Apostila-Mapas-VeitchKarnaugh-Algebra-Boole-Simplificacao-Circuitos-Logicos

Apostila Mapas de VeitchKarnaugh Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos 3 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole 3 Postulados 3 Postulados da Complementação 3 Postulado da Adição 4 Postulado da Multiplicação 6 Propriedades 8 Propriedade Comutativa 8 Propriedade Associativa 8 Propriedade Distributiva 8 Teoremas de De Morgan 9 1 º Teorema de De Morgan 10 2 Teorema de De Morgan 11 Identidades Auxiliares 12 Resumo 14 Simplificacão de Expressões Booleanas 15 Exercícios Resolvidos 17 Simplificação de Expressões Booleanas através dos Diagramas de VeitchKarnaugh 21 Diagrama de VeitchKarnaugh para 2 Variáveis 22 Diagramas de VeitchKarnaugh para 3 Variáveis 30 Diagrama de VeitchKarnaugh para 4 Variáveis 37 Exercícios Resolvidos 45 Diagrama para 5 Variáveis 52 Exercício Resolvido 58 Diagramas com Condições Irrelevantes 60 Exercícios Resolvidos 63 Casos que não Admitem Simplificação 66 Agrupamentos de Zeros 69 Outra Forma de Apresentacão do Diagrama de VeitchKarnaugh 71 Exercícios Propostos 73 RESPOSTAS 80 Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole Como vimos anteriormente as variáveis booleanas são representadas através de letras podendo assumir os valores 0 e 1 Expressão booleana é a sentença matemática composta de termos cujas variáveis são booleanas e os resultados podem ser 0 e 1 Postulados A seguir apresentaremos os postulados da complementação da adição e da multiplicação da Álgebra de boole e suas respectivas identidades resultantes Postulados da Complementação Este postulado mostra como são as regras da complementação na álgebra de Boole Chamaremos de o complemento de Através do postulado da complementação podemos estabelecer a seguinte identidade Assim sendo podemos escrever A A O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o inversor Postulado da Adição Este postulado mostra como são as regras da adição dentro da Álgebra de Boole Através deste postulado podemos estabelecer as seguintes identidades A pode ser 0 ou 1 vejamos então todas as possibilidades Notamos que o resultado será sempre igual à variável A Vejamos as possibilidades Notamos que se somarmos 1 a uma variável O resultado será sempre 1 Vejamos as possibilidades Notamos que se somarmos a mesma variável o resultado será ela mesma Vejamos as possibilidades Notamos que sempre que somarmos a um variável o seu complemento teremos como resultado 1 O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU Postulado da Multiplicação É o postulado que determina as regras da multiplicação booleana Através deste postulado podemos estabelecer as seguintes regras Podemos confirmar verificando todas as possibilidades Notamos que todo numero multiplicado por 0 é 0 Esta identidade a primeira vista estranha é verdadeira como podemos confirmar pela análise de todas as possibilidades Notamos que os resultados serão sempre iguais a A Vamos analizar todas possibilidades Notamos que para ambos os valores possíveis que a variável pode assumir o resultado da expressão será 0 O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E Propriedades A seguir descreveremos as principais propriedades algébricas úteis principalmente no manuseio e simplificação de expressões tal como na matemática comum valem na Álgebra de Boole as propriedades comutativa distributiva e associativa Propriedade Comutativa Propriedade Associativa Propriedade Distributiva Vamos verificar esta propriedade atraves da tabela verdade analisando todas possibilidades Notamos pela tabela 31que as expressões se equivalem Teoremas de De Morgan Os teoremas de Morgan são muito empregados na prática em simplificações de expressões booleanas e ainda no desenvolvimento de circuitos digitais como veremos em tópicos posteriores 1 º Teorema de De Morgan O complemento do produto c igual a soma dos complementos Para provar este teorema vamos montar a tabela da verdade de cada membro e comparar os resultados Notamos a igualdade de ambas as colunas O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis 2 Teorema de De Morgan O complemento da soma é igual ao produto dos complementos Este teorema é uma extensão do primeiro Podemos reescrevêlo da seguinte maneira Reescrevendo em termos de A e B temos Da mesma forma que no anterior o teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis Notamos também a aplicação deste teorema no item relativo à equivalência entre blocos lógicos Identidades Auxiliares A seguir vamos deduzir três identidades úteis para a simplificação de expressões Provamos esta identidade utilizando a propriedade distributiva Vamos evidencias no 1 termo Do postulado da soma temos Logo podemos escrever Vamos provar esta identidade Vamos provar esta identidade Resumo POSTULADOS Complementação A 0 A 1 A 1 A 0 Adição 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Multiplicação 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 IDENTIDADES Complementação A A Adição A 0 A A 1 1 A A A A A 1 Multiplicação A 0 0 A 1 A A A A A A 0 PROPRIEDADES Comutativa A B B A A B B A Associativa A B C A B C A B C A B C A B C A B C Distributiva A B C A B A C TEOREMAS DE MORGAN A B A B A B A B IDENTIDADES AUXILIARES A A B A A A B A B A B A C A B C Tabela 33 Simplificacão de Expressões Booleanas Utilizando o conceito da Álgebra de Boole podemos simplificar expressões e conseqüentemente circuitos Para efetuarmos estas simplificações existem basicamente do processos O primeiro deles é a simplificação através da Álgebra de Boole segundo é a utilização dos mapas de VeitchKarnaugh Esta expressão mostra a importância da simplificação e a conseqüente minimização do circuito pois os resultados são idênticos aos valores assumidos pela variável A assim sendo todo o circuito pode ser substituído por um único fio ligado à variável A Como outro exemplo vamos simplificar a expressão Exercícios Resolvidos 1 Simplifique as expressões booleanas apresentadas a seguir b S A B C A B C Aplicando a propriedade distributiva temos S A A A B AC AB B B BC AC BC CC Vamos usar as identidades X X 0 e X X X e reescrever S A B AC AB BC AC BC C Colocando C em evidência temos S A B C A B A B 1 AB Usando as identidades X 1 1 e X 1 X obtemos o resultado final S A B AB C c S AC B D C ACD Aplicando o teorema de De Morgan ao 1º e 2º termos obtemos S A C B D C A C D Agora aplicando o teorema de De Morgan ao 1º termo e a propriedade distributiva ao 2º termo temos S ACD B AC CC CD Reescrevendo aplicando a identidade X X 0 temos S A BCD AC CD Evidenciando o termo CD vamos ter S CD AB 1 AC S CD 1 AC identidade X 1 1 S CD AC A partir da expressão obtenha O primeiro passo é substituir a expressão do circuito coincidência pela sua equivalente Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão Simplificação de Expressões Booleanas através dos Diagramas de VeitchKarnaugh Vimos até aqui a simplificação de expressões mediante a utilização dos postulados propriedades e identidades da Álgebra de Boole Nestes itens vamos tratar da simplificação de expressões por meio dos diagramas de VeitechKarnaugh Estes mapas ou diagramas permitem a simplificação de maneira mais rápida dos casos extraídos de tabelas da verdade obtidas de situações quaisquer Diagrama de VeitchKarnaugh para 2 Variáveis Com 2 variáveis podemos obter 4 possibilidades No caso 0 temos A 0 e B 0 A região do diagrama que mostra esta condição é a da interseção das regiões onde A 0 e B 0 Esta região também pode ser chamada de região AB Figura 34 No caso 1 temos A 0 e B 1 A região do diagrama que mostra esta condição é a da interseção das regiões onde A 0 A 1 e B 1 Esta região também pode ser chamada de região AB Figura 35 No caso 2 temos a interseção das regiões onde A 1 e B 0 B 1 Fazendo esta intersecção temos Esta região também pode ser chamada de região AB Figura 36 A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis Vamos colocar seus resultados no diagrama de VeitchKarnaugh Passando para o mapa os casos da tabela da verdade conforme o esquema de colocação visto má figura 38 Para obtermos a expressão simplificada do diagrama utilizamos o seguinte metodo Tentamos agrupar as regiões onde S é igual a 1 no menor número possível de agrupamentos As regiões onde S é 1 que não puderem ser agrupadas serão consideradas isoladamente Para um diagrama de 2 variáveis os agrupamentos possíveis são os seguintes a Quadra Conjunto de 4 regiões onde S é igual a 1 No diagrama de 2 variáveis é o agrupamento máximo proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1 Assim sendo a expressão final simplifiicada obtida é S 1 A figura 310 ilustra esta situação b Pares Conjunto de 2 regiões onde S é 1 que tem um lado em comum ou soa são vizinhos As figuras 311 e 312 mostram exemplos de 2 pares agrupados e suas respectivas expressões dentro os 4 possíveis em 2 variáveis c Termos isolados Regiões onde S é 1 sem vizinhança para grupamentos São os próprios casos de entrada sem simplificação A figura 313 exemplifica 2 termos isolados sem possibilidade de agrupamento Feito isto escrevemos a expressão de cada par ou seja a região que o par ocupa no diagrama O par 1 ocupa a região onde A é igual a 1 então sua expressão será Par 1 A O par 2 ocupa a região onde A é igual a 1 então sua expressão será Par 2 B Notamos também que nenhum I ficou fora dos agrupamentos e ainda que o mesmo 1 pode pertencer a mais de um agrupamento Para obter a expressão simplificada basta agruparmos os termos obtidos nos agrupamentos Como podemos notar esta é a expressão de uma porta OU pois a tabela da verdade também é a da porta OU Outro fato a ser notado é que a expressão obtida é visivelmente menor do que a extraída diretamente da tabela da verdade acarretando um circuito mais simples diminuindo conseqüentemente a dificuldade de montagem e o custo do sistema 2 Vamos simplificar o circuito que executa a tabela da verdade a seguir Obtendo a expressão diretamente da tabela temos Transportando a tabela para o diagrama A Agora vamos agrupar os pares As expressões dos pares Somando as expressões dos pares teremos a expressão simplificada Notamos que a tabela da verdade é a de uma porta NE Aplicando o teorema de De Morgan à expressão após a simplificação encontramos a expressão de uma porta NE Diagramas de VeitchKarnaugh para 3 Variáveis O diagrama de veitchkarnaugh para 3 variáveis e visto na figura 317 No mapa encontramos todas as possibilidades assumidas entre as variveis A B e C A figura 318 mostra as regiões deste mapa Neste diagrama também temos uma região para cada caso da tabela da verdade A tabele 37 e a figura 319 mostram os casos para 3 variáveis e as respectivas localizações no mapa Vamos analisar a localização somente de uma das possibilidades visto que as outras são de maneira análoga Assim sendo vamos localizar no diagrama o caso 3 No diagrama será a intersecção das regiões que Esta pode ser chamada de região ABC A figura 320 mostra esta localização no diagrama para a colocação do respectivo caso de entrada da coluna S Para melhor compreensão vamos como exemplo transpor para o diagrama as situações de saída da tabela 38 Expressão extraída da tabela da verdade Transpondo a tabela para o diagrama temos Para efetuarmos a simplificação seguimos o mesmo processo visto anteriormente somente que para 3 variaveis os agrupamentos possiveis são os seguintes a Oitava Agrupamento maximo onde todas as localidades valem 1 A figura 322 apresenta esta situação b Quadras Quadras são agrupamentos de 4 regiões S é igual a 1 adjascentes ou em seqüência Vamos agora formar algumas quadras possíveis num diagrama de 3 variáveis a titulo de exemplo c Pares A figura 324 apresenta como exemplo 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis d Termos isolados Na figura 325 exemplos de termos isolados que são os casos de entrada sem simplificação Para o exemplo agrupamos primeiramente uma quadra e logo após um par conforme mostra a figura 326 Notamos que esse par não depende de C pois está localizado tanto em como em resultando sua expressão independente de C ou sela o termo O passo final é somarmos as expressões referentes aos agrupamentos A expressão final minimizada será Como outro exemplo varrerás minimizar o circuito que executa a tabela 39 Transpondo para o diagrama temos Efetuando os agrupamentos notamos que obtemos apenas 3 pares A exprcssão minimizada será Poderíamos também ter agrupado de outra maneira conforme mostra a figura 329 A expressão gerada Estas duas expressões aparentemente deferentes possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade fato este comprovado levantandose as respectivas tabelas da verdade Diagrama de VeitchKarnaugh para 4 Variáveis O diagrama para 4 variáveis é visto na figura 330 A figura 331 mostra as regiões assumidas pelas variáveis A B C e D Neste tipo de diagrama também temos uma região para cada caso da tabela da verdade como podemos verificar no diagrama completo figura 332 Vamos analisar a colocação de uma das possibilidades Como exemplo o caso 8 Da intersecção dessas regiões obtemos a região que é o caso 8 Para esclarecermos melhor a colocação do diagrama e analisarmos outros casos vamos transpor para o mesmo a tabela 311 Expressão de S extraída da tabela da verdade Transpondo a tabela para o diagrama temos Para efetuarmos a simplificação seguimos o mesmo processo para os diagramas de 3 variáveis somente que neste caso o principal agrupamento será a oitava Devemos ressaltar aqui que no diagrama os lados extremos opostos se comunicam ou seja podemos formar oitavas quadras e pares com os temos localizados nos lados extremos apostos Vamos como exemplo verificar alguns desses casos no diagrama a Exemplos de pares b Exemplos de quadras c Exemplos de oitavas Somando as expressões teremos a expressão final minimizada Como outro exemplo vamos minimizar o circuito que executa a tabela Transpondo a tabela da verdade para o diagrama temos No diagrama temos 2 quadras 1 par e 1 termo isolado A expressão minimizada de S será a soma de todos esses agrupamentos Exercícios Resolvidos 1 Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir utilizando os diagramas de VeitchKamaugh Transpondo para o diagrama e agrupando temos Figura 342 S A C A B C c A B C D S 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tabela 315 Transpondo da tabela para o diagrama temos Figura 343 Agrupando o diagrama temos Figura 344 A expressão minimizada será S A B BC D d A B C D S 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Tabela 316 parte A B C D S 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Figura 345 Podemos agrupar da seguinte maneira Figura 346 Neste diagrama temos 5 pares gerando a expressão S ĀĆD ĀBD ĀBD ACD A BC Também podemos agrupar desta outra maneira Figura 347 Da mesma forma gerando a expressão S ĀBC ĀBD BCD ACD A BC Podemos notar que simplificamos a expressão S por dois modos de agrupamentos obtendo dois resultados aparentemente diferentes Se analisarmos esses resultados nas respectivas tabelas da verdade veremos que terão o mesmo comportamento Expressão simplificada de S S ĀĆD ĀBD ĀBD ACD A BC ou S ĀBC ĀBD BCD ACD A BC 2 Minimize as expressões a seguir utilizando os diugramus de VeitchKamaugh Agrupando os termos no diagrama temos quadra BD Figura 351 A expressão simplificada será S ABD ĆD BD c S ĀBC D ĀBCD ĀBCD ĀBCD ĀBCD ĀBCD ABCD ABCD ABCD Passando a expressão para o diagrama temos Figura 352 Diagrama para 5 Variáveis O diagrama de VeitchKarnaugh para simplificar expressões com 5 variaveis de entrada é visto na figura 354 Vamos verificar algumas das regiões deste diagrama De forma análoga o diagrama possui as regiões relativas às variáveis opostas às mostradas ou seja Todas estas regiões denominamse hexas A colocação de uma condição neste diagrama fazse de maneira análoga às anteriores Vamos verificar a região onde Então Para efetuarmos a simplificação num diagrama de 5 variáveis devemos tentar primeiramente em hcxas em seguida em oitavas em quadras em pares e por último em termos isolados Para visualizarmos melhor as hexas oitavas quadras e pares devemos enxergar o diagrama da esquerda sobreposto ao da direita conforme mostra a figura 361 Podemos visualizar por exemplo que o par a oitava e a quadra formamse nos dois planos Vamos agora fazer a transposição e a simplificação da tabela 317 para melhor entendimento destes conceitos Transpondo para o diagrama temos Figura 362 Resumindo os agrupamentos obtidos temos 2 quadras C D E A B C 5 pares ĀBDE ĀBCD ĀBDĒ ĀBDE ACDE A expressão minimizada será S C D E ABC ĀBDE ĀBCD ĀBDĒ ĀBDE ACDE Exercício Resolvido Simplifique a expressão da tabela 318 Numerando os casos das 32 possibilidades das 5 variáveis de 0 a 31 obtemos a localização no diagrama vista na figura 363 Colocando os casos no diagrama temos Os agrupamentos para obtenção da expressão final simplificada são vistos na figura 365 A expressão simplificada será S B D C D E A B D A C D E Diagramas com Condições Irrelevantes Chamamos de condição irrelevante X a situação de entrada onde a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente Esta condição ocorre principalmente pela impossibilidade prática do caso de entrada acontecer para sua utilização em diagramas de VeitchKarnaugh devemos para cada condição irrelevante adorar 0 ou 1 dos dois aquele que possibilitar melhor agrupamento e conseqüentemente maior simplificação Para esclarecer este processo vamos utilizar a tabela 319 Transpondo esta tabela para o diagrama temos O símbolo X indica que neste caso a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente pois ou a situação de entrada é impossível de acontecer ou ainda possibilita qualquer dos 2 valores na saída Para fins de simplificação devemos adorar X 1 pois assim sendo agrupamos uma quadra ao invés de 2 pares no caso de X 0 representando uma maior simplificação da expressão de saída Convém ressaltar que em uma tabela da verdade podemos ter varias condições irrelevantes que devem ser consideradas independentemente conforme agrupamento em que se encontram Para exemplificar vamos simplificar a expressão extraída da tabela 320 Passando para o diagrama de 4 variáveis temos O próximo passo é agrupar as regiões que valem 1 utilizando a condição irrelevante X para completar o agrupamento Convém lembrar que para maior simplificação devemos ter um número mínimo de agrupamentos cada um deles porém com o maior número de células possível Assim sendo temos A expressão composta por 2 quadras e um par Exercícios Resolvidos 2 Simplifique a expressão representativa da tabela 322 Passando os valores da tabela para o diagrama temos É importante observar que se tivéssemos agrupado precipitadamente ao inicio do exercício a quadra geraríamos erradamente um termo a mais na expressão final Para melhor condução do processo de agrupamento devemos iniciar sempre pelos agrupamentos obrigatórios e bem definidos Casos que não Admitem Simplificação Vamos efetuar uma análise das expressões representativas das funções OU Exclusivo e Coincidência A figura 372 mostra a colocação destas expressões nos diagramas no caso de 2 variáveis Pela figura notamos que as expressões encontramse na forma de máxima simplificação não havendo outra possibilidade pois em cada diagrama temos 2 termos isolados que são as próprias expressões de entrada No caso de utilizarmos 3 variáveis as expressões são respectivamente Para levantarmos suas tabelas da verdade devemos tomar as variáveis de 2 em 2 ou seja efetuar primeiro as operações entre 2 das variáveis e com o resultado obtido efetuar a operação com a terceira variável Esse processo se deve ao fato de as funções OU Exclusivo e Coincidência não serem válidas para mais de 2 variáveis de entrada podendo ser aplicado tomando pimeiramente 2 quaisquer das 3 variáveis da expressão indiferentemente As tabelas 323 e 324 mostram os resultados das operações em todas as possibilidades A B C A B C A B C A C B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Tabela 323 A B C A B C A B C A C B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Tabela 324 Passando a coluna S iguais em todos os casos para o diagrama temos B B A 0 1 0 1 A C C C Figura 373 Da mesma forma temos apenas termos isolados não havendo possibilidade de simplificação Extraindo a expressão da tabela inicial ou do diagrama temos Evidenciando temos Substituindose os parênteses respectivamente por Como reescrevemos Chamando temos Substituindo X temos Inicialmente se tivéssemos evidenciado outras variáveis teríamos outras ordens no resultado de conformidade com as tabelas levantadas Ainda se tivéssemos substituído obteríamos que analogamente conforme as tabelas é equivalente a Se estendermos o estudo para mais variáveis obteremos Para 4 variáveis S A B t C D De posse do resultados concluímos que para um número de par de variáveis temos a função OU Exclusivo como sendo o complemento da função Coincidência e para um numero impar de variáveis temos a função OU Exclusivo como sendo igual à função Coincidência Agrupamentos de Zeros Podemos alternativamente agrupar as células que valem 0 para obtermos a expressão simplificada em diagramas de VeitchKarnaugh porém com esta prática obtemos o complemento da função ou seja a saída Para ilustrar esta situação vamos simplificar a expressão da tabela 325 Passando para o diagrama e efetuando o agrupamento temos Pela figura notamos que obtemos um par formado por zeros Conforme o exposto a expressão será Aplicando o teorema De Morgan a esta Convém observar que a mesma expressão seria obtida resultado dos agrupamentos de 2 quadras se houvéssemos utilizado o procedimento convencional anteriormente visto Outra Forma de Apresentacão do Diagrama de Veitch Karnaugh Ao invés de representarmos o diagrama dividindoo em regiões como visto até aqui podemos representálo de uma forma análoga conforme a figura 375 Pela figura podemos notar que os diagramas são semelhantes possuindo apenas a identificação das regiões pelo valor assumido pela variável Tanto a colocação dos casos bem corno os agrupamentos obtidos se fazem de maneira análoga levando aos mesmos resultados A figura 376 apresenta os dois estilos dos diagramas de quatro variáveis sobrepostos onde se observam claramente os níveis assumidos pelas variáveis idênticos para ambos os mapas Exercícios Propostos 3101 Simplifique cada expressão utilizando a Álgebra de Boole a S ABC ABC ABC ABC ABC b S ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 3102 Simplifique utilizando a Álgebra de Boole S B C DA B C C ABC BA C 3103 Idem para a expressão S ABC D AB C CD ABC AB 3104 Idem para a expressão S A B BCDD BC DA B AD 3105 Idem para a expressão S B CD D ACA B C BC ABC ACA B 3106 Desenhe o circuito que executa a expressão simplificado S B DB C D ABC BC A BC D 3107 Simplifique através da Álgebra de Boole S AB CD ADBC D AB C ABC A 3108 Demonstre que A B C A B C 3109 Através dos diagramas de VeitchKarnaugh determine a expressão simplificada de S1 e S2 da tabela 326 A B S1 S2 00 1 1 01 0 1 10 1 0 11 1 0 Tabela 326 31010 Simplifique as expressões de S1 S2 S3 e S4 da tabela 327 utilizando os mapas de VeitchKarnaugh A B C S1 S2 S3 S4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Tabela 327 31011 Idem ao anterior para a tabela 328 A B C D S1 S2 S3 S4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Tabela 328 31012 Simplifique as expressões utilizando diagramas de VeitchKarnaugh a S ABC ABC ABC ABC ABC b S ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD c S BD A ABCD ABCD AC d S ABC AB ABCD BD CD BCD ABCD 31013 Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela 329 A B C D E S1 S2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Tabela 329 parte A B C D E S1 S2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Tabela 329 31014 Simplifique as expressões de S1 e S2 da tabela 330 A B C S1 S2 0 0 0 X 1 0 0 1 0 X 0 1 0 1 0 0 1 1 X 0 1 0 1 X 1 1 0 X X 1 1 1 1 X Tabela 330 31015 Determine as expressões simplificadas de S1 S2 S3 e S4 da tabela 331 A B C D S1 S2 S3 S4 0 0 0 0 1 X 0 X 0 0 0 1 X X 0 0 0 0 1 X 1 0 X 0 1 1 0 X 0 1 1 0 0 1 1 X X 1 0 1 1 X 1 0 1 1 1 0 X 1 1 0 0 X 1 X 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 X 1 1 1 1 1 0 1 X Tabela 331 31016 Desenhe os circuitos minimizados que executam as saídas S1 e S2 da tabela da verdade A B C D E S1 S2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 X 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 X 0 0 1 0 0 1 X 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 X 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 X 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 X 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 X 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 X 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 X 1 1 1 1 1 1 X Tabela 332 31017 Obtenha a expressão simplificada S A B B BC ABC B A D BC BD ABD 31018 Prove que A B C D A B C D RESPOSTAS 3101 a S AC B b S AB CD 3102 S C A B 3103 S CD AB AD AC 3104 S AD ABC ABD 3105 S B AC 3106 image of logic gate Figura A15 3107 S ACD 3108 S A B C S Ā B C A B C S Ā B C A B C S A B C 3109 S1 A B S2 Ā 31010 S1 BC AC AB S3 BC AC S2 B C S4 ĀBC AC AB BC 31011 S1 B CD CD S3 ĀBD BCD BCD S2 ĀD BD ABC S4 ĀBC ĀCD ABC ACD 31012 a S AB AC AB c S Ā B b S BCD ACD BCD ABC d S BC AC BD BC 31013 S1 CE ABC BCD ĀBCD BCDE S2 C Ē A BD 31014 S1 A B S2 ĀB AC 31015 S1 B D S3 BD ABC ABC Ā BCD S2 BD AC BD S4 BC AD CD AB 31016 Circuit diagram with inputs C D E for S1 inputs A B C E for S2 Figura A16 31017 S ĀB BD 31018 A B C D A B C D A B C D 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Tabela A10