Solução de Equações Diferenciais - Barril com Vazão e Circuito RL

1 Questão 01 A água escoa para um barril aberto a partir de seu topo com uma vazão mássica constante de 𝑚𝐸 Esta água sai por um tubo perto da base com uma vazão mássica proporcional à altura do líquido no interior do barril que é igual a m 9H onde H é a altura instantânea de líquido A área da base é A e a densidade específica do fluido é de ρ Se o barril se encontra inicialmente vazio determine a Ht C Q dt e e H Pdt Pdt Sai m Entra m H t L R E0 Questão 02 Circuito Elétrico RL Tensão Constante Et E0 Condição inicial A I 0 0 Determinar a corrente i t Lagrange dI P I Q dt Pdt Pdt I e e Q dt C Questão 1 A massa de água no barril obedece à seguinte equação 𝑑𝑀 𝑑𝑡 𝑚𝑒 𝑚𝑠 𝑑𝜌𝑉 𝑑𝑡 𝑚𝑒 9𝐻 𝑑𝜌𝐻𝐴 𝑑𝑡 𝑚𝑒 9𝐻 𝜌𝐴 𝑑𝐻 𝑑𝑡 𝑚𝑒 9𝐻 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 9 𝜌𝐴 𝐻 𝐻 9 𝜌𝐴 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 Note que esta equação está no seguinte formato linear ℎ 𝑝𝑡ℎ 𝑞𝑡 Logo a sua solução é 𝐻 𝑞𝑒 𝑃𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 𝑃𝑑𝑡 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 𝑒 9 𝜌𝐴𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 9 𝜌𝐴𝑑𝑡 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 9 𝜌𝐴 𝐶 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 𝐻 𝑚𝑒 𝜌𝐴 1 9 𝜌𝐴 𝐶 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 𝐻 𝑚𝑒 9 𝐶𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 Mas para 𝑡 0 temos 𝐻 0 logo 0 𝑚𝑒 9 𝐶𝑒0 𝐶 𝑚𝑒 9 Assim a equação para a altura da água é dada por 𝐻 𝑚𝑒 9 𝐶𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 𝐻 𝑚𝑒 9 𝑚𝑒 9 𝑒 9 𝜌𝐴𝑡 𝑯 𝒎𝒆 𝟗 𝟏 𝒆 𝟗 𝝆𝑨𝒕 Questão 2 Fazendo o somatório de tensões temos 𝑣𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐿 𝑣𝑅 0 𝐸0 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖𝑅 0 Assim temos 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖𝑅 𝐸0 𝑖 𝑅 𝐿 𝑖 𝐸0 𝐿 Note que esta equação está no seguinte formato linear 𝑖 𝑝𝑡𝑖 𝑞𝑡 Logo a sua solução é 𝑖 𝐸0 𝐿 𝑒 𝑃𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 𝑃𝑑𝑡 𝐸0 𝐿 𝑒 𝑅 𝐿𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 𝑅 𝐿𝑑𝑡 𝐸0 𝐿 𝑒 𝑅 𝐿𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 𝑅 𝐿𝑡 𝐸0 𝐿 𝑒 𝑅 𝐿𝑡 𝑅 𝐿 𝐶 𝑒 𝑅 𝐿𝑡 𝐸0 𝐿 1 𝑅 𝐿 𝐶 𝑒 𝑅 𝐿𝑡 𝐸0 𝑅 𝐶𝑒𝑅 𝐿𝑡 Mas para 𝑡 0 temos 𝐼 0 logo 0 𝐸0 𝑅 𝐶𝑒0 𝐶 𝐸0 𝑅 Assim a equação para a CORRENTE da água é dada por 𝑖 𝐸0 𝑅 𝐶𝑒𝑅 𝐿𝑡 𝑖 𝐸0 𝑅 𝐸0 𝑅 𝑒𝑅 𝐿𝑡 𝒊 𝑬𝟎 𝑹 𝟏 𝒆𝑹 𝑳𝒕