Introdução à Estatística e Probabilidade - Exercícios

1 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA O que é Estatística Estatística é uma ciência que nos permite coletar organizar descrever analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos realizados em qualquer área do conhecimento Estamos denominando por dados a um ou mais conjunto de valores numéricos ou não A aplicabilidade das técnicas a serem discutidas se dá nas mais variadas áreas das atividades humanas Assim o principal objetivo da Estatística é nos auxiliar a tomar decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza a partir de informações numéricas Estatística na prática População é o conjunto de todos os elementos que nos interessa estudar Deve ser notado que na terminologia estatística população referese não somente a uma coleção de indivíduos mas ao alvo no qual reside nosso interesse Exemplos todos os clientes de um banco todos os alunos de uma faculdade todos os automóveis da Ford todo o sangue no corpo de uma pessoa etc Técnicas de Amostragem ferramentas que nos auxiliam a coletar amostras Planejamento de Experimentos cria esquemas e teorias para verificação de hipóteses científicas Amostra é qualquer subconjunto da população Análise Descritiva Conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de tirarmos conclusões a respeito de características de interesse Probabilidade Teoria utilizada para se estudar a incerteza associada a fenômenos aleatórios Inferência Estatística Técnicas que possibilitam a extrapolação a um grande conjunto de dados população das informações e conclusões obtidas a partir de um subconjunto de valores amostra 2 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios Para as situações descritas a seguir identifique a população e a amostra correspondente a Para avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação no Estado de Minas Gerais 200 mães de recémnascidos durante o primeiro semestre de um dado ano em uma dada maternidade em Belo Horizonte foram perguntadas a respeito da última vez que vacinaram seus filhos População Amostra b Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de anemia População Amostra c Para verificar a audiência de um programa de TV 563 indivíduos foram entrevistados por telefone com relação ao canal em que estavam sintonizados População Amostra 3 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo VARIÁVEIS DEFINIÇÃO Qualquer característica associada a uma população é chamada de variável Porque o nome variável Porque ela varia de alguma forma Exemplos Idade pode variar de 0 1 2 anos Sexo pode ser masculino ou feminino Estado Civil pode ser solteiro casado divorciado etc Classificação das Variáveis As variáveis podem ser classificadas como Qualitativas ou Quantitativas Algumas variáveis como sexo grau de instrução estado civil região de procedência apresentam como possíveis resultados uma qualidade ou atributo do indivíduo pesquisado logo estas variáveis são chamadas de variáveis Qualitativas As variáveis como número de filhos salário idade apresentam como possíveis resultados números resultantes de uma contagem ou mensuração logo estas variáveis são chamadas de variáveis Quantitativas Exemplo Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos socioeconômicos dos empregados da seção de orçamentos de uma empresa Usando informações obtidas do departamento pessoal ele elaborou a Tabela 21 Dentre as variáveis Qualitativas ainda podemos fazer uma distinção entre dois tipos Variável Qualitativa Nominal para a qual não existe nenhuma ordenação nos possíveis resultados Exemplo Região de Procedência etc Variável Qualitativa Ordinal para a qual existe uma ordem natural nos seus resultados 4 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exemplo Grau de instrução etc As variáveis Quantitativas também podem sofrer uma classificação dicotômica Variável Quantitativa Discreta cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números e que resultam frequentemente de uma contagem Exemplo Nº de Filhos etc Variável Quantitativa Contínua cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais e que resultam de uma mensuração Exemplo Salário etc Resumindo Como as variáveis são classificadas e outros exemplos Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para resumir as informações dos dados obtidos da amostra Por exemplo a utilização de uma tabela é uma forma de escrever os dados de uma forma resumida Em algumas situações podemse atribuir valores numéricos às várias qualidades ou atributos de uma variável qualitativa e depois se proceder à análise como se esta fosse quantitativa desde que o procedimento seja passível de interpretação Existe um tipo de variável qualitativa para a qual essa quantificação é muito útil a chamada variável dicotômica Para essa variável podem ocorrer somente duas realizações usualmente chamadas de sucesso e fracasso Exemplos Sexo Masculino ou Feminino Hábito de Fumar Sim ou Não etc 5 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios Um questionário foi aplicado aos alunos do primeiro ano de uma escola fornecendo as seguintes informações ID Turma Sexo Idade Alt Peso Filh Fuma Toler Exer Cine OpCine TV OpTV Identificação do aluno Turma a que o aluno foi alocado A ou B Feminino F ou Masculino M Idade Altura Peso Número de filhos na família Hábito de fumar sim ou não Tolerância ao cigarro I Indiferente P Incomoda Pouco e M Incomoda Muito Horas de atividade física por semana Número de vezes que vai ao cinema por semana Opinião a respeito das salas de cinema na cidade B regular a boa e M muito boa Horas gastas assistindo TV por semana Opinião da programação na TV R Ruim M Média B Boa e N não sabe Classifique as variáveis da Tabela 22 como Variável Qualitativa Nominal Variável Qualitativa Ordinal Variável Quantitativa Discreta Variável Quantitativa Contínua 6 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo AMOSTRAGEM A amostragem é naturalmente usada em nossa vida diária Por exemplo para verificar o tempero de um alimento em preparação podemos provar observar uma pequena porção deste alimento Estamos fazendo uma amostragem ou seja extraindo do todo população uma parte amostra com propósito de avaliarmos sobre a qualidade do tempero de todo o alimento Por que fazer Amostragem Existem várias razões para o uso de amostragem em levantamento de grandes populações Algumas delas são Economia Em geral tornase bem mais econômico o levantamento de somente uma parte da população Tempo Numa pesquisa eleitoral a três dias de uma eleição presidencial não haveria tempo suficiente para pesquisar toda a população de eleitores do país Operacionalidade É mais fácil realizar operações de pequena escala Um dos problemas típicos nos grandes censos é o controle dos entrevistadores Quando o uso de amostragem não é interessante População pequena Não há necessidade de utilizar técnicas estatísticas pois neste caso é aconselhável realizar o censo análise de toda a população Característica de fácil mensuração Talvez a população não seja tão pequena mas a variável que se quer observar é de tão fácil mensuração que não compensa investir num plano de amostragem Por exemplo para verificar a porcentagem de funcionários favoráveis à mudança no horário de um turno de trabalho podemos entrevistar toda a população no próprio local de trabalho Esta atitude pode ser politicamente mais recomendável Necessidade de alta precisão A cada dez anos o IBGE realiza um Censo Demográfico para estudar diversas característica da população brasileira Dentre estas características temse o número total de habitantes que é fundamental para o planejamento do país Desta forma o número de habitantes precisa ser avaliado com grande precisão e por isto se pesquisa toda a população Tipos de Amostragem 1 Amostragem Aleatória Simples AAS A técnica de Amostragem Aleatória Simples ou Amostragem Casual Simples é o método mais simples e um dos mais importantes para a seleção de uma amostra Para a seleção de uma AAS precisamos ter uma lista completa dos elementos da população Este tipo de amostragem consiste em selecionar a amostra através de um sorteio Sua principal 7 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo característica está no fato de todos os elementos da população ter igual probabilidade de serem escolhidos Procedimento para o uso deste método 1 Numerar todos os elementos da população N elementos 2 Efetuar sucessivos sorteios até completar o tamanho da amostra n Para realizar este sorteio podemos utilizar urnas tabelas de números aleatórios ou algum software que gere números aleatórios A Tabela abaixo foi feita usando o Excel Exemplo Estamos interessados em estudar a qualidade da gasolina nos postos de uma determinada cidade Essa cidade possui N 40 postos A empresa que estudará a qualidade pode investigar apenas uma amostra de n 4 postos Para selecionarmos uma amostra utilizando a amostragem casual simples basta escolhermos uma posição de qualquer linha da tabela de números aleatórios e extrairmos conjuntos de dois algarismos pois N que é o tamanho da população possui 2 casas decimais até completarmos os 4 elementos da amostra Se o número sorteado não existir simplesmente não consideramos e prosseguimos o processo Escolhendo a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios temos a seguinte amostra de 4 elementos 09 26 29 11 8 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercício Considere agora uma população com 500 elementos e desejase retirar dessa população 10 elementos Obtenha uma AAS utilizando a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios 2 Amostragem Sistemática AS É utilizada quando a população está naturalmente ordenada como listas telefônicas fichas de cadastramento produção de garrafas da cervejas etc Procedimento para o uso deste método 1 Seja N o tamanho da população e n o tamanho amostral Calculase o intervalo da amostragem 𝑖 𝑁 𝑛 considerase apenas a parte inteira do número 2 Sorteiase utilizando a tabela de números aleatórios um número x entre 1 e i formando a amostra x x i x 2i x n 1i Exemplo Numa turma com N 36 alunos desejase retirar uma amostra de n 5 elementos para verificar uma característica de interesse Utilize a técnica de amostragem sistemática para retirar essa amostra 1 Calcular 𝒊 𝑵 𝒏 𝟑𝟔 𝟓 72 Considerando a parte inteira do número temos que i 7 2 Sortear um número entre 1 e 7 da Tabela de Números Aleatórios Escolhendo a última linha e a primeira coluna temos que o primeiro número que está entre 1 e 7 é 6 Logo a amostra será composta dos elementos 06 13 20 27 34 Exercício Considere agora uma população com 500 elementos e desejase retirar dessa população 10 elementos Obtenha uma AS utilizando a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios quando for necessário 3 Amostragem Estratificada AE A população é dividida em subgrupos denominados estratos por exemplo por sexo renda bairro etc e a AAS é utilizada na seleção de uma amostra de cada estrato Esses estratos devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda com respeito às variáveis em estudo Aqui um conhecimento prévio sobre a população em estudo é fundamental 9 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo A AE tem as seguintes características o dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade pequena variabilidade o entre os estratos há uma grande heterogeneidade grande variabilidade Em geral utilizase a AE proporcional Neste caso a proporcionalidade do tamanho da amostra de cada estrato da população é mantida na amostra Por exemplo se um estrato corresponde a 20 do tamanho da população ele também deve corresponder a 20 da amostra Exemplo Com o objetivo de realizar uma pesquisa de opinião sobre a gestão atual da reitoria em uma determinada universidade realizaremos um levantamento por amostragem A população é composta por 100 professores 100 servidores técnicos administrativos e 300 alunos que identificaremos da seguinte forma Supondo que a opinião sobre a gestão atual da reitoria possa ser relativamente homogênea dentro de cada categoria realizaremos uma amostragem estratificada proporcional por categoria para obter uma amostra global de tamanho n 10 A tabela a seguir mostra as relações de proporcionalidade Para selecionar aleatoriamente dois professores podemos usar a Tabela de Números Aleatórios tomando dois números com três algarismos Usando por exemplo a primeira 10 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo linha da tabela de números aleatórios temos os seguintes professores selecionados P045 P020 Para os servidores usando a segunda linha da tabela temos S055 S058 Usando a terceira linha da tabela temos a seguinte amostra de alunos A050 A136 A270 A152 A247 A004 A amostra P045 P020 S055 S058 A050 A136 A270 A152 A247 A004 é uma amostra estratificada proporcional da comunidade da universidade Cada indivíduo desta amostra deverá ser pesquisado para se obter a opinião em relação à gestão atual da reitoria 4 Amostragem por Conglomerado AC A população é dividida em subpopulações conglomerados distintas quarteirões residências famílias bairros etc Alguns dos conglomerados são selecionados segundo a AAS e todos os indivíduos nos conglomerados selecionados são observados Em geral é menos eficiente que a AAS ou AE mas por outro lado é bem mais econômica Tal procedimento amostral é adequado quando é possível dividir a população em um grande número de pequenas subpopulações A AC tem as seguintes características o dentro de cada conglomerado há uma grande heterogeneidade grande variabilidade o entre os conglomerados há uma pequena variabilidade grande homogeneidade Exemplo Realização de uma pesquisa eleitoral em uma cidade com 12 zonas eleitorais Usando a técnica de amostragem por conglomerados podemos selecionar aleatoriamente 2 zonas eleitorais e em seguida entrevistar todos os eleitores dessas zonas selecionadas OBSERVAÇÃO É fácil confundir amostragem estratificada com amostragem por conglomerado porque ambas envolvem a formação de subgrupos A diferença é que a amostragem por conglomerado usa todos os membros de uma amostra de conglomerados enquanto a amostragem estratificada usa uma amostra de membros de todos os estratos 11 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios 1 Um administrador especialista em avaliar através de sistemas informatizados as ações da BOVESPA está interessado em fazer uma pesquisa nos preços das ações para indicar aos seus clientes se hoje é um dia favorável a fazer investimentos Ele sabe que existe N 500 ações em venda Como o tempo de estudo de cada ação é de aproximadamente 10 minutos decidiuse verificar apenas n 25 ações Utilizando as técnicas de amostragem aleatória simples quais ações serão selecionadas Use a primeira linha da tabela de números aleatórios 2 Um gerente de controle de qualidade estudará fontes de computador que passam numa esteira transportadora dentro da empresa onde trabalha Sabendo que por dia passam N 85 fontes e na amostra deverá ter n 10 fontes quais serão as fontes selecionadas utilizando a técnica de amostragem sistemática Quando for necessário utilizar a Tabela de Números Aleatórios utilize a primeira linha 3 Num depósito em uma determinada empresa produtora de materiais eletrônicos possui N 100 computadores que estão separados em duas qualidades N1 40 computadores Pentium 3 e N2 60 computadores Pentium 4 O custo para verificar se cada computador está sob controle é muito alto O administrador responsável disse que a empresa tem condições de verificar apenas n 12 computadores Utilizando a técnica de amostragem estratificada proporcional quais computadores serão selecionados Quando for necessário utilizar a Tabela de Números Aleatórios utilize a primeira linha 12 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo MEDIDAS DE POSIÇÃO 1 Mínimo e Máximo DEFINIÇÃO O mínimo é a menor observação do conjunto de dados enquanto que o máximo é a maior observação Exemplo Considere o seguinte conjunto de dados 4 5 4 6 5 8 4 Logo Min e Max 2 Moda DEFINIÇÃO Valor ou atributo que ocorre com maior frequência Exemplo a 2 5 2 7 8 Moda b 3 4 2 2 4 5 Moda e Conjunto c 1 2 3 4 5 Moda não tem Conjunto Moda para dados agrupados em Tabelas de Frequências Exemplo Uma empresa de segurança deseja estudar qual o número de ligações a cobrar mais frequentes que são recebidas em um determinado bairro de classe alta da cidade de São Paulo no mês de março Foram selecionadas 30 residências e observadas 10 ligações em cada residência O resultado foi Moda Interpretação ligações a cobrar foi o que ocorreu com maior frequência 13 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo 3 Média DEFINIÇÃO Valor que representa o centro do conjunto de dados Considere n observações de um conjunto de dados representados por x1 x2 xn A média desse conjunto é obtida pela soma das n observações dividido por n ou seja 𝒙 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝒏 𝒏 𝒙𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 Exemplo Considere o seguinte conjunto de notas 2 5 3 7 8 A média das notas é Média para dados agrupados em Tabelas de Frequências Exemplo Considere novamente o exemplo da empresa de segurança mas suponha que o interesse seja estudar o número médio de ligações a cobrar recebido em um determinado bairro de classe alta da cidade de São Paulo no mês de março Nesse caso a média é calculada levando em conta as frequências de cada valor da variável da seguinte forma 𝒙 𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 onde 𝒙𝒊 é a quantidade de resultados que a variável contém e 𝒏𝒊 a respectiva frequência da iésima classe Assim para o exemplo temos 𝒙 𝒙𝒊𝒏𝒊 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 𝟎𝟐𝟏𝟓𝟐𝟏𝟓𝟑𝟖 𝟑𝟎 14 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Logo o número médio de ligações a cobrar recebido em um determinado bairro de classe alta da cidade de São Paulo no mês de março é 4 Mediana É o valor que divide os dados isto é metade dos dados será maior ou igual que a mediana e metade será menor ou igual Exemplo Considere a seguinte série de valores 5 2 6 13 9 15 10 De acordo com a definição de mediana o primeiro passo a ser dado é ordenar o conjunto de valores 2 5 6 9 10 13 15 O valor que divide a série em duas partes iguais é 9 Logo a mediana é 9 Método prático para o cálculo da Mediana para dados em Rol 1 Ordenar os valores do menor para o maior isto é 𝑥1 𝑥𝑛 onde 𝑥1é o mínimo e 𝑥𝑛 é o máximo 2 Calcular em que posição estará a mediana nos dados ordenados através da fórmula 𝑝 𝑛 1 2 3 O valor da mediana será a Se p for um número inteiro então a mediana será o valor que está na posição p nos dados ordenados isto é Mediana 𝑥𝑝 b Se p não for inteiro considere 𝒑 e 𝒑 os inteiros imediatamente abaixo e acima de p respectivamente A mediana será a média dos valores que estão nas posições 𝒑 e 𝒑 nos dados ordenados ou seja Mediana 𝑥𝑝 𝑥𝑝 2 Exemplo Calcule a mediana da seguinte série de dados 1 3 0 0 2 4 1 2 5 1º ordenar a série n Logo p n 12 é dado por p 1 2 5 ou seja o 5º elemento da série ordenada será a mediana Assim mediana 15 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exemplo Calcule a mediana da seguinte série de dados 1 3 0 0 2 4 1 3 5 6 1º ordenar a série n p n 12 é dado por p 1 2 55 logo 𝒑 5 e 𝒑 6 ou seja o 5º e o 6º elementos da série ordenada que representam os seguintes valores e respectivamente Pela definição a mediana será a média aritmética do 5º e 6º termos da série ou seja Mediana Mediana para dados agrupados em Tabelas de Freqüências Nesse caso utilizamos a frequência acumulada para identificar qual o valor da mediana Exemplo Considere novamente o exemplo da empresa de segurança que desejava estudar qual o número de ligações a cobrar mais frequentes recebidas em um determinado bairro de classe alta da cidade de São Paulo no mês de março Vamos introduzir uma nova coluna na tabela dos dados referentes a frequência acumulada Notas 1 Quando o número de elementos da série estatística for ímpar haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série 2 Quando o número de elementos da série estatística for par a mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série 3 Em uma série de dados a mediana a média e a moda não têm necessariamente o mesmo valor 4 A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada Essa é uma diferença marcante entre mediana e média que se deixa influenciar e muito pelos valores extremos Vejamos Na série 5 7 10 13 15 Média 10 e Mediana 10 Na série 5 7 10 13 65 Média 20 e Mediana 10 isto é a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro por influência dos valores extremos ao passo que a mediana permanece a mesma 16 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Como o rol é par pois n a mediana é a média dos valores que estão nas posições 15 e 16 Ambos valores que estão nestas posições são ligações a cobrar recebida por residência pois F3 é a primeira frequência acumulada que contém os elementos 15 e 16 17 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios 1 Os tempos de sobrevivência em meses de um tipo de bateria estão listados a seguir 5 21 21 23 23 25 27 29 30 31 32 32 32 34 35 36 38 38 38 42 43 44 60 Calcule o mínimo máximo moda média e mediana 2 Um artigo em Computers and Industrial Engineering 2001 p51 descreve os dados de tempos de falha em horas para motores de jatos Alguns desses dados estão a seguir Obtenha mínimo máximo moda média e mediana dos tempos de falhas das máquinas e interprete os resultados 3 As idades dos 20 ingressantes num certo curso de pósgraduação em finanças de uma universidade foram as seguintes 22 22 22 22 23 23 24 24 24 24 25 25 26 26 26 26 27 28 35 e 40 Construa uma tabela de frequências e calcule o mínimo máximo moda média e mediana das idades organizadas nessa tabela 18 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo MEDIDAS DE DISPERSÃO Motivação Para preencher uma única vaga existente em uma empresa 50 candidatos foram submetidos a 6 provas sobre conhecimentos específicos de interesse da empresa Três destes candidatos destacaramse com as notas descritas na tabela abaixo Que candidato escolher Um critério inicial poderia ser o de escolher o que tem a maior média mas De modo análogo nem adianta pensar em moda ou mediana pois Amplitude A amplitude é definida pelo intervalo entre o valor máximo e o valor mínimo da série de dados ou seja Amplitude Máximo Mínimo Exemplo Para os três candidatos temos 19 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Variância e Desvio Padrão A variância mede a dispersão dos dados em torno de sua média 𝒔𝟐 𝒙𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝟐 𝒙 𝟐 𝒙𝟑 𝒙 𝟐 𝒙𝒏 𝒙 𝟐 𝒏 𝟏 𝒙𝒊 𝒙 𝟐 𝒏 𝒊𝟏 𝒏 𝟏 O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância 𝑠 𝑠2 Exemplo Vamos calcular a variância e o desvio padrão para os três candidatos 𝒔𝟐 𝑨 𝟕 𝟖𝟐 𝟕 𝟓 𝟖𝟐 𝟖 𝟖𝟐 𝟖 𝟖𝟐 𝟖 𝟓 𝟖𝟐 𝟗 𝟖𝟐 𝟔 𝟏 𝟐 𝟓 𝟓 𝟎 𝟓 𝒔𝑨 𝟎 𝟓 𝟎 𝟕 𝒔𝟐 𝑩 𝟏 𝒔𝑩 𝒔𝟐 𝑪 𝟏 𝒔𝑪 Resumindo 20 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Intervalo Interquartil DEFINIÇÃO O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro quartil Q3 e o primeiro quartil Q1 ou seja IQ Q3 Q1 Essa medida nos dá a informação da amplitude dos 50 pontos centrais do conjunto de dados ordenados 21 Estatística e Probabilidade Professora Cristiane Araújo Exercícios 1 Considere o seguinte conjunto de dados 2 3 5 7 10 Utilize a fórmula alternativa para calcular a variância sabendo que a média é 54 2 Foram coletados aleatoriamente 5 empregados de 3 empresas A B e C e perguntado para cada um deles o seu salário em salários mínimos Se estas 3 empresas estivessem oferecendo emprego em qual delas você trabalharia sendo que o resultado da pesquisa com os 15 funcionários entrevistados foi Obs Obtenha a Amplitude Variância Desvio Padrão e o IntervaloInterquartil de cada empresa para tomar sua decisão 3 Um laboratório clínico precisa decidir comprar um dentre três aparelhos A B C para dosagem de sangue Para isto o responsável pelas análises preparou uma substância de concentração conhecida 10 mgml e extraiu várias amostras para serem dosadas pelos três aparelhos Os resultados obtidos em cada um deles foram os seguintes Em medidas clínicas três termos são utilizados frequentemente Precisão referese à dispersão dos resultados Nãoviciado referese à tendência de um conjunto de medidas produzir um resultado igual ao verdadeiro valor Exato referese ao instrumento preciso e não viciado a Descreva os três instrumentos em termos das definições acima b Qual instrumento lhe parece recomendável Justifique sua resposta