Eletromagnetismo-Exercicios Resolvidos Lei de Gauss Capacitores e Indução Magnética

Dada a densidade de fluxo elétrico D 2 x y x 3x 2y y determine a 050 ponto ρv utilizando a lei de Gauss na forma diferencial b 050 ponto a carga total Qenvolvida por um cubo com arestas de 2 m localizado no primeiro octante com três de seus lados coincidindo com os planos x y e z e com um de seus vértices localizado na origem do sistema cartesiano Lemrese que Qenvolvida ρv dv c 050 ponto a carga total Qenvolvida pelo cubo do item anterior utilizando a lei de Gauss na forma integral 2 O plano x y contém um plano infinito carregado uniformemente com densidade superficial de carga ρs1 02 nCm2 Um segundo plano com densidade ρs2 02 nCm2 paralelo ao primeiro passa pelo ponto z 6 m Dados os pontos A 006 m B 000 e C 0 2 m 2 m encontre a 050 ponto VAB b 050 ponto VBC c 050 ponto VAC 3 150 pontos O capacitor mostrado na Fig a consiste de duas camadas dielétricas paralelas Use considerações de energia para mostrar que a capacitância equivalente do capacitor C é igual a combinação em série dos capacitores individuais C1 e C2 como na Fig b Ou seja C C1 C2 C1 C2 onde C1 ε1 A d1 C2 ε2 A d2 Para tanto a Sejam V1 e V2 os potenciais elétricos através dos dielétricos superiores e inferiores respectivamente Quais são os respectivos campos elétricos E1 e E2 Aplicando as condições de fronteira adequadas na interface entre os dois dielétricos obtenha uma expressão explícita para E1 e E2 em termos de ε1 ε2 V e as dimensões indicadas do capacitor b Calcule a energia armazenada em cada uma das camadas dielétricas e então use a energia total armazenada para obter uma expressão para C c Mostre que C é dada pela Eq 2 4 150 pontos O laço mostrado na figura a seguir consiste de duas linhas radiais e dois segmentos de círculo cujos centros estão no ponto P Determine o campo magnético H no ponto P em termos de a b θ e I 5 200 pontos O loop condutor retangular mostrado na Fig rotaciona a 6000 rpm em meio a uma região onde existe uma densidade de fluxo magnético B 50 mT y Determine a corrente induzida no loop de sua resistência interna é de 05 Ω 6 O campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um meio dielétrico não condutor e não magnético é dado por E 3 sin ωt 0 2πx y 4 cos ωt 0 2πx z onde ω π 107 rads e o campo é medido em Vm Determine a 050 ponto o comprimento de onda b 050 ponto εr c 050 ponto o campo magnético H d 050 ponto o vetor de Poynting S a combinação em série dos capacitores individuais C1 e C2 como na Fig b Ou seja C C1 C2 C1 C2 Onde C1 ε1 A d1 C2 ε2 A d2 Para tanto a Sejam V1 e V2 os potenciais elétricos através dos dielétricos superiores e inferiores respectivamente Quais são os respectivos campos elétricos E1 e E2 Aplicando as condições de fronteira adequadas na interface entre os dois dielétricos obtenha uma expressão explícita para E1 e E2 em termos de ε1 ε2 V e as dimensões indicadas do capacitor b Calcule a energia armazenada em cada uma das camadas dielétricas e então use a energia total armazenada para obter uma expressão para C c Mostre que C é dada pela Eq 2 4 150 pontos O laço mostrado na figura a seguir consiste de duas linhas radiais e dois segmentos de círculo cujos centros estão no ponto P Determine o campo magnético H no ponto P em termos de a b θ e I 1 a Temos que vecD ρv Mas vecD Dxx Dyy 2 2 0 Logo ρv 0 b Como ρv 0 então Q ρv dV 0 c Pela Lei de Gauss na forma integral temos Q vecD dvecs Mas pelo teorema da divergência Q vecD dV ρv dV 0 2 a Entre os planos o campo é vecE vecEs1 vecEs2 ρs1 2ε0 ρs2 2ε0 hatz Como ρs2 ρs1 vecE ρs1 ε0 hatz Logo VAB 06 ρs1 ε0 dz 6 ρs1ε0 1356 V Linhas de campo entrando no plano pois a carga é negativa b Apenas a coordenada z é relevante para o ponto C Como o ponto A é o menor potencial e o ponto B é o maior VBC 26 VAB 452 V c Por fim VAC VAB VBC 904 V 3 a Seja V2 a tensão no material de baixo e V1 a tensão no de cima Temos V V1 V2 e E1 V1d1 e E2 V2d2 Condições de fronteira Componente normal de vecD é contínua já que não há cargas livres no sistema Logo na interface Din Dout ε1 E1 ε2 E2 Logo V E1 d1 E2 d2 E1 d1 ε1ε2 E1 d2 Isolando E1 E1 V d1 ε1ε2 d2 Analogamente E2 V d2 ε2ε1 d1 b Calculamos as energias We1 12 ε1 E12 v1 12 ε1 V d1 ε1ε2d2 2 Ad1 12 V2 ε1 ε22 Ad1 ε2 d1 ε1 d22 We2 12 ε2 E22 v2 12 ε2 V d2 ε2ε1 d1 2 Ad2 12 V2 ε12 ε2 Ad2 ε1 d2 ε2 d12 We We1 We2 12 V2 ε1 ε22 Ad1 ε12 ε2 Ad2 ε1 d2 ε2 d12 Mas We 12 CV2 logo C ε1 ε22 Ad1 ε12 ε2 Ad2 ε2 d1 ε1 d22 ε1 ε2 A ε2 d1 ε1 d2 ε2 d1 ε1 d22 ε1 ε2 A ε2 d1 ε1 d2 Multiplicando a expressão acima por A d1 d2 no numerador e no denominador temos C ε1 A d1 ε2 A d2 ε1 Ad1 ε2 Ad2 C1 C2 C1 C2 4 Utilizando BiotSavart temos dH i dℓ r 4 π r2 Como ao longo das partes radiais do laço a corrente é paralela à r então não há contribuição para o campo Ficamos então com para o caminho de raio a dHa i a dθ θ r 4 π a2 Logo Ha i 4 π a z dθ i θ 4 π a z Já para o caminho de raio b idℓ i b dθ θ positivo Logo Hb i θ 4 π b z Por fim H Ha Hb i θ 4 π 1a 1b z 5 Ora o fluxo é φ B dS BA cos θt onde θt ω t Mas a fem induzida é E dφdt BA ω sen ω t e a corrente é i E R Substituindo os valores E 50103 002 003 2 π 6000 60 sen2 π 600060 t ε 1885 103 sen200π t i i 1885 103 sen200π t 05 377 sen200π t mA 6 a Como K 02π d 2π K 10 m b A velocidade da onda é u w K π 107 02π 5 107 ms Mas como u c εr εr c2 u2 36 c A onda se propaga na direção X logo H 1 η k x E com η η0 εr 20π Então H 3 20π senπ 107 t 02π x z 4 20π cosπ 107 t 02π xy a O vetor de Poynting é simplesmente S E x H com E e H dadas acima