sem a viga V3 b Detalhe das armaduras Figura 45 Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras 6 OUTROS TIPOS DE ESCADA Para escadas diferentes das aqui apresentadas devem ser consultados trabalhos específicos Por exemplo para escadas helicoidais temse o trabalho de AZAMBUJA 1962 para escadas autoportantes sem apoio no patamar temse o trabalho de KNIJNIK TAVARES 1977 para escadas em espiral com apoio no centro temse o trabalho de RUTEMBERG 1975 36 7 EXEMPLO ESCADA DE UM EDIFÍCIO PARA ESCRITÓRIOS O exemplo a ser desenvolvido será o de uma escada com lances adjacentes com patamares para um edifício de escritórios Deverá ser considerada a existência de uma mureta de 12 tijolo furado separando os lances com altura igual a 11 m e ação correspondente a 19 kNm2 de parede Já com relação às paredes localizadas sobre as vigas considerouse uma ação de 32 kNm2 referente à espessura de 1 tijolo A Figura 46 apresenta o desenho da forma estrutural da escada em planta que é o corte horizontal da estrutura com o observador olhando para baixo Uma vista e dois cortes são apresentados nas figuras 47 48 e 49 respectivamente Como dados iniciais serão utilizados neste projeto concreto C20 e aço CA 50A além disso os valores do passo s da escada e da altura do degrau e são respectivamente 30 cm e 1667 cm sendo este último um valor aproximado Figura 46 Forma estrutural dimensões em cm 37 Figura 47 Vista AA dimensões em cm Figura 48 Corte BB dimensões em cm 38 Figura 49 Corte CC dimensões em cm Considerase que a viga inclinada VE3 esteja apoiada na viga VT2 do pavimento tipo e no pilar P4 Já a viga inclinada VE1 é considerada apoiada na viga VT1 do pavimento tipo e no pilar P2 Os vãos das vigas inclinadas foram obtidos considerandose a distância horizontal entre os pontos de intersecção dos eixos longitudinais das vigas e dos pilares Figura 50 a Viga VE3 bViga VE1 Figura 50 Vãos das vigas inclinadas Para melhor visualizar o esquema das ligações entre as vigas e os pilares tem se a Figura 51 39 Figura 51 Esquema das ligações entre vigas e pilares sem escala 71 Avaliação da espessura da laje Para avaliar a espessura da laje e em função desse valor adotar o efetivo podese associar a abertura da escada a uma laje maciça de lados com as mesmas dimensões de centro a centro das vigas e de condições de vinculação idênticas Assim para uma abertura retangular de 548 m x 332 m temse uma laje de lados iguais a esses valores e simplesmente apoiada no seu contorno Figura 52 Figura 52 Abertura da escada associada a uma laje maciça dimensões em cm Segundo a NBR 6118 1982 e utilizandose a tabela 21a dada por PINHEIRO1993 d l ψ2 ψ3 onde d altura útil da laje l lx menor vão 40 Para o aço CA 50A temse ψ3 25 λ 548 332 165 tabela 21a ψ2 124 d 332 124 25 1071 cm Adotase h 10 cm 72 Cálculo da espessura média Têmse que a largura s e a altura e dos degraus são iguais a 30 cm e 1667 cm respectivamente Portanto s 2 e 63 cm o que satisfaz à condição de conforto As espessuras h h1 e hm estão ilustradas na Figura 53 tan α 1667 30 0556 2906 o cos α 0874 h1 h cos α 10 0874 1144 cm hm h1 e 2 hm 1144 1667 2 1978 cm Figura 53 Definição de algumas espessuras da escada dimensões em cm 73 Ações nas lajes a Peso próprio O peso próprio é calculado utilizandose a espessura média hm para os lances inclinados e a espessura da laje h para os patamares Considerase o peso específico do concreto igual a 25 kNm3 Portanto p h A h A A p c m p t γ l 2 A área dos lances 240 310 744 m2 Ap área do patamar 143 310 443 m2 At área total do espaço a ser ocupado pela escada 526 310 1631 m2 p kN m p 25 01978 7 44 010 2 4 43 16 31 3 62 2 41 b Piso e revestimento Adotouse um valor médio igual a 10 kNm2 c Mureta de meio tijolo furado A ação proveniente da mureta deverá ser considerada em dobro uma vez que esta ação está presente nos dois lances da escada Peso próprio das muretas ppm pm Am 2 At pm peso de parede de ½ tijolo furado 190 kNm2 Am área de mureta presente em um lance de escada 11 240 264 m2 At área total do espaço a ser ocupado pela escada 526 310 1631 m2 Peso próprio das muretas ppm 190 264 2 1631 062 kNm2 d Ação variável NBR 6120 1980 para escadas com acesso público 30 kNm2 e Resumo das ações tabela 2 Tabela 2 Resumo das ações kNm2 Peso próprio 362 Piso revestimento 100 Mureta tijolo furado 062 Ação variável 300 Total 824 Portanto g q 524 300 824 kNm2 74 Reações de apoio As reações de apoio serão obtidas utilizandose a notação indicada na Figura 54 e a tabela 23b de PINHEIRO 1993 As reações de apoio v são determinadas pela expressão 10 g q v l υ υ coeficiente tabela 23b l menor vão da laje lx 332 cm Com relação à notação utilizada observase que a reação vx referese aos lados da laje que são perpendiculares ao eixo x 42 Figura 54 Reações da laje unidades kNm e m Cálculos Laje tipo 1 λ 548 332 165 υx 348 vx 348 824 332 10 vx 952 kNm υy 250 vy 250 824 332 10 vy 684 kNm 75 Vãos referentes aos lances inclinados e aos patamares Na Figura 55 estão mostrados os vãos teóricos dos lances e dos patamares que serão calculados separadamente Figura 55 Esquema dos vãos referentes aos lances e aos patamares dimensões em cm 76 Dimensionamento dos lances L2 e L4 O cálculo dos momentos fletores e o dimensionamento das lajes à flexão serão feitos utilizandose respectivamente as tabelas 25d laje tipo 7 e 11 dadas em PINHEIRO 1993 43 a Momentos fletores O cálculo será feito considerandose o esquema dado na Figura 56 Os momentos serão obtidos através da seguinte expressão m g q µ l2 100 µ coeficiente tabela 25d l 166 m menor vão entre la e lb Figura 56 la 166 m lado perpendicular à borda livre lb 394 m lado paralelo à borda livre λ la lb 0421 Figura 56 Notação para cálculo de momentos fletores dimensões em m Como este valor não está presente na tabela fazse uma interpolação Esta interpolação para cada um dos coeficientes está ilustrada na tabela 3 Tabela 3 Valores interpolados lances γ µx µy µyb 040 994 1531 2594 0421 9595 14956 25313 045 913 1448 2447 mx 9595 824 1662 100 2179 kNmm my 14956 824 1662 100 3396 kNmm myb 25313 824 1662 100 5748 kNmm Com relação à convenção utilizada considerase que os momentos fletores calculados são dados por unidade de largura e atuam em um plano de ação indicado pelo índice Por exemplo mx é o momento fletor dado por unidade de largura com plano de ação paralelo ao eixo x 44 b Cálculo das armaduras Para este exemplo o cálculo da armadura mínima foi feito considerandose a espessura h na direção longitudinal ao lance e a espessura h1 na direção transversal Para aço CA 50 e CA 60 temse direção longitudinal asmin 015 bw h 015100 100 10 150 cm2m direção transversal asmin 015 bw h1 015100 100 1144 172 cm2m Em lajes armadas em duas direções o espaçamento entre as barras s não deve superar 20 cm e o diâmetro das barras não deve ser superior a 01 h Portanto s 20 cm φ 01 h 01 10 1 cm 10 mm Adotandose a altura útil d como sendo igual a 9 cm o cálculo das armaduras está indicado na tabela 4 A disposição das armaduras paralelas ao eixo y está ilustrada na Figura 57 Tabela 4 Dimensionamento dos lances L2 e L4 mk kNcmm md kNcmm kc ks as cm2 m asmin cm2m φ mm s cm asef cm2m Obs mx 2179 3051 266 0023 078 172 63 18 175 my 3396 4754 170 0024 127 150 63 20 158 myb 5748 8047 101 0024 215 150 63 15 210 2 Figura 57 Armaduras paralelas ao eixo y lances 77 Dimensionamento dos patamares L1 e L3 O cálculo e dimensionamento dos patamares é feito de forma análoga ao já visto no item anterior a Momentos fletores O esquema referente ao cálculo dos momentos fletores está mostrado na Figura 58 45 Cálculos iniciais p 824 kNm2 la 154 lb 332 γ la lb 0464 Figura 58 Esquema dos momentos fletores no patamar dimensões em m Como o valor de não está presente na tabela fazse uma interpolação Esta interpolação para cada um dos coeficientes está ilustrada na tabela 5 Tabela 5 Valores interpolados patamares γ µx µy µyb 045 913 1448 2447 0464 8906 14247 24063 050 832 1364 2300 Portanto mx 8906 824 1542 100 1740 kNmm my 14247 824 1542 100 2784 kNmm myb 24063 824 1542 100 4702 kNmm b Cálculo das armaduras Para o patamar utilizase a espessura h para o cálculo da armadura mínima Para aço CA 50 e CA 60 temse asmin 015 bw h 015 100 100 10 150 cm2m Analogamente ao item anterior temse ainda que s 20 cm φ 01 h 01 10 1 cm 10 mm Adotandose a altura útil d como sendo igual a 9 cm o cálculo das armaduras está indicado na tabela 6 PINHEIRO 1993 tabela 11 A disposição das armaduras paralelas ao eixo y está ilustrada na Figura 59 46 Tabela 6 Dimensionamento dos patamares L1 e L3 mk kNcmm md kNcmm kc ks as cm2m asmin cm2m φ mm s cm asef cm2m Obs mx 1740 2437 332 0023 062 150 63 20 158 my 2784 3898 208 00236 102 150 63 20 158 myb 4702 6583 123 0024 176 150 63 18 175 06 Figura 59 Armaduras paralelas ao eixo y patamares 78 Dimensionamento das vigas VE1 VE2 e VE3 Nas vigas inclinadas as ações são verticais dadas por metro de projeção horizontal e os vãos são horizontais Com relação à parede será calculada a força resultante dada em função da área de parede e a seguir essa força será dividida pelo vão teórico da viga de forma a se obter uma força linearmente distribuída Para a parede localizada sobre as vigas considerouse a espessura de 1 tijolo com ação igual a 32 kNm2 A altura útil das vigas foi considerada como sendo igual a 27 cm Serão calculados a seguir alguns parâmetros comuns relacionados às vigas aqui analisadas a Armadura longitudinal mínima Asmin 015 bw h 015100 22 30 099 cm2 b Cálculo da força cortante última Vdu Este valor indica o limite que a força cortante solicitante não poderá ultrapassar em hipótese nenhuma O coeficiente 01 altera a unidade de fcd de MPa para kNcm2 47 Vdu τwu bw d onde τwu 030 fcd 45 MPa τwu 030 20 14 429 45 MPa τwu 429 MPa Vdu 01 429 22 27 255 kN c Cálculo de Vdmín Toda vez que a força cortante solicitante for menor que Vdmín podese armar a viga com uma armadura transversal mínima O coeficiente 01 altera as unidades de fcd e fyd de MPa para kNcm2 Apesar do aço utilizado para estribos φ 5mm ser do tipo CA 60 a NBR 6118 1982 limita o valor da tensão na armadura transversal em 435 MPa V f f b d d min w min yd ck w 1 115 015 01 ρ V kN d min 1 115 014 100 435 015 20 01 22 27 66 d Armadura transversal mínima aswmin n 014 bw n 014 22 2 1 54 cm2m n número de ramos do estribo geralmente igual a 2 Adotar φ 5 c 13 154 cm2m Obs o espaçamento máximo entre os estribos s e o diâmetro das barras φest segundo a NBR 6118 1982 deve obedecer a 5 mm φest bw 12 s 05 d e 30 cm s 135 cm 781 Viga VE1 22 cm x 30 cm O esquema da viga VE1 está mostrado na Figura 60 a Ações Peso próprio 022 030 25 165 kNm Reação de apoio da laje vx 952 kNm Área de parede 080 2818 1378 2 1678 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado 1678 32 5371 kN Vão 3687 m Força de parede linearmente distribuída 5371 3687 1457 kNm Ação total 165 952 1457 12627 kNm b Esforços de cálculo Momento fletor Md 14 p l2 8 14 12627 36872 8 3004 kNm Força cortante Vd 14 p l 2 14 12627 3687 2 3259 kN 48 c Armadura longitudinal Dados Md 3 004 kNcm C20 CA 50A kc 53 ks 0025 As 278 cm2 superior à armadura mínima Adotase como armadura longitudinal 4 φ 10 320 cm2 d Verificação do cisalhamento Vd 3259 kN Vdu 255 kN Vd 3259 kN Vdmin 66 kN Utilizar armadura mínima φ 5 c 13 154 cm2m 782 Viga VE2 22 cm x 30 cm O esquema da viga VE2 está mostrado na Figura 61 a Ações Peso próprio 022 030 25 165 kNm Reação de apoio da laje vy 684 kNm Área de parede 080 274 2192 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado 2192 32 7014 kN Vão 314 m Força de parede linearmente distribuída 7014 314 2234 kNm Ação total 165 684 2234 10724 kNm b Esforços de cálculo Momento fletor Md 14 p l2 8 14 10724 3142 8 1850 kNm Força cortante Vd 14 p l 2 14 10724 314 2 2357 kN c Armadura longitudinal Dados Md 1 850 kNcm C20 CA 50A kc 87 ks 0024 As 164 cm2 superior à armadura mínima Adotase como armadura longitudinal 2 φ 10 160 cm2 dif 24 Figura 60 Viga VE1 dimensões em cm 49 d Verificação do cisalhamento Vd 2357 kN Vdu 255 kN Vd 2357 kN Vdmin 66 kN Utilizar armadura mínima φ 5 c 13 154 cm2m 783 Viga VE3 22 cm x 30 cm O esquema da viga VE3 está mostrado na Figura 62 a Ações Peso próprio 022 030 25 165 kNm Reação de apoio da laje vx 952 kNm Área de parede 080 1182 250 080 306 2 5995 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado 5995 32 19183 kN Vão 4493 m Força de parede linearmente distribuída 19183 4493 4269 kNm Ação total 165 952 4269 15439 kNm b Esforços de cálculo Momento fletor Md 14 p l2 8 Md 14 15439 44932 8 Md 5454 kNm Força cortante Vd 14 p l 2 Vd 14 15439 4493 2 Vd 4855 kN Figura 61 Esquema para a viga VE2 unidades em cm Figura 62 Viga VE3 dimensões em cm 50 c Armadura longitudinal Dados Md 5 454 kNcm C20 CA 50A kc 2941 ks 00275 As 556 cm2 superior à armadura mínima Adotase como armadura 3 φ 16 6 cm2 d Verificação do cisalhamento Vd 4855 kN Vdu 255 kN Vd 4855 kN Vdmin 66 kN Utilizar armadura mínima φ 5 c 13 154 cm2m 79 Detalhamento Apresentamse os detalhamentos das lajes e das vigas da escada 791 Detalhamento das lajes Em vista da necessidade de se procurar facilitar a construção da escada foi feita uma compatibilização entre o detalhamento dos lances e dos patamares Os detalhamentos referentes aos lances e aos patamares estão ilustrados nas figuras 63 64 e 65 Para o detalhamento da armação em lajes com dois espaçamentos diferentes procedeuse da seguinte forma até a metade da laje utilizouse um espaçamento para a metade restante utilizouse o outro Segundo a NBR 6118 1982 qualquer barra da armadura inclusive de distribuição de montagem e estribos deve ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro mas não inferior a 05 cm e 15 cm respectivamente para lajes e para vigas no interior de edifícios Para as barras de laje que estivessem ancoradas em vigas considerouse o valor do cobrimento utilizado para armaduras das vigas Visando proteger as bordas livres dos lances optouse pela utilização de um gancho em forma de U com comprimento de um de seus ramos igual a duas vezes a espessura da laje Essa armadura foi disposta perpendicular ao plano médio da laje Para fornecer às lajes um melhor comportamento estrutural podese observar que a armadura perpendicular à borda livre foi disposta por cima da armadura disposta paralelamente à borda livre 51 Observação ver detalhamento correto das barras N1 e N2 na Figura 64 Figura 63 Esquema geral da armação entre lances e patamares dimensões em cm 52 Figura 64 Corte DD dimensões em cm Figura 65 Corte BB dimensões em cm 53 792 Detalhamento da Viga VE1 Este detalhamento é apresentado na Figura 66 Figura 66 Detalhamento da viga VE1 793 Detalhamento da Viga VE2 Este detalhamento é apresentado na Figura 67 Figura 67 Detalhamento da viga VE2 54 794 Detalhamento da Viga VE3 Este detalhamento é apresentado na Figura 68 Figura 68 Detalhamento da viga VE3 710 Comprimento das barras O cálculo do comprimento total das barras foi realizado com o auxílio de tabelas presentes em PINHEIRO 1993 Estes cálculos estão resumidos na tabela 7 Como exemplo ilustrase o cálculo feito para a barra N1 Barra N1 φ 63 mm CA50A C20 acréscimo de comprimento relativo a um gancho tipo A à esquerda tabela 17a PINHEIRO 1993 l 2 10 2 5 cm comprimento mínimo de ancoragem à direita tabela 15c PINHEIRO 1993 sem gancho zona de boa aderência lb 28 cm comprimento dos trechos retilínios sem considerar o comprimento de ancoragem 161 cm 324 cm 485 cm Portanto o comprimento total da barra será igual a 518 cm 55 Tabela 7 Comprimento das barras Barra φ mm Extremidade esquerda cm Trechos retos cm Extremidade direita cm Comprimento cm N1 63 5 gancho A 161 324 28 ancoragem 518 N2 63 28 ancoragem 142 5 gancho A 175 N3 63 6 gancho C 351 6 gancho C 363 N4 63 6 gancho C 175 8 20 gancho U 209 N5 10 44 ancoragem 321 166 9 gancho C 540 N6 5 321 321 N7 5 212 212 N8 5 35 gancho B 92 35 gancho B 99 N9 5 351 351 N10 10 9 gancho C 351 9 gancho C 369 N11 5 447 138 585 N12 16 125 gancho A 447 70 ancoragem 5295 N13 16 70 ancoragem 187 145 gancho C 2715 711 Quantidade de barras Serão agora calculadas as quantidades de cada barra a Barra N1 Laje L2 77520 1 77515 4875 51 5 5 10 barras Laje L4 10 barras Total 20 barras b Barra N2 análogo à barra N1 20 barras c Barra N3 Laje L1 71520 1 71518 457 397 4 4 8 barras Laje L3 8 barras Total 16 barras d Barra N4 Laje L2 24018 1 1333 1 1433 14 barras Laje L4 14 barras Total 28 barras e Barra N5 viga V1 4 barras f Barra N6 viga V1 2 barras g Barra N7 viga V1 2 barras 56 h Barra N8 estribos das vigas Os estribos nos trechos inclinados das vigas VE1 e VE3 são dispostos perpendicularmente aos eixos longitudinais dessas vigas A quantidade de estribos é calculada em função do comprimento do eixo longitudinal de face a face de pilares eou vigas conforme ilustram as figuras 69 e 70 Figura 69 Estribos para viga VE1 Figura 70 Estribos para viga VE3 Viga VE1 comprimento 142 196 338 cm número de barras 33813 1 27 Viga VE2 comprimento 274 cm número de barras 27413 1 2207 22 Viga VE3 comprimento 319 114 433 cm número de barras 43313 1 3430 35 Total de barras N8 na escada 27 22 35 84 barras i Barra N9 viga V2 2 barras j Barra N10 viga V2 2 barras k Barra N11viga V3 2 barras l Barra N12 viga VE3 3 barras m Barra N13 viga VE3 3 barras 57 A tabela 8 referese à lista de barras e a tabela 9 indica o resumo relativo a cada bitola O tipo de aço adotado foi o CA 50A Apenas para as barras com bitolas iguais a 5 mm é que foi utilizado o aço CA60 Tabela 8 Lista de barras Barra Bitola mm Quantidade Comprimento unitário m Comprimento total m N1 63 20 518 10360 N2 63 20 175 3500 N3 63 16 363 5808 N4 63 28 209 5852 N5 10 4 540 2160 N6 5 2 321 642 N7 5 2 212 424 N8 5 84 099 8316 N9 5 2 351 702 N10 10 2 369 738 N11 5 2 585 1170 N12 16 3 5295 1589 N13 16 3 2715 815 Tabela 9 Resumo aço CA 50A e CA 60 Bitola mm Massa linear kgm Comprimento total m Massa total kg Massa total 10 kg 5 016 11254 18 20 63 025 25520 64 70 10 063 2898 18 20 16 160 2403 38 42 Total 152 58 BIBLIOGRAFIA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS 1980 NBR 6120 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações São Paulo 6p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS 1982 NBR 6118 Projeto e execução de obras de concreto armado Rio de Janeiro 76p AZAMBUJA P 1962 Peças helicoidais biengastadas Revista Estrutura n46 p6783 GUERRIN A LAVAUR RC 1971 Traité de béton armé 4ed Paris Dunod tome 4 KNIJNIK A TAVARES JJA 1977 Escada autoportante sem apoio no patamar Revista Estrutura n81 p109121 MACHADO CP 1983 Escadas Notas de aula São Paulo FTDE MANCINI E 1971 Escadas Notas de aula São Carlos EESCUSP PINHEIRO L M 1984 Escadas Notas de aula Campinas Faculdade de Ciências Tecnológicas da Pontifícia Universidade Católica de Campinas PINHEIRO L M 1993 Concreto armado tabelas e ábacos edrev São Carlos EESCUSP ROCHA AM 1974 Novo curso prático de concreto armado 14ed Rio de Janeiro Editora Científica v3 RUTEMBERG A 1975 Analysis of spiral stairs supported on a central column Build Sci v10 p3742 002 1038 692 519 415 346 297 259 231 208 0046 0023 0019 004 523 349 262 209 174 150 131 116 105 0047 0023 0020 006 352 234 176 141 117 101 88 78 70 0047 0024 0020 008 266 177 133 106 89 76 67 59 53 0048 0024 0020 010 215 143 107 86 72 61 54 48 43 0048 0024 0020 012 180 120 90 72 60 52 45 40 36 0048 0024 0020 014 156 104 78 62 52 45 39 35 31 0049 0024 0020 016 138 92 69 55 46 39 34 31 28 0049 0025 0021 018 123 82 62 49 41 35 31 27 25 0050 0025 0021 020 112 75 56 45 37 32 28 25 22 0050 0025 0021 022 103 68 51 41 34 29 26 23 21 0050 0025 0021 024 95 63 47 38 32 27 24 21 19 0051 0025 0021 026 88 59 44 35 30 25 22 20 18 0051 0026 0021 028 83 55 41 33 28 24 21 18 17 0052 0026 0022 030 78 52 39 31 26 22 20 17 16 0052 0026 0022 032 74 49 37 30 25 21 18 16 15 0053 0026 0022 034 70 47 35 28 23 20 18 16 14 0053 0027 0022 036 67 45 33 27 22 19 17 15 13 0054 0027 0022 038 64 43 32 26 21 18 16 14 13 0054 0027 0023 040 61 41 31 25 20 18 15 14 12 0055 0027 0023 042 59 39 30 24 20 17 15 13 12 0055 0028 0023 0438 57 38 29 23 19 16 14 13 11 0056 0028 0023 044 57 38 28 23 19 16 14 13 11 0056 0028 046 55 37 27 22 18 16 14 12 11 0056 0028 048 53 35 27 21 18 15 13 12 11 0057 0029 050 52 34 26 21 17 15 13 11 10 0058 0029 052 50 33 25 20 17 14 13 11 10 0058 0029 054 49 32 24 20 16 14 12 11 10 0059 0029 056 47 32 24 19 16 14 12 11 10 0059 0030 058 46 31 23 19 15 13 12 10 09 0060 0030 060 45 30 23 18 15 13 11 10 09 0061 0030 0628 44 29 22 18 15 13 11 10 09 0061 0031 064 43 29 22 17 14 12 11 10 09 0062 068 42 28 21 17 14 12 10 09 08 0063 072 40 27 20 16 13 12 10 09 08 0065 076 39 26 20 16 13 11 10 09 08 0066 0772 39 26 19 15 13 11 10 09 08 0067 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro Diagrama retangular de tensões no concreto γc 14 e γs 115 Para γc 14 multiplicar b por antes de usar a tabela De acordo com a NBR 61182003 3 Tabela 11 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES C50 2 C10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 D O M Í N I O CA25 CA50 CA60 cm kN M bd k 2 d 2 c d c x β 41 c γ cm kN M A d k 2 d s s AÇO AÇO ks2 ks2 040 050 0628 040 050 0438 040 050 0772 005 0023 0023 0023 0019 0019 0019 0046 0046 0046 005 010 0023 0023 0023 0019 0019 0019 0046 0046 0046 010 015 0024 0023 0023 0024 0021 0023 0046 0046 0046 015 020 0036 0027 0023 0036 0027 0032 0046 0046 0046 020 025 0082 0041 0029 0082 0041 0057 0082 0046 0046 025 Elaborada por Alessandro L Nascimento Fernando F Fontes e Libânio M Pinheiro Unidades kN e cm γs 115 kclim valor de kc correspondente a βx βxlim 040 050 ou βx34 ks valor dado na Tabela 11 correspondente a βx βxlim Tabela 12 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA DUPLA VALORES ks2 1fyd 0023 CA60 0019 CA25 0046 CA50 Valores de βx VALORES ks 1σs CA50 CA60 CA25 b d h d M M1 M2 As As1 As2 As d h y 08x im c 2 1 k bd M l d d M k A 2 s2 s2 d d M k A 2 s s 1 d 2 M M M s2 s1 2 A A A d M k A 1 s 1 s d h σc 085fcd Tabela 13a ÁREA DA SEÇÃO DE BARRAS A s cm 2 LARGURA MÍNIMA PARA UMA CAMADA b w cm DIÂMETRO MASSA A s cm 2 NÚMERO DE BARRAS NOMINAL APROX NOMINAL e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mm POL kgm b w cm A s 020 039 059 079 098 118 137 157 177 196 5 3 16 0154 Br1 10 12 15 18 21 23 26 29 32 b w Br2 10 14 17 21 24 28 31 35 38 A s 031 062 094 125 156 187 218 249 281 312 63 1 4 0245 Br1 10 13 16 19 21 24 27 30 33 b w Br2 11 14 18 21 25 29 32 36 40 A s 050 101 151 201 251 302 352 402 452 503 8 5 16 0395 Br1 10 13 16 19 22 26 29 32 35 b w Br2 11 15 18 22 26 30 34 37 41 A s 079 157 236 314 393 471 550 628 707 785 10 3 8 0617 Br1 11 14 17 20 24 27 30 34 37 b w Br2 11 15 19 23 27 31 35 39 43 A s 123 245 368 491 614 736 859 982 1104 1227 125 1 2 0963 Br1 11 15 18 22 25 29 32 36 39 b w Br2 12 16 20 25 29 33 37 42 46 A s 201 402 603 804 1005 1206 1407 1608 1810 2011 16 5 8 1578 Br1 12 16 20 23 27 31 35 39 43 b w Br2 12 17 22 26 31 35 40 45 49 A s 314 628 942 1257 1571 1885 2199 2513 2827 3142 20 3 4 2466 Br1 13 17 21 25 30 34 38 43 47 b w Br2 13 18 23 28 33 38 43 48 53 A s 380 760 1140 1521 1901 2281 2661 3041 3421 3801 22 7 8 2984 Br1 13 17 22 26 31 35 40 44 49 b w Br2 14 19 24 29 34 40 45 50 55 A s 491 982 1473 1963 2454 2945 3436 3927 4418 4909 25 1 3853 Br1 14 19 24 29 34 39 44 49 54 b w Br2 14 20 25 31 36 42 47 53 58 A s 804 1608 2413 3217 4021 4825 5630 6434 7238 8042 32 1 4 6313 Br1 16 22 29 35 41 48 54 61 67 b w Br2 16 22 29 35 41 48 54 61 67 A s 1257 2513 3770 5027 6283 7540 8796 1005 1131 1257 40 1 2 9865 Br1 18 26 34 42 50 58 66 74 82 b w Br2 18 26 34 42 50 58 66 74 82 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 74801996 b w conforme item 18322 da NBR 61182003 Br1 Brita 1 ø max 19 mm Br2 Brita 2 ø max 25 mm Valores adotados ø t 63 mm e c 25 cm Para c 30 35 cm somar 1 2 cm aos valores de b w e h 2cm ϕ ℓ 12 ϕ max e v 2cm ϕ ℓ 05 ϕ max maiores valores DIÂMETRO MASSA NOMINAL NOMINAL mm kgm 24 0036 005 009 014 018 023 027 032 036 041 045 34 0071 009 018 027 036 045 054 064 073 082 091 38 0089 011 023 034 045 057 068 079 091 102 113 42 0109 014 028 042 055 069 083 097 111 125 139 46 0130 017 033 050 066 083 100 116 133 150 166 50 0154 020 039 059 079 098 118 137 157 177 196 55 0187 024 048 071 095 119 143 166 190 214 238 60 0222 028 057 085 113 141 170 198 226 254 283 64 0253 032 064 097 129 161 193 225 257 290 322 70 0302 038 077 115 154 192 231 269 308 346 385 80 0395 050 101 151 201 251 302 352 402 452 503 95 0558 071 142 213 284 354 425 496 567 638 709 100 0617 079 157 236 314 393 471 550 628 707 785 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro Tabela 13b 10 NÚMERO DE FIOS 1 2 3 4 5 6 7 ÁREA DA SEÇÃO DE FIOS AS cm2 Consultar fornecedor sobre a disponibilidade desses diâmetros Fios podem apresentar superfície lisa ou entalhada De acordo com a NBR 74801996 massa específica do aço 7850 kgm3 8 9 s s cm 50 63 80 100 125 160 cm 50 392 624 1006 1570 2454 4022 50 55 356 567 915 1427 2231 3656 55 60 327 520 838 1308 2045 3352 60 65 302 480 774 1208 1888 3094 65 70 280 446 719 1121 1753 2873 70 75 261 416 671 1047 1636 2681 75 80 245 390 629 981 1534 2514 80 85 231 367 592 924 1444 2366 85 90 218 347 559 872 1363 2234 90 95 206 328 529 826 1292 2117 95 100 196 312 503 785 1227 2011 100 110 178 284 457 714 1115 1828 110 120 163 260 419 654 1023 1676 120 125 157 250 402 628 982 1609 125 130 151 240 387 604 944 1547 130 140 140 223 359 561 876 1436 140 150 131 208 335 523 818 1341 150 160 123 195 314 491 767 1257 160 170 115 184 296 462 722 1183 170 175 112 178 287 449 701 1149 175 180 109 173 279 436 682 1117 180 190 103 164 265 413 646 1058 190 200 098 156 252 393 614 1006 200 220 089 142 229 357 558 914 220 240 082 130 210 327 511 838 240 250 078 125 201 314 491 804 250 260 075 120 193 302 472 773 260 280 070 111 180 280 438 718 280 300 065 104 168 262 409 670 300 330 059 095 152 238 372 609 330 De acordo com a NBR 74801996 ÁREA DA SEÇÃO DE BARRAS POR METRO DE LARGURA aS cm2m Tabela 14a Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro DIÂMETRO NOMINAL mm s s cm 34 38 42 46 55 60 64 70 95 cm 50 182 226 278 332 476 566 644 770 1418 50 55 165 205 253 302 433 515 585 700 1289 55 60 152 188 232 277 397 472 537 642 1182 60 65 140 174 214 255 366 435 495 592 1091 65 70 130 161 199 237 340 404 460 550 1013 70 75 121 151 185 221 317 377 429 513 945 75 80 114 141 174 208 298 354 403 481 886 80 85 107 133 164 195 280 333 379 453 834 85 90 101 126 154 184 264 314 358 428 788 90 95 096 119 146 175 251 298 339 405 746 95 100 091 113 139 166 238 283 322 385 709 100 110 083 103 126 151 216 257 293 350 645 110 120 076 094 116 138 198 236 268 321 591 120 125 073 090 111 133 190 226 258 308 567 125 130 070 087 107 128 183 218 248 296 545 130 140 065 081 099 119 170 202 230 275 506 140 150 061 075 093 111 159 189 215 257 473 150 160 057 071 087 104 149 177 201 241 443 160 170 054 066 082 098 140 166 189 226 417 170 175 052 065 079 095 136 162 184 220 405 175 180 051 063 077 092 132 157 179 214 394 180 190 048 059 073 087 125 149 169 203 373 190 200 046 057 070 083 119 142 161 193 355 200 220 041 051 063 075 108 129 146 175 322 220 240 038 047 058 069 099 118 134 160 295 240 250 036 045 056 066 095 113 129 154 284 250 260 035 043 053 064 092 109 124 148 273 260 280 033 040 050 059 085 101 115 138 253 280 300 030 038 046 055 079 094 107 128 236 300 330 028 034 042 050 072 086 098 117 215 330 Tabela 14b De acordo com a NBR 74801996 Elaborada por Alessandro L Nascimento e Libânio M Pinheiro DIÂMETRO NOMINAL mm ÁREA DA SEÇÃO DE FIOS POR METRO DE LARGURA aS cm2m Tabela 15a COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO Concreto Zona de Aderência CA50 CA60 CA25 Nervurado Liso Entalhado Liso η 1 225 η 1 10 η 1 14 η 1 10 Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com C10 Má 99 69 268 187 191 134 112 78 Boa 69 49 187 131 134 94 78 55 C15 Má 76 53 204 143 146 102 85 60 Boa 53 37 143 100 102 71 60 42 C20 Má 62 44 169 118 120 84 70 49 Boa 44 31 118 83 84 59 49 34 C25 Má 54 38 145 102 104 73 61 42 Boa 38 26 102 71 73 51 42 29 C30 Má 48 33 129 90 92 64 54 38 Boa 33 23 90 63 64 45 38 27 C35 Má 43 30 116 81 83 58 48 34 Boa 30 21 81 57 58 41 34 24 C40 Má 39 28 106 74 76 53 44 31 Boa 28 19 74 52 53 37 31 22 C45 Má 36 25 98 69 70 49 41 29 Boa 25 18 69 48 49 34 29 20 C50 Má 34 24 92 64 65 46 38 27 Boa 24 17 64 45 46 32 27 19 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 61182003 Comprimento de ancoragem básico ℓ b ϕ4 f yd f bd Resistência de cálculo do aço ao escoamento f yd f yk γ s Resistência de aderência f bd η 1 η 2 η 3 f ctd Resistência de cálculo do concreto à tração f ctd 021γ c f ck 23 η 2 10 p BOA aderência 07 p MÁ aderência η 3 10 p ϕ 32mm 092 p ϕ 40mm γ c 14 γ s 115 Valores de ℓ b SEM e COM gancho redução de 30 07 ℓ b Concreto φmm Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Má 38 26 31 22 27 19 24 17 21 15 20 14 18 13 17 12 Boa 26 19 22 15 19 13 17 12 15 11 14 10 13 9 12 8 Má 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 Boa 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 Má 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 Boa 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 Má 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 Boa 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 Má 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 Boa 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 Má 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 Boa 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 Má 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 Boa 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 Má 166 116 137 96 118 83 105 73 95 66 87 61 80 56 75 52 Boa 116 82 96 67 83 58 73 51 66 46 61 42 56 39 52 37 Má 189 132 156 109 135 94 119 83 107 75 98 69 91 64 85 59 Boa 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 Má 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 Boa 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 Má 329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 Boa 230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 61182003 SEM e COM ganchos na extremidade η1 225 γc 14 γs 115 C25 C30 63 5 8 Tabela 15b COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO cm CA50 C40 C45 C50 Zona de Aderência C15 C35 C20 10 32 40 25 125 16 20 22 Concreto φmm Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Má 49 34 40 28 35 24 31 22 28 20 25 18 24 16 22 15 Boa 34 24 28 20 24 17 22 15 20 14 18 12 16 12 15 11 Má 69 49 57 40 49 35 44 31 39 28 36 25 33 23 31 22 Boa 49 34 40 28 35 24 31 21 28 19 25 18 23 16 22 15 Má 78 54 64 45 55 39 49 34 44 31 40 28 37 26 35 24 Boa 54 38 45 31 39 27 34 24 31 22 28 20 26 18 24 17 Má 86 60 71 50 61 43 54 38 49 34 45 31 41 29 38 27 Boa 60 42 50 35 43 30 38 26 34 24 31 22 29 20 27 19 Má 94 66 78 54 67 47 59 41 53 37 49 34 45 32 42 29 Boa 66 46 54 38 47 33 41 29 37 26 34 24 32 22 29 21 Má 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 Boa 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 Má 112 79 93 65 80 56 71 50 64 45 58 41 54 38 50 35 Boa 79 55 65 45 56 39 50 35 45 31 41 29 38 26 35 25 Má 123 86 101 71 87 61 77 54 70 49 64 45 59 41 55 38 Boa 86 60 71 50 61 43 54 38 49 34 45 31 41 29 38 27 Má 131 92 108 76 93 65 82 58 74 52 68 48 63 44 59 41 Boa 92 64 76 53 65 46 58 40 52 36 48 33 44 31 41 29 Má 143 100 118 83 102 71 90 63 81 57 74 52 69 48 64 45 Boa 100 70 83 58 71 50 63 44 57 40 52 36 48 34 45 31 Má 163 114 135 94 116 81 103 72 93 65 85 59 79 55 73 51 Boa 114 80 94 66 81 57 72 50 65 46 59 42 55 38 51 36 Má 194 136 160 112 138 97 122 86 110 77 101 71 93 65 87 61 Boa 136 95 112 78 97 68 86 60 77 54 71 49 65 46 61 43 Má 204 143 169 118 145 102 129 90 116 81 106 74 98 69 92 64 Boa 143 100 118 83 102 71 90 63 81 57 74 52 69 48 64 45 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 61182003 SEM e COM ganchos na extremidade η1 10 γc 14 γs 115 Tabela 15c COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO cm CA60 Liso C35 C40 C45 C50 C15 C20 C25 C30 5 24 34 38 Zona de Aderência 55 95 10 6 64 7 8 42 46 Concreto φmm Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Má 35 25 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 Boa 25 17 20 14 17 12 15 11 14 10 13 9 12 8 11 8 Má 50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 Boa 35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 Má 55 39 46 32 39 28 35 24 32 22 29 20 27 19 25 17 Boa 39 27 32 22 28 19 24 17 22 15 20 14 19 13 17 12 Má 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 Boa 43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 Má 67 47 55 39 48 33 42 30 38 27 35 24 32 23 30 21 Boa 47 33 39 27 33 23 30 21 27 19 24 17 23 16 21 15 Má 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 Boa 51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 Má 80 56 66 46 57 40 51 35 46 32 42 29 39 27 36 25 Boa 56 39 46 32 40 28 35 25 32 22 29 20 27 19 25 18 Má 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 Boa 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 Má 93 65 77 54 66 46 59 41 53 37 49 34 45 31 42 29 Boa 65 46 54 38 46 33 41 29 37 26 34 24 31 22 29 21 Má 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 Boa 71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 Má 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 Boa 82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 Má 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 Boa 97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Má 146 102 120 84 104 73 92 64 83 58 76 53 70 49 65 46 Boa 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 61182003 SEM e COM ganchos na extremidade η1 14 γc 14 γs 115 C40 C45 C50 Tabela 15d COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO cm CA60 Entalhado Zona de Aderência C15 C20 C25 C30 6 64 7 8 10 C35 24 34 38 42 46 5 55 95 Concreto φmm Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Má 43 30 35 25 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 Boa 30 21 25 17 21 15 19 13 17 12 15 11 14 10 13 9 Má 54 38 44 31 38 27 34 24 30 21 28 20 26 18 24 17 Boa 38 26 31 22 27 19 24 17 21 15 20 14 18 13 17 12 Má 68 48 56 39 48 34 43 30 39 27 35 25 33 23 31 21 Boa 48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 Má 85 60 70 49 61 42 54 38 48 34 44 31 41 29 38 27 Boa 60 42 49 34 42 30 38 26 34 24 31 22 29 20 27 19 Má 106 74 88 61 76 53 67 47 60 42 55 39 51 36 48 33 Boa 74 52 61 43 53 37 47 33 42 30 39 27 36 25 33 23 Má 136 95 112 79 97 68 86 60 77 54 71 50 65 46 61 43 Boa 95 67 79 55 68 47 60 42 54 38 50 35 46 32 43 30 Má 170 119 140 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 Boa 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 Má 187 131 155 108 133 93 118 83 106 74 97 68 90 63 84 59 Boa 131 92 108 76 93 65 83 58 74 52 68 48 63 44 59 41 Má 213 149 176 123 151 106 134 94 121 85 111 77 102 72 95 67 Boa 149 104 123 86 106 74 94 66 85 59 77 54 72 50 67 47 Má 272 191 225 157 194 136 172 120 155 108 142 99 131 92 122 85 Boa 191 133 157 110 136 95 120 84 108 76 99 69 92 64 85 60 Má 340 238 281 197 242 170 214 150 193 135 177 124 164 115 153 107 Boa 238 167 197 138 170 119 150 105 135 95 124 87 115 80 107 75 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com a NBR 61182003 SEM e COM ganchos na extremidade η1 10 γc 14 γs 115 C40 C45 C50 Tabela 15e COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO cm CA25 Zona de Aderência C15 C20 C25 C30 22 25 32 40 10 125 16 20 C35 5 63 8 ESFORÇO SEM GANCHO α1 1 COM GANCHO α1 07 De acordo com o item 9452 da NBR 61182003 COMPRESSÃO I BOA ADERÊNCIA II MÁ ADERÊNCIA lb é obtido nas tabelas 15 sem gancho TABELA 16 SITUAÇÕES DE BOA E DE MÁ ADERÊNCIA TRAÇÃO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lbnec PARA Asef Ascalc Alturas em cm De acordo com o item 931 da NBR 61182003 φ α 100mm 10 3 0 A A b ef s s calc 1 b nec b l l l φ α 100mm 10 3 0 A A b ef s s calc 1 b nec b l l l φ α 100mm 10 3 0 A A b ef s s calc 1 b nec b l l l I α 45º I h 30 h 30 I 30 30 h 60 II α 45º II I h 30 h 60 30 α 45º imagem em branco A B C A B C 24 4 4 5 4 3 5 24 34 6 6 6 6 5 7 34 38 7 6 7 7 5 8 38 38 7 6 7 7 5 8 38 42 8 7 8 7 6 9 42 46 8 8 9 8 7 10 46 5 9 8 9 9 7 11 5 55 10 9 10 10 8 12 55 6 11 10 11 11 9 13 6 64 12 11 12 11 9 14 64 7 13 12 13 12 10 15 7 8 14 13 15 14 12 17 8 95 17 16 18 17 14 20 95 10 18 16 19 18 14 21 10 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com os itens 9423 e 9461 da NBR 61182003 l l2 l1 l 2 ψ π rm nφ re rm ri 05φ re ri φ ψ e n indicados na Tabela 17a As barras lisas tracionadas deverão ter gancho necessariamente Para as barras lisas os ganchos deverão ser do tipo A As barras comprimidas devem ser ancoradas sem gancho assim como aquelas que tenham alternância de solicitação de tração e compressão Evitar gancho para φ32mm ou para feixes de barras Não está normalizado o emprego de estribos com φt16mm TABELA 17b COMPRIMENTOS DE GANCHOS E DOBRAS cm CA60 φ ACRÉSCIMO DE COMPRIMENTO PARA DOIS GANCHOS l2 l1 φ ARMADURAS DE TRAÇÃO ESTRIBOS l l2 l2 2 l1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas TABELAS DE LAJES Libânio M Pinheiro São Carlos agosto de 2007 Questão 1 Determinar o carregamento em uma laje da cozinha de um edifício residencial figura abaixo Utilizando as tabelas da Apostila do Professor Libânio M Pinheiro Dados A laje tem 15cm de espessura de concreto a regularização do contra piso foi feita com argamassa de cimento e areia com 5cm de espessura o piso em granito com 3cm de espessura e o reboco do teto constituído de argamassa de cal cimento e areia com 5cm de espessura sabese ainda que a altura das paredes sobre a laje é de 323m e são constituídas de tijolos cerâmicos furado com 15cm de espessura rebocados dos dois lados com uma argamassa de cal cimento e areia de 35cm de espessura de cada lado 3 RELAÇÃO DE TABELAS Tabela 21a Prédimensionamento valores de ψ2 e ψ3 Tabela 21b Prédimensionamento valores de ψ2 Tabela 21c Prédimensionamento valores de ψ2 Tabela 22a Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 22b Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 22c Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 22d Reações de apoio em lajes com carga uniforme Tabela 23a Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 23b Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 23c Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 23d Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 23e Momentos fletores em lajes com carga uniforme Tabela 24a Momentos fletores em lajes com carga triangular Tabela 24b Momentos fletores em lajes com carga triangular Tabela 24c Momentos fletores em lajes com carga triangular Tabela 24d Momentos fletores em lajes com carga triangular Tabela 24e Momentos fletores em lajes com carga triangular Tabela 5a Flechas em lajes com carga uniforme Tabela 5b Flechas em lajes com carga uniforme Tabela 6a Flechas em lajes com carga triangular Tabela 6b Flechas em lajes com carga triangular 4 Tabela 21a PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 E ψ3 TIPO TIPO x y l λ l ψ2 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ x y l λ l 100 150 170 170 180 190 190 200 200 220 100 105 148 167 168 178 186 189 197 198 217 105 110 146 164 167 176 183 188 194 197 215 110 115 144 161 165 174 179 187 191 195 212 115 120 142 158 164 172 176 186 188 194 210 120 125 140 155 162 170 172 185 185 192 207 125 130 138 152 161 168 169 184 182 191 205 130 135 136 149 159 166 165 183 179 189 202 135 140 134 146 158 164 162 182 176 188 200 140 145 132 143 156 162 158 181 173 186 197 145 150 130 140 155 160 155 180 170 185 195 150 155 128 137 153 158 151 179 167 183 192 155 160 126 134 152 156 148 178 164 182 190 160 165 124 131 150 154 144 177 161 180 187 165 170 122 128 149 152 141 176 158 179 185 170 175 120 125 147 150 137 175 155 177 182 175 180 118 122 146 148 134 174 152 176 180 180 185 116 119 144 146 130 173 149 174 177 185 190 114 116 143 144 127 172 146 173 175 190 195 112 113 141 142 123 171 143 171 172 195 200 110 110 140 140 120 170 140 170 170 200 ψ3 PARA VIGAS E LAJES 115 MPa VIGAS E LAJES NERVURADAS LAJES MACIÇAS 250 25 35 320 22 33 400 20 30 500 17 25 600 15 20 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro e PR Wolsfensberger dest l ψ2ψ3 onde l lx menor vão σsd tensão na armadura para solicitação de cálculo Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 5 Tabela 21b PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 TIPO TIPO a b γ l l ψ3 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ a b γ l l 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 050 055 059 072 061 072 065 066 055 060 067 090 070 090 077 080 060 065 073 105 078 105 087 092 065 070 079 119 084 119 096 101 070 075 083 130 090 130 103 110 075 080 087 140 095 140 110 117 080 085 091 149 099 149 116 124 085 090 094 157 103 157 121 130 090 095 097 164 107 164 126 135 095 100 100 170 110 170 130 140 100 110 100 170 109 170 130 139 110 120 100 170 108 170 130 138 120 130 100 170 107 170 130 137 130 140 100 170 106 170 130 136 140 150 100 170 105 170 130 135 150 160 100 170 104 170 130 134 160 170 100 170 103 170 130 133 170 180 100 170 102 170 130 132 180 190 100 170 101 170 130 131 190 200 100 170 100 170 130 130 200 200 100 170 100 170 120 120 200 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro dest l ψ2ψ3 onde l menor vão entre la e lb la vão perpendicular a borda livre ψ3 é dado na Tabela 21a Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos 6 100 050 060 060 070 100 110 048 059 059 068 110 120 046 058 058 066 120 130 044 057 057 064 130 140 042 056 056 062 140 150 040 055 055 060 150 160 038 054 054 058 160 170 036 053 053 056 170 180 034 052 052 054 180 190 032 051 051 052 190 200 030 050 050 050 200 200 050 050 200 10 12 17 05 Extraída da NBR 61181980 adaptada por LM Pinheiro Procedimento abandonado pela NBR 61182003 mas que pode ser útil em alguns casos Tabela 21c PRÉDIMENSIONAMENTO VALORES DE ψ2 TIPO TIPO ψ2 PARA LAJES ARMADAS EM CRUZ ψ2 PARA VIGAS E LAJES ARMADAS NUMA SÓ DIREÇÃO x 2 ψ ψ3 l l l est 3 d onde menor vão ψ é dado na Tabela 3 x y l l λ x y l l λ 7 Tabela 22a REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x lx ly 2A l x y y x 2B y lx l x y x y l λ l νx νy νx νy νy νx νx νy x y l l λ 100 250 250 183 275 402 275 402 183 100 105 262 250 192 280 410 282 413 183 105 110 273 250 201 285 417 289 423 183 110 115 283 250 210 288 422 295 432 183 115 120 292 250 220 291 427 301 441 183 120 125 300 250 229 294 430 306 448 183 125 130 308 250 238 295 432 311 455 183 130 135 315 250 247 296 433 316 462 183 135 140 321 250 256 296 433 320 468 183 140 145 328 250 264 296 433 324 474 183 145 150 333 250 272 296 433 327 479 183 150 155 339 250 280 296 433 331 484 183 155 160 344 250 287 296 433 334 489 183 160 165 348 250 293 296 433 337 493 183 165 170 353 250 299 296 433 340 497 183 170 175 357 250 305 296 433 342 501 183 175 180 361 250 310 296 433 345 505 183 180 185 365 250 315 296 433 347 509 183 185 190 368 250 320 296 433 350 512 183 190 195 372 250 325 296 433 352 515 183 195 200 375 250 329 296 433 354 518 183 200 200 500 250 500 296 433 438 625 183 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 v 10 ν p x l p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais 8 Tabela 22b REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 3 x y y x 4A l x y y x 4B y lx x y l x y l λ l νx νx νy νy νx νy νx νy x y l l λ 100 217 317 217 317 144 356 356 144 100 105 227 332 217 317 152 366 363 144 105 110 236 346 217 317 159 375 369 144 110 115 245 358 217 317 166 384 374 144 115 120 253 370 217 317 173 392 380 144 120 125 260 380 217 317 180 399 385 144 125 130 263 390 217 317 188 406 389 144 130 135 273 399 217 317 195 412 393 144 135 140 278 408 217 317 202 417 397 144 140 145 284 415 217 317 209 422 400 144 145 150 289 423 217 317 217 425 404 144 150 155 293 429 217 317 224 428 407 144 155 160 298 436 217 317 231 430 410 144 160 165 302 442 217 317 238 432 413 144 165 170 306 448 217 317 245 433 415 144 170 175 309 453 217 317 253 433 418 144 175 180 313 458 217 317 259 433 420 144 180 185 316 463 217 317 263 433 422 144 185 190 319 467 217 317 272 433 424 144 190 195 322 471 217 317 278 433 426 144 195 200 325 475 217 317 283 433 428 144 200 200 438 625 217 317 500 433 500 144 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 x ν p l v 10 p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais 9 Tabela 22c REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 5A x y y x l 5B l x y y lx x 6 y l y lx x y l λ l νx νx νy νx νy νy νx νy x y l λ l 100 171 250 303 303 171 250 250 250 100 105 179 263 308 312 171 250 262 250 105 110 188 275 311 321 171 250 273 250 110 115 196 288 314 329 171 250 283 250 115 120 205 300 316 336 171 250 292 250 120 125 213 313 317 342 171 250 300 250 125 130 222 325 317 348 171 250 308 250 130 135 230 336 317 354 171 250 315 250 135 140 237 347 317 359 171 250 321 250 140 145 244 357 317 364 171 250 328 250 145 150 250 366 317 369 171 250 333 250 150 155 256 375 317 373 171 250 339 250 155 160 261 383 317 377 171 250 344 250 160 165 267 390 317 381 171 250 348 250 165 170 272 398 317 384 171 250 353 250 170 175 276 404 317 387 171 250 357 250 175 180 280 411 317 390 171 250 361 250 180 185 285 417 317 393 171 250 365 250 185 190 289 422 317 396 171 250 368 250 190 195 292 428 317 399 171 250 372 250 195 200 296 433 317 401 171 250 375 250 200 200 438 625 317 500 171 250 500 250 200 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 x ν p l v 10 p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais 10 Tabela 22d REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME T I P O λ νx νx νy νy 1 25 5 λ 25 2 5 3 1 5 2 3 λ λ 137 25 3 1 λ 2 25 3 125 3 3 λ λ 2 5 3 3 5 2 3 3 λ λ 25 2 A 137 125 5 3 1 λ 06253 3 25 3 5 5 3 1 3 2 λ 2 B 125 25 3 3 3 λ 5 53 3 2 3 3 λ 25 3 1 25 51 3 1 3 λ 25 3 1 3 125 25 3 3 λ 25 53 3 3 3 λ 125 3 253 3 3 5 6 λ 3 2 5 5 3 6 λ λ 4 A 3 25 5 3 λ 25 3 4 B 5 5 3 6λ 5 6 3 5 6 λ 3 127 0625 3 1 λ 25λ 2 5 5 3 3 12 λ λ 5 5 3 1 2 3 3 λ 5 A 127 375 25 3 3 1 λ 15 53 3 2 3 λ 253 3 5 6 3 5 B 5 5 3 3 12λ 0625 3 1 25 6 25 5 λ 25 Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 p v 10 x ν l p carga uniforme lx menor vão x y l λ l Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais 11 Tabela 23a MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo 1 y x lx ly 2A l x y y x l 2B y lx l x y Tipo x y l λ l μx μy μx μy μy μx μx μy x y l l λ 100 423 423 291 354 840 354 840 291 100 105 462 425 326 364 879 377 879 284 105 110 500 427 361 374 918 399 917 276 110 115 538 425 398 380 953 419 949 268 115 120 575 422 435 386 988 438 980 259 120 125 610 417 472 389 1016 455 1006 251 125 130 644 412 509 392 1041 471 1032 242 130 135 677 406 544 393 1064 486 1054 234 135 140 710 400 579 394 1086 500 1075 225 140 145 741 395 612 391 1105 512 1092 219 145 150 772 389 645 388 1123 524 1109 212 150 155 799 382 676 385 1139 534 1123 204 155 160 826 374 707 381 1155 544 1136 195 160 165 850 366 728 378 1167 553 1148 187 165 170 874 358 749 374 1179 561 1160 179 170 175 895 353 753 369 1188 568 1172 174 175 180 916 347 756 363 1196 575 1184 168 180 185 935 338 810 358 1205 581 1194 167 185 190 954 329 863 353 1214 586 1203 159 190 195 973 323 886 345 1217 590 1208 154 195 200 991 316 908 336 1220 594 1213 148 200 200 1250 316 1250 336 1220 703 1250 148 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 m 100 μ p x l p carga uniforme lx menor vão 12 Tabela 23b MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 3 x y y x l 4A l x y y x l 4B y lx x y l Tipo x y l λ l μx μx μy μy μx μy μy μx μx μy x y l l λ 100 269 699 269 699 201 309 699 309 699 201 100 105 294 743 268 718 232 323 743 322 720 192 105 110 319 787 267 736 263 336 787 335 741 183 110 115 342 828 265 750 293 346 826 346 756 173 115 120 365 869 262 763 322 356 865 357 770 163 120 125 386 903 256 772 363 364 903 366 782 156 125 130 406 937 250 781 399 372 933 374 793 149 130 135 424 965 245 788 434 377 969 380 802 141 135 140 442 993 239 794 469 382 1000 386 811 133 140 145 458 1017 232 800 503 386 1025 391 813 126 145 150 473 1041 225 806 537 390 1049 396 815 119 150 155 486 1062 216 809 570 390 1070 400 820 114 155 160 499 1082 207 812 603 389 1091 404 825 108 160 165 510 1099 199 814 635 385 1108 407 828 103 165 170 521 1116 191 815 667 381 1124 410 830 098 170 175 531 1130 185 816 697 379 1139 412 831 095 175 180 540 1143 178 817 727 376 1153 414 832 091 180 185 548 1155 172 817 755 372 1165 415 833 087 185 190 556 1167 166 818 782 367 1177 416 833 083 190 195 563 1178 163 819 809 360 1183 416 833 080 195 200 570 1189 160 820 835 352 1188 417 833 076 200 200 703 1250 160 820 1250 352 1188 417 833 076 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 m 100 μ p x l p carga uniforme lx menor vão 13 Tabela 23c MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo l 5A x y y x l 5B l x y y lx x 6 y l y lx Tipo x y l λ l μx μx μy μy μx μx μy μy μx μx μy μy x y l l λ 100 202 546 252 617 252 617 202 546 202 515 202 515 100 105 227 598 256 646 270 647 197 556 222 550 200 529 105 110 252 650 260 675 287 676 191 565 242 585 198 543 110 115 276 711 263 697 302 699 184 570 265 614 194 551 115 120 300 772 265 719 316 722 177 575 287 643 189 559 120 125 323 881 264 736 328 740 170 575 297 667 183 564 125 130 345 859 261 751 340 757 162 576 306 690 177 568 130 135 366 874 257 763 350 770 155 575 319 709 171 569 135 140 386 888 253 774 359 782 147 574 332 728 165 570 140 145 405 916 248 783 367 791 141 573 343 743 157 571 145 150 423 944 243 791 374 800 135 572 353 757 149 572 150 155 439 968 239 798 380 807 129 569 361 768 143 572 155 160 455 991 234 802 386 814 123 566 369 779 136 572 160 165 470 1013 228 803 391 820 118 562 376 788 129 572 165 170 484 1034 222 810 395 825 113 558 383 797 121 572 170 175 497 1053 215 813 399 830 107 556 388 805 117 572 175 180 510 1071 208 817 402 834 100 554 392 812 113 572 180 185 520 1088 202 816 405 838 097 555 396 818 107 572 185 190 530 1104 196 814 408 842 094 556 399 824 101 572 190 195 540 1120 188 813 410 845 091 560 402 829 099 572 195 200 550 1135 180 812 412 847 088 564 405 833 096 572 200 200 703 1250 180 812 417 833 088 564 417 833 096 572 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 2 p m 100 x μ l p carga uniforme lx menor vão 14 Tabela 23d MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 7 b l y a l x 8 y la b l Tipo b a l γ l μx μy μyb μx μy μyb μy μyb b a l γ l 030 1133 1589 2844 1044 1422 2555 4189 7700 030 035 1063 1560 2719 885 1286 2237 3569 6294 035 040 994 1531 2594 725 1150 1919 2950 4888 040 045 913 1448 2447 622 1039 1682 2589 4136 045 050 832 1364 2300 520 928 1444 2228 3384 050 055 758 1295 2156 457 835 1282 1964 2876 055 060 683 1225 2011 394 742 1119 1700 2367 060 065 621 1159 1871 346 676 994 1526 2055 065 070 559 1092 1731 298 610 869 1351 1743 070 075 509 1024 1586 261 554 777 1228 1538 075 080 459 955 1441 223 498 684 1105 1333 080 085 416 909 1361 196 465 615 1012 1191 085 090 373 863 1280 168 431 546 919 1049 090 095 339 814 1194 147 397 496 845 949 095 100 305 764 1108 126 362 445 771 848 100 105 305 794 1131 123 368 445 780 848 105 110 306 824 1155 119 374 446 788 847 110 115 306 853 1178 116 380 447 797 846 115 120 307 883 1201 112 386 447 805 846 120 125 303 901 1212 109 390 447 809 846 125 130 300 919 1222 106 393 447 813 846 130 135 297 938 1233 103 397 448 817 846 135 140 294 956 1243 099 401 448 820 845 140 145 291 974 1254 096 405 449 824 845 145 150 288 992 1264 092 408 449 828 845 150 155 284 1004 1269 090 409 449 829 845 155 160 281 1016 1274 088 410 449 829 845 160 165 277 1029 1280 086 411 449 830 845 165 170 274 1041 1285 084 412 449 830 845 170 175 270 1053 1290 082 413 450 831 845 175 180 266 1065 1295 080 413 450 831 845 180 185 263 1077 1300 078 414 450 832 845 185 190 259 1090 1306 076 415 450 832 845 190 195 256 1102 1311 074 416 450 833 845 195 200 252 1114 1316 072 417 450 833 845 200 200 252 1250 1316 072 417 450 833 845 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 15 Tabela 23e MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME Tipo x 9 y a l lb b l a y 10 Tipo b a l γ l μx μx μy μyb μx μx μy μyb μy μyb b a l l γ 030 1250 5000 078 622 1250 5000 211 867 1456 3700 030 030 733 4308 078 622 489 3833 211 867 1456 3700 030 035 517 3998 189 789 257 3308 318 974 1484 3553 035 040 300 3687 300 956 025 2783 425 1081 1513 3406 040 045 178 3389 362 1054 054 2394 453 1077 1426 3121 045 050 056 3091 424 1152 132 2004 480 1072 1340 2836 050 055 025 2802 462 1182 162 1740 486 999 1248 2526 055 060 106 2513 500 1211 192 1476 492 925 1156 2217 060 065 147 2290 525 1212 191 1291 468 855 1081 1963 065 070 188 2066 549 1212 190 1106 443 784 1006 1708 070 075 206 1884 561 1181 182 986 414 715 942 1517 075 080 223 1702 572 1150 173 865 386 645 877 1325 080 085 226 1559 566 1105 164 778 359 586 819 1187 085 090 228 1416 560 1059 154 691 333 526 760 1049 090 095 225 1299 548 1007 140 625 311 481 712 950 095 100 221 1182 536 955 125 559 288 435 664 851 100 105 233 1191 572 991 125 559 298 437 682 850 105 110 245 1200 608 1027 124 558 308 439 699 850 110 115 257 1208 644 1062 124 558 318 441 717 649 115 120 269 1217 680 1098 124 557 327 443 734 848 120 125 267 1220 709 1120 120 557 334 444 744 848 125 130 264 1222 737 1142 117 557 341 445 754 847 130 135 262 1225 755 1164 114 557 349 446 764 847 135 140 259 1228 793 1185 111 558 356 447 773 847 140 145 257 1231 822 1207 109 558 363 448 783 846 145 150 254 1233 850 1229 106 558 370 449 793 846 150 155 256 1235 868 1237 104 558 374 449 797 846 155 160 258 1236 886 1245 101 558 377 449 800 846 160 165 259 1238 904 1253 099 557 381 449 804 846 165 170 261 1239 922 1261 097 557 384 449 808 846 170 175 263 1241 941 1268 095 557 388 450 812 846 175 180 265 1242 959 1276 093 557 392 450 815 845 180 185 267 1244 976 1284 091 557 395 450 819 845 185 190 268 1245 994 1292 088 556 399 450 823 845 190 195 270 1247 1013 1300 086 556 402 450 826 845 195 200 272 1248 1031 1308 084 556 406 450 830 845 200 200 272 1248 1250 1308 084 556 417 450 833 845 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 16 TABELA 24a MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo p x a y 11 l lb l 12 p y a x lb p x 13 l y a lb Tipo b a l γ l μx μy μx μx μy μx μx μy b a l γ l 050 641 160 298 667 092 423 583 128 050 050 514 160 281 653 092 394 560 128 050 055 483 172 273 641 099 380 546 131 055 060 452 183 265 629 106 366 531 133 060 065 421 192 254 613 112 349 511 139 065 070 390 200 243 597 116 332 490 145 070 075 363 205 231 579 121 315 468 150 075 080 335 209 219 561 123 298 446 155 080 085 311 212 207 542 126 283 424 159 085 090 286 214 194 523 128 267 402 163 090 095 264 213 183 509 131 252 377 167 095 100 241 212 172 495 134 236 352 170 100 105 247 232 178 520 151 244 364 192 105 110 253 251 184 544 168 253 375 213 110 115 258 271 190 568 187 260 386 234 115 120 264 290 196 592 205 268 396 255 120 125 266 310 200 613 223 273 402 276 125 130 270 328 206 637 240 279 407 296 130 135 273 346 210 659 258 283 409 317 135 140 276 364 214 680 275 286 412 337 140 145 279 381 217 700 292 289 414 356 145 150 281 397 221 720 308 293 416 374 150 155 284 412 223 738 324 295 417 392 155 160 287 427 225 755 339 297 417 409 160 165 285 443 225 766 356 295 412 427 165 170 283 459 225 776 372 294 408 446 170 175 284 472 227 792 385 296 406 460 175 180 285 485 230 807 398 298 405 474 180 185 284 498 233 818 411 297 401 489 185 190 284 511 235 829 423 296 397 503 190 195 280 524 234 834 436 292 387 518 195 200 278 536 232 840 448 288 376 532 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 17 TABELA 24b MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo l 14 p y a l x b p x 15 l y a lb 16 l p y a l x b Tipo b a l γ l μx μxi μxs μy μx μy μy μx μx μy μy b a l l γ 050 215 500 333 068 641 180 612 298 667 096 360 050 050 213 512 336 068 442 180 612 259 614 096 360 050 055 211 509 335 073 397 187 587 243 590 093 359 055 060 208 506 333 078 352 194 561 227 565 089 358 060 065 204 500 329 083 315 196 542 210 535 103 353 065 070 199 493 324 088 278 198 522 192 505 116 347 070 075 193 483 317 092 252 194 499 175 475 121 338 075 080 187 472 309 095 226 189 475 157 445 125 328 080 085 181 464 300 097 208 183 449 145 447 124 317 085 090 174 456 290 099 186 177 423 133 389 123 306 090 095 167 444 279 100 169 169 399 122 365 121 296 095 100 160 432 267 101 151 162 375 111 340 119 285 100 105 170 464 281 118 152 172 389 113 350 129 303 105 110 179 496 294 134 154 181 402 115 360 138 320 110 115 187 523 303 151 155 189 414 115 369 147 336 115 120 194 550 315 167 156 197 426 116 378 154 351 120 125 202 575 323 184 153 204 438 116 384 161 366 125 130 206 605 331 202 152 210 446 117 394 167 378 130 135 211 633 335 221 150 217 457 118 399 173 392 135 140 215 661 339 239 147 223 467 119 405 179 405 140 145 218 682 345 256 146 228 475 120 411 184 416 145 150 221 704 351 272 144 232 482 121 418 190 427 150 155 222 721 356 288 142 236 494 122 422 196 436 155 160 223 737 361 303 141 240 506 123 427 202 446 160 165 222 749 363 320 137 244 515 123 430 208 455 165 170 222 760 364 337 133 247 523 123 433 213 463 170 175 224 777 368 351 131 249 532 125 438 218 469 175 180 227 794 373 366 130 251 541 126 444 223 475 180 185 229 808 374 381 126 253 549 126 448 228 481 185 190 231 823 375 395 123 254 557 126 451 233 486 190 195 230 832 374 410 117 256 565 125 450 238 492 195 200 228 840 372 424 112 258 572 124 448 243 498 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 18 TABELA 24c MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo 17 p l x b l y a lb p a 18 l y x Tipo b a l γ l μx μx μy μy μx μxi μxs μy μy b a l γ l 050 423 583 116 464 215 500 333 080 292 050 050 362 512 116 464 207 494 323 080 292 050 055 338 483 123 461 199 484 316 079 295 055 060 313 453 131 458 191 474 308 078 297 060 065 290 418 139 453 181 459 293 080 298 065 070 267 382 147 447 170 444 278 082 298 070 075 247 348 152 433 162 426 262 087 294 075 080 227 313 156 419 153 408 245 092 291 080 085 208 284 155 402 144 389 228 097 289 085 090 188 255 154 385 134 370 211 101 286 090 095 172 230 152 373 124 350 194 102 278 095 100 155 205 149 361 114 330 176 103 270 100 105 158 199 160 375 117 343 175 114 290 105 110 160 193 171 389 120 356 175 125 309 110 115 160 190 180 403 121 366 173 134 326 115 120 159 186 189 418 122 376 173 142 343 120 125 156 180 198 432 120 383 169 151 359 125 130 157 176 205 446 122 392 167 158 374 130 135 156 169 212 461 121 398 163 166 390 135 140 155 163 219 475 120 404 159 174 405 140 145 155 158 225 487 121 411 156 181 417 145 150 155 154 230 498 122 418 153 188 428 150 155 155 149 235 508 122 422 149 195 438 155 160 155 143 240 518 123 427 145 201 448 160 165 154 138 244 528 123 430 140 207 456 165 170 153 133 249 538 123 433 135 213 465 170 175 153 131 251 547 125 438 133 217 471 175 180 152 130 253 555 126 444 130 221 477 180 185 148 126 256 564 126 448 126 225 483 185 190 144 123 258 573 126 451 123 229 488 190 195 140 117 261 582 125 450 115 233 494 195 200 136 112 263 591 124 448 108 237 500 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 19 TABELA 24d MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo lb p a 19 l y x p b l 20 la y x Tipo b a l γ l μx μy μyb μx μy μyb μy μyb b a l l γ 030 578 578 956 589 500 811 1533 2356 030 035 549 567 909 532 466 715 1348 1887 035 040 519 556 863 475 431 619 1163 1419 040 045 480 530 811 416 396 539 1035 1165 045 050 440 504 760 356 360 460 908 912 050 055 405 497 705 309 333 395 816 737 055 060 369 489 650 261 306 331 728 561 060 065 339 454 602 228 282 286 664 462 065 070 308 418 553 194 259 241 600 363 070 075 283 401 509 172 241 209 552 303 075 080 258 383 464 150 222 177 503 242 080 085 236 363 425 131 207 154 464 203 085 090 213 343 386 112 191 131 425 163 090 095 195 327 357 100 179 114 395 138 095 100 176 310 327 087 167 096 365 113 100 105 177 325 329 084 172 093 372 108 105 110 177 340 331 082 177 090 379 103 110 115 178 355 332 079 182 086 386 097 115 120 179 370 334 076 187 083 393 092 120 125 177 382 331 074 190 080 397 088 125 130 175 393 327 071 192 077 400 085 130 135 174 405 324 069 195 074 404 081 135 140 172 417 321 066 198 070 407 077 140 145 170 426 317 063 200 067 411 074 145 150 169 440 314 061 203 064 414 070 150 155 166 448 310 059 204 062 415 068 155 160 164 456 306 057 204 060 416 065 160 165 161 464 302 055 205 057 417 063 165 170 159 472 298 053 205 055 418 060 170 175 156 480 295 050 206 053 420 058 175 180 154 488 291 048 207 051 421 056 180 185 151 496 287 046 207 049 422 053 185 190 150 504 283 044 208 046 423 051 190 195 147 512 279 042 208 044 424 048 195 200 144 520 275 040 209 042 425 046 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 20 TABELA 24e MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR Tipo x lb 21 a l p y l p y x b l 22 a Tipo b a l γ l μx μx μy μyb μx μx μy μyb μy μyb b a l l γ 030 417 1667 033 167 417 1667 078 267 533 922 030 030 167 1504 033 167 089 1369 078 267 533 922 030 035 081 1423 064 212 032 1258 105 283 514 871 035 040 006 1342 094 256 025 1147 131 300 494 819 040 045 049 1250 117 282 053 1032 142 286 481 725 045 050 092 1158 140 308 080 916 152 272 468 623 050 055 110 1081 158 324 097 822 158 251 456 547 055 060 128 1003 175 339 114 728 164 231 444 461 060 065 137 934 186 335 118 647 165 209 428 398 065 070 145 864 196 331 122 565 165 188 412 335 070 075 148 805 201 322 122 509 164 171 394 289 075 080 150 746 207 313 122 453 163 155 377 244 080 085 147 701 205 298 116 422 155 139 356 207 085 090 143 655 203 283 110 390 147 122 336 170 090 095 139 615 200 267 101 368 138 109 318 145 095 100 135 574 197 251 091 345 129 095 301 119 100 105 140 593 214 260 090 352 134 092 313 114 105 110 145 612 231 270 089 350 139 089 324 110 110 115 149 630 248 279 088 367 143 085 336 105 115 120 154 649 265 288 086 374 148 082 347 100 120 125 157 665 278 288 083 380 152 079 353 096 125 130 159 680 295 288 080 386 155 076 359 091 130 135 161 696 310 288 077 392 159 073 365 087 135 140 164 711 324 288 074 398 162 069 370 083 140 145 166 727 339 288 071 404 166 066 376 078 145 150 169 743 354 288 068 410 169 063 382 074 150 155 168 753 365 286 066 413 172 061 385 071 155 160 167 764 376 284 064 417 175 059 388 068 160 165 166 774 387 282 062 421 176 056 391 066 165 170 165 785 398 280 060 425 178 054 394 063 170 175 164 795 409 278 058 429 180 052 397 060 175 180 164 806 419 275 056 433 182 050 400 057 180 185 163 816 430 273 054 437 184 048 403 054 185 190 162 827 441 271 052 440 187 045 406 052 190 195 161 838 452 269 050 444 189 043 409 049 195 200 160 848 463 267 048 448 191 041 412 046 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro p 2 m μ 100 l p carga uniforme l menor valor entre la e lb 21 Tabela 25a FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE α Tipo de Laje x y l λ l 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6 100 476 326 326 246 225 225 184 184 149 105 526 368 348 272 260 235 208 196 163 110 574 411 370 296 297 245 231 208 177 115 620 455 389 318 335 253 254 218 190 120 664 500 409 340 374 261 277 228 202 125 708 544 426 361 414 268 300 237 214 130 749 588 443 380 456 274 322 246 224 135 790 632 458 399 501 277 342 253 234 140 829 674 473 415 541 280 362 261 241 145 867 715 487 431 583 285 380 267 249 150 903 755 501 446 625 289 398 273 256 155 939 795 509 461 666 291 414 278 262 160 971 832 518 473 706 292 430 282 268 165 1004 868 522 486 746 292 445 283 273 170 1034 903 526 497 784 293 459 284 277 175 1062 936 536 506 821 293 471 286 281 180 1091 969 546 516 858 294 484 288 285 185 1116 1000 553 525 893 294 496 290 288 190 1141 1029 560 533 925 295 507 292 290 195 1165 1058 568 541 958 295 517 294 293 200 1189 1087 576 549 990 296 528 296 296 1563 1563 650 650 1563 313 650 313 313 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 4 α x ia l c p b 100 12 E I b largura da seção lx menor vão Ec módulo de elasticidade p carga uniforme ly maior vão I momento de inércia 22 Tabela 25b FLECHAS EM LAJES COM CARGA UNIFORME VALORES DE α e αB Tipo 7 la b l y x l 8 a l x b y l 9 a l x b y l 10 la y x b b a l γ l α αB α αB α αB α αB b a l γ l 030 5313 15000 5313 15000 030 030 21571 41259 13464 23163 4198 11002 3764 9700 030 035 16397 30959 9526 16437 3748 9670 3165 7805 035 040 12222 20659 5588 9711 3298 8337 2565 5909 040 045 8876 16099 4173 7135 2906 7161 2089 4671 045 050 6529 11539 2758 4559 2514 5985 1613 3433 050 055 5296 9240 2135 3438 2212 5142 1322 2707 055 060 4063 6940 1511 2316 1909 4298 1031 1981 060 065 3358 5648 1207 1803 1680 3700 853 1596 065 070 2652 4356 903 1289 1450 3101 674 1211 070 075 2214 3564 741 1031 1279 2667 563 982 075 080 1775 2771 578 773 1108 2233 452 753 080 085 1523 2354 482 632 978 1925 384 619 085 090 1271 1937 386 490 847 1616 315 484 090 095 1092 1648 326 408 749 1396 271 404 095 100 913 1358 266 325 650 1176 226 324 100 105 946 1385 271 326 691 1219 234 326 105 110 979 1411 276 328 732 1260 242 327 110 115 1012 1438 281 329 772 1301 249 329 115 120 1045 1464 286 330 813 1346 257 330 120 125 1069 1477 288 331 846 1372 261 331 125 130 1093 1491 290 331 880 1397 264 331 130 135 1118 1504 293 332 913 1423 268 332 135 140 1142 1517 295 333 946 1448 271 333 140 145 1166 1531 297 333 980 1474 275 333 145 150 1190 1544 299 334 1013 1499 278 334 150 155 1204 1550 300 334 1035 1509 279 334 155 160 1218 1555 300 334 1057 1519 280 334 160 165 1231 1561 301 335 1079 1529 281 335 165 170 1245 1566 301 335 1101 1539 282 335 170 175 1259 1572 302 335 1223 1550 283 335 175 180 1273 1578 302 335 1144 1560 284 335 180 185 1287 1583 303 335 1166 1570 285 335 185 190 1300 1589 303 336 1188 1580 286 336 190 195 1314 1594 304 336 1210 1590 287 336 195 200 1328 1600 304 336 1232 1600 288 336 200 1563 1600 313 336 1563 1600 313 336 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 4 α x ia l c p b 100 12 E I b largura da seção lx menor vão Ec módulo de elasticidade p carga uniforme ly maior vão I momento de inércia 23 TABELA 26a FLECHAS EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR VALORES DE α Tipo b a l γ l lb y 11 a l x p la 12 lb p y x la 13 lb p y x 14 l p x a l b y 15 lb p y x la la 16 lb p y x p x 17 a l b l y p x 18 a l b l y 050 782 287 366 157 782 287 366 157 050 593 258 332 154 494 238 309 147 055 550 248 319 151 437 221 284 142 060 507 238 306 147 379 203 259 137 065 467 228 291 144 330 187 236 130 070 426 217 275 141 280 170 213 122 075 390 206 261 138 244 155 194 114 080 354 195 246 134 207 140 174 106 085 323 185 231 129 180 126 156 098 090 292 174 216 124 152 111 137 090 095 265 162 202 118 134 099 121 083 100 238 150 187 112 115 087 105 075 105 262 171 211 130 122 093 114 082 110 286 192 235 148 129 099 123 090 115 311 213 262 168 136 105 130 096 120 335 234 289 188 143 111 137 102 125 359 254 315 208 149 117 144 107 130 381 274 339 228 152 121 147 111 135 403 294 363 248 154 124 150 115 140 425 314 386 268 157 127 153 119 145 446 333 409 288 160 130 155 122 150 464 353 428 309 162 132 157 124 155 482 372 448 330 164 134 158 126 160 501 391 468 351 167 136 160 128 165 519 410 487 371 169 138 162 131 170 536 426 505 390 172 143 164 134 175 554 441 523 408 175 148 166 138 180 571 455 540 425 179 154 168 143 185 588 469 557 443 182 159 170 147 190 605 483 574 461 185 165 172 151 195 623 498 591 478 189 170 174 156 200 640 512 608 496 192 176 176 160 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 4 α x ia l c p b 100 12 E I b largura da seção lx menor vão Ec módulo de elasticidade p carga uniforme ly maior vão I momento de inércia 24 TABELA 26b FLECHAS EM LAJES COM CARGA TRIANGULAR VALORES DE α e αB Tipo la 19 lb p y x la 20 lb p y x y b la x p 21 p x 22 a l b l y b a l γ l α αB α αB α αB α αB b a l l γ 030 1531 4000 1531 4000 030 030 7383 12305 4633 7528 1303 3040 1158 2461 030 035 5730 9565 3324 5253 1133 2642 946 1918 035 040 4077 6825 2015 2977 962 2244 733 1374 040 045 3230 5308 1533 2192 875 1938 601 1100 045 050 2383 3790 1051 1407 788 1632 469 825 050 055 1938 3004 847 1066 706 1413 411 671 055 060 1493 2217 642 724 624 1194 353 516 060 065 1245 1800 519 558 552 1015 309 405 065 070 996 1382 396 391 479 835 264 293 070 075 845 1131 327 302 429 717 228 231 075 080 693 879 258 212 378 598 192 169 080 085 601 728 217 165 338 513 162 136 085 090 508 577 175 118 297 427 132 102 090 095 437 486 149 093 266 367 114 082 095 100 365 394 123 067 234 306 095 062 100 105 383 396 126 064 255 316 101 060 105 110 402 398 128 062 276 326 108 058 110 115 420 400 131 059 296 336 114 056 115 120 438 402 133 056 317 346 120 054 120 125 452 398 135 053 334 346 123 052 125 130 466 395 136 051 351 345 126 050 130 135 480 391 138 048 368 345 129 047 135 140 494 387 139 046 386 345 131 045 140 145 507 384 141 043 403 344 134 043 145 150 521 380 142 041 420 344 137 041 150 155 531 376 142 040 434 342 138 040 155 160 542 371 142 039 448 339 138 039 160 165 552 367 143 038 462 337 139 038 165 170 562 362 143 037 476 334 140 037 170 175 573 358 143 036 490 332 141 036 175 180 583 354 143 035 504 330 141 035 180 185 593 349 143 035 518 327 142 035 185 190 603 345 144 034 532 325 143 034 190 195 614 340 144 033 546 322 143 033 195 200 624 336 144 032 560 320 144 032 200 Valores extraídos de BARES 1972 e adaptados por LM Pinheiro 4 α x ia l c p b 100 12 E I b largura da seção lx menor vão Ec módulo de elasticidade p carga uniforme ly maior vão I momento de inércia TABELA 17a COMPRIMENTOS DE GANCHOS E DOBRAS cm CA25 E CA50 ACRÉSCIMO DE COMPRIMENTO PARA DOIS GANCHOS ℓ₂ ℓ₁ ϕ ARMADURAS DE TRAÇÃO ESTRIBOS ϕ CA25 CA50 CA25 CA50 A A B C A A B C 5 7 8 8 9 9 9 7 11 5 63 9 10 10 12 11 11 9 13 63 8 11 13 12 15 14 14 12 17 8 10 14 16 15 18 18 18 14 21 10 125 17 20 19 23 25 27 21 28 125 16 22 25 24 29 32 35 27 36 16 20 32 45 38 40 44 57 42 48 20 22 35 49 42 44 48 62 47 53 22 25 40 56 48 50 55 71 53 60 25 32 51 71 61 64 70 90 68 77 32 40 63 89 77 81 87 113 85 97 40 Elaborada por Marcos Vinícius N Moreira e Libânio M Pinheiro De acordo com os itens 9423 e 9461 da NBR 61182003 TIPO A ψ 1 TIPO B ψ 075 TIPO C ψ 05 Arm tração n 2 n 4 n 8 Estribos n 5 n 5 n 10 Continua na Tabela 17b DADOS REGULARIZAÇÃO ρconc25 kWm3 γargcimtar 21 kwm3 γgranito 28 kwm2 γargcaltcimtar 19 kwm3 REVESTIMENTOS γbloco 13 kwm3 a PESO PRÓPRIO Ppl ρconc h 25 015 375 kwm2 b REGULARIZAÇÃO qreg γargcimtar h 21 005 105 kwm2 c PISO GRANITO qPISO γgranito h 28 003 084 kwm2 d TETO qTETO γargcaltcimtar h 19 005 095 kwm2 e PAREDES λ635525 121 ARMADA EM 2 DIREÇÕES PAREDE POR M2 ARGAMASSA 1 cm PESO DO BLOCO 019 015 039 13 kwm3 01445 kw ARG VERTICAL 019 015 001 19 kwm3 00054 kw ARG HORIZONTAL 019 039 001 19 kwm3 00141 kw PESO TOTAL 0164 kw PESO TOTALm2 0164 04 x 02 205 kwm2 SREVESTIMENTO REVESTIMENTO 19 kwm3 0035 0035 133 kwm2 VALOR 338 kwm2 ÁREA DE PAREDE ÁREA DAS PAREDES 323 m x 325 m 415 m 23902 m2 qPAR Apar 338 Alaje 23902 338 525 635 242 kwm2 f CARGA TOTAL p p Ppl qreg qPISO qTETO qPAR p901 kwm2