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Engenharia de Produção ·
Cálculo 3
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CÁLCULO INTEGRAL Engenharias Professor Abedenago Nillo da Silva Filho Técnicas de integração lista de exercícios MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Seja f x g x dx se pudermos identificar no integrando f x g x dx uma função que possamos chamála de u multiplicada por outra função que seja a derivada de u precisando talvez ser multiplicada por uma constante Então obteremos a partir dessa substituição uma integral que seja tabelada Exemplo em 2 2x 9 dx x 9x 1 podemos fazer 2 2x 9 2x 9 dx x 9x 1 2 u x 9x 1 du 2x 9 dx du dx 2x 9 du 2x 9 u 1 2 1 2 2 u du 2x 9 dx u c 2 u c 1 x 9x 1 2 2 2 2x 9 dx 2 x 9x 1 c x 9x 1 Exercícios Determine as integrais a seguir 1 e3x dx 2 sen 4x dx 3 2 16x dx 8x 1 4 cosx dx 1 3sen x 5 3 senv cosv dv 6 1 0 2 3x dx 8x 2 7 5 2 4 x 2x 1 dx x 8 θ θ θ e cosec e 1 d 9 2 0 ln 2 x e x dx 10 π θ π θ θ cos 2 sen e d 11 e x dx x 12 2 9 dx 1 9x INTEGRAL POR PARTES Obs aqui também temos uma integral do tipo f x g x dx Entretanto não teremos a posssibilidade de identificar no integrando f x g x dx uma função que possamos chamar de u e outra função que seja a derivada de u vezes o diferencial de u Assim faremos f x u g x dx e dv Com essas substituições poderemos identificar v e du e substituílos na fórmula u dv u v v du Nos exercícios 13 a 22 calcule as integrais utilizando o método da integração por partes 13 xsen x dx 2 14 2t cos t dt 15 2 1 xlnx dx 16 tg 1 y dy 17 3 x x e dx 18 2 x x 5x e dx 19 5 x x e dx 20 π θ θ θ 2 2 0 sen 2 d 21 θ θ θ e sen d 22 e2x cos 3x dx MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS Veja o exemplo e determine as integrais a seguir pelo método das frações parciais 23 2 dt t 4 2 Resolução 1 A B sabe se que t 4 t 2 t 2 então podemos afirmar que t 2 t 2 t 2 t 2 tirando o mmc no segundo membro temos A t 2 B t 2 1 logo t 2 t 2 t 2 t 2 A t 2 B t 2 1 2 2 A B t 2A 2B 1 Portanto 1 1 A B 0 e 2A 2B 1 A e B 4 4 Voltando à integral dt 1 1 dt 4 t 2 4 t 2 t 4 dt 1 1 ln t 2 ln t 2 c o 4 4 t 4 2 dt 1 t 2 u ln c 4 t 2 t 4 24 2 3x 5 dx x 1 x 1 25 2 2 x 1 dx x x 1 x 2 26 4 3 3 2 x x x 1 dx x x 27 xdx x 2 x 3
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