Lista de Exercícios - Matemática Aplicada à Economia I - Otimização e Cálculo de Máximos e Mínimos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA I BACHARELADO EM CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROFESSOR TARCÍSIO LOBATO NOME NOME DATA 2023 Lista de exercícios Avaliação Parcial 2 10 pts Detalhe todos os cálculos efetuados Resultados sem a devida justificativa não serão aceitos 1 Encontre os máximos e os mínimos relativos de f x pelo teste da derivada primeira e confirme o resultado pelo teste da derivada segunda a 𝑓𝑥 2𝑥2 8𝑥 25 b 𝑓𝑥 𝑥3 3𝑥2 2 c 𝑓𝑥 𝑥4 18𝑥2 100 2 Encontre os pontos de máximo ou de mínimo das seguintes funções a 𝑓𝑥 𝑦 1 1212𝑦 𝑥2𝑦24𝑥2𝑦7 b 𝑓𝑥 𝑦 3 2𝑒 5𝑥22𝑦210𝑥8𝑦13 10 c 𝑓𝑥 𝑦 3 𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑦 3 Encontre os máximos e mínimos locais da função fx y x² 3y² sujeita à condição x² xy y² 5 0 4 Encontre os máximos e mínimos locais da função fx y x² y² sujeita à condição 𝑥2 9 𝑦2 4 1 5 Considere o custo de uma firma expressa pela função C x y x² y² onde x e y representam dois insumos Se a função de produção é px y x 2y encontre os valores dos insumos que possibilitam uma produção de m unidades a um custo mínimo NOTA Questão 1a Para encontrar os máximos e mínimos relativos de fx 2x2 8x 25 primeiro encontramos a derivada fx 4x 8 Para encontrar os pontos críticos onde fx 0 ou não existe igualamos a derivada a zero e resolvemos para x 4x 8 0 x 2 Assim o ponto crítico é x 2 Podemos confirmar que este é um ponto de mínimo relativo verificando o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto fx 0 para x 2 o que indica que a função está decrescente antes do ponto crítico fx 0 para x 2 o que indica que a função está crescente depois do ponto crítico Portanto x 2 é um ponto de mínimo relativo Para confirmar este resultado com o teste da derivada segunda encontramos a segunda derivada fx 4 Como f2 0 isso confirma que x 2 é um ponto de mínimo relativo Questão 1b Para encontrar os máximos e mínimos relativos de fx x3 3x2 2 primeiro encontramos a derivada fx 3x2 6x Para encontrar os pontos críticos igualamos a derivada a zero e resolvemos para x 3x2 6x 0 3xx 2 0 x 0 ou x 2 Assim os pontos críticos são x 0 e x 2 Podemos confirmar que x 2 é um ponto de mínimo relativo e que x 0 é um ponto de máximo relativo verificando o sinal da derivada à esquerda e à direita de cada ponto Para x 0 fx 0 indicando que a função está decrescente Portanto x 0 é um ponto de máximo relativo Para 0 x 2 fx 0 indicando que a função está crescente Portanto x 0 é um ponto de máximo relativo e x 2 é um ponto de mínimo relativo Para x 2 fx 0 indicando que a função está crescente Portanto x 2 é um ponto de mínimo relativo Podemos confirmar estes resultados com o teste da derivada segunda A segunda derivada é fx 6x 6 Para x 0 f0 6 o que confirma que x 0 é um ponto de máximo relativo Para x 2 f2 6 o que confirma que x 2 é um ponto de mínimo relativo Questão 1c Para encontrar os máximos e mínimos relativos de fx x4 18x2 100 primeiro encontramos a derivada fx 4x3 36x Para encontrar os pontos críticos igualamos a derivada a zero e resolvemos para x Obtemos os pontos críticos 4x3 36x 0 4xx2 9 0 x 0 x 3 x 3 Podemos agora analisar o sinal da derivada em cada intervalo entre os pontos críticos Para x 3 fx 0 indicando que a função está decrescente Portanto x 3 é um ponto de máximo relativo Para 3 x 0 fx 0 indicando que a função está crescente Portanto x 3 é um ponto de máximo relativo e x 0 é um ponto de mínimo relativo Para 0 x 3 fx 0 indicando que a função está decrescente Portanto x 0 é um ponto de mínimo relativo e x 3 é um ponto de máximo relativo Para x 3 fx 0 indicando que a função está crescente Portanto x 3 é um ponto de máximo relativo Agora para confirmar que estes são os pontos de máximo e mínimo relativos podemos encontrar a segunda derivada fx 12x2 36 Para x 3 e x 3 fx 72 o que confirma que x 3 e x 3 são pontos de máximo relativo Para x 0 f0 36 o que confirma que x 0 é um ponto de mínimo relativo Portanto a função fx x4 18x2 100 possui um ponto de mínimo relativo em x 0 e pontos de máximo relativo em x 3 e x 3 Questão 2a Primeiro encontramos as derivadas parciais em relação a x e y fx 212yx2 y2 4x 2y 72 1 0 fy 2x6x2 y2 4x 2y 72 0 1 Para encontrar pontos de máximo ou mínimo igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos para x e y Para fx 0 212yx2 y2 4x 2y 72 0 12 y 0 y 12 Para fy 0 2x6x2 y2 4x 2y 72 0 x 6 0 x 6 Portanto o ponto crítico é 6 12 Agora precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo Podemos usar o teste da segunda derivada fxx 412yx2 y2 4x 2y 73 1 02 212yx2 y2 4x 2y 72 0 0 812yx2 y2 4x 2y 73 fyy 4x6x2 y2 4x 2y 73 0 12 2x6x2 y2 4x 2y 72 0 0 8x6x2 y2 4x 2y 73 fxy fyx 4x2 y2 4x 2y 73 y12x6 Agora avaliando essas derivadas no ponto crítico 6 12 fxx6 12 0 fyy6 12 64729 0 fxy6 12 0 Como fyy 0 o ponto crítico 6 12 é um ponto de máximo Portanto o máximo da função ocorre em 6 12 com valor 1 Questão 2b Primeiro encontramos as derivadas parciais em relação a x e y fx 4x 105 e5x2 2y2 10x 8y 1310 fy 4y 85 e5x2 2y2 10x 8y 1310 Para encontrar pontos de máximo ou mínimo igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos para x e y Para fx 0 4x 105 e5x2 2y2 10x 8y 1310 0 4x 10 0 x 52 Para fy 0 4y 85 e5x2 2y2 10x 8y 1310 0 4y 8 0 y 2 Portanto o ponto crítico é 52 2 Agora precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo Podemos usar o teste da segunda derivada fxx 16x2 40x 2525 e5x2 2y2 10x 8y 1310 fyy 16y2 32y 1625 e5x2 2y2 10x 8y 1310 fxy fyx 16xy 32x 40y 8025 e5x2 2y2 10x 8y 1310 Agora avaliando essas derivadas no ponto crítico 52 2 fxx52 2 65 e1 0 fyy52 2 65 e1 0 fxy52 2 425 e1 0 Como fxx 0 e fyy 0 o ponto crítico 52 2 é um ponto de máximo Portanto o máximo da função ocorre em 52 2 com valor 3 2e Questão 2c Primeiro encontramos as derivadas parciais em relação a x e y fx 2x 2 fy 2y 2 Igualando as derivadas parciais a zero temos Para fx 0 2x 2 0 x 1 Para fy 0 2y 2 0 y 1 Portanto o ponto crítico é 1 1 Agora precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo Podemos usar o teste da segunda derivada fxx 2 fyy 2 fxy 2 Agora avaliando essas derivadas no ponto crítico 1 1 fxx1 1 2 0 fyy1 1 2 0 fxy1 1 2 Como fxx 0 e fyy 0 o ponto crítico 1 1 é um ponto de sela Portanto não há máximo ou mínimo nesse ponto Questão 3 Para encontrar os máximos e mínimos locais da função fxy x² 3y² sujeita à condição x² xy y² 5 0 podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange Vamos começar encontrando os pontos críticos onde o gradiente de fxy é proporcional ao gradiente da restrição fxy λgxy Onde gxy x² xy y² 5 Assim temos fx 2x fy 6y gx 2x y gy 2y x Igualando os gradientes e multiplicando o gradiente da restrição por λ temos 2x λ2x y 6y λ2y x Agora podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x y e λ 2x λ2x y 6y λ2y x x² xy y² 5 0 Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a segunda obtemos 6x 18y 0 y x3 Substituindo y em gxy obtemos x² x²3 x3² 5 0 2x²3 5 x² 152 x 152 Substituindo x em y x3 obtemos y 1523 Portanto os pontos críticos são P1 152 1523 P2 152 1523 Agora vamos analisar a natureza desses pontos críticos para determinar se eles são máximos locais mínimos locais ou pontos de sela Para isso podemos usar a matriz Hessiana da função fxy e verificar o seu determinante e seus autovalores Hessfxy 2 0 0 6 DetHessfxy 12 0 Autovalores λ1 2 λ2 6 Como o determinante da Hessiana é negativo e os autovalores possuem sinais opostos temos um ponto de sela em P1 e um ponto de mínimo local em P2 Portanto os máximos e mínimos locais da função fxy x² 3y² sujeita à condição x² xy y² 5 0 são Máximo local em P1 152 1523 Mínimo local em P2 152 1523 Questão 4 Para encontrar os máximos e mínimos locais da função fxy x² y² sujeita à condição 𝑥29 𝑦24 1 podemos novamente utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange Vamos começar encontrando os pontos críticos onde o gradiente de fxy é proporcional ao gradiente da restrição fxy λgxy Onde gxy 𝑥29 𝑦24 1 Assim temos fx 2x fy 2y gx 2x9 gy y2 Igualando os gradientes e multiplicando o gradiente da restrição por λ temos 2x λ2x9 2y λy2 Agora podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x y e λ 2x λ2x9 2y λy2 𝑥29 𝑦24 1 Multiplicando a primeira equação por 92 e somando com a segunda obtemos 9x 9y 0 y x Substituindo y em 𝑥29 𝑦24 1 obtemos 𝑥29 𝑥24 1 𝑥2 365 𝑥 65 Substituindo x em y x obtemos y 65 Portanto os pontos críticos são P1 65 65 P2 65 65 Agora vamos analisar a natureza desses pontos críticos para determinar se eles são máximos locais mínimos locais ou pontos de sela Para isso podemos usar a matriz Hessiana da função fxy e verificar o seu determinante e seus autovalores Hessfxy 2 0 0 2 DetHessfxy 4 0 Autovalores λ1 2 λ2 2 Como o determinante da Hessiana é negativo e os autovalores possuem sinais opostos temos um ponto de sela em P1 e um ponto de sela em P2 Portanto não existem máximos ou mínimos locais da função fxy x² y² sujeita à condição 𝑥29 𝑦24 1 Questão 5 Para encontrar os valores dos insumos que possibilitam uma produção de m unidades a um custo mínimo precisamos minimizar a função de custo sujeita à restrição da função de produção Vamos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange Temos Função de custo Cxy x² y² Restrição da função de produção pxy x 2y m 0 Precisamos minimizar a função Lxyλ Cxy λpxy onde λ é o multiplicador de Lagrange Assim temos Lxyλ x² y² λx 2y m Para encontrar os valores dos insumos que minimizam o custo precisamos encontrar os pontos críticos de Lxyλ Para isso vamos calcular o gradiente de Lxyλ e igualálo a zero Lxyλ 2x λ 2y 2λ x 2y m 0 0 0 As duas primeiras equações nos fornecem 2x λ 0 2y 2λ 0 A terceira equação nos fornece a restrição da função de produção x 2y m Substituindo as duas primeiras equações na restrição da função de produção temos x 2y Substituindo essa relação em x 2y m temos 2y 2y m m 0 Portanto o ponto crítico é 000 o que significa que a produção mínima ocorre quando ambos os insumos são iguais a zero No entanto esse ponto crítico é um mínimo local e não um mínimo global Isso significa que é possível obter um custo menor com uma produção maior do que zero Para verificar se esse é o caso precisamos analisar a natureza do ponto crítico Vamos calcular a matriz Hessiana de Lxyλ HessLxyλ 2 0 1 0 2 2 1 2 0 O determinante dessa matriz é 8 o que indica que o ponto crítico é um mínimo local Portanto a produção mínima ocorre quando ambos os insumos são igual a zero e o custo mínimo é zero No entanto é possível produzir mais de m unidades com um custo menor do que C00 0 Isso ocorre porque a função de produção é linear e sempre podemos aumentar a produção aumentando a quantidade de insumos