Introdução ao Controle de Processos Químicos: Aspectos Teóricos e Exemplos com GNU Octave

Marcos Marcelino Mazzucco 2020 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ASPECTOS TEÓRICOS E EXEMPLOS COM GNU OCTAVE INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL MODELAGEM DE SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE CONTROLE FEEDBACK GNU OCTAVE INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Marcos Marcelino Mazzucco 2 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ASPECTOS TEÓRICOS E EXEMPLOS COM GNU OCTAVE Este material foi desenvolvido para acompanhar a disciplina Instrumentação e Controle de Processos ministrada pelo professor Dr Marcos Marcelino Mazzucco O uso não autorizado deste material incorre em violação dos direitos autorais estando sujeito às penalidades previstas na legislação em vigência Acompanha este material os software livres GNU Octave e MED disponíveis em wwwoctaveorg e paginasunisulbreqmprofmarcos Marcos Marcelino Mazzucco Última atualização de conteúdo 20022019 Última revisão 19032020 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Marcos Marcelino Mazzucco 2 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO4 2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS6 21 INTRODUÇÃO7 22 SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA7 23 SENSORES7 24 ELEMENTO FINAL DE CONTROLE8 241 VÁLVULAS DE CONTROLE9 242 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA13 25 TRANSMISSÃO DE DADOS13 26 TRANSDUTORES E TRANSMISSORES14 27 CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS15 28 HARDWARE DE CONTROLE15 29 SIMBOLOGIA18 210 EXERCÍCIOS20 3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS24 31 MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS25 311 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO27 312 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR29 313 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA31 314 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO33 315 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO35 32 SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE38 33 EXERCÍCIOS38 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS39 41 DEFINIÇÃO40 42 PROPRIEDADES40 43 OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S40 44 TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL43 45 TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO 43 46 TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA44 47 COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA45 471 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS46 472 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS49 473 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS RAÍZES COMPLEXAS51 Marcos Marcelino Mazzucco 1 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 474 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE54 48 SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES59 49 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS64 410 RELAÇÕES ÚTEIS69 411 EXERCÍCIOS70 5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS72 51 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA73 511 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM UMA ENTRADA E UMA SAÍDA73 512 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA76 513 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E FORMAS GANHOCONSTANTE DE TEMPO E ZEROSPÓLOS 80 52 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM82 521 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M83 522 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA IMPULSO DE MAGNITUDE M84 523 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA SENOIDAL85 524 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA PULSO RETANGULAR DE MAGNITUDE M90 53 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM92 531 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M93 532 CARACTERÍSTICAS DAS RESPOSTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM99 54 SISTEMAS DE ALTA ORDEM E OUTROS ELEMENTOS DINÂMICOS102 541 AVANÇORETARDO104 542 RESPOSTA INVERSA105 543 TEMPO MORTO OU ATRASO POR TRANSPORTE106 55 SISTEMAS DE ALTA ORDEM MODELOS APROXIMADOS110 56 PÓLOS E ZEROS112 57 EXERCÍCIOS113 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS118 61 INTRODUÇÃO119 62 OBTENÇÃO DE MODELOS POR REGRESSÃO119 63 OBTENÇÃO DE MODELOS POR ANÁLISE GRÁFICA129 631 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM129 632 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM TEMPO MORTO131 633 MODELOS DE SEGUNDA ORDEM TEMPO MORTO134 7 CONTROLE FEEDBACK139 71 INTRODUÇÃO140 72 CONTROLADORES FEEDBACK141 721 CONTROLE PROPORCIONAL142 Marcos Marcelino Mazzucco 2 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 722 CONTROLE INTEGRAL145 723 CONTROLE PROPORCIONAL E INTEGRAL145 724 CONTROLE DERIVATIVO146 725 CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL E DERIVATIVO147 73 PID DIGITAL148 74 RESPOSTA DE UM PROCESSO AOS MODOS DE UM CONTROLADOR PID149 75 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK149 751 DIAGRAMA DE BLOCOS149 752 OBSERVAÇÃO161 753 ANÁLISE GRÁFICA162 754 DIAGRAMA DE BLOCOS COM GNU OCTAVE169 755 EXERCÍCIO188 8 ANÁLISE DE ESTABILIDADE189 81 CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE190 811 EXERCÍCIO DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR204 82 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH204 83 MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA213 9 SINTONIA DE CONTROLADORES PID216 91 CRITÉRIO DA RESPOSTA TRANSIENTE217 911 RELAÇÕES DE SINTONIA DE COHENCOON218 912 RELAÇÕES DE SINTONIA BASEADAS NA INTEGRAL DO ERRO222 913 RELAÇÕES DE SINTONIA DE ZIEGLER NICHOLS236 92 SINTONIA MANUAL 246 93 ANÁLISE DA RESPOSTA FREQUENCIAL DE SISTEMAS247 94 EXERCÍCIO FINAL248 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS250 11 REFERÊNCIAS252 12 ANEXO 1 SUBROTINAS 253 121 FRACOESPARCIAIS253 122 POLYMULT254 123 POLYADD255 124 POLYPOWER256 125 EXIBIRFT257 126 CONTROLEPIPIDMALHASIMPLES258 127 SINGLELOOP261 Marcos Marcelino Mazzucco 3 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Marcos Marcelino Mazzucco 4 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1 INTRODUÇÃO A busca de sistemas para automatização e controle de tarefas é progressiva e abrange todos os segmentos da vida moderna de tarefas domésticas até grandes produções industrias Registros históricos indicam que os egípcios criaram o primeiro sistema de controle um regulador de nível para um relógio dágua A revolução industrial somente tomou impulso com o desenvolvimento de mecanismos de controle automático desde que o controle manual não é viável em processos massivos de produção Para as máquinas a vapor os reguladores de nível temperatura e pressão são dispositivos indispensáveis No período de 1600 a 1800 os sistemas de controle ganharam importância A partir de 1800 estudos matemáticos impulsionaram a arte de controlar processos Nos séculos 19 e 20 seguindo necessidades dos meios de comunicação navegação de aviões navios foguetes e a pressão das guerras novos problemas apresentaramse e assim novas estratégias de controle foram desenvolvidas O controle digital surgiu e redirecionou as atenções Hoje certamente a demanda de muitos produtos não seria atendida se processos manuais fossem utilizados Mesmo que uma grande quantidade de pessoas pudesse produzir o mesmo volume de bens que um processo automático a qualidade e as características do produto obtido não seriam mantidas durante o tempo Assim o objetivo de automatizar um processo é aumentar sua capacidade ou eficiência ou diminuir sua periculosidade Mazzucco 2003 A automatização deve ser distinguida do controle do processo cujo objetivo é assegurar uma quantidade temperatura pressão composição etc em um determinado valor set point ou referência ou intervalo pela manipulação de alguma variável Podemos destacar alguns tipos de variáveis que possuem atribuições formais em controle de processos variável medida variável controlada e variável manipulada e perturbações A variável medida pode coincidir com a controlada mas isto não é uma regra Por exemplo podese medir a temperatura e pressão de um gás em um duto estimar a vazão e controlála manipulando através de uma válvula o fluxo de massa Um sistema de controle consiste ao menos por processos sensores controladores e atuadores Estes elementos constituem uma malha de controle Cada elemento possui um comportamento dinâmico mais ou menos importante que deve ser Introdução Marcos Marcelino Mazzucco 5 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS conhecido e além disso a interação entre eles é determinante do sucesso de uma proposta de controle Para formalizar os conteúdos descritos este material pretende fornecer os conceitos essenciais de controle de processos Desde modelagem de sistemas até análise de problemas no domínio e Laplace Desde controle feedback até análise de estabilidade Para completar o conteúdo serão apresentados os equipamentos típicos utilizados na indústria química para permitir a aplicação das estratégias estudadas tópico este que será tratado a seguir Introdução Marcos Marcelino Mazzucco 6 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 7 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 21 INTRODUÇÃO Para sistemas de controle a aplicação em campo depende de elementos elétricos eletrônicos mecânicos ou pneumáticos que permitam que o processo e o sistema de controle possam interagir de forma compor uma estrutura entradasaída Atualmente muitos destes dispositivos são baseados em equipamentos eletrônicos sendo divididos e duas categorias os digitais e os analógicos Na indústria química a maioria dos elementos de medição e os elementos finais de controle são instrumentos analógicos Destacamse as seguintes classes de equipamentos em um sistema de controle Instrumentos de medição sensores elementos finais de controle transdutores controladores indicadores e registradores 22 SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA Tipicamente na indústria química até meados de 1950 a transmissão de sinais era realizada por via pneumática sinais típicos de sensores como temperatura e pressão eram conduzidos por via pneumática Da mesma forma atuadores como válvulas pneumáticas eram a base dos elementos finais de controle e daí a utilização esta forma de sinal Assim tanto controladores como registradores foram desenvolvidos para atuar por via pneumática Atualmente as válvulas pneumáticas correspondem aos representantes mais presentes dos pneumáticos na indústria química Em alguns projetos onde existe o risco de explosão ainda são utilizados equipamentos pneumáticos O padrão de transmissão de dados por via pneumática estabelece a faixa de trabalho de 3 15psig A partir de 1960 com o desenvolvimento mais intensivo da indústria de eletrônicos os sinais passaram a ser transmitidos também por meio de cabos elétricos em duas formas corrente mA ou tensão VCC VDC Os padrões estabelecidos são Corrente contínua 15mA 420mA 1050mA Tensão contínua 05VDC 15VDC 5VDC 10VDC 23 SENSORES Os sensores são os elementos responsáveis por permitir a quantificação da variável que se deseja medir Os sensores típicos da indústria são Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 8 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Temperatura os mais comuns são termopares sensor da tensão mV produzida pela junção de dois metais como níquel platina cobre etc termoresistores sensor resistivo também conhecido como RTD resistancetemperature detector fabricado a partir de materiais como platina níquel e níquelcobre e termistrores sensor resistivo também conhecido como NTC negative temperature coefficient fabricado a partir de material semicondutor tais como óxidos de cobalto magnésio e níquel e sulfetos de cobre alumínio e ferro A resistência neste sensor diminui com a temperatura Pressão absoluta e diferencial os mais comuns são tubo de Bourdon diafragma Velocidade de fluxo fluxo de massa fluxo volumétrico tanto para líquidos como gases duas estratégias podem ser utilizadas para medir fluxo turbina e queda de pressão No caso da turbina os pulsos gerados podem ser modulados ou totalizados através de um contador counter para produzir um sinal de fluxo No caso da queda de pressão esta deve ser obtida através de uma placa de orifício ou um tubo de Venturi e determinadas as medidas das pressões antes e após o acessório A vazão é proporcional a raiz quadrada da queda de pressão As placas de orifício devem garantir uma queda de pressão de 508cm 20in de coluna dágua até 508mca 200in Medições por via magnética térmica vórtice e Coriólis também são muito utilizadas Nível de líquido pressão diferencial e boias são as formas mais simples de medir nível de líquido Viscosidade a queda de pressão é a forma mais simples de inferir a viscosidade pH é uma medida facilmente realizada através de eletrodos de potencial Condutividade Absorção de ultravioleta e infravermelho são medidas importantes que podem ser utilizadas para inferir composição ou em combinação com outras medidas para fornecer variáveis não mensuráveis Umidade para sólidos ou gases são necessárias técnicas diversas Uma forma simples é medir a condutividade e traduzila em unidade 24 ELEMENTO FINAL DE CONTROLE Os elementos finais de controle agrupam todas as variáveis que podem ser manipuladas Neste caso temos o ajuste direto ou indireto da variável deseja O caso de manipular a vazão de um fluido por ser realizada diretamente restringindo o fluxo de massa No caso de manipular a temperatura de uma mistura é necessária a intervenção em outra variável como a vazão por exemplo Resistências elétricas podem ser utilizadas como elementos para quantificar energia e portanto regular temperatura em alguns processos Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 9 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A manipulação de fluxos materiais é tarefa comum em processos químicos e pode ser realizada através de válvulas ou pelo controle de velocidade em motores de corrente contínua ou alternada 241 VÁLVULAS DE CONTROLE Válvulas de controle são equipamentos presentes na maioria dos processos químicos e consistem de três partes válvula atuador e posicionador Requerem uma série de especificações para serem utilizadas sendo as mais comuns dos tipos globo e esfera Os mecanismos de atuação podem ser elétricos ou pneumáticos sendo os últimos mais utilizados Os mecanismos pneumáticos são basicamente constituídos por um diafragma conectado a uma mola e uma haste plug Em um dos lados do diafragma existe uma câmara onde é injetado ar comprimido que pressiona a mola no sentido de movimentar a haste para abrir ou fechar a válvula Assim o atuador é dito arabre AO ou arfecha AC A forma de atuação pode ser utilizada de acordo com o controlador ação direta ou ação reversa ou por considerações de segurança Os posicionadores são os elementos que regulam a pressão 315psig exercida sobre o diafragma de um atuador de forma a posicionálo em uma fração de sua faixa de trabalho Os sinais de entrada destes equipamentos são em tensão ou corrente Em uma válvula o fluxo é alterado na proporção vCVfPgs12 A constante CV ou coeficiente da válvula é definido pelo fabricante Dependendo do projeto da válvula resulta f característica da válvula que representa a relação entre quanto a haste do atuador é movimentada 0 L 1 e quanto o fluxo é alterado Desta função resulta uma classificação destes dispositivos em linear fL Abertura rápida ou raiz quadrada fL12 e igual percentagem fRL1 Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 10 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As figuras que seguem foram extraídas de Chemical Engineers Handbook Robert H Perry e Don W Green Mc Graw Hill Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 11 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 12 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 13 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 242 INVERSOR DE FREQUÊNCIA De uma geração mais avançada de dispositivos finais de controle os inversores ou variadores de frequência representam uma excelente solução para o controle de velocidade de motores Incorporando possibilidades como comunicação analógica 4 20mA e serial RS232 configuração ampla controle PID feedback reversão de direção agenda de setpoint setpoint schedule indicador configurável etc permite um eficiente controle de velocidade de motores trifásicos mesmo em linhas monofásicas Os controle de vazão e nível em correntes bombeadas pode ser realizado por este dispositivo sem o uso de válvulas de controle 25 TRANSMISSÃO DE DADOS A transmissão de dados por via pneumática acontece através de tubos PVC ou polietileno de 14 ou 38 de diâmetro com paredes rígidas onde os efeitos de propagação Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 14 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS do sinal devem ser considerados Sinais neste formato são normalmente transmitidos por até 200m de distância respeitadas as condições do meio A transmissão elétrica de dados é mais flexível que a anterior e quase imune aos efeitos dinâmicos da linha de transmissão Cabos blindados contendo múltiplos fios são disponíveis para transmissão analógica enquanto para transmissão digital cabos do tipo partrançado cabo paralelo são usados além dos blindados A transmissão de dados na forma de corrente 420mA deve ser preferida pois na forma de tensão V os dados são mais facilmente corrompidos Cuidados especiais devem ser tomados entre eles aterrar os cabos em apenas uma das extremidades utilizar aterramento adequado conectar adequadamente cabos bem como cabos e equipamentos terminações Os efeitos mais comuns resultantes de problemas na transmissão são defasagem biasing ruído noise e atenuação A transmissão digital tornase mais vantajosa em grandes instalações onde muitos equipamentos estão conectados com grande tráfego de dados Os protocolos mais utilizados são o serial RS232 e RS585 o ethernet e especializados como Fieldbus e o profibus A tecnologia HART que utiliza sinais analógicos 420mA e digitais 1200bps está presente em muitas aplicações 26 TRANSDUTORES E TRANSMISSORES Na prática a nomenclatura de transmissores sensores e transdutores é confusa Alguns profissionais de processos referemse indistintamente aos casos contudo isto não parece adequado desde que o sinal de um elemento sensor nem sempre é passível de ser transmitido de forma adequada É requerido assim um transmissor para exercer as funções de converter o sinal em outra forma linearizálo e retransmitilo Em certos casos o transdutor seria representado por um elemento sensor uma pequena unidade de processamento de sinal e um transmissor Os transdutores mais comuns são Transdutor VI recebe um sinal em tensão 15VDC por ex e retransmite em corrente 420mA por ex Transdutor IV recebe um sinal em corrente 420mA por ex e retransmite em tensão 15VDC por ex Transdutor IP recebe um sinal em corrente 420mA por ex e retransmite em pressão 315psig por ex Transdutor de pressão recebe um sinal em pressão e retransmite em corrente ou tensão Corresponde ao próprio sensor de pressão na maioria dos casos Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 15 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Transdutor pt100I recebe um sinal de um sensor pt100 ohm e retransmite em corrente Transdutor TermoparI recebe um sinal de um termopar mV realiza a compensação da junção referência e retransmite em corrente SCR siliconcontrolled rectifier recebe um sinal em corrente contínua e varia a potência aplicada a um elemento de aquecimento 27 CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS Algumas características devem ser consideradas quando da definição de um equipamento são elas Faixa range e span a faixa compreende os limites do intervalo de trabalho enquanto span é o intervalo de trabalho limite superior limite inferior Exatidão Accuracy diferença entre o valor medido e o valor real ou padrão aceito Pode ser expressa na forma do valor absoluto da diferença do valor medido na forma de percentual do valor medido na forma de percentual do limite superior de medição e na forma de percentual do span mais comum Resolução menor alteração na entrada que resulta em uma mudança na saída do transdutor Precisão distância entre os valores medidos que pode ser observada com base em uma certa resolução Repetibilidade diferença entre medidas para as mesmas condições em um processo 28 HARDWARE DE CONTROLE PLC ou CLP controlador lógico programável atualmente consiste de um sistema de sequenciamento digital microprocessado com capacidade para implementar funções boolenas OR AND NOT XOR etc dispondo também de funções matemáticas exp seno log etc temporizadores contadores comunicação via RS232 RS485 e ethernet Os CLPs mais sofisticados implementam inclusive controladores contínuos como PID onde é permitida interação entre o PID e as funções lógicas implementadas Pode ser programado através de linguagens de programação como C PASCAL BASIC FORTRAN Assembler ou através de diagramas lógicos conhecidos como ladder diagrams Multiplexador dispositivo que permite direcionar chavear uma entrada ou saída de um dispositivo multiplicando sua capacidade Neste dispositivo primeiro é enviado um Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 16 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS sinal indicando o caminho deve ser seguido e depois é enviadorecebido o sinal para este Placas ou cartões AD e DA responsáveis por realizar a interface entre um computador digital e um sinal analógico Possuem precisão numérica limitada dada pela quantidade de bits utilizada na representação dos dados Uma placa com precisão de 12bits pode representar um sinal na faixa de 420mA span16 com 162121 00039mA de resolução Assim se um elemento sensor é utilizado para medir temperatura na faixa de 01 000C a precisão da medida será 024C ou seja não existe diferença entre T251 e 252C Computadores e Sistemas digitais a crescente capacidade computacional e a produção em série de computadores permitiram à indústria em geral a expansão e sofisticação dos sistemas de automatização e controle com custo reduzido Deste fato resultaram complexas redes de comunicação permitindo um acompanhamento rigoroso do processo e ajuste contínuo dos objetivos de controle Também resulta deste fato a grande quantidade de informações disponibilizada aos operadores e engenheiros de processos A aplicação de sistemas digitais no controle de processos implica na substituiçãoadequação de muitos sistemas principalmente os ditos de nível 0 como sensores e atuadores para os quais o princípio de operação é intrinsecamente analógico Porém conduz a um complexo acoplamento de mecanismos constituindo um sistema de controle distribuído DCS Distributed Control System que consiste justamente de sistemas microprocessados interligados por uma rede digital Os sistemas interligados são representados por sensores atuadores CLPs Registradores Indicadores Multiplexadores Interfaces Homemmáquina servidores estações de controle controladores terminais de programação unidades de backup etc Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 17 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Fonte Chemical Engineers Handbook Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 18 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 29 SIMBOLOGIA Para representar as funções dos instrumentos na planta usase a notação ISA com um círculo contendo duas letras ou três letras A primeira letra corresponde a variável de processo e a segunda e a terceira correspondem a um modificador de função ou a função do dispositivo T transmissor Ccontrolador Iindicador Também é possível identificar a malha de controle inserindo um número abaixo das letras para indicála Os símbolos mais frequentemente utilizados em diagramas de controle de processos químicos são Medição Símbolo Significado TT Transmissor de temperatura Temperature Transmitter PT Transmissor de pressão Pressure Transmitter LT Transmissor de nível Level Transmitter AT Transmissor de composição Analysis Transmitter FT Transmissor de fluxo Flow Transmitter Atuação Símbolo Significado Válvula de controle com acionamento pneumático por diafragma Válvula de controle com acionamento por solenoide Válvula de controle com acionamento por pistão Válvula de controle com ajuste manual Bomba Transmissãoretransmissão Símbolo Significado Linha de transmissão elétrica linha de transmissão pneumática Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 19 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Sinal indefinido Sinal hidráulico IP Transdutorconversor corrente para pressão IV Transdutorconversor corrente para tensão ControleIndicação Símbolo Significado TC Controlador de temperatura Temperature controller PC Controlador de pressão Pressure controller FC Controlador de fluxo Flow controller TI Indicador de temperatura PI Indicador de pressão FI Indicador de fluxo Exemplo de identificação fonte Process Control Fundamentals Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 20 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Exemplo de simbologia fonte Process Control Fundamentals Detalhamento da simbologia ISA fonte Process Control Fundamentals Para uma descrição completa da simbologia de instrumentação pode ser consultado o guia de The Instrumentation Systems and Automation Society ISA 210EXERCÍCIOS 1 Para uma ilustração mais completa segue uma figura retirada de Mazzucco 2003 para um sistema para polimerização de estireno Refaça esta ilustração com a simbologia apresentada Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 21 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Fonte Mazzucco 2003 Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 22 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2 No diagrama abaixo indique a função de cada instrumento numerado e a natureza dos sinais de medição e controle elétrico pneumático analógico digital etc bem como a possível faixa de operação e transmissão de cada instrumento Água fria Água fria Vapor saturado AT TT ProdutosConc Temp ReagentesConc Temp AC IP AD Computador Controlador DA IP IP Reator Trocador de calor 1 2 3 4 5 6 7 3 No fluxograma da coluna de destilação abaixo o engenheiro esqueceu de completar os instrumentos necessários para compor a malha de controle Faltou Na corrente de alimentação o controle do fluxo de entrada para evitar a inundação da torre Na saída da coluna faltou o controle de nível no tambor de refluxo Na base faltou o controle de nível Também faltou incluir o controle de pressão na coluna através do vapor dágua utilizado no refervedor Faltou incluir instrumentos para indicar a temperatura e a pressão no topo e na base da coluna bem como para indicar os fluxos de líquido nas saídas da coluna e na alimentação Faça a proposta de instrumentação e controle da coluna completando o fluxograma abaixo Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 23 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Água Vapor dágua sat F1 F2 F3 F21 F22 F31 F32 F4 Condensado saturado V3 L3 V2 L2 vapor benzenotolueno 989benzeno 45 benzeno 55Tolueno liq benzenotolueno 15benzeno Tambor de refluxo 4 ENC1998 O fluxograma abaixo representa de modo resumido uma unidade para a produção de etilbenzeno a partir de benzeno e etileno A reação de alquilação do benzeno produz no entanto não apenas etilbenzeno reações sucessivas produzem o benzeno di e trialquilado Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 24 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Os produtos polialquilados são indesejáveis devido ao baixo preço de mercado Para minimizar a produção dos polialquilados operase o reator com excesso de benzeno convertendo os polialquilados em etilbenzeno Note que quanto maior o excesso de benzeno empregado no reator mais elevada será a conversão em etilbenzeno Com base nessas informações i ii considerando a alimentação da coluna A constante esquematize a forma mais simples de controlar essa coluna malhas de controle de modo a garantir a sua operação estável mantidas constantes a pressão e a temperatura de operação da mesma Resposta esperada 5ENC2000 O fluxograma abaixo representa de modo simplificado um processo para produção de acetato de vinila a partir de etileno C2H4 e ácido acético C2H4O2 Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 25 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O reator opera em fase gasosa empregando paládio como catalisador As duas principais reações que ali ocorrem são Reações secundárias não descritas produzem acetato de etila e compostos de elevada massa molar resinas gerados pela polimerização do acetato de vinila na descarga do reator Os gases que deixam o reator são resfriados e alimentados a uma coluna lavadora que separa os componentes condensáveis água acetatos resinas e ácido acético dos incondensáveis dióxido de carbono etileno e oxigênio A solução obtida no fundo da lavadora é fracionada em uma coluna de destilação A coluna de destilação fraciona a solução que deixa o fundo da lavadora Além do produto principal acetato de vinila obtêmse acetato de etila tem valor comercial segue para tancagem e é vendido ácido acético é reciclado para o processo A corrente de água e o produto de fundo da coluna devem ser descartados a b A corrente de água contém ainda 1 molar de ácido acético como contaminante A neutralização do ácido tornase imperativa antes do seu descarte Supondo a utilização de um tanque de neutralização de operação contínua esquematize a instrumentação necessária à sua operação automática Resposta esperada Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 26 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 6 ENC2001 Um reator de hidrogenação catalítica processará uma fração de petróleo a 5 x 106Pa e 440oC O hidrogênio será alimentado em grande excesso contendo 4 de CH4 impureza que não toma parte na reação O efluente do reator deverá ser resfriado até 220oC condensando os compostos subcríticos da mistura para então ser submetido a uma expansão súbita flash A expansão adiabática promoverá a separação dos não condensáveis H2 e CH4 da fase líquida produto da reação Para o reaproveitamento do hidrogênio em excesso parte da fase gasosa deverá ser recomprimida e reciclada para o reator veja o fluxograma abaixo a Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 27 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS b Esquematize a instrumentação mínima necessária para manter constante a pressão na descarga do tambor de flash Resposta esperada A pressão na descarga do tambor de flash poderá ser controlada por uma válvula que regule a vazão de descarga na purga 7ENC 2002 No processo de produção de etanol por fermentação de açúcar tem sido sugerido o aproveitamento do dióxido de carbono gerado na fermentação como alternativa para melhorar a economia do processo O fluxograma abaixo representa uma proposta para uma unidade de recuperação de CO2 Forneça o nome e a função de cada um dos oito itens indicados no fluxograma Resposta esperada 1 Absorvedora ou coluna de absorção Função remover o O2 e N2 da mistura de gases CO2 O2 N2 H2O etanol retirada da dorna de fermentação por absorção do CO2 em um solvente líquido 2 Trocador de calor Função reduzir a temperatura do solvente líquido de modo a aumentar a solubilidade do CO2 para tornar possível a operação de absorção 3 Coluna de esgotamento stripping do CO2 Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 28 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Função retirar separar o CO2 do solvente líquido por aumento de temperatura 4 Compressor Função aumentar a pressão do gás para permitir a condensação a temperaturas tecnicamente viáveis 5 Trocador de calor Função reduzir a temperatura do gás comprimido facilitando a compressão do segundo estágio 6 Coluna de adsorção Função retirar a umidade da mistura gasosa evitando a formação de gelo no trocador seguinte 7 Controlador de nível Função manter o selo líquido no fundo da torre absorvedora 8 Válvula de segurança e alívio Função impedir danos físicos provocados pela elevação da pressão acima dos níveis preestabelecidos nos equipamentos 8ENC2003 Uma empresa está planejando instalar uma coluna de destilação para recuperar ácido acético de uma corrente de rejeito objetivando reduzir o seu passivo ambiental Uma firma de consultoria submeteu o fluxograma de engenharia simplificado apresentado abaixo O engenheiro revisor identificou dois erros graves que inviabilizam tecnicamente o projeto assinalandoos no fluxograma Apresente as razões que levaram o engenheiro a apontar esses dois erros Resposta esperada Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 29 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A válvula VG02 está sendo controlada pelo nível do tambor de refluxo Isso impede que se possa estabilizar a vazão do refluxo em conseqüência a razão de refluxo em um valor adequado para a separação desejada tornando o controle da qualidade do produto de topo impraticável A corrente de fundo da coluna de destilação é de líquido saturado Nessas condições a instalação de uma válvula de controle na sucção da bomba poderá provocar a cavitação na bomba 9 ENADE2008 Propõese um novo processo para produzir 12butadieno a partir do butano Empregase para isso um reator que opera em fase líquida com catalisador na forma de partículas sólidas muito finas dispersas no líquido operando a 80 oC e 9 bar A figura abaixo mostra o fluxograma do processo Memorial Descritivo Butano é alimentado ao reator pela corrente 1 No reator ocorre a reação C4H10 C4H6 2H2 com conversão de 60 da carga A descarga é feita pela evaporação dos produtos e do reagente que deixam o reator pela corrente 2 de modo a evitar operações para a recuperação do catalisador O condensador parcial TC1 condensa e resfria parte da descarga O vaso V1 separa a fase líquida do hidrogênio formado A fase líquida é separada na destiladora T1 obtendose no fundo o 12butadieno com pureza de 98 molar O butano é recuperado no topo da torre e reciclado para o reator A destiladora opera a uma pressão de 27 bar Analisando o processo proposto constatase que a Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 30 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A produção da unidade será controlada de forma muito eficiente pelo medidor de vazão instalado na corrente de butadieno que deixa o fundo da torre destiladora B corrente 3 que descarta o hidrogênio formado na reação a partir do vaso V1 sairá saturada com butano e 12butadieno o que exigirá a instalação adicional de uma torre lavadora scrubber para reduzir as perdas desses compostos C pressão de operação da torre destiladora sabendose que a saturação do butano a 27 bar ocorre a 28oC está adequada ao uso de água como fluido de resfriamento do condensador de topo como proposto no fluxograma D válvula de controle instalada na tubulação que deixa o fundo da torre e que controla o nível do selo líquido está na posição correta E destiladora pode ser substituída por um tambor flash que permitirá a separação do 12butadieno na pureza desejada 98 molar com evidente economia no capital investido e na energia empregada na separação Resposta esperada O item correto é a letra B Instrumentação de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 31 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 32 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O modelo de um processo corresponde à representação matemática dos sistemas por este contidos Isto não significa que o comportamento de um sistema deve ser conhecido com exatidão mas apenas com precisão suficiente para a proposta em que este está inserido Em processos químicos estão envolvidas transformações físicas e químicas Desta forma o modelo deve considerar aspectos relevantes como cinética química efeitos das transferências de calor massa e quantidade de movimento termodinâmica relações empíricas e efeitos físicos como dissipação elétrica mecânica etc É oportuno ressaltar que nem sempre o modelo mais preciso é o mais adequado para todas as situações Também deve ser considerado que para certos propósitos os modelos fenomenológicos teóricos podem ser substituídos por modelos empíricos e estatísticos A modelagem matemática de acordo com a forma é útil em casos diversos destacandose Simulações de comportamento em situações variadas treinamento de operadores análise de risco manual de segurança otimização das condições de operação projeto de sistemas de controle e controladores ajuste de controladores e alterações no processo 31 MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS A modelagem fenomenológica de processos químicos está baseada nos princípios de conservação da massa energia e quantidade de movimento Estas quantidades são determinadas entre outras a partir de medidas de características físicas e químicas como densidade concentração temperatura fluxo volumétrico velocidade linear pressão capacidade calorífica condutividade térmica etc Os modelos de processos químicos podem abordar casos em regime permanente estado estacionário ou em estado transiente Os modelos dinâmicos estado transiente são descritos por um sistema de uma ou mais equações diferenciais ordinárias ou parciais e equações algébricas Os sistemas estáticos por sua vez podem ser caracterizados pelos mesmos tipos de equações porém excluindose a dependência do tempo As equações baseadas nos princípios de conservação balanços em processos químicos requerem também equações ditas constitutivas onde estão contemplados efeitos como taxa de reação equilíbrio termodinâmico taxas de transferência de calor massa e quantidade de movimento taxa de crescimento microbiano estimativas populacionais etc Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 33 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Em um sistema estipulado os balanços procedem a partir dos princípios de conservação Para massa e energia temos F1 F2 Sistema dEdt EUt Kt Pt dmdt UUtUtt KKtKtt PPtPtt Q W com Onde Fj Fluxo de massa ou molar ou vazão mássica de uma corrente massatempo Fij Fluxo de massa ou vazão mássica da espécie i numa corrente j massaitempo ri Taxa de reação química da espécie i massa ou mols de iVolumetempo V Volume do Sistema m Massa do Sistema mi Massa da espécie i no Sistema vj Fluxo volumétrico ou vazão volumétrica da corrente j volumetempo j densidade da corrente j H Entalpia por unidade de massa ou molar K Energia cinética por unidade de massa ou molar P Energia potencial por unidade de massa ou molar Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 34 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS K Energia Interna por unidade de massa ou molar WS Fluxo de energia na forma Trabalho de eixo work shaft Q Fluxo de energia na forma de Calor Destacamse neste caso duas equações constitutivas Transferência de calor Q UATCTvizinhançasTsistema Cinética da reação onde U Coeficiente global de transferência de calor ATC Área para transferência de calo A Fator de frequência ou préexponencial EAEnergia de Ativação da reação R Constante dos gases ideais TTemperatura em escala absoluta Ck Concentração mássica ou molar da espécie k nk ordem da reação em relação a espécie k É claro que esta representação é geral e portanto não contempla muitos casos de engenharia por isso serão desenvolvidos modelos para alguns casos típicos de processos químicos 311 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO F1 F2 h D Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 35 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Tratase de um tanque continuamente alimentado com líquido cujo nível deste h depende dos fluxos de entrada e saída Por sua vez o fluxo de saída depende do nível de líquido no tanque Balanço de Massa Global no interior do tanque com A D24 A equação de Bernoulli para o escoamento em uma restrição descreve a vazão na saída do tanque em proporção à pressão exercida na restrição válvula Considerando descarga livre PPatmgh Assim Ao invés da equação de Bernoulli o escoamento na saída poderia ser representado através da analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos onde a diferença de potencial é diretamente proporcional ao produto da corrente elétrica pela resistência oferecida pelo elemento considerado Neste caso sendo RV a resistência ao escoamento oferecida pela válvula hv2RV UIR na eletricidade v2 hRV Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 36 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que a mudança na representação do modo de escoamento produziu uma equação diferencial não linear no primeiro caso e uma linear no segundo As implicações disto serão discutidas oportunamente 312 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR F1 F2 F3 F4 h D Tratase de um tanque de aquecimento encamisado onde é utilizado vapor dágua saturado como fonte de energia O vapor deixa a camisa como condensado saturado em uma temperatura T4 Balanço de Massa Global no interior do tanque com A D24 Balanço de energia no interior do tanque Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 37 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial admitindo fluido incompressível e trabalho desprezível Com CPcte Substituindo o balanço de massa e fazendo Tref0 Com 12 CP CP1 CP2 TT2 Incorporando a equação para transferência de calor Q UATCT4T Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 38 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 313 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA vA0CA0 vA1CA1 T1 T0 vA2 T2 vA3 T3 CA T Tratase de um reator químico em regime de operação contínua perfeitamente agitado onde ocorre uma reação AB de primeira ordem A reação é exotérmica assim o reator é resfriado por uma correntede FA2 a uma temperatura T2 O nível de líquido no tanque é constante bem como a densidade da mistura Balanço de Massa Global no interior do tanque densidade e nível constantes Balanço Molar para a espécie A Balanço Molar para a espécie i qualquer em relação ao reagente limite A onde icoeficiente esteq de i coeficiente esteq de A prod reag com iFi0FA0 Balanço de energia no interior do tanque com FiCiv A energia total do sistema é a soma dos produtos das energias específicas Ei das várias espécies no volume do sistema pelo número de mols destas espécies Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 39 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS E Negligenciando as mudanças nas energias cinética e potencial e mantendo a energia interna U obtemos a entalpia Hi E Onde Vi é o volume molar Lgmol Diferenciando em relação ao tempo e substituindo na equação do balanço de energia Q Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial admitindo fluido incompressível e trabalho desprezível com Fi0Ci0v0 Com o balanço molar para a espécie i negligenciando a variação da pressão total e considerando o caso de nenhuma mudança de fase a equação fica Rearranjando Como Hi CPiTTref e Fi0FA0i T1T CA1CA e admitindo CP médio onde Para uma reação em fase líquida a seguinte aproximação é frequentemente realizada Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 40 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS onde CPS é a capacidade calorífica da solução Com esta aproximação assumindo que todas as espécies entram com a mesma temperatura T0 incorporando a equação para transferência de calor e considerando mistura perfeita na camisa Q UATCT3T 314 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO L G xf y3 L x3 G y2 L x2 G y1 L G x3 yf L xi1 G yi L xi G yi1 i Tratase de uma coluna de absorção de três estágios onde é injetado um gás na base e um dos componentes deste é absorvido em um líquido cuja corrente é alimentada no topo G e L representam os fluxos molares das respectivas correntes bem como yf e xf representam as frações molares do componente absorvido nas correntes de gás e líquido respectivamente Este equipamento é frequentemente associado em série para Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 41 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS aumento de capacidade Em cada estágio da coluna será considerado contato perfeito de forma que o componente absorvido esteja em equilíbrio nas correntes de gás e líquido que deixam cada estágio Balanço de massa global mols Considerando densidade constante invariável com a mudança de concentração e nível de líquido constante em cada estágio Balanço molar para o componente absorvido A no estágio i Da condição de equilíbrio yAiaxAib Como NAiNxAi Como NVMol e LvMol dividindo a equação por L Para o primeiro estágio Para o segundo estágio Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 42 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para o terceiro estágio Onde fator de Stripping razão gáslíquido tempo médio de residência As equações para os três estágios são combinadas pois a composição em um estágio depende dos estágios adjacentes 315 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO vapor TS condensado TS z z0 zL Fluido v Tz0t Fluido v TzLt Tratase de um trocador de calor tipo duplo tubo com operação em contracorrente A corrente quente é caracterizada por vapor saturado numa temperatura TS e a corrente fria é sujeita a um perfil de temperatura ao longo do comprimento do tubo z e ao longo do tempo Para tornar mais realística esta modelagem será assumido que a resistência térmica na parede do tubo interno é significante de forma que a temperatura da parede não possa ser admitida nem como TZ nem como TS e exista um perfil de temperatura na parede ao longo do tempo e do comprimento z ou seja TPTPzt Balanço de energia no conteúdo do tubo interno Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 43 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Aplicando o limite quando z0 onde densidade do fluido As área da seção transversal D24 D diâmetro do tubo interno exceto espessura do casco TP temperatura na parede h coeficiente de transferência de calor do fluido v fluxo volumétrico volumetempo O termo é o tempo característico de aquecimento do fluido Q Balanço de energia no casco do tubo interno onde P densidade do material do tubo AsP área da seção transversal De 24D24 De diâmetro externo do tubo interno com espessura do casco TP temperatura na parede Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 44 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS TS temperatura do condensado saturado CPPcapacidade calorífica do material do tubo hS coeficiente de transferência de calor do condensadoexterior h coeficiente de transferência de calor do fluido interior Resumo as duas equações resultantes representam os perfis de temperatura no fluido frio e nas paredes do tubo interno As equações são dependentes e constituem um problema de valor de contorno Assim é requerido que se conheça as condições de contorno Estas condições podem ser obtidas considerando operação em estado estacionário desta forma isolando TP na última equação substituindo na anterior e resolvendo a equação diferencial ordinária resultante obtémse Tz e TP em z0 e em zL Com as condições iniciais definidas e lembrando que Tz Tzzt e Tw Twzt temos Tz00 e TzL0 A solução numérica das edp equação diferencial parcial pode ser obtida pela discretização destas em z de forma que um sistema de edo equação diferencial ordinária será obtido A discretização pode ser efetuada aproximando a derivada parcial em z pelo método das diferenças finitas Isto equivale a dividir longitudinalmente o tubo resolvendo as edo resultantes para cada fração de tubo obtendo assim ao final de cada integração a temperatura de cada seção que corresponde a condição inicial da seção seguinte A solução das edo para a última fração fornecem TzLt e Tw TwLt Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 45 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As equações discretizadas ficam Observe que para N divisões no tubo serão obtidas 2N edo e que a precisão desta solução numérica é tanto maior quanto maior for o valor de N Este modelo difere dos anteriores por constituir um modelo a parâmetros distribuídos enquanto os anteriores correspondem a modelos a parâmetros concentrados 32 SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE Os exemplos apresentados podem ser resolvidos com GNU Octave através das subrotinas lsode e ode45 No MathWorks Matlab a subrotina ode45 pode ser utilizada Nos dois pacotes de solução numérica os procedimentos são idênticos No exemplo anterior foi utilizado GNU Octave 33 EXERCÍCIOS 1 Desenvolva a solução numérica para o modelo do trocador de calor duplo tubo 2 Entre os exemplos trabalhados está o modelo de esvaziamento e enchimento de um tanque de estoque de líquido No modelo trabalhado a área da seção transversal é constante Faça o modelos para um tanque cônico Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 46 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 3 ENADE 2008 Pseudocódigo é uma forma genérica de se escrever um algoritmo da forma mais detalhada possível utilizandose uma linguagem simples nativa a quem o escreve de modo a ser entendida sem necessidade de se conhecer a sintaxe de uma linguagem de programação específica Apresentase abaixo o pseudocódigo de um algoritmo capaz de resolver equações diferenciais da forma frequentemente encontrada em problemas de modelagem em engenharia Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 47 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Uma forma equivalente e algumas vezes complementar ao pseudocódigo utilizada para se representar um algoritmo é o diagrama de fluxos fluxograma Que fluxograma representa de modo mais preciso o pseudocódigo descrito acima Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 48 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A B C D E Modelagem de Processos Químicos Marcos Marcelino Mazzucco 49 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 50 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A modelagem matemática dinâmica de processos recai em EDOs que estão sujeitas às soluções analítica ou numérica Quando as equações que descrevem um sistema são equações diferenciais lineares é conhecida uma ferramenta matemática chamada Transformada de Laplace que permite a solução rápida e simplificada destas A ferramenta consiste em transformar uma EDO em uma equação algébrica EA em um domínio transformado chamado Domínio de Laplace onde a equação é resolvida Obtida a solução neste domínio transformado procedese a operação inversa e a solução no domínio do tempo é obtida 41 DEFINIÇÃO O domínio de Laplace ou domínio s é obtido pela transformação de uma função ft no domínio do tempo pela integração da função ft multiplicada por est com t00 e t Fs representa a função ft transformada para o domínio de Laplace e L é o operador de Laplace O operador inverso de Laplace L1Fs transporta a função Fs para o domínio original tempo 42 PROPRIEDADES Para que uma função ft seja transformada usando o operador de Laplace é requisito básico que a função seja contínua para t0 Além disso a transformada de Laplace é uma operação linear ou seja satisfaz o princípio geral da superposição Laf1tbf2taLf1t bLf2taF1sbF2s onde f1 e f2 são funções no tempo e a e b são constantes 43 OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S As regras básicas para operações no domínio s são Lf1t f2tF1s F2s Lf1t f2tF1s F1s Laft aFs LftesFs LdftdtsFsf0 Ld2ftd2ts2Fssf0dfdt0 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 51 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS LdnftdntsnFssn1f0dfn1d n10 L Fss Tabela 41 Transformadas de Laplace ft Fs observação 1 impulso unitário função delta de Dirac St St0 para t0 e St1 para t0 degrau unitário a a constante t rampa unitária tn1 ebt crescimento exponencial 1ebt decaimento exponencial et1 tn1ebtn1 com n0 tn1etnn1 ebt eatab et1 e t212 cabaeat cbabebt 111312et1 122321et2 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 52 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1et sent senóide cost cosenóide sent eatsent a real senoide amortecida eatcost a real cossenoide amortecida 01 11et 12et2 21 12 01 01 13112et1 3221et2 12 eatbaca ebtcaab ectacbc eatebtba dfdt sFsf0 Equação Diferencial Ordinária EDO de 1a ordem dnfdtn EDO de ordem n Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 53 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Fss integral A Tabela 41 é utilizada nas mudanças de domínio ts e st sendo necessário primeiro obter formas para ft e Fs que nela se enquadrem Tabelas mais completas podem ser obtidas em livros de cálculo 44 TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL O valor de uma função ft quando t ou seja pode ser determinado no domínio de Laplace com Res0 parte real de s para todo s pela expressão Da mesma forma o valor inicial de uma função ft quando t0 ou seja pode ser determinado no domínio de Laplace pela expressão Obs Re s 0 para todo s é a condição para que a função sFs seja contínua Caso a função não seja limitada no domínio do tempo o teorema não pode ser aplicado Observase isto se ao menos uma das raízes do denominador de Fs for positiva ou for um número complexo com parte real nula e parte imaginária positiva ou for um número complexo com parte real positiva e parte imaginária com qualquer sinal Estes teoremas não podem ser aplicados se ft não for assintótica 45 TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 54 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A translação do tempo time delay consiste em um atraso no aparecimento da resposta de uma função após um estímulo entrada Em engenharia de processos é mais comumente referida como tempo morto dead time O tempo morto na maioria dos processos químicos é caracterizado pelo atraso de transporte resultante do escoamento de fluidos em tubos Matematicamente uma função ft atrasada no tempo em unidades de tempo pode ser representada por gtftSt Onde S é a função degrau definida como St0 para t e St1 para t Assim a transformada de ft fica LgtLftStesFs 46 TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA De forma diferente da translação no tempo a translação da transformada aparece no domínio de Laplace e não possui o mesmo significado A translação da transformada é o resultado da existência de funções exponenciais no domínio do tempo Ou seja Leatft Fsa Esta definição é extremamente útil na determinação da transformada inversa Por exemplo determinar a transformada inversa de Solução Da tabela ft Fs tn1ebtn1 Assim ft t21eat1 ft teat O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 55 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS De forma semelhante quando no domínio do tempo aparece eatft a transformada deste produto pode ser obtida a partir da transformada de ft Lft fazendo ssa no domínio de Laplace Por exemplo Determinar a transformada de ft eatsint Solução Da tabela ft Fs eatsent Assim Fs O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada Outro exemplo Vamos alterar a forma do denominador da equação completando o quadrado da equação do segundo grau Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 56 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS sent 47 COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA Dado que uma função Fs pode ser separada em funções parciais na forma FsF1s F2sFns a transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir das transformas das funções ou frações parciais ou seja Fs F1s F2sFns L1Fs L1F1s L1F2s L1Fns ft f1t f2t fnt O seguinte algoritmo representa a inversão da transformada algoritmo inversão Expandir a função Fs em uma série de frações parciais Determinar todas as constantes da série de frações parciais Determinar a transformada inversa de cada uma das frações parciais Compor a função no domínio do tempo fim Problemas de controle de processos envolvem frequentemente equações na forma chamada zeropolo com NM Para este modelo as frações parciais podem ser obtidas de acordo com os polos raízes do denominador da equação 471 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS Para raízes distintas reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 57 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Ex determinar a transformada inversa da função Fss1s2s3 A expansão em frações parciais fica Para determinar as constantes c1 e c2 podese utilizar três métodos 1MétodoMultiplicaçãoInspeção Multiplicar os dois lados da equação pelo denominador no lado esquerdo da equação Comparando os coeficientes dos dois termos da equação c1c21 3c12c21 Resolvendo c1 e c2 no sistema de equações resultante c11 c22 Portanto A transformada inversa fica Da tabela ft Fs ebt Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 58 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 2 MétodoSubstituição substituir dois valores de s na equação e resolver o sistema de equações resultante para ci Para s1 Para s1 O sistema de equações é A solução é c11 c22 No GNU Octave o sistema é resolvido facilmente GNU Octave 3150mEd 341 cMarcos Marcelino Mazzucco A1 12 1 34 B0 12 AB Obs A transformada inversa foi desenvolvida anteriormente 3 MétodoHeaviside o método da expansão de Heaviside consiste em algoritmo Heaviside inicio para cada uma das parcelas do denominador spn fazer Multiplicar os dois lados da equação pela parcela spn Na equação resultante fazer spn Determinar a constante que resta Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 59 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS fim para fim A solução é c11 c22 472 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS Para raízes múltiplas reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada onde rn é o expoente da parcela spn e assume valores 1 2 3 rn nNR N Número total de polos R Número de polos repetidos múltiplos NR Número de polos simples Ex Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 60 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS N4 R3 NR1 Para determinar 2 constantes podemos utilizar o método de Heaviside Multiplicando os dois lados da equação por s23 Com s2 Multiplicando os dois lados da equação Fs por s1 Com s1 Para determinar as 2 constantes restantes vamos substituir dois valores de s na equação e resolver o sistema de equações resultante para ci Para s1 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 61 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para s0 Resolvendo o sistema resultante no GNU Octave Código GNU Octave 3150mEd 341 CMarcos Marcelino MazzuccoDr A13 19 12 14 B15412127 128 AB A solução é c21 c31 Exercício Obtenha a solução no domínio do tempo 473 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS RAÍZES COMPLEXAS Para termos quadráticos com raízes apenas complexas a seguinte expansão pode ser realizada Exemplo Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 62 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O exemplo que segue mostra como aplicar a transformada inversa na equação resolvendoa através de dois métodos de expansão Expandindo em frações parciais considerando as raízes distintas Determinando as constantes distintas pelo método de Heaviside Rearranjando a equação expandida Substituindo as constantes Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 63 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A mesma solução poderia ser obtida considerando a expansão específica para raízes complexas apenas Sendo Multiplicando os dois lados da equação parte entre colchetes pelo denominador do lado esquerdo Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 64 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Analisando os coeficientes C1C30 C1PC20 C2PC321 Assim C1C30 C1C3 C1PC20 C2 C3P C2PC321 C3P 21P 22 C2P1P 22 C1P 21P 22 Retornando à função Ys As equações obtidas pelas duas formas de expansão são iguais sendo que a solução no domínio do tempo é ft Fs observação sent senóide et1 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 65 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS cost cosenóide 474 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE A subrotina residuepoli numerador poli denominador de GNU Octave realiza a expansão em frações parciais da razão de dois polinômios A subrotina residue expande a razão de dois polinômios na forma A subrotina residue retorna em ordem os valore de c p k e na equação anterior Ex Código Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco cpkeresidue11156 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 66 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A subrotina fracoesparciais faz interface com a subrotina residue e foi escrita para acompanhar este material realizando a expansão e apresentando o resultado na forma de texto A subrotina está disponível em httpwwweqmunisulbrprofmarcos e está apresentada no apêndice 1 Os parâmetros requeridos são os mesmos da subrotina residue e adicionalmente um parâmetro do tipo texto string pode ser utilizado para que o resultado seja apresentado também na forma de texto Matlab dispõe da subrotina printsys para exibir a função algébrica que representa um sistema Com Octave pode ser utilizada a subrotina tfout No apêndice 1 está a subrotina exibirft que também pode ser utilizada para esta finalidade Código Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco fracoesparciais11156s cpkefracoesparciais11156s Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 67 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para o caso da expansão em frações parciais com raízes múltiplas a lista de retorno da subrotina residue c p k e apresentará os graus das parcelas do denominador no parâmetro e cpkeresidue11718208 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 68 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4741 Multiplicação de polinômios com GNU Octave Na expansão em frações parciais se os polinômios no numerador e no denominador estiverem na forma zeropolo é necessário realizar o produto dos termos no numerador eou denominador para utilizar a subrotina residue Esta operação pode ser realizada manualmente ou utilizando a subrotina convAB onde A e B são vetores que representam os coeficientes de um polinômio apenas dois polinômios podem ser multiplicados por vez Ex A subrotina polymults apresentada no apêndice 1 foi desenvolvida para acompanhar este material e permite a multiplicação de diversos polinômios com apenas um comando simplificando a escrita das instruções Ex Código Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco conv1213 ppolymult1213s p pconvconvconv12131415 ppolymult12131415s Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 69 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4742 Adição de polinômios com GNU Octave Para somar dois polinômios podese utilizar a operação do GNU Octave que exige que os vetores que representam os polinômios tenham o mesmo número de coeficientes Ou também utilizar a subrotina polyadd s desenvolvida para acompanhar este material e listada no apêndice 1 A figura a seguir mostra a soma de dois polinômios realizada de várias formas Com a subrotina polyadd não é necessário que os dois polinômios sejam representados com o mesmo número de coeficientes desde que o significado seja mantido o parâmetro s é opcional Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco p112340 p200123 polyoutp1 polyoutp2 pp1p2 polyoutp ppolyadd12340123s Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 70 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 4743 Potenciação de polinômios com GNU Octave A subrotina polypowerpolinômioexpoentes apresentada no apêndice 1 foi desenvolvida para acompanhar este material e permite a potenciação de polinômios Código Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco polypower123s 48 SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 71 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A tabela de aplicação do operador de Laplace também pode ser aplicada para resolver equações diferencias ordinárias de ordem n desde que possuam coeficientes constantes e sejam lineares Para praticar vamos resolver um exemplo primeiro com uma EDO de ordem 1 com y01 Pelo princípio da superposição linear Da tabela ft Fs dfdt sFsf0 Para resolver uma EDO é necessária uma condição inicial Neste caso é y01 A expansão em frações parciais com GNU Octave é Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco cpkesfracoesparciais42polymult1043s ratsc ratsp Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 72 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Obs A subrotina rats determina a forma racional de um número 16666753 A solução no domínio do tempo é obtida através da transformada inversa Da tabela ft Fs ebt A Fazendo t0 obtémse a condição inicial Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 73 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para praticar melhor vamos resolver outro exemplo agora com uma EDO de ordem 3 As condições iniciais são Da tabela ft Fs dnfdtn dnfdtn Para o primeiro termo Como Os demais termos seguem o mesmo raciocínio Assim a transformada de Laplace da função fica Isolando Ys Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 74 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Resolvendo com GNU Octave Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco cpkesfracoesparciais1polymult101112 13s cratsc pratsp No domínio do tempo Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 75 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Da tabela ft Fs ebt A O gráfico a seguir representa esta função Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco t000110 plott16exp3t12exp2t12expt16 xlabeltylabely Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 76 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 49 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS A linearização de sistemas consiste em uma aproximação de uma equação não linear à uma forma linear de maneira que operadores lineares possam ser aplicados Usando expansão em série de Taylor com truncamento no termo de primeira ordem obtémse uma aproximação adequada para processos onde perturbações não produzem grandes desvios da posição aproximada Supondo uma equação na forma Linearizando no ponto x0 utilizando expansão em série de Taylor com truncamento no termo linear grau1 Assim Considere a equação com x04 e y02 Sendo fxy xy a aplicação a expansão em série de Taylor truncada no termo linear fica Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 77 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Então a EDO linearizada fica Em outro exemplo vamos testar a precisão desta linearização resolvendo a equação de balanço de massa no tanque de acumulação considerando os modelos apresentados anteriormente nas formas linear e nãolinear Para completar a comparação agora vamos considerar a linearização do modelo nãolinear para obter um terceiro modelo Linearizando o termo h12 Substituindo O programa para GNU Octave a seguir mostra a comparação entre os modelos completo linear e linearizado para duas perturbações 25 e 100 da vazão alimentação v0 program tanqueestoqueliquido Última gravação 02022009segundafeira2256 Software GNU Octave 3150mEd 341 Autor Dr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivo analisar modelos p tanque de estoque de líquido clear all var global v1 Kv h0 A Rv function dydx fyx global v1 Kv Rv h0 A y é o vetor de variáveis dependentes x é a variável independente txrenomear as variáveis para facilitar a compreensão modelo real hy1 dh1dtv1Kvh12A end modelo linearizado hy2 dh2dtv1Kvh012hh012h012A Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 78 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS end modelo linear hy3 dh3dtv1h1RvA end sistema de equações dydxdh1dtdh2dtdh3dt endfunction begin condições iniciais e propriedades físicas h01 valor inicial de h A1 Área ro1000densidadekgm3 g98ms2 v083600m3s Cvv0rog12 KvCvrog12 Rv1v0 tlinspace03600100 end primeiro teste vazão inicial v1103600m3s Integrar equações ylsodefh0h0h0t gráfico figure1 holdon plotty1bh plotty2rhLinearizado plotty3omhLinear xlabeltylabelhgridon end end segundo teste vazão inicial v1163600m3s Integrar equações ylsodefh0h0h0t gráfico figure2 holdon plotty1bh plotty2rhLinearizado plotty3omhLinear xlabeltylabelhgridon end end end Observe que o uso do identificador estrutural personalizado facilita a organização do programa e permite a visualização deste na forma de árvore no software MED 3x paginasunisulbreqmprofmarcos Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 79 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Os gráficos a seguir foram obtidos a partir do programa anterior Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 80 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 410RELAÇÕES ÚTEIS cosbtcosbt b0 senbtsenbt b0 Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 81 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 411EXERCÍCIOS 1 Linearize as seguintes funções a b y2x2x1x c rA02CACB 2 Manipule as expressões que seguem para que assumam as formas indicadas no lado direito da igualdade determinando as constantes indicadas a b c d e f g h i j k l Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 82 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS m n 3 Determine a solução no domínio do tempo para as equações a b c d e f dica use o teorema da translação g 4 Com uma planilha eletrônica faça os gráficos no domínio do tempo para as equações anteriores Faça também os gráficos com o GNU Octave 5 A equação representa um problema que envolve um destilador utilizado para separar uma mistura binária contendo A e B isotermicamente Resolva esta equação utilizando a transformada de Laplace para as seguintes condições Em t 0 XA 03 Em t t XA 04 Determine o tempo para que XA seja 04 através da transformada de Laplace e através da integração da equação no domínio do tempo Lembrese que quando yuv yuvuv Transformada de Laplace e Linearização de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 83 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 84 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 51 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência de um processo consiste na representação algébrica no domínio de Laplace da relação dinâmica existente entre a entrada e saída de um processo A função de transferência pode ser obtida a partir de um modelo de equações diferenciais lineares ou linearizadas ou através de ajuste de dados sobre uma função de transferência empírica Por questões práticas os modelos para funções de transferência são expressos na forma de variáveis desvio Ou seja no desvio entre o valor da variável e o valor desta no estado estacionário A linearização de sistemas nãolineares já resulta na forma de variáveis desvio 511 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM UMA ENTRADA E UMA SAÍDA Considere o exemplo F1 F2 U R I Tratase de um tanque de aquecimento onde é utilizada uma resistência elétrica como fonte de energia O nível de líquido no tanque é mantido constante e a temperatura de entrada é constante Balanço de Massa Global no interior do tanque Balanço de energia no interior do tanque Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial admitindo fluido incompressível e trabalho desprezível Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 85 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Com CPcte e mcte Com 12 CP CP1 CP2 TT2 No estado estacionário Subtraindo o modelo em estado estacionário do transiente Nomeando as variáveis desvio como Obtémse Fazendo e Aplicando a transformada de Laplace e considerando o sistema inicialmente em estado estacionário Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 86 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS De uma forma mais compacta onde G1s é a função de transferência que relaciona Ts e Qs Se Qt for perturbado na forma de um degrau de magnitude Q LQLQ Qs O diagrama de blocos a seguir representa esta função de transferência G1s Q1s Ts Para um desenvolvimento geral vamos considerar um processo cuja saída yt é influenciada pela entrada xt na forma da equação diferencial linear a seguir onde x e y são variáveis desvio Processo xt yt A transformada de Laplace da função com y00 e x00 em variáveis desvio fica De forma compacta Como a função de transferência relaciona saída de um processo com entrada deste isolando YsXs Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 87 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Onde m e n tal que mn são as ordens dos polinômios no numerador e denominador e correspondem as ordens das equações diferencias que representam a saída e a entrada O polinômio no denominador na função de transferência é chamado equação característica As raízes da equação característica são chamadas polos da função de transferência 512 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA Agora vamos considerar o tanque de aquecimento anterior onde a temperatura de entrada é variável Balanço de Massa Global no interior do tanque Balanço de energia no interior do tanque Com 12 CP CP1 CP2 TT2 No estado estacionário Subtraindo o modelo em estado estacionário do transiente Nomeando as variáveis desvio como Obtémse Fazendo Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 88 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS e Aplicando a transformada de Laplace e considerando o sistema inicialmente em estado estacionário De uma forma mais compacta onde G1s e G2s são funções de transferência que relacionam Ts e Qs e Ts e T1s respectivamente Para uma temperatura de entrada constante Se Qt for perturbado na forma de um degrau de magnitude Q LQLQ Qs Para uma adição de energia constante Se T1t for perturbado na forma de uma rampa de inclinação LT1Lt Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 89 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As funções G1s de G2s são independentes e caracterizam duas relações que de acordo com o princípio da superposição linear são somadas para caracterizar completamente Ts O diagrama de blocos a seguir representa esta função de transferência G2s T1s G1s Q1s Ts Para um desenvolvimento geral neste caso vamos considerar um processo cuja saída yt é influenciada pelas entradas x1t e x2t na forma da equação diferencial linear a seguir onde x1 x2 e y são variáveis desvio Processo x1t yt x2t A transformada de Laplace da função com y00 e x00 em variáveis desvio fica Como a função de transferência relaciona saída de um processo com entrada deste isolando YsXs Onde m1n e m2n Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 90 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS G1s X1s G2s X2s Ys Na forma matricial Na sua forma mais simples este sistema é modelado pela seguinte EDO Esta equação no domínio de Laplace resulta em Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 91 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Na forma matricial 513 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E AS FORMAS GANHOCONSTANTE DE TEMPO E ZEROSPOLOS A partir do teorema do valor final é determinado o ganho do processo em estado estacionário K Esta quantidade representa a razão entre a mudança na variável de saída entre dois estados estacionários para uma dada mudança na variável de entrada Ou seja O ganho em estado estacionário é obtido fazendo s0 teorema do valor final Colocando b0a0 em evidência resulta a forma ganhoconstante de tempo Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 92 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Colocando bman em evidência e determinando as raízes do numerador e denominador resulta a forma zerospolos As duas formas estão relacionas por Dica Na forma polinomial GanhoConstante de tempo os coeficientes dos termos de menor grau no numerador e no denominador devem ser um Ex Na forma polinomial zerospolos os coeficientes que acompanham os termos de maior grau no numerador e no denominador dever ser um Após isto as raízes do polinômio devem ser representadas Ex Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 93 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Outra propriedade importante da função de transferência é aquela que relaciona eventos linearmente independentes que ocorrem em paralelo A influência em paralelo das entradas de um sistema resulta na soma das funções de transferência individuais G1s X1s G2s X2s Ys Para eventos que ocorrem em série a função de transferência do sistema resulta no produto das funções de transferência individuais G1s X1s G2s X2s Ys 52 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Um sistema de primeira ordem é aquele descrito por uma EDO de primeira ordem Na forma ganhoconstante de tempo Sendo y e x variáveis desvio y00 x00 A função de transferência de um processo de primeira ordem é Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 94 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Aplicando L1 Ft Fs observação et 1 No domínio do tempo 521 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M xtMSt ft Fs observação St St0 para t0 e St1 para t0 degrau unitário et1 A representação com GNU Octave segue program degsistprimordem Última gravação 02022009segundafeira2310 Software GNU Octave mEd 30 Autor Marcos Marcelino Mazzucco Objetivo demonstrar a relação entre constante de tempo e resposta do sistema clear begin clc clf t00011 M1 Kp1 tau01 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 95 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS yMKp1expttau plotty xlabelt ylabelyt gridon xtautau2tau3tau4tau5 y2MKp1expxtau holdon plotxy2o for i15 text102xii01sprintf23g23gxiy2i text102xi004sprintfdxTaui plotxi xi 0 xi0 y2i y2i y2i endfor holdoff dispGráfico gerado FIM end Observase que decorrido 632 da variação de yt necessária para que o estado estacionário seja atingido em qualquer sistema de primeira ordem o tempo decorrido equivale a uma constante de tempo Após 2 yt atinge 865 do valor final após 3 yt atinge 95 do valor final após 4 yt atinge 982 do valor final e após 5 yt atinge 993 do valor final Assim dizemos que o estado estacionário é configurado Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 96 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS aproximadamente quando decorrem 4 unidades de tempo a partir da perturbação degrau 522 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA IMPULSO DE MAGNITUDE M xtM ft Fs observação 1 impulso unitário função delta de Dirac et1 A representação com GNU Octave segue program impsistprimordem Última gravação 02022009segundafeira2316 Software GNU Octave 3150mEd 341 Autor Dr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivo demonstrar a resposta de um sistema sistema de primeira ordem a um impulso de magnitude M clear all begin clc clf t00011 M1 Kp1 tau01 yMKp1tauexpttau plottyordem 1 xlabelt ylabelytt gridon end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 97 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 523 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA SENOIDAL xt Asent Xs A Onde A Amplitude Frequência angularPeríodo2 Obs Amplitude Altura da onda Período distância entre picos das ondas Observe o efeito de A e na função seno O seguinte código GNU Octave foi utilizado GNU Octave 3150mEd 341 CMarcos Marcelino Mazzucco t00012 A01 w2piPeriodo2piw1 plottAsinwtgridon Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 98 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Considerando uma entrada senoidal Expandindo em frações parciais considerando as raízes complexas Obs Neste exemplo P Determinando as constantes distintas pelo método de Heaviside Rearranjando a equação expandida Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 99 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Substituindo as constantes A mesma solução poderia ser obtida considerando a expansão específica para raízes complexas Sendo Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 100 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Multiplicando os dois lados da equação parte entre colchetes pelo denominador do lado esquerdo Analisando os coeficientes C1C30 C1PC20 C2PC321 Assim C1C30 C1C3 C1PC20 C2 C3P C2PC321 C3P 21P 22 C2P1P 22 C1P 21P 22 Retornando à função Ys Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 101 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As equações obtidas pelas duas formas de expansão são iguais sendo que a solução no domínio do tempo é ft Fs observação Sent senoide et1 Cost cossenoide A representação com GNU Octave segue GNU Octave 3150mEd 341 CMarcos Marcelino Mazzucco clear all clc t00012 A1 w4pi Kp1 tau01 holdon plottsinwt3entrada yKpA1tau2w2tauwexpttautauwcoswtsinwt plotty1saída xlabelt ylabelytt gridon Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 102 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 524 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA PULSO RETANGULAR DE MAGNITUDE M Um pulso ou impulso retangular pode ser representado como a soma de dois degraus com mesma magnitude e sinais contrários xtMStSttPR Nesta representação um pulso de magnitude M é aplicado no tempo t0 e mantido até o tempo tPR No tempo tPR a entrada x0 é restaurada Como a transformada de Laplace somente é definida para t0 podese escrever xtM1SttPR Aplicando a transformada inversa ft Fs observação 1et ftSt esFs translação da função Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 103 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS no tempo A representação com GNU Octave segue program pulsoretangularsistemaprimeiraordem Última gravação 06022009sextafeira1600 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada pulso retangular em um sistema de primeira ordem clear all function rStFunção degrau rzeros1lengtht for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction begin clcclf t00012 M1 Kp1 tau01 tPR05 holdon xlabelt ylabelyt gridon hndplottMStSttPR3entradasethndlinewidth2 yMKp1expttau1expttPRtauSttPR plotty1saída holdoff dispGráfico gerado FIM end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 104 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 53 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Um sistema de segunda ordem é aquele descrito por uma EDO de segunda ordem Na forma ganhoconstante de tempo Onde zeta amortecimento P tau constante de tempo do processo 1P frequência natural de oscilação KP ganho do processo Sendo y e x variáveis desvio y00 x00 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 105 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A função de transferência de um processo de segunda ordem é No domínio do tempo para o caso subamortecido ft Fs observação 01 O parâmetro fornece uma medida do amortecimento após uma perturbação ou seja uma medida da intensidade da oscilação natural da saída de um processo para uma entrada aplicada De acordo com o valor de um sistema de segunda ordem é classificado como sobreamortecido ou superamortecido 1 criticamente amortecido 1 ou subamortecido 01 A natureza de suas raízes do polinômio no denominador na função de transferência equação característica é diferente para classe sobreamortecido 1 raízes reais e distintas criticamente amortecido 1 raízes reais e iguais raízes múltiplas subamortecido 01 raízes complexas As raízes da equação característica pólos são Assim a função de transferência pode ser escrita nas formas Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 106 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS onde 531 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M xtMSt De acordo com as raízes da equação característica três funções no domínio do tempo serão obtidas a sobreamortecido 1 raízes reais e distintas ou onde Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 107 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Determinando as constantes pelo método de Heaviside ft Fs observação St St0 para t0 e St1 para t0 degrau unitário ebt crescimento exponencial tn1etnn1 Como Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 108 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Como Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 109 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As respostas para uma perturbação degrau com diferentes valores de 1 são apresentadas a seguir Observe que o aumento no valor de provoca um aumento no amortecimento program degsistsegordemsobreamortec Última gravação 06022009sextafeira1607 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistema de segunda ordem clear all begin clc t00011 M1 Kp1 tau01 clg holdon titleSistema de segunda ordem sobreamortecido zeta1 xlabelt ylabelyt grid i0 for zeta11 15 2 3 i sqrtzetasqrtzeta21 argttausqrtzeta yMKp1expzetattauzetasqrtzetasinhargcosharg plottysprintfdgizeta endfor end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 110 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS b sub amortecido 01 raízes complexas As respostas para uma perturbação degrau com diferentes valores de 01 são apresentadas a seguir Observe que o aumento no valor de provoca um aumento no amortecimento enquanto a diminuição no valor de provoca um aumento das oscilações Quando 0 as oscilações não são amortecidas program degsistsegordemsubamortec Última gravação 06022009sextafeira1613 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistema de segunda ordem clear all begin clc t00013 M1 Kp1 tau01 clf holdon titleSistema de segunda ordem subamortecido 0zeta1 vfones1lengtht plottvf2valor final i0 for zeta0 02 04 06 09 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 111 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS i sqrtzetasqrt1zeta2 argttausqrtzeta yMKp1expzetattauzetasqrtzetasinargcosarg plottysprintfdzetagizeta endfor xlabelt ylabelyt gridon end c criticamente amortecido 1 raízes reais e iguais raízes múltiplas A resposta para uma perturbação degrau com 1 é apresentada a seguir Observe que este caso é a situação limite dos casos anteriores quando 1 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 112 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS program degsistsegordemcriticamortec Última gravação 06022009sextafeira1620 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistema de segunda ordem clear all begin clc t00011 M1 Kp1 tau01 zeta1 clf holdon titleSistema de segunda ordem criticamente amortecido zeta1 xlabelt ylabelyt grid yMKp11ttauexpttau plottysprintfgzeta end 532 CARACTERÍSTICAS DAS RESPOSTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Sistemas de segunda ordem que são superamortecidos tornamse mais lentos a medida aumenta Os sistemas criticamente amortecidos são os que possuem a resposta mais rápida possível sem oscilação Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 113 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Os sistemas subamortecidos são sistemas oscilatórios que possuem as características ilustradas a seguir Sobreelevação overshoot OS é a razão entre a distância do pico da primeira elevação relativo ao valor final da saída e o valor final da saída Tempo de elevação rise time tempo te necessário para que o valor final da saída seja atingido pelo primeira vez Tempo de resposta settling time tempo tr requerido para que a resposta permaneça dentro de 5 do valor final Tempo do primeiro pico tempo tp necessário para que a resposta atinja o primeiro valor máximo Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 114 a b c a 5b te tP tR P INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Razão de declínio decay ratio razão entre as alturas dos picos sucessivos em relação ao valor final Período de oscilação tempo P entre dois picos sucessivos A representação com GNU Octave segue program degsistsegordemsubamorteccaracteristicas Última gravação 06022009sextafeira1627 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistema de segunda ordem clear all begin clc t00013 M1 Kp1 tau01 clf titleSistema de segunda ordem subamortecido 0zeta1 vfones1lengtht holdon plottvf2valor final zeta02 sqrtzetasqrt1zeta2 argttausqrtzeta yMKp1expzetattauzetasqrtzetasinargcosarg plottysprintf1zetagizeta xlabelt ylabelyt gridon OSexppizetasqrtzeta tetausqrtzetaatansqrtzetazeta tepitau2sqrtzeta plotte1o3te tr3tauzeta plottr1o4tr tppitausqrtzeta plottp11OSo5tp rdOS2 P2pitausqrtzeta end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 115 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 116 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 54 SISTEMAS DE ALTA ORDEM E OUTROS ELEMENTOS DINÂMICOS Sistemas de alta ordem ocorrem mais comumente através da associação em série de sistemas de ordem 1 ou dois Uma situação típica consiste de vários sistemas de primeira ordem em série onde cada sistema é dependente apenas da saída do anterior Neste caso os sistemas são ditos sem interação No caso de um sistema com N estágios de primeira ordem com constantes de tempo individuais iguais a N constante de tempo total e ganhos unitários sujeitos a uma entrada degrau as seguintes saídas podem ser esperadas program degsistordemn Última gravação 06022009sextafeira1644 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistemas de ordem n clear all begin clc t000105 t00011 M1 N5 Kpones1N tauones1N01 clf holdon titlesprintfSistemas de ordem 1 à dN xlabelt ylabelyt gridon for n1N expnttauexpnttaun expnttauexp1ttaun Szeros1lengtht for i0n1 SS 1ttaunifactoriali SS nttaunifactoriali endfor yMKpn1expnttauS plottysprintfdngn n setgcfColor 1 1 1 axis tic 01 01 01 printfDesenhando curva para ordem i n endfor setgcaXTick0011 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 117 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS setgcaYTick0011 setgcaPosition 01 01 08 08 dispGráfico desenhado FIM end No caso de N sistemas de ordem 1 com constantes de tempo individuais iguais a e ganho unitário sujeitos a uma entrada degrau as seguintes saídas podem ser esperadas program degsistordemn Última gravação 06022009sextafeira1700 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistemas de ordem n clear all begin clc t000105 t00011 M1 N5 Kpones1N tauones1N01 clf holdon titlesprintfSistemas de ordem 1 à dN xlabelt ylabelyt Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 118 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS gridon for n1N expnttauexpnttaun expnttauexp1ttaun Szeros1lengtht for i0n1 SS 1ttaunifactoriali SS nttaunifactoriali endfor yMKpn1expnttauS plottysprintfdngn n setgcfColor 1 1 1 axis tic 01 01 01 printfDesenhando curva para ordem i n endfor setgcaXTick0011 setgcaYTick0011 setgcaPosition 01 01 08 08 dispGráfico desenhado FIM end 541 AVANÇORETARDO Alguns sistemas podem conter elementos de avanço retardo leadlag Por exemplo Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 119 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Considerando este sistema sujeito a uma entrada degrau A resposta no domínio do tempo é t x e KM y t 1 1 program degsistprimordemleadlag Última gravação 06022009sextafeira1712 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau unitário em sistemas com avançoretardo clear all begin clc t00011 M1 Kp1 tau01 taux005 clf holdon i1 for taux005002005 i Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 120 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS yMKp11tauxtauexpttau plottysprintfdtauxgitaux endfor xlabelt ylabelyt gridon end Observe que um sistema com dinâmica no numerador como este responde instantaneamente a uma perturbação degrau Na prática este comportamento é incomum pois a maioria dos processos exibe dinâmica de ordem maior no denominador o que atenua este comportamento 542 RESPOSTA INVERSA Considere o seguinte sistema sujeito a uma entrada degrau A resposta no domínio do tempo é program degsistrespostainversa Última gravação 06022009sextafeira1719 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivo entrada degrau unitário em sistemas com resposta inversa clear all begin clear all clc t00015 M1 Kp1 tau104 tau201 clf holdon i1 for taux2 1 0 1 2 i yMKp1tauxtau1tau1tau2expttau1tauxtau2 tau2tau1expttau2 plottysprintfdtauxgitaux endfor xlabelt ylabelyt gridon end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 121 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que neste sistema a resposta primeiro diminui com um degrau positivo e depois aumenta Dizse então que o sistema exibe resposta inversa Um sistema que exibe este comportamento é o PBR Neste reator o aumento da temperatura na corrente de entrada do reator faz com que a conversão na entrada aumente consumindo os reagentes que vão escoar para a saída logo a temperatura na saída diminui A medida que o aumento de temperatura se propaga aumenta a taxa de reação e a temperatura aumenta também 543 TEMPO MORTO OU ATRASO POR TRANSPORTE O tempo morto é caracterizado pelo atraso na resposta do sistema quando uma entrada é efetuada Os termos em língua inglesa para esta característica são time delay dead time transportation lag Considere o caso de um tubo onde se aplica uma perturbação na temperatura de entrada O efeito desta perturbação na saída do sistema somente será observado após tdVv unidades de tempo O tempo morto é uma característica importante pois impõe dificuldades para sistemas de controle produzindo comportamentos oscilatórios e instáveis Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 122 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A função de transferência de um processo com tempo morto é caracterizada pela presença do termo ou pois esta é transformada de Laplace de um atraso da função no tempo Observe o exemplo a seguir Tempo morto xt Processoft xttd yttd No domínio de Laplace Tempo morto Xs Processo Fs Xses Ys Ou seja Processo com Tempo morto Gs Xs Ys O tempo morto introduz termos não racionais na função de transferência assim pode ser útil para fins de racionalização aproximálo através de uma expansão em série de Taylor Manipulando a expressão e truncando a série no primeiro termo obtémse a Aproximação de Padé 11 dinâmica no numerador igual à do denominador Truncando a série no segundo termo obtémse a Aproximação de Padé 22 Quanto maior o número de termos na série menor é o erro da aproximação contudo a resposta nunca será precisa Este tipo de aproximação é útil quando aparecem muitos sistemas em série facilitando as manipulações algébricas O próprio erro de Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 123 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS aproximação tende a ser diluído pois o tempo morto tende a ser atenuado quando submetido a sucessivas funções de transferência O exemplo a seguir apresenta o comportamento da aproximação do tempo morto em um sistema Quanto maior o tempo morto relativo a uma mesma constante de tempo menor é o grau de aproximação do método de Padé 11 program degsistprimordemtempomorto Última gravação 06022009sextafeira1732 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivo entrada degrau unitário em sistemas de prim ordem com tempo morto clear all function rStFunção degrau rzeros1lengtht for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction begin clc t0000103 M1 Kp1 tau02 i0 clf for td001 005 01 ii1 subplot31i holdon titlesprintfSistema de primeira ordem com tempo mortogtd yMKp1expttdtauSttd plottybexato fracoesparciaisMKptd 2convconvtau 1td 21 0s cpkeresidueMKptd 2convconvtau 1td 21 0 yc1expp1tc2expp2tc3expp3t plottyrPadé 11 gridon endfor end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 124 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 125 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 55 SISTEMAS DE ALTA ORDEM MODELOS APROXIMADOS Um sistema de ordem N pode ser aproximado como um sistema de ordem um ou dois com tempo morto Considere o caso com com Com este tipo de aproximação é possível modelar empiricamente sistemas de alta ordem com precisão adequada ao propósito de controle de processos program degsistordemnaprox Última gravação 06022009sextafeira1741 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoentrada degrau em um sistema de segunda ordem t morto clear all function rStFunção degrau rzeros1lengtht for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction begin clc t00011 tau01 008 006 004 002 Kp1 M1 Nlengthtau clf holdon xlabelt ylabelyt Sistema de ordem N dtau1 1 for j2N dconvdtauj 1 endfor cpkeresidue1conv1 0d szeros1lengtht for i1N1 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 126 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ssciexppit endfor y2MKps plotty2sprintf1ordem dN end Sistema de primeira ordem N11 tdsumtauN11N yMKp1expttdtau1Sttd plottysprintf2ordem d tempo morto gN1td end Sistema de segunda ordem N12 tdsumtauN11N d1tau1 1 for j2N1 d1convd1tauj 1 endfor c1p1k1e1residue1conv1 0d1 s1zeros1lengtht for i1N11 s1s1c1iexpp1ittd endfor yMKps1Sttd tau1exptau1exp1ttdtau1 tau2exptau2exp1ttdtau2 yMKp11tau1tau2tau1exptau2expSttd plottysprintf3ordem d tempo morto gN1td end gridonaxis01011 end Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 127 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 56 PÓLOS E ZEROS Considere o sistema dado pela seguinte função de transferência para a função pode ser escrita como Na equação anterior estão representados os polos da função de transferência Lembre se os polos são as raízes da função característica Este sistema possui um polo nulo um polo real e dois polos complexos conjugados A representação gráfica dos quatro polos é 2 2 2 1 2 2 1 1 1 00 eixo real eixo imaginário I II III IV X X X X Apesar do gráfico anterior possuir pouca aplicação prática a partir dele podem ser obtidas informações importantes Um polo nos quadrantes I e IV semiplano direito indica que o modo de resposta contém et ou seja quanto maior o valor de t maior o valor da saída Se num sistema este termo predominar uma saída ilimitada será gerada para uma entrada Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 128 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS degrau logo o sistema é instável Isto significa que a saída crescerá ao infinito de forma exponencial ou na forma oscilatória com amplitude crescente Um polo nos quadrantes II e III semiplano esquerdo indica que o modo de resposta contém funções seno e cosseno e exibirá oscilatória com amplitude amortecida A presença de polos que sejam complexos conjugados indica que a resposta será formada por funções seno e cosseno logo exibirá modo oscilatório Um polo na origem indica a presença de elementos integradores 57 EXERCÍCIOS 1 Faça os modelos e determine as funções de transferência para os sistemas a seguir As válvulas 1 2 e 3 apresentam resistências ao escoamento diferentes e os tanques apresentam dimensões diferentes Obtenha modelos genéricos e testeos para diferentes configurações a F1 h1 D1 F2 F3 h2 D2 2 1 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 129 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS b F1 h1 D1 F2 F3 h2 D2 2 1 c F1 h1 D1 1 F2 h2 D2 F3 F4 h3 D3 3 2 2ENADE 2005 Diversos sistemas físicos amortecidos encontrados em engenharia podem ter seu comportamento expresso por meio de equações diferenciais ordinárias nãohomogêneas de segunda ordem A resolução desse tipo de equação envolve a Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 130 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS obtenção da resposta yht da equação diferencial homogênea associada que expressa o comportamento do sistema livre de excitações externas e a obtenção de uma solução particular ypt da equação nãohomogênea A soma de ypt e yht fornece a solução geral da equação nãohomogênea A resposta livre permite identificar a freqüência das oscilações amortecidas f e a constante de amortecimento k do sistema Considere que a resposta livre de um sistema seja dada pela função yht 5ekt cos2f t cujo gráfico está ilustrado na figura a seguir A freqüência inverso do período das oscilações amortecidas do sistema cuja resposta livre está apresentada no texto é igual a A 01 Hz B 015 Hz C rads D 10 rads E 10 Hz UESTÃO 20 Considere que ypt 5sen100t seja a solução particular da equação diferencial que representa o comportamento dinâmico do sistema cuja resposta livre está apresentada no texto Assinale a opção que melhor esboça o gráfico da resposta completa do referido sistema após transcorrido um minuto t 60 s A Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 131 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS B C D E 3ENADE 2008 Alguns tipos de balança utilizam em seu funcionamento a relação entre o peso P e a deformação elástica que ele provoca em uma mola de constante elástica K ou seja PK x Lei de Hooke Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo a deformação não ocorre instantaneamente Existe um movimento transiente que depende de outro parâmetro o nível de amortecimento no mecanismo da balança dado pelo parâmetro adimensional denominado fator de amortecimento O movimento transiente a partir do instante em que a mercadoria é colocada no prato da balança pode ser descrito por 3 equações diferentes e tem comportamentos diferentes conforme o valor de Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 132 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Com base nessas informações concluise que a balança indica o valor da massa mais rapidamente quando A 0 B 0 C 0 1 D 1 E 1 Comportamento Dinâmico de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 133 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 134 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 61 INTRODUÇÃO A modelagem empírica de sistemas encontra grande aplicação na representação de processos químicos Os ditos modelos caixa preta podem ser apresentados nos estado estacionário ou transiente A calibração de instrumentos é um exemplo de modelos estáticos em estado estacionário enquanto os modelos obtidos nos capítulos anteriores são modelos dinâmicos em estado transiente Para a modelagem empírica dinâmica são empregados modelos de primeira e segunda ordem com tempo morto de forma que um pequeno conjunto de parâmetros incorpore as informações mais importantes do processo É claro que o modelo será restrito a uma pequena faixa da saída do processo e que esta faixa tornase mais estreita quanto mais o modelo real for diferente do modelo proposto Neste capítulo estudaremos as técnicas mais comuns para identificação de sistemas através de modelos empíricos e dados experimentais Estas técnicas são extremamente úteis no desenvolvimento de modelos para o ajuste de controladores 62 OBTENÇÃO DE MODELOS POR REGRESSÃO A partir de dados que representem a saída de um processo conforme um modelo preestabelecido é possível caracterizar um processo a partir de regressão linear e não linear A regressão linear é um método estatístico que determina quais são os coeficientes de uma reta que melhor representam um conjunto de dados Tratase de um método de ajuste baseado na minimização do quadrado do desvio entre um dado e uma reta intermediária Este método é chamado método dos mínimos quadrados linearizado As equações que representam este método são yaxb Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 135 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Onde N Número de pares x y A medida da qualidade do ajuste é realizada através do coeficiente de correlação R o qual atesta a melhor qualidade do ajuste quando assume valores próximos de 1 ou 1 Considere o exemplo de um conjunto transdutor de temperatura que apresenta uma resposta em tensão U equivalente a uma temperatura T Encontre a relação TfU para o seguinte conjunto de dados U Volts Temperatura C 1 0 9 2 1 21 3 2 38 4 3 62 5 4 76 6 5 93 O programa a seguir pode ser escrito em qualquer linguagem de programação para realizar o ajuste linear sobre um conjunto de dados program regressaolinear Última gravação 06022009sextafeira1759 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all function rcalcaxy NDadoslengthx somaxy0 somax0 somay0 somax20 for i1NDados somaxysomaxyxiyi somaxsomaxxi somaysomayyi somax2somax2 xi2 endfor soma2xsomax2 rNDadossomaxysomaxsomayNDadossomax2soma2x endfunction Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 136 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS function rcalcbxy NDadoslengthx somaxy0 somax0 somay0 somax20 for i1NDados somaxysomaxyxiyi somaxsomaxxi somaysomayyi somax2somax2 xi2 endfor soma2xsomax2 rsomaysomax2somaxsomaxyNDadossomax2soma2x endfunction function rcalcRxy NDadoslengthx somaxy0 somax0 somay0 somax20 somay20 for i1NDados somaxysomaxyxiyi somaxsomaxxi somaysomayyi somax2somax2 xi2 somay2somay2yi2 endfor soma2xsomax2 soma2ysomay2 rNDadossomaxysomaxsomayNDadossomax2 soma2x12NDadossomay2soma2y12 endfunction begin clc x10y19 x21y221 x32y338 x43y462 x54y576 x65y693 acalcaxy bcalcbxy RcalcRxy printfTgUg com Rg abR printfU T T for i1lengthx ynovoiaxib printfg g g xiyiynovoi endfor clf plotxyo1y holdon xlabelTensãoV ylabelTC plotxynovo1y fflushstdout gridon end Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 137 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS De fato o ajuste por regressão linear simples é uma tarefa básica para qualquer software de matemática O próprio GNU Octave e Matlab possui uma forma imediata para realizar ajuste linear a partir de dados armazenados em vetores Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 138 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS program regressaolinear2 regressão linear Software GNU Octave 3150mEd 341 X C Y x1 1 a y1 x2 1 by2 x3 1 y3 x4 1 y4 clear all begin clc x10y19 x21y221 x32y338 x43y462 x54y576 x65y693 Xxoneslengthx1 Yyvetor coluna CXY aC1 bC2 printfTgUg ab ynovoXC clf holdon titleYXCgrid xlabelTensãoV ylabelTC plotxyo1yxynovo1y end Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 139 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Ou ainda program regressaolinear3 Software GNU Octave 3150mEd 341 clear all begin clc x10y19 x21y221 x32y338 x43y462 x54y576 x65y693 Cynovopolyfitxy1 aC1 bC2 printfTgUg ab clf holdon titleTfUgrid xlabelTensãoV ylabelTC plotxyo8yxynovo8y end Na forma matricial é igualmente simples realizar o ajuste linear múltiplo program ajustelinearmultiplo AutorMarcos M Mazzucco Objetivo Determinar a0 a1 e a2 para y a0 a1x1 a2x2 X C Y 1 x11 x21 a0 y1 1 x12 x22a1y2 1 x13 x23 a2 y3 Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 140 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1 x14 x24 y4 1 x15 x25 y5 clear begin clcclf X 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11Dados X Xones51XDados X Y6 8 10 12 14 CXY titlesprintfygx1gx2gC plot3X1X2YdadosX1X2XCajuste R2corrcoefYXC xlabelx ylabely zlabelz gridon end Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 141 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A partir de regressão nãolinear é possível ajustar um modelo dinâmico a um conjunto de dados Considere os seguintes dados amostra tmin yt 1 0 0 2 5 00039347 3 10 00063212 4 15 00077687 5 20 00086466 6 25 00091792 7 30 00095021 8 35 0009698 9 40 00098168 10 45 00098889 11 50 00099326 12 55 00099591 13 60 00099752 Estes dados representam um sistema de primeira ordem com ganho 01 constante de tempo 10 sujeito a uma entrada degrau de magnitude 01 O Modelo de um sistema linear de primeira ordem é O Modelo de um sistema linear de primeira ordem sujeito a uma entrada degrau é Para os dados anteriores o ajuste através do método dos mínimos quadrados com GNU Octave utilizando a subrotina leasqr fica program ajusteminquad Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all uses addpathCArquivos de programasOctaveshareoctavepackagesoptim100 function rStFunção degrau rzeros1lengtht for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction function rsinalaleatorion ronesn1 Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 142 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS for i1lengthr rirand if ri05 ri1 else ri1 endif endfor endfunction function yprimeiraordemxpSistema global M Kp1 taup2 tx yKM1expttau endfunction var global verbose1 global M01 begin t0560tt yprimeiraordemt0110yy clcclf dados t0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ttvetor coluna y0 00039347 00063212 00077687 00086466 00091792 00095021 0009698 00098168 00098889 00099326 00099591 00099752 yyvetor coluna adicionar ruído aos dados ruido5100 ruido01 yysinalaleatorio13ruidoy end end ajuste pelo método dos mínimos quadrados F primeiraordem pin 1 1valores iniciais y1pkvg1itercorpcovpcovrstdresidZr2 leasqrt y pin Fmín q end resposta printfO modelo do sistema é ytggexptg p1p2p2 printfO coeficiente de correlação R2 é g r2 plottyDadosty1Ajuste xlabelt ylabelyt gridon end end Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 143 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O modelo do sistema fica Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 144 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 63 OBTENÇÃO DE MODELOS POR ANÁLISE GRÁFICA Os métodos gráficos são muito utilizados por permitirem o uso da sensibilidade do experimentador na análise dos dados A partir de perturbações degrau os modelos mais utilizados são o de primeira ordem primeira ordemtempo morto segunda ordem e segunda ordem tempo morto 631 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM Os dados obtidos a partir de uma perturbação degrau são conhecidos como curva de reaçãoou resposta do processo Como já vimos a resposta de um sistema de primeira ordem atinge 632 de seu valor final quando é decorrido um intervalo de tempo igual a constante de tempo A partir disto podemos identificar o sistema Neste caso o valor final é yf001 Quando y0632yf t Assim 10 quando y000632 O ganho estático do sistema é Numa perturbação degrau xfx0M Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 145 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS K00101 K01 Então o modelo do sistema é A análise gráfica tornase mais difícil quando os dados experimentais contêm ruídos pois a identificação dos pontos não é tão simples Observe o caso do exemplo anterior quando é adicionado ruído aleatório Observe que é necessário desenhar uma curva intermediária pois os valores possuem neste caso um ruído de 10 do valor medido o que torna difícil identificar a constante de tempo e o ganho Os ruídos podem ser originários de fontes diversas desde o processo até a instrumentação Quando o ruído possui características aleatórias a curva média pode ser utilizada como um filtro Quando apresenta características como oscilações periódicas os dados podem ser filtrados desde que conhecida a frequência da oscilação Porém quando o ruído provoca o deslocamento linear da curva de resposta o resultado da análise dos dados pode ser comprometida pois normalmente este caso não percebido pelo experimentador Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 146 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS É importante lembrar que uma perturbação degrau nem sempre é realizável em um processo Considere o caso onde a entrada do processo é dada pelo fluxo de massa variável de uma bomba Neste equipamento perturbações degrau não podem ser aplicadas pois para uma mudança requerida a bomba reagirá como uma rampa e portanto os dados não podem ser analisados desta forma O programa do GNU Octave usado para gerar os gráficos anteriores é program analisegraficasistprimordem Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all function rsinalaleatorion ronesn1 for i1lengthr rirand if ri05 ri1 else ri1 endif endfor endfunction begin clcclf dados t0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ttvetor coluna y0 00039347 00063212 00077687 00086466 00091792 00095021 0009698 00098168 00098889 00099326 00099591 00099752 plottyDados sem ruído holdon yyvetor coluna adicionar ruído aos dados ruido10100 yysinalaleatorio13ruidoy end end Gráfico plottyDados pltplot010100006320006320r632 setpltlinewidth2 xlabelt ylabelyt gridon end end 632 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM TEMPO MORTO E O MÉTODO DE SUNDARESAN E KRISHNASWAMY Modelos de primeira ordem tempo morto podem ser utilizados para representar dinâmicas de ordem maior que 1 O método da tangente ao ponto de inflexão da curva de resposta pode ser utilizado para determinar o tempo morto e a constante de tempo de um processo Porém como este método é dependente de apenas um ponto ele pode ser melhorado pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy onde os tempos de resposta quando a saída evolui 353 e 853 são utilizados para determinar a constante de tempo e o tempo morto Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 147 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS No gráfico a seguir O programa GNU Octave usado no caso anterior é program degsistordem2aproxordem1tmsundkrish Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 148 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS begin clc clf t00021 M1 ganho e contantes de tempo do processo Kp1 tau01 008O N de const de tempo define a ordem do processo Nlengthtau end gerar dados de um sistema de ordem N dtau1 1 for j2N dconvdtauj 1 endfor cpkeresidue1conv1 0d szeros1lengtht for i1N1 ssciexppit endfor yMKps end resposta plottydados holdon gridon plot0 10353ylengthy 0353ylengthyr353 plot0 10853ylengthy 0853ylengthyb853 for j1lengthy if yj0353yend t353tj1tj2 break endif endfor for kjlengthy if yk0853yend t853tk1tk2 break endif endfor tau067t853t353 teta13t353029t853 Kyendy1M printfO modelo do sistema é yt14g14gexpt14g14gSt 14g K tau teta tau teta end end A solução via regressão não linear é Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 149 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O programa GNU Octave usado no caso anterior é program degsistordem2aproxordem1tm Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all uses addpathCArquivos de programasOctaveshareoctavepackagesoptim100 function rStFunção degrau rzeroslengtht1 for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction function yprimeiraordemxpSistema global M Kp1 taup2 tx tdp3 yKM1expttdtauSttd endfunction var global verbose1 global M1 begin clc clf t00021 ganho e contantes de tempo do processo Kp1 Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 150 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS tau01 008O N de const de tempo define a ordem do processo Nlengthtau end gerar dados de um sistema de ordem N dtau1 1 for j2N dconvdtauj 1 endfor cpkeresidue1conv1 0d szeros1lengtht for i1N1 ssciexppit endfor yMKps end ajuste pelo método dos mínimos quadrados F primeiraordem pin 1 1 0valores iniciais y1pkvg1itercorpcovpcovrstdresidZr2 leasqrt y pin F fflushstdout end clc resposta printfO modelo do sistema é yt14g14gexpt14g14gSt 14g p1p2p3p2p3 holdon gridon plot0 10353ylengthy 0353ylengthyr plot0 10853ylengthy 0853ylengthyb formatlong p R2corrcoefyy1 end end Para facilitar a aplicação do método de Sundaresan e Krishnaswamy durante o desenvolvimento deste texto foi desenvolvida a subrotina sundaresankrishnaswamy anexo 1 que possui a seguinte sintaxe K tau teta t353t853sundaresankrishnaswamytymagdegstr Os parâmetros t e y devem conter os dados coletados a partir de uma perturbação degrau no sistema em estudo magdeg é a magnitude da perturbação degrau aplicada O parâmetro str é opcional caso este acumular o texto s será mostrada a função no domínio de Laplace Não esqueça que na representação de um texto string este deve estar entre aspas O código a seguir utiliza as subrotinas gerardados e sundaresankrishnaswami São necessárias também as subrotinas primeiraordem e degrauunitario para a geração dos dados Todas as subrotinas estão no anexo 1 program degsistordem2aproxordem1tmcomsubsundkrish Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr clear all begin clc clf t00011 M1 ganho e contantes de tempo do processo Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 151 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Kp1 tau01 008 NlengthtauO N de const de tempo define a ordem do processo end ygerardadostMKptau0 resposta K tau teta t353t853sundaresankrishnaswamityMs ypotmprimeiraordemtMK tau teta plottydados holdon gridon plottypotmrprimeira ordem tempo morto end end A figura a seguir foi gerada pelo gráfico anterior 633 MODELOS DE SEGUNDA ORDEM TEMPO MORTO Os métodos gráficos de Harriott e Smith e o método de regressão nãolinear produzem bons resultados na aproximação de um modelo de segunda ordem a dados experimentais Em qualquer experimento a curva de resposta deve ser obtida até que a saída se aproxime do estado estacionário de forma que não ocorra a confusão numérica entre os valores do ganho e das constantes de tempo O ajuste de funções sobre dados sempre requer a análise final por parte do experimentador Uma boa forma de realizar esta análise é grafar os dados reais de yt contra os dados calculados a partir Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 152 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS da equação de ajuste determinada Deste cruzamento de informações resulta o coeficiente de correlação Um exemplo de solução pelo método de regressão nãolinear segue program degsistordemnaproxordem2tm GNU Octave 3150 mEd 341 c Marcos Marcelino Mazzucco clear all function rStFunção degrau rzeroslengtht1 for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction function ysegundaordemxpSistema global M Kp1 tau1p2 tau2p3 tx tdp4 N12 d1tau1 1 for j2N1 d1convd1tauj 1 endfor c1p1k1e1residue1conv1 0d1 s1zeroslengtht1 for i1N11 s1s1c1iexpp1ittd endfor yMKs1Sttd endfunction function rsinalaleatorion rones1n for i1lengthr rirand if ri05 ri1 else ri1 endif endfor endfunction var global verbose1 begin clc magnitude do degrau global M1 t00021 ganho e contantes de tempo do processo tau01 008 006 004 002 Kp1 Nlengthtau end gerar dados de um sistema de ordem N dtau1 1 for j2N dconvdtauj 1 Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 153 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS endfor cpkeresidue1conv1 0d szeros1lengtht for i1N1 ssciexppit endfor yMKps adicionar ruído aleatório ruido0 ruido5100 yysinalaleatoriolengthtruidoy end end ajuste pelo método dos mínimos quadrados F segundaordem pin 1 01 1 0valores iniciais figure1clf y1pkvg1itercorpcovpcovrstdresidZr2 leasqrt y pin F ylabelyxlabelt gridon end resposta O gráfico é gerado pela sub leasqr quando verbose1 clc p r2 end figure2clf análise do resultado normalizar os dados no intervalo 01 maxymaxyminyminy ynormalizadoyminymaxyminy y1normalizadoy1minymaxyminy end gráfico do resultado plotynormalizadoy1normalizado holdon gridon titleescala normalizada no intervalo 01 ylabelycalculadoxlabelyreal plot0 10 1rreta yx end end end Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 154 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Introduzindo 5 de ruído Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 155 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 156 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que mesmo com a adição de 5 do valor de saída na forma de ruído aleatório o resultado do ajuste pelo método dos mínimos quadrados foi praticamente o mesmo Assim ainda que o método seja dependente dos valores iniciais dos parâmetros a solução obtida é muito boa Qualquer método de otimização nãolinear pode ser utilizado para realizar o ajuste O método de Powel também apresentase como uma boa opção Observe também que no gráfico ycalculado x yreal em coordenadas normalizadas o ajuste é tanto melhor quanto mais os pontos se aproximam da reta yx Identificação de Sistemas Marcos Marcelino Mazzucco 157 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 7 CONTROLE FEEDBACK Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 158 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 71 INTRODUÇÃO A idéia básica que envolve controle de processos é a medição de uma variável do processo para manipulação de alguma quantidade que alimente o processo em relação a algum valor de referência set point Para isto existem duas estratégias básicas A primeira o controle feedback ou controle por realimentação constitui a forma mais utilizada de controle de processos Fato este justificado pela extensão e simplicidade de acoplamento aos mais variados processos Contudo em casos específicos uma segunda estratégia o controle feedforward constituise importante e não é raro apresentaremse soluções onde estão envolvidas as duas formas de controle Processo xPt yPt Controlador xCt Elemento final de controle Elemento de medição xt yCt Referência Exemplo Controle feedforward Processo xPt yPt Controlador xCt Elemento final de controle Elemento de medição xt yCt Referência Exemplo Controle feedback O próprio conceito de controle está baseado na natureza do fluxo de informação para geração da ação a ser tomada Assim o controle é dito em malha aberta quando apenas uma entrada referência é fornecida ao controlador É dito em malha fechada quando ao menos duas informações são alimentadas ao controlador referência e alguma informação do processo Considere como exemplo uma resistência utilizada para aquecer água se apenas a potência da resistência é indicada para realizar o Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 159 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS aquecimento sem nenhuma medida da temperatura da água o sistema está em malha aberta Se a temperatura desejada é indicada e a temperatura da água é medida e as duas são utilizadas para ajustar a potência da resistência o sistema é dito em malha fechada Processo xPt yPt Controlador variador de potência xCt Elemento final de controle resistência xt yCt Potência Exemplo Controle em malha aberta Processo xPt yPt Controlador variador de potência xCt Elemento final de controle resistência xt yCt Elemento de medição de temperatura Temperatura desejada Exemplo Controle em malha fechada Neste capítulo serão tratadas duas estratégias de controle feedback em malha fechada a mais simples controle ONOFF e a mais popular que corresponde ao controle em três modos proporcional integral e derivativo 72 CONTROLADORES FEEDBACK O princípio do controle feedback é estabelecer o desvio et entre uma variável de saída de um processo yt e um valor de referência set point ySP E a partir deste desvio manipular uma variável de forma que et seja o menor possível Assim podemos distinguir duas variáveis essenciais a variável medida e a variável manipulada Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 160 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O controlador feedback mais utilizado é o controlador composto por três modos de controle baseados na medida de et nos valores históricos acumulados de et e na tendência de et Este controlador denominado PID proporcionalintegralderivativo pode se resumir a um dos três modos ou associálos fato que lhe confere extensa aplicação Este controlador é capaz de lidar com os dois tipos de perturbações típicas mudanças no set point e perturbações carga entrada Estas perturbações podem ser dos tipos sustentada degrau e não sustentada pulso retangular 721 CONTROLE PROPORCIONAL É a forma mais simples de controle contemplando a ideia se um desvio do valor requerido se apresenta então uma ação em proporção a este pode ser tomada desde que seja estabelecida uma proporcionalidade Então seja et rtyt onde rt é o valor da referência set point yCtyCSKCet Onde yCS valor da saída do controlador quando a saída do processo está em estado estacionário yCt valor da saída do controlador em um tempo t KC ganho do controlador Na forma de variável desvio yCtKCet onde yCt é a variação na ação de controle No domínio de Laplace YCsKCEs A função de transferência do controlador proporcional é Observe que nas equações apresentadas inclusive função de transferência não aparecem restrições físicas para yCt e consequentemente yCt o que indica que a saída do controlador pode ser ilimitada Na prática a saída é limitada e dizse que esta fica saturada quando os limites máximo e mínimo de controle são atingidos ou seja Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 161 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Como controladores de propósito geral normalmente apresentam a mesma unidade para et e yt V mA psi por exemplo KC é adimensional e em alguns equipamentos é representado na forma de banda proporcional PB que é definida como PB100KC Quando KC possui sinal positivo o controlador é dito de ação direta e quando possui sinal negativo o controlador é dito de ação reversa Controladores que apresentam apenas modo proporcional não possuem a capacidade de eliminar erros em estado estacionário para mudanças de set point ou em perturbações sustentadas sem intervenção manual para o ajuste de yCS Os desvios de controle no estado estacionário são denominados offset Quando KC é muito elevado obtémse o controle de duas posições ou controle bangbang que é conhecido como controle ONOFF Com elevado valor de KC para qualquer entrada a saída do controlador tornase saturada A expressão para o controle tornase Se elementos finais como válvulas solenoides são utilizadas este controlador é suficiente porém para válvulas proporcionais por exemplo além do controle resultar em oscilação cíclica da saída resulta também num desgaste prematuro dos elementos mecânicos desta 722 CONTROLE INTEGRAL Este modo de controle incorpora a integral do erro ao longo do tempo sendo também conhecido como reset control ou floating control por sua capacidade de eliminar offset Onde I Tempo Integral tempo de reset ou constante integrativa Na forma de variável desvio onde yCt é a variação na ação de controle No domínio de Laplace Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 162 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A função de transferência do controlador integral é 723 CONTROLE PROPORCIONAL E INTEGRAL Contudo apesar da capacidade do controlador Integral de eliminar offset este modo de controle reage lentamente à perturbações e então é associado ao controle proporcional para formar o controlador proporcional e integral PI Uma desvantagem do controle integral é que quando et permanece por tempo suficiente para que a saída do controlador esteja saturada reset windup ou integral windup o valor da integral continua a crescer mesmo após a saturação do elemento final de controle o que induz a resposta do sistema a grandes sobrelevaçõesovershoot Para corrigir este efeito sistemas de controle comerciais incluem um mecanismo anti reset windup ou batch unit que consiste em desligar o modo integral quando a saída do controlador satura e restaurar o modo quando a saída não estiver saturada Cuidado o modo integral introduz elementos de instabilidade no sistema Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 163 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 724 CONTROLE DERIVATIVO Também chamado de controle antecipatório este modo considera a tendência de et ao longo do tempo com o intuito de prever o comportamento futuro do sistema Onde D Tempo derivativo Na forma de variável desvio onde yCt é a variação na ação de controle No domínio de Laplace A função de transferência do controlador derivativo é Quando et tornase constante a derivada de et tornase nula e desta forma o uso exclusivo este modo de controle produz offset Para que possa ser implementado este método deve ser associado aos modos proporcional ou integral Desta forma os controladores PD e PID são obtidos Controlador PD 725 CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL E DERIVATIVO A junção dos três modos de controle produz o controlador PID No domínio do tempo Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 164 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que no estado estacionário dedt0 e que no instante em uma mudança de set point é requerida dedt assume um alto valor ySP1y0 ySP2yttt e a seguir novamente um valor baixo ySP2ytt ySP2yt2tt Este fenômeno é chamado derivative kick e resulta num incremento instantâneo e alto na saída do controlador Para remover este efeito a equação pode ser rescrita como Esta equação também pode ser escrita como para eliminar derivative kick Com KCPKI KIKCI KDKCD Observe que o controlador PID apresentado não é fisicamente realizável pois o grau do polinômio no numerador é maior que o do denominador Por isto esta forma é chamada de PID ideal Comercialmente a seguinte forma é utilizada Controlador PID real Seeborg et al 1989 indicam que assume valores entre 005 e 02 O uso dos três modos de controle está ligado a características como Tolerância a offset Ruídos e erros de medição Presença de tempo morto acentuado Se em um processo não é tolerado offset e a presença de ruídos não é relevante e existe tempo morto acentuado observase que o controle PID é o mais adequado Na prática em sistemas para controle de fluxo nível temperatura e composição onde não tolerase offset o uso de controladores PI é em geral adequado Contudo o uso de controladores PID é típico de sistemas de controle de temperatura sendo incomum em controle de fluxo e pouco utilizado em controle de nível pressão e composição Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 165 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 73 PID DIGITAL Quando trabalhamos com sistemas de controle digital ao invés de contínuos são requeridas interfaces ADCanalogtodigital converter e DACdigitaltoanalog converter para manusear as informações A entrada do controlador é sujeita a uma frequência de amostragem que equivale a pulsos de dados Da mesma forma a saída do controlador é aplicada em pulsos e deve ser convertida para uma forma contínua se o elemento final requerer um sinal analógico Discretizando a equação do controlador PID obtémse a forma da posição Derivando a equação anterior obtémse a forma da velocidade do controlador PID A forma da velocidade não pode ser utilizada sem o modo integral pois nesta forma os modos proporcional e derivativo não incluem o set point resultando em controle em malha aberta 74 CODIFICANDO UM CONTROLADOR PID NO GNU OCTAVE No GNU Octave a codificação de um controlador PID pode ser realizada através da subrotina tf da mesma forma que qualquer outra função de transferência A seguir está uma subrotina genérica para geração de controladores da família do PID Última gravação 10022009terçafeira0933 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr ObjetivoFT de um Controlador PID UsoGCPIDKCtauItauDalfa function GCPIDpalfa KCp1tauIp2tauDp3 if lengthp1 Controlador P GCtfKC10XCYCP end elseif lengthp2 Controlador PI GCtfKCtauI 1tauI 00XCYCPI end elseif lengthp3 Controlador PID if nargin1 alfa005 endif Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 166 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS GCtfKCtauDtauI tauItauD 1alfatauItauD tauI 00XCYC end endif endfunction A próxima figura apresenta as linhas de código para criar um controlador PID com Kc10 I01 e D001 A subrotina sysout foi usada para exibir a função de transferência 75 RESPOSTA DE UM PROCESSO A UM CONTROLADOR PID Quando sistemas de controle feedback são sujeitos a perturbações carga ou mudanças no set point respondem conforme os modos proporcional integral e derivativo os quais devem ser ajustados de forma a produzir um comportamento ótimo Quando um processo em malha aberta é submetido a uma perturbação na carga do tipo degrau sua saída evolui para um novo estado estacionário Neste caso podemos considerar que um controlador P com ganho KC 0 foi utilizado Com o modo de controle proporcional KC0 a saída não é reconduzida ao estado estacionário original mantendose um offset Aumentandose o valor de KC a curva resposta tende a tornarse menos alongada resultando em oscilações e até instabilidade O modo integral elimina o offset porém introduz um comportamento oscilatório Quanto menor o valor de I mais rápida é a resposta do controlador e menos informações históricas do processo são utilizadas Isto significa que a curva de resposta do sistema também será mais rápida O aumento de I Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 167 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS resulta em uma curva de resposta mais alongada O modo derivativo diminui as oscilações e o tempo de resposta complementando os anteriores Valores de D elevados podem amplificar ruídos resultando em controle de má qualidade Assim D é mantido em baixos valores e em muitos casos é eliminado mantendose apenas os modos PI 76 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK A resposta dinâmica de sistemas com controle feedback está vinculada a todos os elementos dinâmicos que compõem uma malha de controle Entendese tais elementos como processo perturbação elemento de medição elemento final de controle controlador e outros elementos A interação entre as partes fica mais visível em um diagrama de blocos a partir do qual tornase mais fácil a determinação da função de transferência global do processo 761 DIAGRAMA DE BLOCOS Vamos considerar um diagrama de blocos que contenha os elementos básicos que compõem um processo Para isto vamos utilizar como exemplo o tanque de estoque de líquido descrito anteriormente Para completar este exemplo vamos incluir os elementos com compõem a malha de controle um transmissor de nível LT um transdutor PI para obtermos um sinal em corrente na faixa de 420mA um controlador que gera um sinal de saída na faixa de 420mA um transdutor IP para a obtenção de um sinal pneumático na faixa de 315psig e uma válvula de controle F1 F2 LT Controlador IP PI set point Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 168 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle de nível Desenvolveremos os modelos matemáticos para cada um dos elementos mencionados e a seguir comporemos o diagrama de blocos com todas as informações Transmissor de nível Os transmissores de nível podem ser baseados em diversos métodos Normalmente são baseados nas medidas de pressão e altura Quando utilizam diafragma respondem como sistemas de segunda ordem Quando utilizam boias respondem como sistemas de primeira ordem Vamos utilizar o caso mais simples pois para este caso não haverá diferença Processos químicos apresentam dinâmicas tipicamente lentas resultado de elevadas constantes de tempo Desta forma podemos considerar a dinâmica do transmissor de nível como negligenciável fazendo LT0 Assim Onde KLT ganho do elemento de medição O ganho do LT é a relação entre a faixa de saída do elemento span da saída e a faixa de entrada deste span da entrada KLT153xLTmaxxLTmin psigm Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 169 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS xLTm yLT psig xLTmin xLTmax 3 15 zero span Por exemplo se o LT pode medir de 06m e gera uma saída de 315psig KLT153602psigm Transdutor PI Estes transdutores são equipamentos produzidos em série os quais podem ter ajustados o zero e o span xPIpsig yPI mA 3 15 4 20 zero span Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 170 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A equação de saída é yPIKPIxPI34 Na forma de variável desvio yPIKPIxPI No domínio de Laplace YPIsKPIXPIs KPI20415343mApsig Controlador Considerando um controlador PI Observe que EsYSPsYPIs e que KC é adimensional para que o controlador possa ser genérico Desta forma é necessário transformar o valor do set point que é alimentado em unidades de engenharia C m psig em unidades de corrente Isto pode ser feito utilizando a relação entre as quantidades ySPKSPxSPxSPmin4 Em variáveis desvio ySPKSPxSP No domínio de Laplace YSPsKSPXSPs onde KSP204xSPmax xSPminmAm KSP KLTKPI Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 171 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS xSPm ySP mA xSPmin xSPmax 4 20 zero span Transdutor IP Da mesma forma que os transdutores PI estes equipamentos são produzidos em série os quais podem ter ajustados o zero e o span xIPmA yIP psig 4 20 3 15 zero span A equação de saída é yIPKIPxIP43 Na forma de variável desvio yIPKIPxIP Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 172 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS No domínio de Laplace YIPsKIPXIPs KIP153204 34psigmA Válvula pneumática Apesar das válvulas comumente exibirem comportamento não linear para condições de operação em torno de um ponto modelos de primeira ordem são satisfatórios Assim Novamente se assumirmos que a dinâmica da válvula é negligenciável V0 Onde KVm3minpsig por exemplo Tanque Balanço de Massa Global no interior do tanque com A D24 Em variáveis desvio No domínio de Laplace AsHsV1s V2s Para obter as funções de transferência que relacionem a saída da função de transferência Hs com as duas entradas desta V1s e V2s observamos que V2 é a variável manipulada e V1 é a variável sujeita a perturbações disturbance ou variável de carga load As funções de transferência para o tanque ficam Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 173 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ou seja O diagrama de blocos para este exemplo é GP GL GV GIP GC GLT GPI GSP set point m mA m psig mA mA mA psig m3min m m m3min m YSP XSP YPI XC YC YIP YV H2 H1 H V1 V2 XLT YLT XPI Diagrama de blocos básico O diagrama de blocos também pode ser expresso na forma alternativa Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 174 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS GLGLGP GV GIP GC GLT GPI GSP set point m mA m psig mA mA mA psig m3min m3min m YSP XSP YPI XC YC YIP YV V3 H V1 V2 XLT YLT XPI GP m3min Diagrama de blocos alternativo Observe que a entrada de uma função de transferência para a maior parte das funções corresponde a saída da anterior e portanto estas possuem a mesma unidade Também nos somadores as unidades devem ser mantidas Neste diagrama de blocos podemos distinguir dois ramos o ramo direto que vai de XC até H e o ramo de realimentação que vai de H até YPI Com as funções de transferência individuais podemos obter a Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 175 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS função de transferência em malha fechada relacionando Hs a YSPs ou Hs a YLs Para obter estas expressões é necessário conhecer os dois tipos de problemas que surgem em controle feedback são aqueles que envolvem mudanças de set point conhecidos como problema servo e aqueles que envolvem perturbações na carga conhecidos como problema regulador 7611 Problema Servo Vamos continuar o exemplo anterior de forma a obter a função de transferência em malha fechada para um sistema de controle que seja capaz de operar sobre mudanças de set point Como visto anteriormente nas propriedades das funções de transferência uma série de funções pode ser substituída por uma função equivalente ao produto das funções individuais No problema servo ou seja não há perturbação na carga Então Como V2sYVs Assim Como XVsYIPs Assim Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 176 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Como XIPsYCs Assim Como EsYSPsYPIs YSPsKSPXSPs Para o ramo de realimentação Assim Então Finalmente Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 177 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle PI problema servo Controle P problema servo 7612 Problema Regulador Vamos continuar este exemplo de forma a obter a função de transferência em malha fechada para um sistema de controle que seja capaz de operar sobre perturbações na carga Utilizando novamente as propriedades das associações das funções de transferência Como Resolvendo H2s Como V2sYVs Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 178 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Assim Como XVsYIPs Assim Como XIPsYCs Assim Como EsYSPsYPIs No problema regulador ou seja o set point é fixo Assim Es0YPIs Para o ramo de realimentação Assim Então Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 179 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Finalmente para H2s Finalmente H s V 1 s K L I KOL s I KOL s² I s1 controle PI problema regulador H s V 1 s K L K OL s 1 KOL s1 controle P problema regulador 762 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA Observe os produtos das funções que compõem as duas funções de transferência obtidas Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 180 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Nos dois casos o produto das funções no denominador é o mesmo contendo o produto de todas as funções de transferência desde o somador onde é alimentado o set point até o início do ramo de realimentação Este produto é chamado função de transferência em malha aberta openloop transfer function e é representado como GOLs O numerador por sua vez é dado pelo produto de todas as funções de transferência entre a saída e a entrada relacionadas O termo 1 no denominador surge em função da realimentação negativa Em caso de realimentação positiva surge o termo 1 763 EXERCÍCIO Obtenha as funções de transferência para os problemas servo e regulador no exemplo anterior utilizando um controlador PID Preencha a tabela a seguir com as funções obtidas com os controladores P PI e PID Problema Controlador Função de transferência P Servo PI PID P Regulador PI Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 181 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS PID 764 RESPOSTA DE UM SISTEMA AOS CONTROLADORES P E PI Compare a seguir os comportamentos dos dois controladores P PI frente aos problemas servo e regulador Observe que como a função de transferência do conjunto possui elementos integradores 1s a aplicação do teorema do valor final indica que não há offset para entradas no set point servo somente na carga regulador Controle P problema servo offset110 controle P problema regulador 05 offsetKLKOL01205 Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 182 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Problema regulador Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 183 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Problema servo program controlePItanque Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 184 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all begin clcfflushstdout Ganho Transmissor de NívelElemento de medição KLT15360 Transdutor PI KPI204153 Transdutor IP KIP153204 Válvula pneumática elemento final KV011m3minpsig válvula linear Processo A1m2 variável de saída manipulada KP1Am2 variável de entrada Carga KL1Am2 end end magnitude do degrau M1 controlador P ou PI KC KC10 tauI tauI01 end selecionar problema servo ou regulador problemaservo problemaregulador end KOLKLTKPIKCKIPKVKPGanho em malha aberta clf printfProblema s problema resposta em malha fechada if strcmpproblemaregulador Problema regulador com controlador PI printfCom controlador PI KC tauI função de transferência H1tfMKLtauIKOL 0tauIKOL tauI 10V1H tau tausqrttauIKOL zeta zetatauI2tau end perturbação degrau y1t1stepH1 plott1y1bControlador PI gridonholdon ylabelyt xlabelttitleProblema regulador sysoutH1tf end Problema regulador com controlador P printfCom controlador P KC função de transferência H1tfMKLKOL1KOL 10V1H perturbação degrau y2t2stepH1 plott2y2rControlador P sysoutH1tf Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 185 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS end elseif strcmpproblemaservo Problema servo com controlador PI printfCom controlador PI KC tauI função de transferência H1tfMtauI 1tauIKOL tauI 10SPH tau tausqrttauIKOL zeta zetatauI2tau end perturbação degrau y1t1stepH1 plott1y1bControlador PI gridonholdon ylabelyt xlabelttitleProblema servo sysoutH1tf end Problema servo com controlador P printfCom controlador P KC função de transferência H1tfM11KOL 10SPH perturbação degrau y2t2stepH1 plott2y2rControlador P sysoutH1tf end endif end end 765 DIAGRAMA DE BLOCOS COM GNU OCTAVE Devemos reconhecer que a construção de diagramas de bloco através de comandos no GNU Octave não é trivial Contudo este fato não reduz a importância da ferramenta Um dica importante é desenhar um esboço do diagrama e em seguida estudar uma forma de obtêlo utilizando as subrotinas sysgroup sysconect sysscale sysdup sysadd syssub sysprune sysmult e outras que são úteis neste desenvolvimento Para isto é necessário conhecer a proposta de cada subrotina alguns detalhes do funcionamento e também utilizar a criatividade para conectar de forma lógica e não visual os blocos Para a construção de sistemas complexos com freqüência é necessária a adição de blocos extra para a construção do diagrama do problema Infelizmente não existe a visualização gráfica dos agrupamentos e apenas a função de transferência final pode ser visualizada na forma de texto Para facilitar a composição dos blocos no código GNU Octave com o uso do editor MED 3x é possível utilizar o Identificador Estrutural Personalizado IEP para organizar as linhas de código de cada bloco Isto permite a identificação rápida dos blocos e facilita a localização das funções de transferência inclusive na forma gráfica Veja o exemplo abaixo Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 186 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ft Controlador KC1 tauI1E1 controladorpi GCtfKCtauI 1tauI 00XCYCPI GSPtfKLTKPI0 10SPYSP end Em cada função de transferência é opcional a identificação das entradas e saídas Esta opção auxilia bastante a conexão dos blocos e possibilita a conferência das conexões Nas ligações em série utilizando sysmult para que os nomes das entradas e saídas mantenhamse a partir dos blocos originais é necessário que o primeiro parâmetro enviado seja a função de transferência do último bloco e que o último parâmetro enviado seja a função de transferência do primeiro bloco É claro que a ordem da multiplicação não altera a função de transferência do conjunto além do que os nomes podem ser alterados após a multiplicação É importante observar que para utilizar a subrotina sysmult é necessário que ao menos uma das equações características das funções de transferência denominador seja de ordem maior que zero Além disso para operar nesta subrotina duas funções de ordem zero é necessário que na passagem dos parâmetros entre os dois primeiros parâmetros haja ao menos uma equação de ordem maior que zero Veja o exemplo GP é de ordem maior que zero GV e GIP são de ordem zero ganho puro É possível conectar sistemas em série de duas formas 1 Usando agrupamento GDsysgroupGIPGVGP GDsysconnectGD12 GDsysconnectGD23 GDsyspruneGD31 2 Multiplicando os blocos GDsysmultGVGPGIP GDinname1XIP GDoutname1YP Observe o exemplo a seguir e os resultados que dele decorrem e veja duas formas de construir o diagrama de blocos No caso da perturbação no set point servo foi utilizada a subrotina feedback para construir a realimentação No caso da perturbação na carga regulador o diagrama não pôde ser construído desta forma Após o código do programa observe também a interface de MED 341 com árvore gerada pelo uso dos IEP program controlePItanqueblocos Última gravação 10022009terçafeira1008 SoftwareGNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all begin clc Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 187 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS fflushstdout clf ft Transmissor de NívelElemento de medição KLT15360 GLTtfKLT0 10YYLT end ft Transdutor PI KPI204153 GPItfKPI0 10YLTYPI end ft Controlador KC1 tauI1E1 PI controladorpi GCPIDKCtauI end P controladorp GCPIDKC end GSPtfKLTKPI0 10SPYSP end ft Transdutor IP KIP153204 GIPtfKIP0 10YCYIP end ft Válvula pneumática elemento final KV011m3minpsig válvula linear GVtfKV0 10YIPV2 end ft Processo A1 KP1A GPtfKP1 00V2Y2 end ft Processo carga KL1A GLtfKL1 00V1Y1 end magnitude do degrau M1 problema servo problemaservo regulador problemaregulador end dispconectando blocos em série no ramo diretofflushstdout GD GDsysmultGPGVGIPGC GDinname1YSPYPI GDoutname1Y1 end dispconectando blocos em série no ramo de realimentação fflushstdout GR GRtfKLTKPI0 10YYPI if strcmpproblemaregulador dispcriando sistema MIMOfflushstdout TsysgroupGLGDGR TsysdupT3 dispcriando junção de GL e GPfflushstdout Jugain1 Jinname1Y1Y2 Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 188 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Joutname1Y TsysgroupTJ dispestebelecendo malha feedbackfflushstdout T sysscaleTdiag1 1 1 1 1realimentação negativa T sysconnectT14 T sysconnectT24 T sysconnectT53 T sysconnectT42 dispmantendo apenas uma saída e uma entradafflushstdout G syspruneT51 dispdegrau na cargafflushstdout stepG1 dispgerando extra info fflushstdout sysoutGtf controlador KC tauI problema elseif strcmpproblemaservo dispestebelecendo malha feedbackfflushstdout GfeedbackGDGR dispconectando ft do SPfflushstdout GsysmultGGSP dispdegrau no SPfflushstdout stepG150 dispgerando extra info fflushstdout NDsys2tfG sysoutGtf controlador KC tauI problema if strcmpcontroladorpi KN2D3 tauD1D3 zetaD22tau endif endif xlabeltime end Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 189 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 190 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As saídas do programa a seguir mostram um resultado para o programa anterior que equivale ao desenvolvimento analítico realizado anteriormente Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 191 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Nas soluções anteriores o diagrama de blocos original para o problema servo foi reduzido na forma que está ilustrada na próxima figura GP GL GV GIP GC GLT GPI GSP set point m mA m psig mA mA mA psig m3min m m m3min m YSP XSP YPI XC YC YIP YV H2 H1 H V1 V2 XLT YLT XPI GD GR GD GR GSP G GSP G Para o problema regulador o diagrama de blocos original foi reduzido de forma diferente conforme está mostrado na próxima figura Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 192 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS GP GL GV GIP GC GLT GPI GSP set point m mA m psig mA mA mA psig m3min m m m3min m YSP XSP YPI XC YC YIP YV H2 H1 H V1 V2 XLT YLT XPI GD GR GD GR GSP G G J J GL GD GR GSP G J GL G 1 2 3 4 Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 193 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS GNU Octave permite a construção de um diagrama de blocos único e que seja especificada qual entrada YSP ou V1 será perturbada Neste caso o diagrama de blocos tornase representativo de um problema MISO multiinputsingleoutput Para ilustrar melhor este caso vamos construir um diagrama de blocos onde seja possível visualizar também as ações de controle geradas YC Assim o problema tornase MIMO multi inputmultioutput GP GL GV GIP GC GLT GPI GSP set point m mA m psig mA mA mA psig m3min m m m3min m YSP XSP YPI XC YC YIP YV H2 H1 H V1 V2 XLT YLT XPI GD GR GD GR GSP G G J J GL GD GR GSP G J GL G 1 2 3 4 YL YSP YC Y Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 194 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O programa abaixo ilustra o problema apresentado no diagrama de blocos anterior Não se impressione com o número de linhas do programa 134 a maioria delas é apenas explicativa Observe que quando a linha que contém um IEP termina com pontoevírgula o identificador funciona apenas como um marcador e não como delimitador de um bloco de informações e portanto não requer o identificador de encerramento end program diagramablocospassoapasso Última gravação 10022009terçafeira1019 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco ObsNesta versão do GNU Octave não é possível conectar blocos sem dinâmica ganho puro em série utilizando sysmult clear all begin clc fflushstdout pagescreenoutput0 FT Transmissor de NívelElemento de medição KLT15360 GLTtfKLT0 10YYLT end FT Transdutor PI KPI204153 GPItfKPI0 10YLTYPI end selecionar controlador PI controladorpi P controladorp end FT Controlador if strcmpcontroladorpi Controlador PI KC KC1 tauI tauI1E1 GCPIDKCtauI end elseif strcmpcontroladorp Controlador P KC KC1 GCPIDKC end endif GSPtfKLTKPI0 10SPYSP end FT Transdutor IP KIP153204 GIPtfKIP0 10YCYIP end FT Válvula pneumática elemento final KV011m3minpsig válvula linear GVtfKV0 10YIPV2 end FT Processo Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 195 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A1 KP1A GPtfKP1 00V2Y2 end FT Processo carga KL1A GLtfKL1 00V1Y1 end Malha Grupo de blocos para o ramo direto dispformando grupo de blocos para o ramo direto disp disp1 GC 1YC disp XC 2YC disp disp2 GIP 3YIP disp YC disp disp3 GV 4V2 disp YIP disp disp4 GP 5Y2 disp V2 fflushstdout GC1sysdupGC1 GDsysgroupGC1GIPGVGP GDsysconnectGD22 GDsysconnectGD33 GDsysconnectGD44 GDsyspruneGD151 GDinname1YSPYPI GDoutname1YCVálvula GDoutname2Y2 dispo grupo de blocos para o ramo direto tornouse disp disp1 GD 1YC disp 2Y2 disp fflushstdout Grupo de blocos no ramo de realimentação dispconectando blocos em série no ramo de realimentação fflushstdout GRtfKLTKPI0 10YYPI dispo grupo de blocos para o ramo de realimentaço tornouse disp disp1 GR 1YPI disp dispcriando sistema MIMOfflushstdout disp disp 1 GL 1Y1 disp V1 disp disp 2 GD 2YC disp YSPYPI 3Y2 disp disp disp 3 GR 4YPI disp Y disp disp 4 J 5Y disp disp Y1 Y2 fflushstdout TsysgroupGLGDGR dispcriando junção de GL e GPfflushstdout Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 196 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Jugain1 Jinname1Y1Y2 Joutname1Y nível TsysgroupTJ Malha feedback dispestabelecendo malha feedbackfflushstdout T sysscaleTdiag1 1 1 1 1realimentação negativa T sysconnectT14 T sysconnectT34 T sysconnectT53 T sysconnectT42 dispmantendo apenas as saídas 2 e 5 e as entradas 1 e 2 fflushstdout G syspruneT2 51 2 dispconectando FT para SP na entrada 2 fflushstdout G sysscaleG diag1 KLTKPI Ginname2YSP disp disp YL1 G 1YC dispYSP2 2Y disp end fflushstdout Selecionar tipo de problema Problema regulador entrada1 Problema servo entrada2 if entrada1 dispProb Reguladordegrau na cargaentrada 1fflushstdout else dispProb servodegrau no set pointentrada 2fflushstdout endif end Perturbação degrau stepGentrada controlador dispFIM end Observe na figura a seguir a estrutura do programa com base na organização baseada nos IEP No Editor MED basta o pressionarduplo do botão esquerdo do mouse sobre cada nó da árvore para que o cursor de edição seja posicionado na linha de código correspondente O pressionar do botão direito do mouse apresenta o menu de opções Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 197 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As figuras a seguir ilustram a criação do diagrama de blocos em malha fechada a saída para uma perturbação na carga regulador e a saída para uma mudança no set point servo Compare os gráficos com os obtidos anteriormente para confirmar as soluções A forma como foi construído este diagrama de blocos permitiu também que as ações de controle fossem visualizadas Em cada caso compare a saída com as ações geradas observando o comportamento de segunda ordem subamortecido Observe também que as funções de transferência para os casos servo e regulador são diferentes pois expressam as relações entre O nível no tanque HY e o set point HSPYSP O nível no tanque HY e a vazão de entrada V1 Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 198 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Problema regulador A seguir a saída do GNU Octave que produziu o gráfico anterior Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 199 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 200 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Problema servo A seguir a saída do GNU Octave que produziu o gráfico anterior Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 201 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A subrotina singleloop em anexo foi escrita para facilitar a elaboração de malhas de controle simples com base nos programas apresentados anteriormente Veja o caso anterior resolvido com esta subrotina Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 202 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O código elaborado é program diagramablocosbasico Última gravação 10022009terçafeira1044 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all function graficont1y1t2y2prob figurenclf subplot211 plott1y11rAções do controlador PI holdon plott2y21bAções do controlador P gridon xlabeltylabelxt titlesprintfProblema s Ações dos controladoresprob subplot212 plott1y12rSaída do sistema para o controlador PI holdon plott2y22bSaída do sistema para o controlador P gridon xlabeltylabelyt titlesprintfProblema s Saídas da malha prob endfunction begin clc fflushstdout pagescreenoutput0 FT Transmissor de NívelElemento de medição KLT15360 GLTtfKLT0 10YYLT FT Transdutor PI KPI204153 GPItfKPI0 10YLTYPI Controlador PI KC10 tauI1E1 GCPIPIDKCtauI Controlador P KC10 GCPPIDKC GSPtfKLTKPI0 10SPYSP FT Transdutor IP KIP153204 GIPtfKIP0 10YCYIP FT Válvula pneumática elemento final KVm3minpsigválvula linear KV011 GVtfKV0 10YIPV2 end FT Processoparte manipulada A1 KP1A GPMtfKP1 00V2Y2 FT Processo parte livre carga KL1A GPLtfKL1 00V1Y1 Malha KSPKLTKPI GRtfKLTKPI0 10YYPI GPsysmultGVGPMGIP dispMalha com controlador PI G1GSP1GL1singleloopGCPIGPGPLGRKSP promptPressione ENTER para a próxima sequência de cálculos dispMalha com controlador P G2GSP2GL2singleloopGCPGPGPLGRKSP end Perturbação degrau na cargaentrada 1 probregulador y1t1stepG11 y2t2stepG21 grafico1t1y1t2y2prob Perturbação degrau no set pointentrada 2 probservo y1t1stepG12 y2t2stepG22 grafico2t1y1t2y2prob dispFIM end A saída do programa fica Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 203 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Continua na próxima página Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 204 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Continuação Os gráficos a seguir evidenciam o offset para o problema regulador equacionado anteriormente Também é possível comparar os desempenhos dos controladores P e PI nos problemas servo e regulador Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 205 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 206 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 207 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 766 EXERCÍCIO 1 A equação que segue em variáveis desvio representa um tanque de aquecimento com resistência elétrica o qual possui escoamento contínuo F1 F2 A temperatura T no interior do tanque é medida e a taxa de calor alimentado é dada pela potência da resistência elétrica a qual é regulada por um SCR conectado a um controlador PI T1 é a temperatura da corrente de alimentação do Tanque e Q é a taxa de adição de calor na resistência a Utilizando a simbologia de instrumentação faça o diagrama ilustrativo do sistema em malha fechada b Faça o diagrama de blocos contendo as funções de transferência considerando realimentação unitária c Escreva a função de transferência para o problema servo na forma ganhoconstante de tempo d Escreva a função de transferência para o problema regulador 2 Escolha dois sistemas apresentados no capítulo de modelagem de processos e faça o diagrama de blocos para o problema de controle em malha fechada Controle Feedback Marcos Marcelino Mazzucco 208 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 8 ANÁLISE DE ESTABILIDADE Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 209 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 81 CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE Um processo quando instrumentado e conectado a um controlador adquire características de problemas de ordem maior Os processos autoregulatórios são aqueles que quando sujeitos a uma perturbação não sustentada na carga retornam à condição original sem o uso de um controlador Estes processos por exemplo perdem esta característica e podem tornarse oscilatórios ou instáveis quando postos em malha fechada O critério geral de estabilidade é assim definido um sistema linear é dito estável quando a saída deste é limitada para qualquer entrada limitada Devemos observar que estamos tratando de problemas sem restrições e desta forma os limites para entradas e saídas podem não ser coincidentes com os limites físicos do problema sendo que este fato não caracteriza o sistema como instável Na prática contudo os limites físicos podem adicionar complexidade aos problemas e podem introduzir elementos de instabilidade Matematicamente um sistema de controle feedback é estável se todos os polos da função de transferência raízes da equação característica denominador são números reais negativos ou são números complexos que possuem a parte real negativa Desta forma com a equação característica na forma sp1sp2spn temos que se p1pn0 eou p1pn0 então o sistema é estável 00 eixo real eixo imaginário I II III IV X X X X i i X X Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 210 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS As seguintes observações práticas são importantes Um sistema onde todas as raízes são reais e negativas é estável e sem resposta oscilatória às perturbações na carga e no set point Um sistema onde todas as raízes são reais e positivas é instável e portanto com resposta ilimitada às perturbações na carga e no set point Um sistema onde todas as raízes são complexas e com partes reais negativas é estável e exibe resposta oscilatória às perturbações na carga e no set point Um sistema onde todas as raízes são complexas e com partes reais positivas é instável e exibe resposta oscilatória amplificada às perturbações na carga e no set point Uma condição prática para a estabilidade está relacionada aos coeficientes da equação característica Se algum coeficiente for menor ou igual a zero então o sistema é instável Se todos forem maiores que zero então a estabilidade deve ser verificada Esta condição é dita necessária porém não suficiente pois quando os coeficientes são maiores que zero não há a garantia de que o sistema seja estável Considere o seguinte exemplo GP GL GC set point XSP XC YP YL Y XL XP YC A função de transferência para o problema servo é Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 211 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Neste caso já observamos que KC e I devem ser maiores que zero para que os coeficientes da equação característica possam ter a estabilidade analisada Os pólos desta função de transferência são A análise das condições de estabilidade a partir das raízes da equação característica está baseada na determinação das condições a partir das quais os parâmetros do controlador podem produzir raízes negativas Neste caso devemos analisar dois casos 1 Polos complexos 2 Polos reais Para analisar este exemplo vamos considerar K1 e primeiro pP1 depois pP1 Caso 1 Polos complexos Primeiro vamos analisar em que situações os polos da função de transferência poderão ser números complexos Para que as raízes p1 e p2 sejam complexas o polo do processo pP deve ser complexo eou o termo sob a raiz quadrada deve ser negativo Ou seja Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 212 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Se pP for um número complexo a raiz possuirá parte imaginária Caso contrário como sempre será positivo o termo sob a raiz quadrada somente resultará em número negativo se Assim Então se K1 e pP1 Ou seja se existirão raízes reais ou imaginárias em malha fechada para pP1 Agora vamos analisar a estabilidade do problema com polos complexos Para raízes complexas o termo contido na raiz quadrada produzirá a parte imaginária do complexo conjugado logo para que o sistema seja estável basta analisar apenas a parte real do termo entre colchetes Analisase apenas a parte real deste termo pois pP pode ser um número complexo Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 213 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Como pP e K são características do processo os únicos valores a serem manipulados são KC e I Com K1 e pP1 então KC 1 KC deve ser maior que 1 para que o sistema seja estável Com K1 e pP1 KC 1 porém KC0 para que o sistema possa ser estável então qualquer valor de KC0 produzirá um sistema estável Caso 2 Polos reais Primeiro vamos analisar em que situações os polos da função de transferência poderão ser números reais Para que o sistema possua raízes reais é necessário que e que pP não seja complexo Para que raízes reais deve ser determinada a relação entre KC e I que mantém a desigualdade Com K1 e pP1 condição para que as raízes sejam reais Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 214 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Neste caso se Kc15 então I4151215152 ou seja I24 Observe que I24 é a condição para que o sistema possua raízes reais ao invés de complexas e que isto não constitui uma condição de estabilidade Lembrese raízes reais indicam que o comportamento do sistema não será oscilatório Agora vamos analisar a estabilidade Se as raízes são reais para que o sistema seja estável Para a primeira raiz Ou seja de forma parcial com I e K positivos para KC0 o sistema é estável Para a segunda raiz Para que existam raízes reais apenas Considerando que então para que p2 seja negativo pois o termo a está multiplicado por 1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 215 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Assim será garantido que Como sempre será menor que a logo para que p20 o termo a seja predominante Assim com K1 e pP1 Ou seja pela análise da raiz p1 com I e K positivos para KC0 o sistema é estável contudo pela análise de p2 para KC1 sistema é estável Então de forma geral para que o sistema seja estável é necessário que I 0 e KC1 Os gráficos a seguir ilustram as situações onde ocorre estabilidade e instabilidade Veja que os valores dos parâmetros do controlador influenciam a estabilidade Assim processos instáveis podem ser estabilizados e da mesma forma processos estáveis podem ser instabilizados O programa GNU Octave a seguir foi utilizado para gerar os gráficos que serão apresentados Observe as facilidades oferecidas pelas subrotinas roots conv tf sysout e step program testeestabilidade Última gravação 09022009segundafeira2300 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all begin clc K1 KC05 KC15 tauI25 tauI01 pP1 pP1 pP1 pP11i pP11i Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 216 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS NKKCtauI 1 DconvtauI 01 pPKKC0 tauI 1 polosrootsD sistfND sisinname1SP sisoutname1Y stepsis sysoutsistf sysoutsiszp end Os gráficos a seguir mostram diferentes situações onde as condições estabelecidas são respeitadas ou violadas Nestes casos não há preocupação com a qualidade do controle apenas a avaliação da estabilidade é considerada Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 217 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo estável pP1 sistema estável pP1 KC0 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 218 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo instável pP1 sistema instável pP1 KC1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 219 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo estável pP1i sistema estável pP1 KC0 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 220 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo instável pP1i sistema instável pP1 KC1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 221 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo instável pP1 sistema estável pP1 KC1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 222 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo instável pP1i sistema estável pP1 KC1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 223 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Processo instável pP1 sistema estável pP1 KC0 Para que a equação característica possua duas raízes reais I deve ser maior que 24 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 224 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 811 EXERCÍCIO DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR Mostre de que forma podem ser escolhidos os parâmetros do controlador PI no processo ilustrado no exemplo do controle de nível no tanque para o que sistema seja estável 82 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTHHURWITZ Para casos onde a equação característica do sistema é polinomial a estabilidade pode ser verificada sem o uso das raízes desta procedimento este muito útil quando o polinômio é de ordem maior que 2 e não está disponível o recurso computacional para determinar as raízes Publicado em 1905 este método é baseado no seguinte arranjo 1 seja o polinômio ansn an1sn1 an2sn2 a1s a00 2 Se todos os coeficientes são positivos dispor os coeficientes intercalados na primeira linha e na segunda linha de uma matriz Montar a matriz no seguinte arranjo 1 an an2 an4 an6 2 an1 an3 an5 an7 3 b1 b2 b3 4 c1 c2 n1 z1 onde Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 225 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que para o cálculo dos elementos bi ci etc no arranjo de RouthHurwitz foram montadas matrizes 2x2 e calculados os determinantes para cada matriz Na montagem das matrizes foi mantida a primeira coluna e a segunda coluna foi inserida a partir de cada uma das colunas do arranjo Ou seja Com as linhas 1 e 2 calculamos b1 b2 1 an an2 an4 an6 2 an1 an3 an5 an7 Com as linhas 2 e 3 calculamos c1 c2 2 an1 an3 an5 an7 3 b1 b2 b3 E assim por diante A partir do arranjo formado a condição para que o sistema seja estável é obtida da primeira coluna da matriz Se todos os elementos na primeira coluna do arranjo forem positivos então o sistema é estável Se algum destes elementos for negativo o sistema é instável sendo que o número de trocas de sinal indica o número de raízes no semiplano direito do eixo imaginário RHP right half plane Considere o exemplo anterior Com K1 e pP1 1 I KC 2 IIKC 0 3 b1 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 226 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para que a primeira coluna seja positiva KC0 e IIKC0 Assim IKCI KC1 O sistema será estável com KC1 como determinado anteriormente Com K1 e pP1 1 I KC 2 IIKC 0 3 Kc Para que a primeira coluna seja positiva KC0 e IIKC0 Assim IKCI KC1 O sistema será estável com KC0 como determinado anteriormente Vamos considerar outro problema com dinâmica de segunda ordem GP GL GC set point XSP XC YP YL Y XL XP YC Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 227 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Determinar a condição de estabilidade para este caso usando o arranjo de Routh A equação característica é 1GCGP 1 I IKC 3 2 2I KC 3 b1I KC 2IIKC 32I b1 IKC 3 KC2 0 4 c102IIKC 3 KC2KCIKC3 KC2 c1IKC 3 KC2KCIKC 3 KC2 c1KC b1 IKC 3 KC20 2IKC 6I KC0 KC2I1 6I 0 para I01 08KC 06 0 08KC 06 0 Para que a condição se mantenha 08KC 06 08KC 06 KC0608075 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 228 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Ou KC2I1 6I 0 Se I05 então KC0 Se I05 então KC2I1 6I Ex KC6042041 12 c1KC 0 KC0 O programa GNU Octave a seguir gera as saídas deste exemplo para as condições apresentadas program testeestabilidade2 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all begin clc KC08 KC07 KC14 KC11 tauI01 tauI06 tauI04 GCtfKCtauI 1 tauI 0 GPtf11 2 3 GfeedbacksysmultGCGPugain1 sysoutGtf stepG end Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 229 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para I01 o sistema é instável com KC075 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 230 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para I01 o sistema é estável com KC075 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 231 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para I06 o sistema é estável com KC0 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 232 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para I04 o sistema é estável com KC12 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 233 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Para I04 o sistema é instável com KC12 Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 234 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 83 MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA Consiste em determinar o limite de estabilidade para um sistema O limite de estabilidade é determinado pelo eixo imaginário uma vez que quando os polos estão a direita do eixo imaginário o sistema tornase instável Assim na função de transferência o limite de estabilidade é atingido quando as partes reais dos polos da equação característica forem zero sp j0 uma raiz da equação característica Se p0 então s0 j0 sj Assim fazendo sj na equação característica é determinado o limite de estabilidade do sistema Considerando ainda o exemplo anterior Com K1 e pP1 A equação característica fica Fazendo sj A equação anterior é um complexo conjugado logo a igualdade somente será mantida se as parte real e imaginária forem zero Então Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 235 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Então O limite de estabilidade para KC é 1 ou seja o sistema somente é estável para KC1 pois e neste caso os coeficientes devem ser positivos para que possa haver estabilidade Se KC1 e I01 então 316 ou seja frequência de oscilação da saída será 316 rads por exemplo Desta forma o período da oscilação será P23161988 sciclo Veja o exemplo a seguir program testeestabilidade3 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all begin clc K1 KC1 tauI01 pP1 NKKCtauI 1 DconvtauI 01 pPKKC0 tauI 1 polosrootsD sistfND sisinname1SP sisoutname1Y sysoutsiszp stepsis1101000 ticsx0091988210 replot end Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 236 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Análise de Estabilidade Marcos Marcelino Mazzucco 237 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 9 SINTONIA DE CONTROLADORES PID Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 238 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A escolha dos parâmetros de um controlador PID com base nos critérios de estabilidade não garante que seja obtido o desempenho desejado De fato na observação dos gráficos apresentados para controle em malha fechada é facilmente diagnosticado o comportamento indevido do sistema de controle no comportamento excessivamente oscilatório Para a sintonia ou ajuste fino do controlador são necessárias informações do comportamento do processo que será ligado ao controlador Uma forma de obter estas informações é através do critério da resposta transiente que será discutido aqui 91 CRITÉRIO DA RESPOSTA TRANSIENTE A resposta transiente de um sistema feedback mostra a capacidade do controlador em lidar com perturbações ou mudanças Esta capacidade mede o desempenho do controlador nas seguintes características Nas transições de set point Tempo de elevação tempo para atingir o novo set point deve ser minimizado Sobrelevação Overshootdeve ser minimizado Oscilações devem ser minimizadas Tempo de estabilização saída desviada em 5 do valor final deve ser minimizado Offset desvio permanente do valor final deve ser eliminado Estabilidade deve ser maximizada Ações de controle devem ser as menores possíveis e aplicadas com a menor frequência possível Robustez tolerância a pequenas variações no processo ou erros de modelagem deve ser maximizada Nas perturbações na carga Efeito da perturbação deve ser minimizado Oscilações devem ser minimizadas Tempo de estabilização deve ser minimizado Offset deve ser eliminado Estabilidade deve ser maximizada Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 239 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Ações de controle devem ser as menores possíveis e aplicadas com a menor frequência possível Robustez deve ser maximizada Na prática nem todos estes objetivos podem ser satisfeitos simultaneamente desde que devido às características do controle feedback não é possível ao mesmo tempo eliminar uma sobrelevação reduzir o tempo de estabilização e as oscilações em transições de set point Da mesma forma um controlador ajustado para atuar em mudanças de set point não produzirá uma resposta com a mesma qualidade na rejeição às perturbações Assim para um desempenho adequado tornase necessário em muitos casos um ajuste intermediário que permita desempenhos medianos para perturbações na carga e mudanças de set point Para o ajuste de controladores PID determinação de Kc I D existem abordagens específicas para os casos servo e regulador que serão vistas neste capítulo Os métodos que serão apresentados são adequados para curvas de resposta com o formato de sigmoide S 911 RELAÇÕES DE SINTONIA DE COHENCOON Cohen e Coon desenvolveram relações empíricas para ajuste de controladores PID de forma a prover uma razão de declínio de 14 razão entre as alturas de dois picos sucessivos Para aplicar as relações de CohenCoon é necessário representar um processo por um modelo de primeira ordem com tempo morto o qual pode ser obtido a partir de dados do processo Este método é conhecido como método da curva de reação justamente pelo fato de requerer a curva de reação do processo problema em malha aberta Lembrese que anteriormente falamos do modelo de primeira ordem com tempo morto como forma para aproximar dinâmicas de ordem maior que 1 A lista a seguir exibe a forma de cálculo dos parâmetros dos controladores PI e PID a partir de dados característicos do sistema Parâmetros do controlador PI Parâmetros do controlador PID Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 240 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Exemplo continuação do exemplo apresentado no capítulo Identificação de sistemas program controlePIPIDcohencoon Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all function graficont1y1t2y2prob figurenclf plott1y1rSaída do sistema para o controlador PID holdon plott2y2bSaída do sistema para o controlador PI gridon xlabeltylabelyt titlesprintfProblema s Saídas da malha prob endfunction begin clc clf Processo KP1 tau01 008 denpolymulttau11tau21 GPtfKPden0XPYP printfProcesso GPsggs1gs1 KPtau1tau2 identificado no exemplo degsistordem2aproxordem1tm KP 101 tau 0146 teta0044 printfIdentificado como GPsgegsgs1 KPtetatau end dispparâmetros do controlador PID pelo método de CohenCoon Controlador PID alfa005 KCtauItauDcohencoonPID KPtau teta GCPIDPIDKCtauItauDalfa end dispparâmetros do controlador PI pelo método de CohenCoon Controlador PI KCtauIcohencoonPI KPtau teta GCPIPIDKCtauI end dispFunção de transferência em malha fechada FTs malhas feedback GRtf110YPYP GPIDfeedbacksysmultGPGCPIDGR GPIfeedbacksysmultGPGCPIGR GPIDinname Set point sysoutGPIDtf y1t1stepGPID GPIinname Set point sysoutGPItf y2t2stepGPI grafico1t1y1t2y2servo end Observe as reduções nos tempos de elevação overshoot tempos de resposta tempo requerido para que a resposta permaneça dentro de 5 do valor final obtidas com o controlador PID O controlador PID na forma real com 005 foi utilizado Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 241 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 242 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 912 RELAÇÕES DE SINTONIA BASEADAS NA INTEGRAL DO ERRO A integral do erro pode ser considerada de três formas para a sintonia de controladores PID Integral do erro absoluto Integral of Absolute value of Error Integral do quadrado do erro absoluto Integral of Squared error Integral do erro absoluto ponderado no tempo Integral of the Timeweighted error Dentre os três critérios apresentados geralmente o último é preferido por fornecer valores mais conservativos menos agressivos e mais suaves para os controladores PI e PID Para determinar os parâmetros dos controladores PI e PID pelo critério ITAE é necessário resolver as relações relação 1 relação 2 relação 3 relação 4 Onde A e B são constantes conforme a tabela a seguir Entrada Controlador Modo A B relação Carga PI P 0859 0977 1 I 0674 0680 2 PID P 1357 0947 1 I 0842 0738 2 D 0381 0995 3 set point PI P 0586 0916 1 I 1030 0165 4 PID P 0965 0850 1 I 0796 01465 4 D 0308 0929 3 Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 243 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Nos gráficos que seguem as representações para os problemas servo e regulador com os controladores PI e PID são apresentadas Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 244 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Observe que a ferramenta do GNU Octave não realiza a simplificação da função de transferência o que poderia a primeira vista indicar uma função de transferência com Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 245 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ordem maior que a real Para melhor visualizar a possibilidade de simplificação utilize a subrotina sysoutsistemazp A saída abaixo desta subrotina mostras raízes que podem ser simplificadas sysoutGL1zp zeropole form 125 s 60009e011 s 10 s 125 s 11859 s 85952 21431i s 85952 21431i s 10 s 125 s 13807 s 11774 A figura a seguir mostra o comportamento dos controladores ajustados para uma perturbação na carga Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 246 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A figura a seguir mostra o comportamento dos controladores ajustados para perturbação na carga quando sujeitos a mudança no set point Para o controlador PID é possível visualizar o efeito derivative kick O método ITAE provê ajustes específicos para malhas sujeitas predominantemente a variações na carga ou no set point A figura a seguir mostra o comportamento dos controladores ajustados para mudança no set point Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 247 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A figura a seguir mostra o comportamento dos controladores ajustados para perturbação no set point quando sujeitos a mudança na carga ou seja sem o uso do ajuste específico para o tipo de perturbação Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 248 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O programa utilizado nas demostrações do ajuste pelo critério ITAE é mostrado a seguir program controlePIPIDITAE Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all function graficont1y1t2y2prob figurenclf subplot211 plott1y11rAções do controlador PID holdon plott2y21bAções do controlador PI gridon xlabeltylabelxt titlesprintfProblema s Ações dos controladoresprob subplot212 plott1y12rSaída do sistema para o controlador PID holdon plott2y22bSaída do sistema para o controlador PI gridon xlabeltylabelyt Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 249 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS titlesprintfProblema s Saídas da malha prob endfunction begin clc clf Processo KP1 tau01 008 denpolymulttau11tau21 GPtfKPden0XPYP printfProcesso GPsggs1gs1 KPtau1tau2 identificado no exemplo degsistordem2aproxordem1tm KP 101 tau 0146 teta0044 printfIdentificado como GPsgegsgs1 KPtetatau end ft carga GPLGP end dispParâmetros do controlador PID pelo método ITAE alfa005 entradaCARGA KCtauItauDitaePIDentrada KPtau teta printfKCg tauIg tauDg alfag KCtauItauDalfa GCPIDPIDKCtauItauDalfa dispParâmetros do controlador PI pelo método de ITAE KCtauIitaePIentrada KPtau teta printfKCg tauIg KCtauI GCPIPIDKCtauI GRtf110YPYP dispMalha com controlador PID G1GSP1GL1singleloopGCPIDGPGPLGR1 dispMalha com controlador PI G2GSP2GL2singleloopGCPIGPGPLGR1 Perturbação degrau na cargaentrada 1 probregulador y1t1stepG11 y2t2stepG21 grafico1t1y1t2y2prob Perturbação degrau no set pointentrada 2 probservo y1t1stepG12 y2t2stepG22 grafico2t1y1t2y2prob entradaSET POINT KCtauItauDitaePIDentrada KPtau teta printfKCg tauIg tauDg alfag KCtauItauDalfa GCPIDPIDKCtauItauDalfa dispParâmetros do controlador PI pelo método de ITAE KCtauIitaePIentrada KPtau teta printfKCg tauIg KCtauI GCPIPIDKCtauI GRtf110YPYP dispMalha com controlador PID G1GSP1GL1singleloopGCPIDGPGPLGR1 dispMalha com controlador PI G2GSP2GL2singleloopGCPIGPGPLGR1 Perturbação degrau no set pointentrada 2 probservo y1t1stepG12 y2t2stepG22 grafico3t1y1t2y2prob Perturbação degrau na cargaentrada 1 probregulador y1t1stepG11 y2t2stepG21 grafico4t1y1t2y2prob end 913 RELAÇÕES DE SINTONIA DE ZIEGLER NICHOLS As relações publicadas por Ziegler e Nichols em 1942 constituem parte dos métodos utilizados para o ajuste manual de controladores PID O método é conhecido Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 250 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS como método da oscilação contínua continuous cycling ou método do ganho máximo ultimate gain method ou ajuste de malha loop tuning Este método consiste em desativar os modos integral e derivativo mantendo apenas o modo proporcional Ajustar o ganho proporcional para um valor pequeno e aumentálo lentamente aplicando pequenas perturbações no set point ou na carga até que a saída do sistema tornese continuamente oscilatória com amplitude constante e sem atingir os limites saturação do elemento sensor e do elemento final de controle O valor do ganho do controlador neste caso é o ganho máximo KCU com um período da oscilação PU O ganho máximo é o maior valor de KC para o qual o sistema é estável com um controlador P A tabela a seguir fornece os parâmetros dos controladores PI e PID com base em KCU e PU Controlador KC I D P 05KCu PI 045KCu PU12 PID razão de declínio14 06KCu PU2 PU8 PID pouco overshoot 033KCu PU2 PU3 PID sem overshoot 02KCu PU2 PU3 Este método não pode ser aplicado em sistemas de primeira e segunda ordem puros sem tempo morto os quais não possuem ganho máximo Considere o exemplo GP GL GC set point XSP XC YP YL Y XL XP YC A função de transferência para o problema servo é Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 251 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Usando o método da síntese direta a equação característica fica sj Com pP1 e K1 Logo o sistema é instável para KC8 pois desta forma Para que o sistema seja estável Vamos resolver dois exemplos com os controladores PI e PID Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 252 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS A função de transferência para o problema servo com PI é A função de transferência para o problema servo com PID é Para os controladores PI e PID ajustados pelo método de ZieglerNichols as respostas para uma mudança tipo degrau unitário no set point são mostradas nos gráficos a seguir Compare as diferentes respostas Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 253 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 254 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O Código GNU Octave a seguir foi utilizado para gerar os gráficos apresentados program controlePIPIDZieglerNichols Software GNU Octave 2169mEd 213 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all function graficot1y1legenda probSERVO Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 255 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS plott1y11legenda holdon gridon xlabeltylabelyt titlesprintfProblema s Saídas da malha prob endfunction begin clcclf K1 pP1 PU2pisqrt3 KCU8 ft com PI dispPI KC045KCU tauIPU12 NKKCtauI 1 DconvtauI 0convconv1 pP1 pP1 pPKKC0 0 0 tauI 1 polosrootsD sistfND sisinname1SP sisoutname1Y tfoutND y1t1stepsis graficot1y1rControlador PI end ft com PID com RD14 TPID com RD14 dispT KC06KCU tauIPU2 tauDPU8 NKKCtauDtauI tauI 1 DconvtauI 0convconv1 pP1 pP1 pP KKC0 0 tauDtauI tauI 1 polosrootsD sistfND tfoutND y2t2stepsis graficot2y2bControlador PID com RD14 end ft com PID com pouco overshoot dispPID com pouco overshoot KC033KCU tauIPU2 tauDPU3 NKKCtauDtauI tauI 1 DconvtauI 0convconv1 pP1 pP1 pP KKC0 0 tauDtauI tauI 1 polosrootsD sistfND tfoutND y3t3stepsis graficot3y3xkControlador PID com pouco overshoot end ft com PID sem overshoot dispPID sem overshoot KC02KCU tauIPU2 tauDPU3 NKKCtauDtauI tauI 1 DconvtauI 0convconv1 pP1 pP1 pP KKC0 0 tauDtauI tauI 1 polosrootsD sistfND tfoutND y4t4stepsis graficot4y4mControlador PID sem overshoot end end Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 256 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Ziegler e Nichols também propuseram um método baseado na curva de resposta do sistema O método consiste em desligar o controlador introduzir uma pequena perturbação degrau na saída deste obter a curva de resposta e ajustar sobre esta uma função de primeira ordem com tempo morto O seguinte diagrama mostra o experimento que deve ser realizado GP GL GC set point XSP XC YP YL Y XL XP YC GD XD perturb YD onde GD1s Os controladores comerciais sempre incluem a possibilidade de operação em malha aberta o o engenheiro do processo pode inserir as ações de controle manualmente O ajustes dos parâmetros dos controladores propostos por Ziegler e Nichols são dados por Controlador KC I D P 1K PI 09K 333 PID 12K 2 05 No exemplo que segue compare as respostas obtidas para o mesmo problema utilizado nos métodos de CohenCoon e ITAE agota pela forma de ajuste baseada na curva de resposta proposta por Zielger e Nichols Observe a ocorrência de offset para o controlador P bem como a diminuição do overshoot proporcionada pelo controlador PID Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 257 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 258 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O Código GNU Octave a seguir foi utilizado para os dois testes anteriores program controlePIPIDZieglerNicholscurvaresposta Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco clear all function graficont1y1t2y2t3y3prob figurenclf subplot211 plott1y11rAções do controlador PID Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 259 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS holdon plott2y21bAções do controlador PI plott3y31xkAções do controlador P gridon xlabeltylabelxt titlesprintfProblema s Ações dos controladoresprob subplot212 plott1y12rSaída do sistema para o controlador PID holdon plott2y22bSaída do sistema para o controlador PI plott3y32xkSaída do sistema para o controlador P gridon xlabeltylabelyt titlesprintfProblema s Saídas da malha prob endfunction begin clc clf Processo KP1 tau01 008 denpolymulttau11tau21 GPtfKPden0XPYP printfProcesso GPsggs1gs1 KPtau1tau2 identificado no exemplo degsistordem2aproxordem1tm KP 101 tau 0146 teta0044 printfIdentificado como GPsgegsgs1 KPtetatau end ft carga GPLGP end PID dispParâmetros do controlador PID pelo método ZieglerNichols alfa005 KCtauItauDzieglernicholsPIDKPtau teta printfKCg tauIg tauDg alfag KCtauItauDalfa GCPIDPIDKCtauItauDalfa end PI dispParâmetros do controlador PI pelo método de ZieglerNichols KCtauIzieglernicholsPI KPtau teta printfKCg tauIg KCtauI GCPIPIDKCtauI end P dispParâmetros do controlador P pelo método de ZieglerNichols KCzieglernicholsP KPtau teta printfKCg KC GCPPIDKC end GRtf110YPYP dispMalha com controlador PID G1GSP1GL1singleloopGCPIDGPGPLGR1 dispMalha com controlador PI G2GSP2GL2singleloopGCPIGPGPLGR1 dispMalha com controlador P G3GSP2GL2singleloopGCPGPGPLGR1 Perturbação degrau na cargaentrada 1 probregulador y1t1stepG11y2t2stepG21y3t3stepG31 grafico1t1y1t2y2t3y3prob end Perturbação degrau no set pointentrada 2 probservo y1t1stepG12y2t2stepG22y3t3stepG32 y1miny110grafico2t1y1t2y2t3y3prob end end Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 260 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 92 SINTONIA MANUAL Ajustes de campo são frequentemente necessários para melhorar o desempenho de sistemas de controle Uma forma de ajuste está baseada nas regras de Ziegler Nichols utilizando o conceito de ganho máximo e consiste nos seguintes passos Desativar os modos integral valor máximo e derivativo valor mínimo Ajustar o ganho proporcional para um valor pequeno Aumentar o ganho proporcional lentamente aplicando pequenas perturbações no set point ou na carga até que a saída do sistema tornese continuamente oscilatória com amplitude constante e sem atingir os limites saturação do elemento sensor e do elemento final de controle Dividir KC por dois Reduzir I até que a oscilação cíclica apareça novamente Multiplicar I por três Aumentar D até que a oscilação cíclica apareça novamente Dividir D por três 93 ANÁLISE DA RESPOSTA FREQUENCIAL DE SISTEMAS A análise da resposta de sistemas à entradas senoidais constitui uma parte muito importante do projeto e análise de sistemas de controle Está além do escopo deste material O leitor pode buscar as informações necessárias nas bibliografias indicadas Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 261 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 94 EXERCÍCIO FINAL Faça o modelo para o processo a seguir considerando que o escoamento nas saídas dos tanques é do tipo FvKVh12 Adote os valores que desejar para as dimensões dos tanques e para as constantes KV F1 h1 D1 1 F2 h2 D2 F3 F4 h3 D3 3 2 F0 LT LT Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 262 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Desenhe o diagrama de blocos do problema A variável manipulada é F1 e a variável de carga é F0 Estabeleça malhas de controle para manipular F1 e controlar h3 Utilize os métodos de CohenCoon ITAE e ZieglerNichols baseados na curva de resposta para ajustar os controladores Sintonia de controladores PID Marcos Marcelino Mazzucco 263 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS Considerações Finais Marcos Marcelino Mazzucco 264 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS O estudo de controle de processos avança em proporção aos avanços dos conhecimentos nas áreas da matemática engenharia eletrônica e computação Neste material foram abordados os aspectos que permitem uma visualização superficial de modelagem e sistemas de controle O que deve ser reforçado é o fato de que os processos possuem comportamentos que são modificados pelos sistemas de controle Desta forma não é possível projetar ou ajustar controladores ignorando a natureza do problema Os processos químicos por sua vez possuem comportamentos peculiares que não podem ser descartados O sucesso da especificação de controladores neste caso está intimamente relacionado com o conhecimento do fenômeno que ocorre Isto por si só já justifica a inclusão deste conteúdo nos cursos de engenharia química Considerações Finais Marcos Marcelino Mazzucco 265 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 11 REFERÊNCIAS LUYBEN W L Process Modeling Simulation And Control For Chemical Engineers New York McGrawHill 1990 MAZZUCCO M M Um Sistema Difuso para o Controle de Temperatura de Unidades de Processamento em Batelada Tese de Doutorado Programa de Pósgraduação em Engenharia de ProduçãoUFSC 2003 SEBORG D E EDGAR T F MELLICHAMP D A Process Dynamics And Control New York John Wiley 1989 SOISSON Harold E Instrumentação Industrial São Paulo Hemus sd MATLAB Guia do Usuário Makron Books Octave online Documentation wwwoctaveorg Referências Marcos Marcelino Mazzucco 266 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 12 ANEXO 1 SUBROTINAS 121 FRACOESPARCIAIS GNU Octave MED 30 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Objetivoexpandir em frações parciais function scpkefracoesparciaisnd cpkeresiduend ppp ccc s for i1lengthc if imagppi val com2strppi else val num2strppi endif if ei1 sssprintfsssgcom2strcivalei else sssprintfssscom2strcival endif endfor if nargout0 return endif nldNLD for i1 lengthp NNn LLl DDd den for j1ei dendenpi endfor nldszpoutdenci endfor NNn LLl DDd dispNdispLdispD printf endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 267 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 122 POLYMULT Software GNU Octave 300mEd 330 Última gravação 10042008quintafeira1141 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr ObjetivoMultiplicação de polinômios Usoppolymultp1p2p3 ppolymultp1p2p3string O último parâmetro string é opcional para apresentar o resultado na forma de texto function ppolymultvarargin pvarargin1 for i2nargin argvarargini if strcmptypeinfoargstringstrcmptypeinfoargsqstring polyoutparg return endif pconvparg endfor endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 268 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 123 POLYADD Software GNU Octave 300mEd 330 Última gravação 10042008quintafeira1200 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr ObjetivoAdição de polinômios Usoppolyaddp1p2p3 ppolyaddp1p2p3string O último parâmetro string é opcional para apresentar o resultado na forma de texto function ppolyaddvarargin for m1nargin argvararginm if strcmptypeinfoargstringstrcmptypeinfoargsqstring break endif Lmnúmero de vetores cvmlengthvararginmcomprimento dos vetores endfor Cmaxcv PzerosLC igualar os comprimentos dos vetores para somar for m1L argvararginm k0 for ncvm11 PmCkargn kk1 endfor endfor end somar os vetores pP1 for m2L ppPm endfor end caso o último parâmetro seja um texto apresentar o resultado na forma de texto if narginL polyoutpvararginnargin endif end endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 269 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 124 POLYPOWER Software GNU Octave 300mEd 330 Última gravação 10042008quintafeira1159 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr ObjetivoMultiplicação de polinômios Usoppolypowerpoliexp ppolypowerpoliexpstring O último parâmetro string é opcional para apresentar o resultado na forma de texto function ppolypowerp1es pp1 for i2e pconvpp1 endfor if exists if strcmptypeinfosstringstrcmptypeinfossqstring polyoutps endif endif endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 270 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 125 EXIBIRFT GNU Octave MED 30 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Objetivoexibir funcao de transferencia na forma de um texto numdenom function exibirftnum denom x if nargin3 xs endif numstr polyoutnumx numstr strrepnumstrsprintf 1sxsprintfsx numstr strrepnumstrsprintfs1 xsprintfs x denomstr polyoutdenomx denomstr strrepdenomstrsprintf 1sxsprintfsx denomstr strrepdenomstrsprintfs1 xsprintfs x len maxlengthnumstrlengthdenomstr y strrepblankslen spcfixlenlengthnumstr2 dispsprintfblanksspc numstr blanksspc dispy dispdenomstr end Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 271 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 126 DEGRAUUNITARIO Última gravação 09022009segundafeira1155 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivogerar degrau unitário function rdegrauunitariotFunção degrau rzeros1lengtht for i1lengtht if ti0 ri1 endif endfor endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 272 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 127 PRIMEIRAORDEM Última gravação 09022009segundafeira1141 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivogerar dados de uma função de primeira ordem tvetor tempo Mmagnitude do degrau KGanho em estado estacionário tauconstante de tempo teta tempo morto function yprimeiraordemtMKtautetaSistema yKM1expttetataudegrauunitariotteta endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 273 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 128 GERARDADOS Última gravação 09022009segundafeira1158 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorDr Marcos Marcelino Mazzucco Objetivogerar dados de um sistema sobreamortecido de ordem N tvetor tempo Mmagnitude do degrau KGanho em estado estacionário tauvetor de constantes de temposapenas constantes distintas teta tempo morto function ygerardadostMKtauteta dtau1 1 Nlengthtau for j2N dconvdtauj 1 endfor cpkeresidue1conv1 0d szeros1lengtht for i1N1 ssciexppittetaraízes simples sem repetição endfor yMKs yydegrauunitariotteta endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 274 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 129SUNDARESANKRISHNASWAMY Última gravação 09022009segundafeira0952 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivo aproximar ty para uma função de primeira ordem com tempo morto pelo método de sundaressan e krishnaswamy a partir de um degrau de magnitude step Se omitido step então step1 O parâmetro str é opcional para exibir a função de transferência function K tau teta t353t853sundaresankrishnaswamytymagdegstr if nargin2 magdeg1 endif if nargin3 isstrmagdeg magdeg1 strs endif yyy1 for j1lengthy if yj0353yend t353tj1tj2 break endif endfor for kjlengthy if yk0853yend t853tk1tk2 break endif endfor tau067t853t353 teta13t353029t853 Kyend2yend1yend3magdeg if nargin3 isstrmagdeg nargin4 exibirftKtau 1teta endif endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 275 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1210 SINGLELOOP Última gravação 11022009quartafeira1042 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivomake a single loop YC XL GL v SP KSP X GC GP XY GR KSP gain for set point GC controller transfer function GP controlled transfer function GL Load transfer function optclc warning off function GGSPGLsingleloopGCGPGLGRKSPopt if existKSPvar if ischarKSP optKSP KSP1 endif elseif existKSPvar KSP1 endif if existoptvar opt endif if existGRvar if ischarGR optGR GRugain1 endif elseif existGRvar GRugain1 endif if existGLvar if ischarGL optGL GLugain1 endif elseif existGLvar GLugain1 endif warningstatewarningcurrent warning state if strcmpoptwarning off warningoff allturn off all warnings endif dispdispCreating closed loopdisp Malha Grupo de blocos para o ramo direto GDsysgroupGCGP GDsysconnectGD12 GDsysdupGD1 GDsyspruneGD121 Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 276 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS GDinname1YSPYR GDoutname1YC GDoutname2Y2 Grupo de blocos no ramo de realimentação TsysgroupGLGDGR dispcriando junção de GL e GPfflushstdout Jugain1 Jinname1Y1Y2 Joutname1Y TsysgroupTJ Malha feedback dispestabelecendo malha feedbackfflushstdout T sysscaleTdiag1 1 1 1 1realimentação negativa T sysconnectT14 T sysconnectT34 T sysconnectT53 T sysconnectT42 dispmantendo apenas as saídas 2 e 5 e as entradas 1 e 2 GsyspruneT2 51 2 dispconectando FT para SP na entrada 2 fflushstdout G sysscaleG diag1 1 Ginname2XSP Ginname1XL Goutname2Y Goutname1YC G sysscaleG diag1 KSP if strcmpoptclc clc endif dispdispCreating closed loop fromdisp disp YC disp disp XL GL disp disp v dispSP KSP X GC GP XY disp disp disp GR disp dispClosed loop created with form disp disp disp XL1 G 1YC dispXSP2 2Y disp end disp disp dispServo transfer function GSPsyspruneG22 sysoutGSPtf disp disp dispRegulator transfer function GLsyspruneG21 sysoutGLtf warningwarningstaterestore warning state endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 277 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1211 COHENCOON Última gravação 10022009terçafeira1059 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivoparâmetros do controladores PID pelo método de CohenCoon UsoKCtauItauDcohencooncontrolador KPtau teta function KCtauItauDcohencooncontrolador KPtau teta controladorPI controladorPID controladoruppercontrolador if strcmpcontroladorPID Controlador PID KC KC1KPtauteta16tau3teta12tau tauI tauIteta326tetatau138tetatau tauD tauD4teta112tetatau end else Controlador PI KC KC1KPtauteta09teta12tau tauI tauIteta303tetatau920tetatau tauD0 end endif endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 278 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1212 ITAE Última gravação 10022009terçafeira1218 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr ObjetivoParâmetros dos controladores PID pelo método ITAE uso KCtauItauDitaecontrolador entrada KPtau teta function KCtauItauDitaecontrolador entrada KPtau teta controladorPI controladorPID entradaSET POINT entradaCARGA controladoruppercontrolador entradaupperentrada A B P0859 0977 P carga 0674 0680 I carga 1357 0947 P carga 0842 0738 I carga 0381 0995 D carga 0586 0916 P set point 1030 0165 I set point 0965 0850 P set point 0796 01465 I set point 0308 0929 D set point if strcmpcontroladorPID if strcmpentradaCARGA AP31BP32 KC1KPAtetatauB AP41BP42 tauItauAtetatauB1 AP51BP52 tauDtauAtetatauB else AP81 BP82 KC1KPAtetatauB AP91 BP92 tauItauABtetatau1 AP101 BP102 tauDtauAtetatauB endif elseif strcmpcontroladorPI if strcmpentradaCARGA AP11 BP12 KC1KPAtetatauB AP21 BP22 tauItauAtetatauB1 tauD0 else AP61 BP62 KC1KPAtetatauB AP71 BP72 tauItauABtetatau1 tauD0 endif endif endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 279 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 1213ZIEGLERNICHOLS Última gravação 11022009quartafeira0931 Software GNU Octave 3150mEd 341 AutorMarcos Marcelino Mazzucco Dr Objetivo parâmetros do controlador PID pelo método de ZieglerNichols UsoKCtauItauDzieglernicholscontrolador KPtau teta function KCtauItauDzieglernicholscontrolador KPtau teta controladorPI controladorPID controladoruppercontrolador if strcmpcontroladorPID KC12KPtauteta tauI2teta tauD05teta elseif strcmpcontroladorPI KC09KPtauteta tauI333teta tauD0 else KC1KPtauteta tauIinf tauD0 endif endfunction Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 280 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 281 INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS Anexo 1 Subrotinas Marcos Marcelino Mazzucco 282