Filtros Ativos - Aplicações e Simulações de 1a e 2a Ordem

Prof Rubem S Dreger Filtros Ativos Aplicações com Simulação Adaptado de MalvinoBates 7ª ed vol2 Prof Rubem S Dreger Estágios de Primeira Ordem adaptado de MalvinoBates 7º ed Cap 21 Filtros Ativos de 1ª ordem possuem apenas um capacitor Só conseguem produzir resposta passabaixa ou passaalta Filtros passabanda ou rejeitabanda só podem ser implementados a partir de estruturas de segunda ordem n 1 Estruturas de circuitos passabaixas de 1ª ordem a Não inversor ganho unitário b Não inversor com ganho de tensão c Inversor com ganho de tensão Prof Rubem S Dreger v 1 A 1 1 2 1 R C f c Não inversor ganho unitário 1 1 2 R R Av 3 1 2 1 R C f c Não inversor com ganho de tensão 1 2 R R Av 2 1 2 1 R C f c inversor com ganho de tensão Passabaixas 1ª ordem Prof Rubem S Dreger 4032 1 39 1 1 1 2 dB k k R R Av 3 1 1 1 129 2 2 15 820 f c kHz R C k pF ExemploDetermine o ganho e a frequência de corte Não inversor com ganho de tensão Passabaixas 1ª ordem Prof Rubem S Dreger 4032 1 39 1 1 1 2 dB k k R R Av Ganho Frequência de corte 3 1 1 1 129 2 2 15 820 f c kHz R C k pF Passabaixas 1ª ordem Prof Rubem S Dreger v 1 A 1 1 2 1 R C f c Não inversor ganho unitário 1 1 2 R R Av 3 1 2 1 R C f c Não inversor com ganho de tensão 2 1 1 2 C v C X C A X C 1 2 2 1 R C f c inversor com ganho de tensão Passaaltas 1ª ordem para altas frequências Prof Rubem S Dreger 4032 1 39 1 1 1 2 dB k k R R Av 3 1 1 1 129 2 2 15 820 f c kHz R C k pF Não inversor com ganho de tensão Passaaltas 1ª ordem Prof Rubem S Dreger 4032 1 39 1 1 1 2 dB k k R R Av Ganho Frequência de corte 3 1 1 1 129 2 2 15 820 f c kHz R C k pF Passaaltas 1ª ordem Prof Rubem S Dreger Os estágios de segunda ordem ou de 2 polos são os mais comuns porque são fáceis de serem construídos e analisados Os filtros de ordem maior são geralmente implementados conectandose em cascata estágios de primeira e segunda ordem Cada estágio de segunda ordem tem uma frequência ressonante e um fator Q para determinar qual o valor máximo obtido Os filtros SallenKey nome dado em homenagem aos seus inventores também são denominados filtros VCVS porque o ampop é usado como uma fonte de tensão controlada por tensão voltagecontroled voltage source Um circuito passabaixas VCVS pode implementar três aproximações básicas Butterworth Chebyshev e Bessel Filtros Passabaixas VCVS 2ª ordem ganho unitário No projeto de filtros ativos há uma frequência especial denominada frequência de pólo que é dada por 1 2 1 2 1 2 pf R R C C Esta frequência se relaciona com a frequência de corte e com a frequência de 3dB Em um filtro SalenKey de ganho unitário R1 R2 R e a equação da frequência de pólo fica simplificada 1 2 1 2 pf R C C Prof Rubem S Dreger Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem ganho unitário componentes diferentes v 1 A 1 2 2 1 C C R f p 1 2 50 C C Q Butterworth Q 0707 Kc 1 Bessel Q 0577 Kc 0786 Nesta configuração os resistores tem o mesmo valor porém os capacitores são diferentes Em baixa frequência os capacitores são um circuito aberto e o ganho é unitário Em alta frequência C2 provoca uma realimentação positiva que compensa a atenuação devida a C1 Quanto maior o valor de C2 em relação a C1 maior a realimentação positiva Se C2 for grande o suficiente para tornar Q maior que 0707 aparecerá um pico na resposta em frequência Ganho na banda de passagem Fator de qualidade Frequência de pólo Prof Rubem S Dreger Nas aproximações Butterworth e Bessel a atenuação é sempre de 3dB A frequência de corte se relaciona com a frequência de pólo a partir da expressão fc Kc fp Na aproximação Butterworth temos Q0707 e Kc 1 Na aproximação Bessel temos Q0577 e Kc 0786 Quando Q 0707 temos uma resposta tipo Chebyshev Neste caso após determinarmos o valor de Q podemos calcular as outras três frequências a frequência de ressonância fo a frequência de borda fc e a frequência de 3dB fo Ko fp fc Kc fp f3dB K3 fp Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione os componentes para um filtro de segunda ordem SallenKey com frequência de corte de 5kHz e resposta Butterworth 1 vA Q 0 707 Butterworth 2 2 1 2 2 1 025 0252 05 1 0707 C C nF Q C nF C Q 2 10 10 2 5000 F Hz C nF f Hz kHz fc 5 k nF nF kHz R C C f R C C R f c c 5 22 2 1 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 nF C 2 2 nF C 1 1 k R 5 22 Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem ganho unitário componentes diferentes Prof Rubem S Dreger U1 741 3 2 4 7 6 5 1 R1 225kΩ C1 1nF XBP1 IN OUT XFG1 XSC1 A B Ext Trig R4 225kΩ C2 2nF VCC 12V VEE 12V nF C 2 2 nF C 1 1 k R 5 22 kHz fc 5 1 vA Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem ganho unitário Butterworth Prof Rubem S Dreger Filtro passabaixas VCVS segunda ordem Ganho unitário Butterworth 3 dB Ganho unitário Frequência de corte Prof Rubem S Dreger Filtro passabaixas VCVS segunda ordem Ganho unitário Butterworth sinal de entrada e saída sobrepostos 100Hz Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione os componentes para um filtro de segunda ordem VCVS com frequência de corte de 5kHz e Q 09 vA 1 09 Q 2 2 1 2 2 1 025 0252 05 617 09 C C nF Q C pF C Q 2 10 10 2 5000 F Hz C nF f Hz kHz fc 5 1 2 1 2 1 1 2 2 1 287 2 5 617 2 c c f R R C C f C C R k kHz pF nF nF C 2 2 1 617 C pF 287 R k Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem ganho unitário componentes diferentes Valores de K e amplitude da ondulação de estágios de segunda ordem Q K0 Kc K3 ApdB 0577 0786 1 0707 1 1 075 0333 0471 1057 0054 08 0467 0661 1115 0213 09 0620 0874 1206 0688 1 0708 1000 1272 125 2 0935 1322 1485 63 3 0972 1374 1523 966 4 0984 1391 1537 121 5 0990 1400 1543 14 6 0992 1402 1546 156 7 0994 1404 1548 169 8 0995 1406 1549 18 9 0997 1408 1550 19 10 0998 1410 1551 20 100 1000 1414 1554 40 Prof Rubem S Dreger Q 09 fp 5kHz Da tabela Ko 062 Kc 0874 K3 1206 Ap 0688 dB fo Ko fp 062x5kHz 31kHz fc Kc fp 0874X5kHz 437kHz f3dB K3 fp 1206x5kHz 6kHz Prof Rubem S Dreger A Figura abaixo mostra outro filtro passabaixas SallenKey de segunda ordem Desta vez os dois resistores e os dois capacitores têm o mesmo valor Por isso o circuito é denominado filtro SallenKey de componentes iguais O circuito tem um ganho de tensão na banda média de 1 1 2 R R Av 1 2 f c RC A operação do circuito é similar à operação do filtro SallenKey de ganho unitário exceto pelo efeito do ganho de tensão Como o ganho de tensão pode produzir mais realimentação positiva através do capacitor de realimentação o Q do estágio tornase uma função do ganho de tensão e é dado por Para uma resposta Butterworth devemos ter Av 1586 1 3 v Q A A frequência de corte é dada por Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem com ganho componentes iguais Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione os componentes para um filtro de segunda ordem SallenKey com frequência de corte de 5kHz e resposta Butterworth 586 1 1586 10 v k A k Q 0 707 Butterworth 0 707 1586 3 1 3 1 vA Q nF Hz f C Hz F 2 000 5 10 10 kHz fc 5 k nF kHz R f C R RC f c c 15 9 2 5 2 1 2 1 2 1 nF C C 2 2 1 k R 9 15 4 dB Fazendo R1 10k 586k Filtros passabaixas VCVS de segunda ordem com ganho componentes iguais Prof Rubem S Dreger U1 741 3 2 4 7 6 5 1 R1 159kΩ C1 2nF XBP1 IN OUT XFG1 XSC1 A B Ext Trig R4 159kΩ C2 2nF VCC 12V VEE 12V R2 586kΩ R3 10kΩ Filtro passabaixas VCVS segunda ordem componentes iguais Butterworth 3 dB Prof Rubem S Dreger 1VP 1586VP Filtro passabaixas VCVS segunda ordem componentes iguais Butterworth sinal de entrada AZUL sinal de saída VERMELHO 100Hz Prof Rubem S Dreger Filtros em cascata tem a sua atenuação total como a soma de cada estágio Na figura abaixo temos dois estágios de segunda ordem conectados em cascata Se cada um tem um Q igual a 0707 e uma frequência de corte de 1 kHz então cada estágio tem uma resposta Butterworth com uma atenuação de 3 dB em 1 kHz Embora cada estágio tenha uma resposta Butterworth a resposta total não é uma resposta Butterworth Cascata de filtros Prof Rubem S Dreger Na figura abaixo temos diferentes valores de Q em cada estágio Note que o produto de cada estágio produz um Q 0707 O primeiro estágio tem Q 054 e o segundo estágio com Q 131 O pico de ganho no segundo estágio compensa a queda no primeiro estágio para obter uma atenuação de 3 dB em 1 kHz Cascata de filtros Prof Rubem S Dreger Pela tabela se quisermos um filtro de décima ordem precisaremos de cinco estágios com valores de Q de 051 32 056 11 e 0707 A tabela abaixo mostra os valores de Q de estágios em cascata para filtros Butterworth de ordem mais elevada Fonte MalvinoBates Vol2 7ªed Cascata de filtros Prof Rubem S Dreger v 1 A 1 2 1 2 cf C R R 2 1 50 R R Q Butterworth Q 0707 Kc 1 Bessel Q 0577 Kc 0786 Chebyshev Q 0707 O dimensionamento é semelhante ao passabaixas Filtros passaaltas VCVS de segunda ordem ganho unitário componentes diferentes Prof Rubem S Dreger Ex Para o filtro passaaltas mostrado ao lado determine a frequência de corte e o Q do circuito v 1 A 1 2 1 1 1996 2 2 47 12 24 cf Hz C R R nF k k 1 2 24 05 05 0707 12 R k Q R k Filtros passaaltas VCVS de segunda ordem ganho unitário componentes diferentes Prof Rubem S Dreger p c c f f K 3 1 Av Q 1 1 2 R R Av Filtros passaaltas VCVS de segunda ordem com ganho componentes iguais O Q do estágio é função do ganho devida a realimentação produzida pelo resistor A frequência de corte é dada por 1 2 pf RC Prof Rubem S Dreger Ex Para o filtro passaaltas VCVS mostrado ao lado determine a frequência de corte e o Q do circuito 1 1 531 2 2 30 1 cf kHz RC k nF 1 1 2 3 3 25 v Q A 2 1 15 1 1 25 10 v R k A R k Filtros passaaltas VCVS de segunda ordem com ganho componentes iguais Prof Rubem S Dreger 2 1 586 1 1 1586 10 v R k A R k 1 1 531 2 2 30 1 cf kHz RC k nF 1 1 0707 3 3 1586 v Q A Ajustando o ganho para resposta Butterworth Prof Rubem S Dreger Um filtro passafaixa possui uma frequência central e uma banda de passagem O fator de Qualidade do circuito é definido em função destas duas grandezas Quando Q é menor que 1 o filtro tem uma resposta de banda larga Nesse caso podese implementar uma cascata de um estágio passabaixas com um estágio passaaltas Quando Q é maior que 1 o filtro tem uma resposta de banda estreita e outra abordagem o ci cs f f xf BW fcs fci of Q BW Filtros passafaixa MFB Múltipla Realimentação Prof Rubem S Dreger Ex Considere que desejamos construir um filtro para telefonia que possui largura de banda entre 300 Hz e 33 kHz 300 33 995 o ci cs f f f Hz kHz Hz BW fcs fci 3300Hz 300Hz 3 kHz 995 0332 3 of kHz Q BW kHz Q 1 Banda larga 995 Hz Filtros em cascata Filtros de banda larga Q 1 Prof Rubem S Dreger Realimentação Quando Q é maior que 1 podemos usar o filtro de múltipla realimentação MFB multiplefeedback como mostrado na figura abaixo O sinal é aplicado na entrada inversora Note ainda que existem dois caminhos de realimentação daí o nome MFB Ganho de tensão na frequência central 2 1 2 R R Av Q do circuito é 1 2 50 R R Q ou vA Q 707 0 Frequência central 1 2 2 1 R R C f o Sinal na entrada inversora Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione um filtro passafaixa com frequência central de 4kHz e ganho de 20dB Determine o valor de Q encontrado e da largura de banda BW Um ganho de 20dB representa 10 vez Então 2 2 1 1 10 20 2 v R A R R R Q e BW esperados do circuito é 2 1 712 05 05 223 356 R k Q R k A frequência central é 4kHz logo 1 2 2 1 R R C f o 1 1 1 1 4 356 2 25 20 kHz R k nF R x R O capacitor é dado por 10 10 25 4 F o C nF f kHz Então 2 1 2 20 712 R R R k 4 18 223 f o kHz BW kHz Q Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger Q e BW encontrados na simulação 4 231 1726 f o kHz Q BW kHz BW 4941 3215 Hz 1726Hz Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger A Figura abaixo mostra outra configuração do mesmo filtro passafaixa MFB que apresenta a vantagem de aumentar a impedância de entrada O circuito é idêntico ao circuito MFB anterior exceto pelo novo resistor R3 As equações para este circuito estão apresentadas ao lado Ganho de tensão na frequência central 2 1 2 R R Av Q do circuito é 2 1 3 05 R Q R R Frequência central 1 3 2 1 2 o f C R R R Se tivermos R3 R1 podemos manter as equações anteriores pois teremos R1R3 R1 Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione o filtro passafaixa mostrado abaixo para uma frequência central de 4kHz e ganho de 20dB Determine o valor de Q encontrado e da largura de banda BW Ganho de tensão na frequência central Q do circuito é 2 1 3 712 05 05 239 356 712 R k Q R R k k Frequência central 4kHz 1 3 2 1 1 4 2 2 25 356 712 712 f o kHz C R R R nF k k k 2 2 1 1 10 20 2 v R A R R R O capacitor é dado por 10 10 25 4 F o C nF f kHz R1 afeta a impedância de entrada R1 356k R2 712k R3 R1 R3 712k MFB com ajuste de impedância de entrada Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger MFB com ajuste de impedância de entrada Filtros de banda estreita Q 1 Prof Rubem S Dreger Q e BW encontrados na simulação 4 235 17 f o kHz Q BW kHz BW 5023 3323 Hz 1700Hz Prof Rubem S Dreger Ganho de tensão na frequência central 1 3 2 1 1 18 2 2 4 5 100 100 f o C nF C R R R kHz k k k 2 2 1 1 10 20 2 v R A R R R O capacitor é determinado a partir da frequência R1 afeta a impedância de entrada R1 5k R2 100kk R3 R1 R3 100kk Aumentando R1 para 5 k Prof Rubem S Dreger MFB com impedância de entrada aumentada Prof Rubem S Dreger Q e BW encontrados na simulação 4 228 1754 f o kHz Q BW kHz BW 5023 3269 Hz 1754Hz Prof Rubem S Dreger Há várias formas de se implementar um filtro rejeitafaixa Em muitas aplicações um filtro rejeitafaixa necessita bloquear apenas uma única frequência É o caso dos 60Hz da rede elétrica CA que pode ser indesejável em alguns equipamentos da área biomédica por exemplo A Figura abaixo mostra um filtro notch SallenKey de segunda ordem Em baixas frequências todos os capacitores se comportam como circuitos abertos Como resultado todos os sinais de entrada chegam à entrada não inversora O circuito tem um ganho de tensão na banda de passagem de 2 1 1 v R A R Filtros rejeitafaixa notch filter Prof Rubem S Dreger Em frequências muitos altas os capacitores se comportam como curtocircuito Novamente todos os sinais de entrada chegam à entrada não inversora Entre os extremos de frequência alta e baixa existe uma frequência central dada por 1 2 of RC Nessa frequência o sinal de realimentação retorna com a amplitude e fase corretas para atenuar o sinal na entrada não inversora Por causa disso a tensão de saída cai para um valor muito baixo O Q do circuito é dado por 05 2 v Q A O ganho de tensão de um filtro notch SallenKey tem de ser menor que 2 para evitar oscilações Por causa da tolerância dos resistores R1 e R2 o Q do circuito deve ser muito menor que 10 Prof Rubem S Dreger 10 10 10 1 F o C nF f kHz Ex Dimensione um filtro rejeitafaixa com frequência central de 1kHz e ganho de 3dB Determine o valor de Q encontrado e da largura de banda BW 1 1 1 159 2 2 2 1 10 o o f R k RC f C kHz nF 2 1 1 v R A R 2 04 1 R R Estipulando R1 10k teremos R2 4k 05 05 0833 2 2 14 v Q A Filtros rejeitafaixa notch filter Prof Rubem S Dreger Ex Dimensione um filtro rejeitafaixa com frequência central de 1kHz e ganho de 3dB Determine o valor de Q encontrado e da largura de banda BW Filtros rejeitafaixa notch filter Prof Rubem S Dreger BW 1773 564 Hz 1209 Hz 1 0827 1209 f o kHz Q BW Hz Filtros rejeitafaixa notch filter Prof Rubem S Dreger Adaptado de APMalvino 4ªed Vol2 cap20 A figura abaixo mostra a composição de um filtro passabaixas de quarta ordem quatro pólos numa conexão em cascata de dois filtros de segunda ordem Se tentarmos utilizar um ganho de malha fechada ACL de 1586 para as duas seções de filtro como foi definido para um filtro de segunda ordem com resposta Butterworth o ganho de tensão estará 6dB abaixo na frequência de corte Utilizando ganhos diferentes em cada estágio poderemos chegar a uma resposta maximamente plana como esperado para este tipo de filtro Neste caso deveremos utilizar ACL 1152 para a primeira secção e ACL 2235 para a segunda secção veja a Tabela I a seguir A frequência de corte é Figura 2034 Filtro passabaixas de quatro pólos 1 2 cf RC Mais Pólos Prof Rubem S Dreger A tabela I abaixo fornece os ganhos de tensão necessários para cada seção de filtros passabaixo acima de segunda ordem Note que para filtros de ordem superior são utilizadas cascata de 1ª ordem seguido de um 2ª ordem filtros de ordem ímpar ou segunda ordem seguido de outro de segunda ordem filtros de ordem par Como mostra a tabela o filtro de um pólo tem ganho opcional O de dois pólos tem ganho definido de 1586 O de terceira ordem tem um ganho opcional para o primeiro estágio 1ª ordem e para o segundo estágio filtro de 2ª ordem ganho 2 Pólos Atenuação dBdec 1ª seção 1 ou 2 pólos 2ª seção 2 pólos 3ª seção 2pólos 1 20 opcional 2 40 1586 3 60 opcional 2 4 80 1152 2235 5 100 opcional 1382 2382 6 120 1068 1586 2482 Tabela I Ganhos para filtros com resposta Butterworth Tabela para filtros com resposta Butterworth Mais Pólos Prof Rubem S Dreger Um filtro de quatro pólos possui duas seções a primeira seção é um filtro de dois pólos com ganho 1152 a segunda seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 2235 Um filtro de cinco pólos possui três seções como mostra a figura 2035a Como indicado na tabela 202 a primeira seção é um filtro de um pólo com um ganho de malha fechada opcional a segunda seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 1382 a terceira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 2382 Um filtro de seis pólos é uma conexão em cascata de três seções de dois pólos como mostra a figura 2035b Pela tabela 202 temos que a primeira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de malha fechada de 1068 a segunda seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 1586 a terceira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 2482 Este filtro Butterworth produz uma redução do ganho a uma taxa de 120 dBdec Prof Rubem S Dreger Um filtro de cinco pólos possui três seções como mostra a figura 2035a Como indicado na tabela I a primeira seção é um filtro de um pólo com um ganho de malha fechada opcional a segunda seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 1382 a terceira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 2382 Figura 2035a Filtro passabaixas de cinco pólos Mais Pólos Prof Rubem S Dreger Um filtro de seis pólos é uma conexão em cascata de três seções de dois pólos como mostra a figura 2035b Pela tabela I temos que a primeira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de malha fechada de 1068 a segunda seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 1586 a terceira seção é um filtro de dois pólos com um ganho de 2482 Figura 2035b Filtro passabaixas de seis pólos Mais Pólos Prof Rubem S Dreger Exemplo filtro sexta ordem com frequência de corte de 1kHz comportamento Butterworth Vi Vo 1068 1586 2482 3 x segunda ordem 10 10 10 1 C F nF f kHz 1 12 R K R 3 1 1 159 2 2 10 10 R k fC Hz nF 1 10682 159 34 R x k k 1 1 2 1 R K R 1 2 1 1 R R K 2 34 500 1068 1 k R k APM Sexta ordem Prof Rubem S Dreger De forma análoga para os outros dois estágios teremos 10 10 10 1 C F nF f kHz 3 22 R K R 3 1 1 159 2 2 10 10 R k fC Hz nF 3 15862 159 504 R x k k 3 2 4 1 R K R 3 4 2 1 R R K 4 504 86 1586 1 k R k 5 32 R K R 5 24822 159 789 R x k k 5 3 6 1 R K R 5 6 3 1 R R K 6 789 532 2482 1 k R k Sexta ordem Prof Rubem S Dreger Vi Vo 1068 1586 2482 3 x segunda ordem Sexta ordem Sexta ordem Prof Rubem S Dreger Resultados Ganho na banda de passagem 106815862482 42 125 Total Total K K dB Sexta ordem Prof Rubem S Dreger Resultados frequência de 3dB ou frequência de corte 1 1 1 2 2 159 10 f kHz RC k nF 3dB ganho de 9dB 12dB Sexta ordem Prof Rubem S Dreger Resultados taxa de decaimento 120dB em uma década em 10kHz redução do ganho de 1073 dB Atenuação total 1073 9 dB 1163 dB Aproximadamente 120dBdec ou 36dBoit Sexta ordem Em Branco