Gráficos Representativos de Variáveis Qualitativas

21 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo ESTATÍSTICA GRÁFICA Gráficos para as variáveis Qualitativas A representação gráfica da distribuição de uma variável tem a vantagem de rápida e concisamente informar sobre sua variabilidade Existem vários tipos de gráficos para as variáveis Qualitativas Aqui serão ilustrados três deles Gráficos em Barras o de Composição em Setores Pizza e o Gráfico de Pareto Gráfico em Barras O gráfico em Barras consiste em construir retângulos ou barras em que uma das dimensões é proporcional à magnitude a ser representada ni sendo a outra arbitrária porém igual para todas as barras Essas barras são dispostas paralelamente umas às outras horizontalmente ou verticalmente No exemplo a seguir temos o gráfico em barras verticais para a variável Grau de Instrução 22 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Gráfico de Composição em Setores Pizza O gráfico de composição em setores pizza destinase a representar a composição usualmente em porcentagem de partes de um todo Consiste num círculo de raio arbitrário representando o todo dividido em setores que correspondem às partes de maneira proporcional Para o exemplo usando a tabela anterior temos o seguinte gráfico Gráfico de Pareto O gráfico de Pareto é um gráfico de barras representando a frequência absoluta com um gráfico de linha representando a porcentagem acumulada Ele exibe a frequência absoluta e a porcentagem acumulada no eixo vertical e as categorias da classificação no eixo horizontal Organizamos sempre as categorias em ordem decrescente da frequência de ocorrência isto é a de maior frequência absoluta fica à esquerda seguida pela segunda de maior frequência e assim por diante 23 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O gráfico anterior é um Gráfico de Pareto para a produção de aviões de transporte da Boeing Commercial Airplane Company no ano de 2000 Note que o 737 foi o modelo mais popular seguido pelos 777 757 767 717 747 MD11 e o MD90 A linha no gráfico de Pareto conecta as porcentagens acumuladas dos k modelos produzidos com maior frequência k 1 2 3 4 5 Nesse exemplo os dois modelos produzidos com maior frequência respondem aproximadamente 69 do total dos aviões produzidos em 2000 Curiosidade O gráfico de Pareto tem esse nome em homenagem ao economista italiano Vilfredo Pareto que estabeleceu a teoria de que em certas economias a maior parte da riqueza 80 pertence à minoria da população 20 Gráficos para as variáveis Qualitativas Gráfico em Barras O gráfico em Barras para as variáveis quantitativas é construído da mesma forma ao das variáveis qualitativas Como ilustração considere a variável Número de Filhos dos empregados casados da seção de orçamentos da Companhia MB 24 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Gráfico de Pontos ou Gráfico de Dispersão Unidimensional ou DotPlot Quando os dados consistem em um pequeno conjunto de números estes podem ser representados traçandose uma reta com uma escala que abranja todas as mensurações observadas e grafandose as respectivas frequências como pontos acima da reta Por esse motivo é também conhecido como gráfico de pontos Exemplos Considere a variável tempo em segundos entre carros que passam por um cruzamento viajando na mesma direção 6 3 5 6 4 3 5 4 6 3 4 5 2 10 Histograma O Histograma é utilizado para representar a distribuição de frequência É um gráfico de barras contíguas com bases proporcionais aos intervalos de classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência relativa Indicaremos a amplitude do iésimo intervalo por ai Para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a fi a sua altura deve ser proporcional a di fiai que é chamada de densidade de frequência da iésima classe Quanto mais dados tivermos em cada classe mais alto deve ser o retângulo Com essa convenção a área total do histograma será 1 um Considerando a variável Salário dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB onde temos os seguintes dados 25 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Gráfico em Linhas ou Gráfico Temporal É um gráfico utilizado para repre sentar observações feitas ao longo do tempo em intervalos iguais ou não Tais conjuntos de dados constituem as chama das séries históricas ou séries temporais Traduzem o compor tamento de um fenô meno em certo inter valo de tempo 26 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo RamoeFolhas Suponha que os dados sejam representados por x1 x2 xn e que cada número xi consista em pelo menos dois dígitos Para construir um diagrama ramoefolhas dividimos cada número xi em duas partes um ramo que consiste em um ou mais dos dígitos líderes e uma folha que consiste nos dígitos restantes Por exemplo se os dados representam porcentagens de defeitos valores entre 0 e 100 em lotes de placas de semicondutores então poderíamos dividir o valor 76 no ramo 7 e na folha 6 Em geral devemos escolher poucos ramos em comparação com o número de observações Usualmente é utilizado entre 5 e 20 ramos Uma vez escolhido um conjunto de ramos eles são listados ao longo da margem esquerda do diagrama e ao lado de cada ramo são listadas todas as folhas que correspondem aos valores dos dados observados 27 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo A inspeção dessa representação revela imediatamente que a maioria das forças de ruptura fica entre 220 e 308 psi e que o valor central está em algum ponto entre 260 e 270 psi Além disso as forças de ruptura estão distribuídas de maneira aproximadamente simétrica em torno do valor central Assim o ramoefolhas como o histograma nos permite determinar rapidamente algumas características importantes dos dados que não eram tão imediatamente óbvias na apresentação original da Tabela 75 Note que aqui os números originais não se perdem como ocorre em um histograma Através do ramoefolhas podemos calcular qualquer medida de posição e dispersão Desenho Esquemático ou Diagrama de Caixas BoxPlot Representa os dados utilizando os três quartis Q1 Q2 ou mediana e Q3 o mínimo e o máximo em uma caixa retangular alinhada verticalmente A caixa inclui o intervalo interquartil para o cálculo das linhas extremas 28 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O diagrama de caixas ou desenho esquemático ou boxplot é útil na comparação de duas ou mais amostras Para ilustrar considere os dados da Tabela abaixo retirados de Hines et al 2006 que representam leituras de viscosidade em três misturas diferentes de uma matériaprima usada em uma linha de produção Um dos objetivos do estudo que Hines et al discutem é comparar as três misturas A figura a seguir apresenta os boxplot para os dados da viscosidade Essa apresentação permite uma interpretação fácil dos dados A mistura 1 tem viscosidade mais alta do que a mistura 2 e esta tem viscosidade mais alta que a mistura 3 A distribuição da viscosidade não é simétrica porque as linhas superior e inferior e os comprimentos das caixas superior e inferior em torno da linha mediana não são iguais O valor da viscosidade máxima da mistura 3 parece alta em comparação com os demais valores da mistura 3 e também é maior que os valores das demais misturas 1 e 2 Essa observação é um outlier e ela exige exame e análise mais aprofundados 29 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Estudo da relação entre variáveis O objetivo é investigar a presença ou ausência de relação linear sob três pontos de vista a Inspeção visual diagrama de dispersão b Quantificando a força dessa relação coeficiente de correlação c Explicitando a forma dessa relação ajuste de uma reta Exemplos 1 Idade e altura das crianças 2 Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco 3 Tempo de estudo e nota na prova 4 Taxa de desemprego e taxa de criminalidade 5 Expectativa de vida e taxa de analfabetismo Diagrama de Dispersão Utilizado para estudar a relação entre duas variáveis quantitativas fornecendo uma representação gráfica das duas variáveis Exemplos Nota na Prova e Tempo de Estudo X tempo de estudo em horas Y nota obtida na prova 30 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exemplos Estudo da Renda Bruta Mensal pela Porcentagem da Renda Bruta Anual gasta com Assistência Médica Numa pesquisa feita com 11 famílias com renda bruta mensal entre 10 e 60 salários mínimos mediramse X renda bruta mensal em salários mínimos Y porcentagem da renda bruta anual gasta com assistência médica Na figura acima temos o diagrama de dispersão de X Renda Bruta Mensal e Y Porcentagem da Renda Bruta Anual gasta com Assist Médica Podemos notar que conforme aumenta a renda bruta mensal a porcentagem da renda bruta anual gasta com assistência médica diminui Notase também uma tendência linear decrescente Fazendo apenas uma mudan ça na escala do eixo Y da figura acima obtemos a o gráfico ao lado que ilustra com maior clareza essa tendência linear decrescente 31 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Coeficiente de Correlação O coeficiente de correlação linear é definido como onde 𝑋 e 𝑌 são as médias amostrais das variáveis X e Y respectivamente 𝑆𝑋e 𝑆𝑌são os desvios padrão das variáveis X e Y respectivamente Recordando Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear O valor do coeficiente de correlação linear situa no intervalo 1 1 ou seja 1 𝑟 1 Classificação da Correlação 𝑟 1 indica correlação linear positiva e perfeita 𝑟 1 indica correlação linear negativa e perfeita 𝑟 0 indica inexistência de correlação linear 1 𝑟 0 indica correlação linear negativa 0 𝑟 1 indica correlação linear positiva Gráficos Exemplos da Classificação da Correlação 32 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O valor do coeficiente de correlação não depende da escala que medimos as variáveis Para as duas figuras abaixo o valor do coeficiente de correlação é r 046 O coeficiente de correlação linear mede apenas o grau de associação LINEAR 33 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O coeficiente de correlação linear é sensível a valores discrepantes Exemplo Considere o Estudo da Renda Bruta Mensal pela Porcentagem da Renda Bruta Anual gasta com Assistência Médica Obtenha o coeficiente de correlação com os dados da tabela página 30 𝑟 𝑋𝑖𝑌𝑖 𝑛 𝑋𝑌 𝑛 𝑖1 𝑛 1𝑆𝑋𝑆𝑌 21604 11 31636363 6454545 11 1463744 062348 09399564 Podemos observar uma correlação negativa entre a renda bruta mensal e a porcentagem da renda bruta anual gasta com assistência médica isto é quanto maior for a renda bruta mensal menor é a porcentagem de sua renda gasta com assistência médica Regressão Linear Simples Objetivo ajustar uma reta entre duas variáveis quantitativas Reta Ajustada A reta ajustada de duas variáveis quantitativas Y e X é dado por 𝑌 𝑎 𝑏𝑋 34 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Definição de a e b a intercepto b inclinação da reta Interpretação de b Para cada aumento de uma unidade em X temos um aumento médio de b unidades em Y Podemos calcular a e b utilizando o método de mínimos quadrados que visa encontrar os valores de a e b que minimiza a soma dos quadrados dos erros ou desvios O problema agora se restringe a encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis a e b Derivando e igualando a zero observamos que as soluções de a e b devem satisfazer Exemplo Consumo de cerveja e temperatura As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e socioeconômicas Y consumo de cerveja em um dia em 100 litros X temperatura máxima em ºC Os dados amostrais estão dispostos na Tabela abaixo A correlação entre X e Y é 𝑋 𝑆𝑋 𝑌 𝑆𝑌 𝑋𝑖𝑌𝑖 𝑛 𝑖1 35 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo A reta ajustada para este exemplo é Coeficiente de Determinação A quantidade r2 quadrado do coeficiente de correlação x 100 chamase coeficiente de determinação e é em geral usada para julgarse a adequação de um modelo de regressão Claramente 0 r2 100 Na prática nos referimos a r2 de modo mais informal como a quantidade de variabilidade nos dados explicada pelo ou devido ao modelo de regressão Exemplo Considere o estudo da renda bruta mensal pela porcentagem da renda bruta anual gasta com assistência médica onde o coeficiente de correlação deu aproximadamente 09399 como calculamos ateriormante logo o coeficiente de determinação será r2 8835 isto é 8835 da variabilidade nos dados é explicada pelo modelo de regressão y 77212 004x 36 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo 37 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercício 1 Considere o exemplo das variáveis Nota na Prova e Tempo de Estudo X tempo de estudo em horas Y nota obtida na prova a Obtenha o Coeficiente de Correlação b Calcule a Reta de Regressão e represente no Gráfico de Dispersão c Obtenha o coeficiente de determinação 2 É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade Para estudar essa relação uma nutricionista selecionou 18 mulheres com idade entre 40 e 79 anos e observou em cada uma delas a idade X e a massa muscular Y a Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y e interpreteo b Ajuste uma reta de regressão para mostrar a relação linear entre as variáveis Y massa muscular dependente e X idade independente e interprete os coeficientes 38 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo PROBABILIDADE Processo ou Experimento Aleatório DEFINIÇÃO Qualquer fenômeno que gere resultado incerto ou casual é chamado de Processo ou Experimento Aleatório Exemplos o Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida de caras e coroas o Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior o Peso de Animais o Número de filhos de um casal Espaço Amostral Ω DEFINIÇÃO Espaço amostral Ω é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório Exemplos Obtenha o espaço amostral dos seguintes experimentos o Jogar um dado e observar o resultado Ω 1 2 3 4 5 6 o Lançar uma moeda duas vezes e observar as faces obtidas o Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 brancas 3 bolas são retiradas ao acaso e as cores são anotadas o Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas o Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da 1ª cara o Uma máquina produz 20 peças por hora Ao final da primeira hora de produção observase o nº de defeituosas o Medição do tempo de vida de uma lâmpada antes de se queimar 39 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Evento DEFINIÇÃO Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral Exemplos o Alguns eventos do experimento 1 A 5 B 2 4 6 etc o Alguns eventos do experimento 2 Existem dois eventos especiais espaço todo Ω e o conjunto vazio Operações com Eventos Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral O evento interseção de A e B denotado A B é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente O evento união de A e B denotado A B é o evento em que A ocorre ou B ocorre ou ambos O evento complementar de A denotado Ac é o evento em que A não ocorre Exemplo Seja Ω 1 2 3 4 5 6 e considere os seguintes eventos A 2 4 6 B 4 5 6 e C 1 3 5 Faça as seguintes operações A B A C A B A Bc 40 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Eventos Disjuntos DEFINIÇÃO Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente A B Exemplo A o resultado do dado foi 4 e B o resultado do dado foi 5 A B Após essas quatro definições estamos preparados para calcular probabilidades 41 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios Considere o seguinte espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Defina os eventos A número par B número ímpar C múltiplo de 3 D maior ou igual a 6 E maior que 8 F menor que 5 G menor ou igual a 3 Obtenha os seguintes eventos a A B b A B c A Bc d A Bc e C D f E F g A Gc h Ec Bc 42 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE A área de Probabilidade começou a ser desenvolvida no século XVII antes ainda da formalização da área da Estatística em questões propostas em jogos de azar 1654 Pierre de Fermat 16011665 e Blaise Pascal 16231662 na França estabelecem os Princípios do Cálculo das Probabilidades 1656 Huygens 16291695 publica o primeiro Tratado de Probabilidade No entanto é fácil perceber que o termo probabilidade já está enraizado no senso comum pois as pessoas vivem o cotidiano calculando implicitamente algumas probabilidades tais como situações de sua vida pessoal organizandose em relações a horários a cumprir levando em conta as circunstâncias do tráfego agasalhandose ao sair de casa se a previsão do tempo indicar uma frente fria Em resumo prevenindose em situações de risco Como podemos definir Probabilidade Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento futuro Há várias maneiras de se medir a incerteza e é costume se pensar na seguinte divisão 1 Método Clássico 3 Método Subjetivo 2 Método Frequentista 4 Método Moderno ou Axiomático 43 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O primeiro é devido a Laplace e é o mais conhecido pois relaciona eventos favoráveis com eventos possíveis O segundo consiste em repetir um experimento várias vezes O terceiro é baseado na opinião pessoal e o último é devido a Kolmogorov e baseia se no princípio de que qualquer experimento pode ser modelado 1 Definição Clássica DEFINIÇÃO Dado um conjunto de N eventos equiprováveis a probabilidade de ocorrência de um determinado evento A é dado pela razão 𝑷𝑨 𝒏 𝑵 onde n é o número de elementos em A e N é o número de elementos em Ω Exemplo a Considere o lançamento de uma moeda equilibrada nesse caso o espaço amostral associado é Ω Cara Coroa Então pela definição clássica a probabilidade de ocorrência do evento cara é Pcara b População Residente em São João del Rei em 2006 Ω conjunto de 82952 habitantes residentes em São João del Rei em 2006 por faixa etária Possíveis eventos de interesse M Indivíduo sorteado é do sexo masculino F Indivíduo sorteado é do sexo feminino A Indivíduo sorteado tem mais que 80 anos B Indivíduo sorteado tem entre 15 e 29 anos M A Indivíduo sorteado é do sexo masculino e tem mais de 80 anos F B Indivíduo sorteado é do sexo feminino ou tem entre 15 e 29 anos Suponha que um indivíduo é escolhido aleatoriamente na cidade de São João del Rei em 2006 Determine a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos definidos 44 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo 2 Definição Frequentista DEFINIÇÃO A probabilidade de ocorrência de um determinado evento é igual à frequência relativa de ocorrência de tal evento quando o processo aleatório que o gerou for repetido infinitas vezes Exemplo Antes que a empresa farmacêutica possa trazer um novo medicamento para o mercado ele precisa fazer muitos testes A ideia por trás desses testes é avaliar a probabilidade de que este novo medicamento ajude um paciente com uma condição particular e também avaliar a probabilidade de ocorrências de efeitos colaterais 3 Definição Subjetiva DEFINIÇÃO Cada indivíduo baseado em informações anteriores e na sua opinião pessoal a respeito de um evento em questão pode ter uma resposta para a probabilidade desse evento Exemplo Um médico experiente consegue calcular uma probabilidade de o indivíduo ter uma determinada doença baseado nos sintomas que o indivíduo apresenta 4 Definição Moderna DEFINIÇÃO Probabilidade é uma função P que associa a cada evento do espaço amostral Ω um número real pertencente ao intervalo 0 1 satisfazendo os seguintes axiomas 1 0 𝑃𝐴 1 2 𝑃Ω 1 3 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos PAB PA PB Propriedades P1 P 0 onde é o conjunto vazio P2 Se Ac for o evento complementar de A então PAc 1 PA P3 Se A e B forem dois eventos quaisquer então PA B PA PB PA B P4 Se A B então PA PB 45 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Probabilidade Condicional A probabilidade condicional surge por exemplo quando se deseja calcular a probabilidade de um evento A ocorrer sabendo que um evento B já ocorreu Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço amostral Ω Denotase por PAB a probabilidade condicionada do evento A quando o evento B tiver ocorrido Sempre que calculamos PAB estamos essencialmente calculando PA em relação ao espaço amostral reduzido devido a B ter ocorrido em lugar de fazêlo em relação ao espaço amostral original Ω Assim uma definição mais formal de probabilidade condicional é dada pela definição a seguir DEFINIÇÃO Dados dois eventos A e B a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por PAB e definida por 𝑷𝑨𝑩 𝑷𝑨 𝑩 𝑷𝑩 𝑃𝐵 0 Da definição de probabilidade condicional obtemos a regra do produto de probabilidades 𝑷𝑨 𝑩 𝑷𝑩 𝑷𝑨𝑩 Exemplo Voltando ao Exemplo da População Residente em São João del Rei em 2006 temos Se soubermos que um indivíduo sorteado é do sexo masculino qual é a probabilidade de que ele tenha idade entre 30 e 39 anos B indivíduo é do sexo masculino e A tem idade entre 30 e 39 anos 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 6699 82952 40126 82952 6699 40126 0167 Independência de Eventos DEFINIÇÃO Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro isto é PAB PA ou PBA PB ou ainda a seguinte forma equivalente 𝑷𝑨 𝑩 𝑷𝑨 𝑷𝑩 46 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exemplo Joaninha tem probabilidade de 08 de passar no vestibular enquanto que Joãozinho tem probabilidade de 06 Qual a probabilidade dos dois passarem no vestibular Qual a suposição a ser feita nesse caso para calcular a probabilidade Sejam os eventos A Joaninha passa no vestibular e B Joãozinho passa no vestibular 𝑃𝐴 𝐵 08 86 048 Regra da Probabilidade Total Se A e B são eventos temos duas maneiras de A ocorrer ou A e B ocorrem A B ou A e Bc ocorrem A Bc Assim temos que A A B A Bc pela Regra da Soma temos PA PA B PA Bc e finalmente pela Regra do Produto temos 𝑷𝑨 𝑷𝑩 𝑷𝑨𝑩 𝑷𝑩𝑪 𝑷𝑨𝑩𝑪 Exemplo O Cruzeiro ganha com probabilidade 07 se chove e 08 se não chove Em maio a probabilidade de chuva é de 03 Qual a probabilidade de o Cruzeiro ganhar uma partida no mês de maio A Cruzeiro ganha B Chove Bc Não chove 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐴𝐵𝐶 03 07 07 08 077 47 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios 1 Em um centro de máquinas há quatro máquinas automáticas de parafusos Uma análise dos registros de inspeção passados fornece os seguintes dados As máquinas 2 e 4 são mais novas e assim a maior parte da produção foi atribuída a elas Suponha que o estoque atual reflita as porcentagens de produção indicadas Se um parafuso é selecionado aleatoriamente do estoque qual é a probabilidade de que seja defeituoso 2 Na Segunda Guerra Mundial houve um esforço de pesquisa operacional na Inglaterra direcionado a estabelecer padrões de busca de submarinos alemães pelas patrulhas aéreas Por algum tempo houve uma tendência em concentrar os voos em áreas próximas à costa uma vez que se acreditava que mais avistamentos tinham ocorrido ali O grupo de pesquisa estudou os registros de 1000 patrulhas obtendo os seguintes resultados os dados são fictícios a Dado que a patrulha estava próxima à costa qual a probabilidade de que houve avistamento b Dado que a patrulha estava em altomar qual a probabilidade de que houve avistamento c Os resultados de a e b indicam uma estratégia de busca contrária à prática anterior 3 O campo da Engenharia da confiabilidade se desenvolveu rapidamente a partir do início da década de 1960 Um tipo de problema encontrado é o de se estimar a confiabilidade de um sistema a partir das confiabilidades dos subsistemas A confiabilidade é definida aqui como a probabilidade do funcionamento apropriado durante um certo período de tempo Considere a estrutura de um sistema em série simples como o da figura a seguir 48 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo O sistema funciona se e somente se o subsistema 1 e o subsistema 2 funcionarem Se os subsistemas sobrevivem independentemente a confiabilidade do subsistema 1 é de 090 e do subsistema 2 é de 080 qual é a confiabilidade do sistema