Cálculo de Integral com Frações Parciais

3x²2x³ x² 2x 1 dx 1 Calcularemos a integral 3x²2x³ x² 2x 1 dx Com efeito temos que 3x²2x³ x² 2x 1 dx 3 x²2x³ x² 2x 1 dx Agora vamos tirar a fração parcial de 2x³ x² 2x 1 primeiro note que 1 e 1 é raíz de 2x³ x² 2x 1 logo esse polinômio é divisível por x 1 e x 1 logo temos da divisão longa que 2x² 3x 1x 1 2x² 3x 1 Agora dividindo 2x² 3x 1 por x 1 temos que 2x² 3 1 2x 1 Portanto temos então que 2x³ x² 2x 1 1 ou seja 2x³ x² 2x 1 x 1x 12x 1 Então o termo anterior se torna x²2x³ x² 2x 1 x 1x 12x 1 e devemos expressar essa fração em termos de constantes a b c de modo que x²x 1x 12x 1 a2x 1 bx 1 cx 1 Multiplicando tudo pelo denominador temos o seguinte desenvolvimento x² ax 1x 12x 1 bx 12x 1 c2x 1x 1 ax² 1 b2x² 3x 1 c2x² x 1 x²a 2b 2c x2b 2b 6b b 16 então a 2b 13 e c 3b 12 ou seja a 13 b 16 e c 12 E então podemos escrever que x²x 1x 12x 1 132x 1 16x 1 12x 1 e agora podemos nos ater a integral Com efeito temos que 3x²2x³ x² 2x 1 dx 3 x²2x³ x² 2x 1 dx 3 132x 1 16x 1 12x 1 dx 3 13 ln2x 1 16 lnx 1 12 lnx 1 K 3 16 ln2x 1 16 lnx 1 12 lnx 1 K 3 where K is a constant of integration Portanto obtemos que 3x²2x³ x² 2x 1 dx 3 16 ln2x 1 16 lnx 1 12 lnx 1 K da segunda equação temos que c 3b e da terceira que a b c 2b Logo na primeira equação temos que 1 a 2b 2c 2b 2b 6b b 16 então a 2b 13 e c 3b 12 ou seja a 13 b 16 e c 12 E então podemos escrever que x²x 1x 12x 1 132x 1 16x 1 12x 1 e agora podemos nos ater a integral Com efeito temos que 3x²2x³ x² 2x 1 dx 3 x²2x³ x² 2x 1 dx 3 132x 1 16x 1 12x 1 dx 3 13 ln2x 1 16 lnx 1 12 lnx 1 K 3 16 ln2x 1 16 lnx 1 12 lnx 1 K