Aula 5 - Sis Forças Resultantes 2d e 3d

O tipo mais comum de sistema de forças ocorre quando as forças atuam todas em um único plano, digamos o plano xy, como ilustrado pelo sistema de três forças F1, F2 e F3 na Fig. 2/132.\nNós obtemos o módulo e a direção da força resultante R formando o polígono de forças mostrado na parte b da figura, onde as forças são somadas em qualquer sequência. Assim, para qualquer sistema de forças coplanares podemos escrever\n\nR = F1 + F2 + F3 + ... = ΣF\n\nRx = ΣFx\n\nRy = ΣFy\n\nR = (ΣFx² + (ΣFy²)^\nθ = tan⁻¹ (Ry / Rx)\n\n(2/31)\n 1. Escolha um ponto de referência conveniente e novas todas as forças para este ponto. Este processo está ilustrado para um sistema de três forças na Fig. 2/14 a e b, onde M0, M1 e M2 ao somar resultam da transferência das forças F1, F2 e F3 de suas respectivas linhas de ação originais para linhas de ação passando por O.\n2. Some todas as forças em O para obter a força resultante R e some todos os momentos para obter o momento resultante M0. Transforme agora o sistema força-binário único, como mostrado na Fig. 2/14.\n3. Na Fig. 2/14, ache a linha de ação de R formando R e ter um momento M, em relação a O. Observe que o sistema de forças da Fig. 2/14 a e 2/14 d são equivalentes e que ΣF(d) na Fig. 2/14 d é igual R na Fig. 2/14 d. R = ΣF\nM0 = -ΣM - Σ(Fd)\nRd = M0\n\nAs duas primeiras das Eqs. 2/10 reduzem um dado sistema de forças em um sistema força-binário em um ponto O arbitrariamente escolhido, mas conveniente. A última equação especifica a distância do ponto O à linha de ação de R e afirma que o momento da resultante de forças em relação a determinado ponto O é igual à soma dos momentos das forças originais em relação ao mesmo ponto. Esta equação estende o teorema de Varignon ao caso de sistemas de forças não concorrentes; chamamos esta extensão de princípio dos momentos. Figura 2/15\nF1 + F2 = -F3 Exemplo 2/9\nDeterminer a resultante das quatro forças e do binário que atuam na placa mostrada.\n\nSolução: O ponto O foi selecionado como um ponto de referência conveniente para o sistema força-binário que deve representar o sistema dado.\n\nUR = -UF\nR_fx = -60 + 60 cos 45° = 669 N\nR_fy = -60 sin 45° - 50 + \\\n140 cos 30° – 40 = 1324.4N\n\nRep.\nR = 1324.4\n\nM_O = ΣR_Mo\nM_O = -60 * 0 + 60 * 0 - 60 * 2 + 50 * 2 = -287 Nm O sistema força-binário consistindo de R e Mo é mostrado na Fig. a.\n\nDeterminamos agora a linha de ação final de R, tal que R sonha representar o sistema original.\n\n[R_d = M_O]\n145.36 = 327\nR = 1.600 m\n\nAssim sendo, a resultante R pode ser aplicada a qualquer ponto na linha de ação que faz um ângulo de 63.0° com o eixo x e é tangente ao ponto A. A direção com 1,600 m não existe em O, como mostrado na parte a da figura. Aplicamos a equação R = Mo e em seu valor absoluto (considerando qualquer sinal de M_O). Alternativamente, a interseção em y poderia ter sido obtida, observando-se que o movimento em relação a O seria devido apenas a R_f.\n\nUma abordagem mais formal na determinação da linha de ação final de R implica usar a expressão vetorial\n\nr x R = M_O\n\nonde r = xi + yj é um vetor de posição unido a ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de R. Substituindo as expressões vetoriais para r, R e M_O e fazendo o produto vetorial, resulta em\n\n(1j + 1y) * 106.98 + 132.4j = -237k\n\nAssim, a linha de ação decaída, Fig. 6, é dada por\n\n132.4z - 66.9y = -237\n\nColocando-se y = 0, obtemos x = -1.792 m, o que concorda com nossos cálculos anteriores. Capítulo 2\n\nPROBLEMAS\n\n2.7 Determina la relación a través de la Base B, que será como se muestra a través de las fuerzas\n\nProblema 2.7\n\n2.8 El total de la fuerza es de 10 N, es decir, hay que considerar todos los vectores para su adecuado manejo.\n\nProblema 2.8\n\n2.9 Determina la respuesta radial de tres figuras relacionadas en la plana para la fuerza 8.5 N.\n\nProblema 2.9\n\n2.10 Describe la reacción en cada uno cuando el sistema debidamente se encuentra equilibrado.\n\nProblema 2.10\n\n2.11 El problema de fuerzas se mantiene al igual que el sistema de aceleración.\n\nProblema 2.11 Sistemas de Fuerza 47\n\n2.15 Determina el ángulo de fuerza que podría generar el mismo en el papel, para hacer bien la magnitud.\n\nProblema 2.12\n\n2.16 Inclina el eje de un juego mostrado por el punto 6.1.\n\nProblema 2.13\n\n2.17 Numerando los ejes que provienen de un cuerpo en equilibrio se puede comprobar a partir de los dos ejes el punto de rotación.\n\nProblema 2.14\n\n2.18 Al encontrar la fuerza F se deberá determinar el movimiento constante para su respectivo manejo.\n\nProblema 2.15\n\n2.19 Describa el problema y analice si sucede la fuerza con base en la aceleración que da el sistema.\n\nProblema 2.16 Capítulo 2\n\nPROBLEMAS\n\n2.6 El punto A se encuentra en el extremo derecho de una barra de 2.0 m, situada horizontalmente.\n\nProblema 2.1\n\n2.9 Dos puntos están alineados en la dirección de la fuerza que actúa sobre el sistema. Se requiere determinar el valor de P, el ángulo de 54° y el ángulo de 36°.\n\nProblema 2.2\n\n2.10 Un enlace es un dispositivo que fija el movimiento de un objeto a través de un eje que está alineado con la dirección de la fuerza F.\n\nProblema 2.3\n\n2.11 Considere una esfera hincada en el terreno, se requiere saber la fuerza a la que se está sometiendo.\n\nProblema 2.4\n\n2.12 Determina la dirección y magnitud de la fuerza que actúa sobre A.\n\nProblema 2.5\n\n2.13 Un compás se mantiene en equilibrio bajo la acción de fuerzas múltiple.\n\nProblema 2.6\n\n2.14 Determina la relación entre el área de un círculo y su perímetro. Tratando este problema como bidimensional, determine a força resultante sobre a barra na extremidade A. Depois de todas as forças calculadas, responda: a) qual é a força no ponto A?, b) qual é a relação da diferença de forças no A? PROBLEMAS Problemas Introductórios\n2/77 Calcule o módulo da força traiviva T e o ângulo θ de forma que o anel tenha uma força resultante de 15 kN direcionadas para baixo.\nRecup. R = 12,85 kN, θ = 38,9° Exercício 2/77 - SOLUÇÃO\n\npela observação da figura vem:\nRx = 6 + 8 m30 - TcosΘ (1)\nRy = -TsinΘ - 8k30 (2)\n\nComo é desejada uma resultante de 75kN, direcionada para baixo,\nRx = 0 e Ry = -75kN De (1) vem: TcosΘ = 6 + 8 . 1/2 = 10kN (3)\nDe (2) vem: -15 - TsinΘ - 8√3/2 e logo\ntanΘ = 15 - 8√3/2 (4)\n\nDe (3) vem: T = 10/cosΘ que em (4)\n10kN/cosΘ = 8,072; Θ = tg^(-1)(8,072/10)\n\nΘ = 39°; de (3) com\ncos(39°) = 0,772 vem\nT = 1287 kN 2/83 Determine M se a resultante das duas forças e do momento M passa pelo ponto O.\nResp. M = 148,0 N·m no sentido anti-horário. Ex. 2/83 - Solução\nComo \"M\" é um binário (seu valor só depende da distância entre as forças), podemos considerá-lo como um vetor livre (não associado a uma única linha no espaço). Portanto, seu valor em relação a qualquer ponto G é \"M\"\n\n2.81 Se a resultante das duas forças e de \"M\" passam pelo ponto \"O\", o momento total em relação a \"O\" é igual a \"M\"\n\nM0 = M - 100 cos30 x 0,15 - M1\n330 x 0,30\nLogo\n\nM = + 57,96 x 96 = 198 Nm no sentido anti-horário\n\n2.81 2/86 Um avião comercial com quatro turbinas a jato, cada uma produzindo um empuxo a frente de 90 kN, está em um vôo de cruzeiro, estacionário, quando o motor número 3 falha repentinamente. Determine e localize a resultante dos vetores de empuxo dos três motores remanescentes. Trate este problema como bidimensional. EXERCÍCIO 2/86 - SOLUÇÃO\n\nCOMO A TURBINA EXERCE ESFORÇO PARA TRÁS, O EMPUXO SERÁ PARA FRENTE\n\nTEMOS ENTÃO\n\nR = 270 kN\n\nA FORÇA RESULTANTE DAS 3 FORÇAS REMANESCENTES SERÁ: R = 270 kN (NEGATIVO PELO SENTIDO ADOTADO PARA \"x\")\n\nDETERMINANDO O MOMENTO DAS FORÇAS EM RELAÇÃO A \"O\" VEM:\nM = 90 x 2 - 90 x 12 - 90 x 21 = -1080 N.m. PARA QUE R = 270 kN GERE \"M\" = -1080 N.m VALERÁ: d = -1080 / 270 = 4 m (MÍNIMO) 2/84 Determina o módulo da força F aplicada à manopla, que fará com que a resultante das três forças passe por O.\n\nProblema 2/84 EXERCÍCIO 2/84 - SOLUÇÃO\n\nSE A RESULTANTE PASSA POR \"O\" E PORQUE ΣM = 0, LOGO, CALCULANDO OS MOMENTOS DAS 3 FORÇAS EM RELAÇÃO A \"O\" E IGUALANDO SUA SOMA A ZERO VEM:\nΣM: = -Fx + 93.120 + 150.240.205.θ=0\n=> IGUALANDO O M0 VEM: F = 260 N\n\nELOGO: F = 260 N FARÁ A RESULTANTE PASSAR POR \"O\" Figura 2/28\n(a)\nM_f = F_1 + F_2 + ... + \Sigma F\n(b)\nR = F_1 + F_2 + ... + \Sigma F\nM = M_1 + M_2 + M_3 + ... + \Sigma R x F_i\nM_f = M - M_1 - M_2 - M_3\nN = R - \Sigma F Torquor Resultante. Quando o vetor de torque resultante M é paralelo à força resultante R, como mostrado na Fig. 2/29, a resultante é chamada torquor. Por definição, um torquor é positivo se os vetores de torque e força apontam no mesmo sentido.\nTorquor positivo\nTorquor negativo\nFigura 2/29\nFigura 2/30\n(a) (b) Exemplo 2/16\nDetermina a resultante do sistema de força e torques que atuam no sólido retangular.\nSolução. Escolhemos o ponto O como um ponto de referência conveniente para o passo inicial de redução das forças dada em um sistema força-bisárrio. A força resultante é\nR = - \Sigma F = (-80) - 80j + (100) - 100i + (60 - 60)k = 0 N\nA soma dos momentos em relação a O é\nM_o = [100(-1.5) - 70(1.2) - 80(-1.2) - 96(-1) + (100)(1.2) - 10] k\n10 N·m\nConsequentemente, a resultante consiste em um torquor que, claro, pode ser aplicado a qualquer ponto de corpo de suas extensões. Exemplo 2/17\n\nDetermine a resultante do sistema de forças paralelas que atua na placa. Resolva usando um enfoque vetorial. Solução: A transferidura de todas as forças para o ponto O resulta no sistema forca-binário.\n\nR = ΣF = 200 + 500 - 300 - 0 = 365 N\n\nM0 = [500/(0.35)] - 300*(0.35) - (500/0.5) = -87.4j - 200(0.5)\n\nO posicionamento de R de forma que ele, azimut, represente o sistema força-binário anterior, é determinado pelo princípio do momento na forma vetorial.\n\n(u + j + k) x R - M0\n\n350j - 87.64k\n\nDestas duas equações vetoriais podemos obter as duas equações escalares:\n\n360x - 1278 = 0 \n\nPortanto, z = -0.357 m = -0.950 m ao ser coordenadas pela linha de ação de R deve passar. O valor de pode, é dar, em qualquer um, como princípio do princípio da transmitibilidade. Assim, como esperado, a variedade desaparece da análise vetorial anterior. Exemplo 2/18\n\nSubstituam as duas forças e o torpor negativo por uma única força R aplicada em A e pelo torque correspondente M. Solucio. A força resultante tem os componentes\n[R_x = ΣF_x] R_x = 500 sen 40° + 700 sen 60° = 925 N\n[R_y = ΣF_y] R_y = 600 + 500 cos 60° cos 45° = 871 N\n[R_z = ΣF_z] R_z = 700 cos 60° + 500 cos 40° sen 45° = 621 N\n\nAssin.\nR = 926i + 871j + 621k N\n\nR = √(926² + 871² + 621²) = 1416 N O torque a ser somado como resultado do deslocamento da força de 600 N é\n[M = r × F] M_A = (0.081 + 0.172 + 0.03k) × 500i sen 60°\n= 500i sen 60° + k cos 40° sen 45° + k cos 60° sen 45°\n\nA expansão termo a termo, ou o determinante, dá\nM_A = 18,961 − 5,09 = 16,906 N·m\n\nO momento da força de 600 N em relação a A é escrito por inspeção de suas componentes:\nM_B = (600)(0,060)(0,060k) = 36,01 − 24,0k N·m\n\nO momento da força de 700 N em relação a A é facilmente obtido dos momentos das componentes x e z da força. O resultando:\nM_r = (700 cos 60°)(0,030) − (700 sen 60°)(0,080)\n= (70)(0,16) + (70)(0,09) N\n\nDessa forma, o torque dado pelo exercito\nM = 25,01 − i sen 40° − j sen 40° − k cos 40° sen 60°\n= −49,47 − 90,5 − 24,6k N·m Exemplo 2/19\nDetermine o torpor resultante das três forças atuando na cantoneira. Calcule as coordenadas do ponto P no plano x-y pelo qual atua a força resultante do torpor. Encontre também o módulo do torque M do torpor.\n\n Solução. Os momentos direcionais de torque M de torque devem ser os momentos derivados da força resultante R, considerando que o torque é positivo. A força resultante é: R = 2M + 40N + 60N R = 2M + 100 N = 60 N.\n\n A nossa constante direcional é: \n\n M= 2060 = I2 = 2420 = 400 = 28 = 432 \n\n O momento do torque deve ser igual à soma dos momentos das forças dadas em relação ao ponto P pelo qual R passa. Os momentos em relação a P das três forças são:\n \nOM1 = 20b K N \n\nOM2 = 40k N \n\nOM3 = 60N = 40i + 60j = 0 ; 2 = -20h K N \n\ne o momento total: \n \nM800 = 40i - 40i + 20j h12M = 60 i - 80j K N.\n\nOs momentos diretos de M são \n e fazem\n subindo ao módulo de M. Igualando os momentos diretores R e M dá:\n R = 800 - 16h12M.\n\nLembrando as três equações obtém-se \nR. \n\nVimos que M anchos para ser negativo, o que significa que o torque estava apontado na direção oposta à R, o que torna o torque negativo.