Filtros Ativos e Passivos: Guia Completo sobre Definições e Funções

FILTROS ATIVOS PARTE 1 Prof Rubem S Dreger De uma forma genérica filtros são circuitos que processam sinais baseados na variação de ganho eou fase em função da frequência São formados por combinações de elementos passivos R L e C eou ativos transistores e amplificadores operacionais projetados para selecionar ou rejeitar determinada faixa de freqüência Os filtros podem ser divididos em duas categorias Filtros Passivos são aqueles que contém apenas resistores indutores e capacitores Filtros Ativos são aqueles que além de resistores indutores e capacitores também contém elementos ativos capazes de amplificar como amplificadores operacionais e transistores Filtros Definição Função de Transferência Determinase a resposta de um filtro calculandose Ts na frequência onde s jω exprimindo o resultado na forma de amplitude dB e fase diagramas de Bode Tjω Tjω e jφω Onde φ fase do filtro s Vi Vo s T s A função de transferência mostra o comportamento da tensão de saída em função da entrada A amplitude do filtro é dada pela expressão do Ganho ou Atenuação G ω 20 log Tjω A ω 20 log Tjω Prof Rubem S Dreger Faixa de Passagem faixa de freqüência na qual o sinal sofre mínima atenuação Faixa de Rejeição faixa de freqüência na qual os sinais sofrem grandes atenuações Faixa de Transição faixa de freqüência na qual os sinais apresentam atenuação variável Um filtro é caracterizado por alguns parâmetros como faixa de passagem faixa de rejeição e faixa de transição Prof Rubem S Dreger Módulo de transmissão de um filtro Amáx Amin fp fs Prof Rubem S Dreger A transmissão de um filtro é definida por 4 parâmetros 1 borda na faixa de passagem fp frequências abaixo deste valor estão na faixa de passagem 2 borda na faixa de bloqueio fs frequências acima deste valor são consideradas rejeitadas 3 máxima variação do ganho permitida na faixa de passagem Amax 4 atenuação mínima necessária para a faixa de bloqueio Amin Prof Rubem S Dreger Os filtros elétricos são denominados em função do comportamento do sinal de saída em função da entrada Assim temos basicamente quatro tipos de filtros Resposta ideal de um filtro em função da frequência Prof Rubem S Dreger Filtro passabaixas Um filtro passabaixas permite a passagem de todas as frequências desde zero até a frequência de corte e bloqueia todas as frequências acima da frequência de corte Filtro passaaltas Um filtro passaaltas bloqueia todas as frequências desde zero até a frequência de corte e permite a passagem de todas as frequências acima da frequência de corte Prof Rubem S Dreger Filtro passafaixa Esse filtro permite a passagem de todas as frequências entre as frequências de corte inferior e superior Finalmente ele bloqueia todas as frequências acima da frequência de corte superior A largura de banda BW bandwidth de um filtro passafaixa é a diferença entre as frequências de 3 dB de corte superior e inferior BW fcs fci Ex Se as frequências de corte são 300 Hz e 3300 Hz a largura de banda é faixa de telefonia BW fcs fci 3300Hz 300Hz 3 kHz A frequência central é simbolizada por f0 e é dada pela média geométrica entre as duas frequências de corte o ci cs f f f Ex Utilizando as frequências do exemplo acima teremos 300 33 995 o ci cs f f f Hz kHz Hz Prof Rubem S Dreger Outro parâmetro importantes de um filtro passafaixa é o fator de qualidade Q O fator Q de um filtro passafaixa é definido como a frequência central dividida pela largura de banda of Q BW Ex Se tivermos fo 300kHz e BW 75kHz então teremos Q 4 Quando o fator Q for maior que 10 a frequência central pode ser aproximada de uma média aritmética entre as frequências de corte 2 ci cs o f f f Ex Num receptor de rádio AM as frequências de corte do filtro de FI são 450kHz e 460kHz Então a frequência central deste filtro é 450 460 455 2 2 ci cs o f f kHz kHz f kHz Ainda podemos classificar os filtros passafaixa como filtro de banda larga e filtro de banda estreita Prof Rubem S Dreger Filtro rejeitafaixa Este tipo de filtro permite a passagem de todas as frequências desde zero até a frequência de corte inferior Em seguida bloqueia todas as frequências entre as frequências de corte inferior e superior Finalmente permite a passagem de todas as frequências acima da frequência de corte superior Se Q for menor que 1 o filtro passafaixa é chamado de filtro de banda larga se Q for maior que 1 o filtro é denominado filtro de banda estreita Por exemplo um filtro com frequências de corte de 95 kHz e 105 kHz tem uma largura de banda de 10 kHz Esse é um filtro de banda estreita porque o fator Q é aproximadamente 10 Um filtro com frequências de corte de 300 Hz e 3300 Hz tem uma frequência central de aproximadamente 1000 Hz e uma largura de banda de 3000 Hz Esse é um filtro de banda larga porque o fator Q é aproximadamente 0333 Q 1 Banda larga Q 1 Banda estreita Prof Rubem S Dreger Quanto a resposta aproximação na saída os filtros podem ser classificados como Bessel faixa de passagem e de rejeição planas região de transição suave Butterworth faixa de passagem e de rejeição planas região de transição moderada Chebyshev 1 faixa de passagem com oscilação região de transição moderada faixa de rejeição plana Chebyshev 2 faixa de passagem plana região de transição moderada faixa de rejeição com oscilação Eliptico faixa de passagem e rejeição com oscilações região de transição abrupta Prof Rubem S Dreger Ordem do filtro A ordem de um filtro passivo simbolizada por n é igual ao número de indutores e capacitores no filtro Se um filtro passivo tem dois indutores e dois capacitores n 4 Quanto maior a ordem mais complexo é o filtro A ordem de um filtro ativo depende do número de circuitos RC denominados polos que ele contém De um modo geral a ordem de um filtro ativo é dada pelo número de capacitores Adaptado de MalvinoBates vol2 7ªed Prof Rubem S Dreger Aproximação Butterworth A aproximação Butterworth é algumas vezes chamada de aproximação maximamente plana porque a atenuação na banda de passagem é zero na maior parte da banda de passagem e diminui gradualmente para Ap na borda da banda de passagem Bem acima da frequência de borda a resposta decai a uma taxa de aproximadamente 20n dB por década onde n é a ordem do filtro Decaimento 20n dBdécada Um decaimento equivalente em termos de oitava é Decaimento 6n dBoitava Por exemplo um filtro Butterworth de primeira ordem decai a uma taxa de 20 dB por década ou 6 dB por oitava um filtro de quarta ordem decai a uma taxa de 80 dB por década ou 24 dB por oitava e assim por diante Prof Rubem S Dreger A Figura ao lado mostra a resposta de um filtro passabaixas Butterworth com as seguintes especificações n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Essas especificações nos informam que o filtro é de sexta ordem ou de 6 pólos com atenuação na banda de passagem de 25 dB e uma frequência de borda de 1 kHz Os números ao longo do eixo da frequência desta figura são abreviados como mostrado a seguir 2E3 2 103 2000 Nota E significa expoente Observe o quanto a resposta é plana na banda de passagem Esta é a principal vantagem de um filtro Butterworth A principal desvantagem é o decaimento relativamente lento comparado com as outras aproximações Butterworth Prof Rubem S Dreger Aproximação Chebyshev Em algumas aplicações uma resposta plana na banda de passagem não é importante Nesse caso uma aproximação Chebyshev pode ser escolhida porque o seu decaimento é mais rápido na região de transição que o do filtro Butterworth como mostra a figura ao lado O preço pago por esse decaimento mais rápido é uma ondulação ripple que aparece na banda de passagem como mostra a figura Prof Rubem S Dreger A Figura ao lado mostra a resposta de um filtro passabaixas Chebyshev com as seguintes especificações n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Essas são as mesmas especificações que as do filtro Butterworth anterior Quando comparamos as curvas do Butterworth e do Chebyshev vemos que este último com filtro de mesma ordem tem um decaimento mais rápido na região de transição Por isso a atenuação com um filtro Chebyshev é sempre maior que a atenuação de um filtro Butterworth de mesma ordem O número de máximos presentes na ondulação indicam a ordem do filtro Na figura ao lado temos n6 Chebyshev Prof Rubem S Dreger Aproximação Chebyshev de ordem 20 Logo 20 pólos Prof Rubem S Dreger Aproximação Chebyshev inversa Em aplicações nas quais é necessária uma resposta plana na banda de passagem bem como um decaimento rápido podemos utilizar a aproximação Chebyshev inversa Ela tem uma resposta plana na banda de passagem e uma resposta ondulante na banda de corte A taxa de decaimento na região de transição é comparável à taxa de decaimento de um Filtro Chebyshev Prof Rubem S Dreger A Figura ao lado mostra a resposta de um filtro passabaixas Chebyshev inverso com as seguintes especificações n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Quando comparamos esta resposta com as duas anteriores vemos que o filtro Chebyshev inverso tem uma banda de passagem plana um decaimento rápido e uma banda de corte com ondulações Quando a banda de corte não possui ondulações dizemos que possui um comportamento Monotônico Com as aproximações discutidas até aqui os filtros Butterworth e Chebyshev têm bandas de atenuação monotônicas O filtro Chebyshev inverso possui uma banda de corte com ondulações Chebyshev inversa Prof Rubem S Dreger Filtro Chebyshev inverso com uma atenuação na banda de corte de 60 dB Esta resposta na banda de corte ocorre porque o filtro Chebyshev inverso tem componentes que se mostram com uma resposta semelhante a de um filtro notch em certas frequências na banda de corte Prof Rubem S Dreger Aproximação elíptica Algumas aplicações necessitam de um decaimento que seja o mais rápido possível na região de transição Se forem aceitáveis ondulações na banda de passagem e na banda de corte uma boa escolha é a aproximação elíptica Também conhecido como filtro Cauer esse filtro otimiza a região de transição à custa da banda de passagem e da banda de corte Prof Rubem S Dreger A Figura ao lado mostra a resposta de um filtro passabaixas elíptico com as mesmas especificações dos anteriores n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Observe que o filtro elíptico possui ondulações tanto na banda de passagem quanto na banda de corte e um decaimento bastante rápido Após a frequência de borda o decaimento inicial é bastante rápido decaindo ligeiramente um pouco mais lento na metade da transição para então decair mais rapidamente em direção ao final da transição Dado um conjunto de especificações para qualquer filtro mais complexo a aproximação elíptica sempre produzirá o projeto mais eficiente ou seja o filtro terá a ordem mais baixa Elíptico Prof Rubem S Dreger Exemplo comparativo entre filtros ordem do filtro ou número de pólos Considere as seguintes especificações para um determinado filtro Ap 05 dB fc 1 kHz As 60 dB e fs 15 kHz Considerando os quatro filtros vistos anteriormente teríamos Butterworth ordem 20 ou 20 pólos Chebyshev ordem 9 ou 9 pólos Chebyshev inverso ordem 9 ou 9 pólos Elíptico ordem 6 ou seis pólos Em outras palavras o filtro elíptico requer menos capacitores o que se traduz em um circuito mais simples São utilizados em equipamentos em equipamentos de alta precisão no ponto de corte Prof Rubem S Dreger Aproximação Bessel A aproximação Bessel tem uma banda de passagem plana e uma banda de corte monotônica similar à aproximação Butterworth Entretanto para um filtro de mesma ordem o decaimento na região de transição é muito menor com um filtro Bessel que com um filtro Butterworth A Figura ao lado mostra a resposta de um filtro passabaixas Bessel com as mesmas especificações dos anteriores n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Observe que o filtro Bessel tem uma banda de passagem plana um decaimento relativamente lento e uma banda de corte monotônica Dado um conjunto de especificações para um filtro mais complexo a aproximação Bessel sempre produzirá o decaimento mais lento ou seja será o de maior ordem Prof Rubem S Dreger Elíptico Chebyshev inversa Chebyshev Butterworth Bessel n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Prof Rubem S Dreger n 6 Ap 25 dB e fc 1 kHz Outros filtros O Passaaltas Prof Rubem S Dreger Butterworth n 12 Ap 3 dB f0 1 kHz e BW 3 kHz Chebyshev Chebyshev inverso elíptico Bessel O Passafaixa Prof Rubem S Dreger n 12 Ap 3 dB f0 1 kHz e BW 3 kHz O Rejeitafaixa Butterworth Chebyshev Chebyshev inverso elíptico Bessel Prof Rubem S Dreger Fonte MalvinoBates Vol2 7ª ed Monotônica significa que a banda de corte não possui ondulações Prof Rubem S Dreger Filtros passivos Frequência ressonante e fator Q A Figura ao lado mostra um filtro LC passabaixas de segunda ordem Ele tem uma ordem 2 porque contém dois componentes reativos um indutor e um capacitor Um filtro LC de segunda ordem tem uma frequência ressonante e um fator Q definidos como XL é calculado para a frequência de ressonância Prof Rubem S Dreger Quanto maior for o fator Q maior o ganho de tensão na frequência de ressonância XL 60 O Q foi diminuído por um fator 5 já que é inversamente proporcional à indutância XL 300 Diminuindo ainda mais o Q o pico na ressonância desaparecerá XL 085 Resposta Butterworth Prof Rubem S Dreger Efeito do fator Q na resposta de segunda ordem Fator de amortecimento Outra forma de explicar a ação de atingir o ponto máximo na ressonância é usar o fator de amortecimento definido como Para Q 10 o fator de amortecimento é α 01 De maneira similar para Q 2 resulta em um α 05 e para Q 0707 resulta em um α 1414 Quanto maior o fator de amortecimento menor o valor de pico Prof Rubem S Dreger tempo frequência Idealização da resposta de alguns filtros mais comuns no domínio do tempo e da frequência Prof Rubem S Dreger A Função de transferência do filtro no domínio s pode ser escrita como a razão de 2 polinômios O grau n do denominador representa a ordem do filtro Para que o filtro seja estável o grau m n Os zeros ou polos da função podem ser números reais ou complexos mas se forem complexos ocorrem em pares conjugados Quanto maior o grau mais próximo do filtro ideal porém mais complexo é o filtro s Vi Vo s T s o n n n n o m m m m b s b s b a s a a s T s 1 1 1 1 Função de transferência Prof Rubem S Dreger Para a implementação de filtros reais utilizamse aproximações da função de transferência Ou seja para cada tipo de filtro passabaixas por exemplo desenvolvese uma equação cujo comportamento se aproxime do comportamento ideal Aproximações de Butterworth e de Chebyshev são bastante utilizadas por serem de fácil implementação e por produzirem resultados bastante satisfatórios Aproximações Prof Rubem S Dreger O filtro Butterworth foi desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o mais plana quanto for matematicamente possível na banda passante Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo engenheiro britânico S Butterworth cujo primeiro nome acreditase ser Stephen em sua publicação On the Theory of Filter Amplifiers Wireless Engineer também chamada de Experimental Wireless and the Radio Engineer vol 7 1930 pp 536541 Prof Rubem S Dreger Os filtros Chebyshev são filtros que possuem um aumento na atenuação rolloff mais íngreme e uma maior ondulação ripple na banda passante que os Filtros Butterworth Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro porém com ripples na banda passante Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a Pafnuty Chebyshev devido a suas características matemáticas serem derivadas dos polinômios de Chebyshev Prof Rubem S Dreger O primeiro tipo de filtro ativo passabaixas de primeira ordem foi estudado no circuito integrador Miller com perdas Prof Rubem S Dreger De uma forma genérica uma filtro ativo pode ser representado por uma rede de seleção de frequência associada a um amplificador de tensão Conforme a faixa de frequências selecionada teremos um tipo de filtro passabaixas passafaixa etc E dependendo dos valores dos elementos RC teremos uma resposta do tipo Butterworth ou Chebyshev Prof Rubem S Dreger O circuito a seguir mostra um filtro ativo de 1ª ordem tipo passabaixas Não é possível saber se o comportamento na atenuação será de um Butterworth ou de um Chebyshev sem conhecer os valores dos elementos envolvidos ou o comportamento gráfico Os resistores RF e RG são responsáveis pelo Ganho de tensão enquanto que R1 e C1 são responsáveis pela frequência de corte 2 1 R1C1 f f C OH Cf Prof Rubem S Dreger 1 G F v R R A Na banda média do amplificador o ganho de tensão pode ser expresso por 2 1 R1C1 fC Em condições normais de operação acima da frequência de corte o ganho de tensão será reduzido em 3dB em Esta é a frequência de corte Acima da frequência de corte o ganho de tensão diminui a uma taxa de 20dBdec ou 6dBoit A expressão do ganho nestas frequências é 1 C v i o f f j A v v Prof Rubem S Dreger A frequência de corte é definida no ponto onde a tensão da saída cai para 0707 do valor máximo ou Nesta frequência o valor de XC se iguala ao valor de R Nesta frequência o ganho se reduz a uma taxa de 20dB por década 20dBdec ou 6dB por oitava 6 dBoit O número de capacitores nas células RC da malha de frequência definem a ordem do filtro Quanto maior a ordem do filtro maior a taxa de decaimento e mais o filtro se aproxima do ideal 2 Vmáx Exemplos Prof Rubem S Dreger Prof Rubem S Dreger Este circuito será simulado a seguir Prof Rubem S Dreger 20 dB 3 dB 707V 1 V entrada saída kHz f nF k f R C f c c c 63 6 20 21 2 1 2 1 1 1 Ex 1512 Simulação Foi utilizado um ganho de 10 vezes 20dB Prof Rubem S Dreger BN 1 1 1 2 fOL R C Prof Rubem S Dreger 4 dB 3 dB kHz f nF k f R C f c c c 52 1 50 12 2 1 2 1 2 4 20dBdec Filtro PassaAltas 2ª ordem EXEMPLO 1513 Calcule a frequência de corte do filtro passaaltas da Fig 1533b para R1 R2 21 kΩ C1 C2 005 μF e Rol 10 kΩ Rof 50 kΩ Solução Eq 1513 Av 1 RofRol 1 50 kΩ10 kΩ 6 A frequência de corte é portanto Eq 1515 fOL 12πR1C1 12π21 103005 106 15 kHz Prof Rubem S Dreger Prof Rubem S Dreger dB A k k A dB v v 4 20log 1586 1586 1 10 86 5 Ganho máximo para filtro de segunda ordem Butterworth kHz f nF k R C f c c 52 1 50 12 2 1 2 1 1 1 Exemplo 1513 Utilizando duas células de 1ª ordem Resultado muito distante do esperado Prof Rubem S Dreger Conectandose duas seções RC como mostrado na figura abaixo obtemos um filtro passabaixas de segunda ordem Nesta situação a frequência de corte e o ganho de malha fechada Av continuam com o mesmo valor considerando R1 R2 e C1 C2 No entanto a taxa de decaimento passa a ser mais rápida com 40 dBdec se aproximando melhor do filtro ideal O ganho para se obter uma resposta plana Butterworth é 1586 Prof Rubem S Dreger 112V 1 V entrada saída kHz f nF k RC f c c 51 50 12 2 1 2 1 4 dB 3 dB Prof Rubem S Dreger 4 dB 3 dB dB A k k A dB v v 4 20log 1586 1586 1 10 86 5 Ganho máximo para filtro de segunda ordem Butterworth Exemplo 1513 VCVS 2ª ordem Apresenta melhor resultado kHz f nF k R C f c c 52 1 50 12 2 1 2 1 2 1 Prof Rubem S Dreger Hz f kHz nF k f R C f c c c 978 0 664 1 52 50 12 2 664 0 2 1 1 1 2 1 n Evitando o efeito de carregamento entre os estágios Buffer Cada estágio tem a frequência 1α vezes maior que a frequência de corte do filtro todo Coeficiente de correção 0dB 40dBdec Filtro de segunda ordem com isolador 2 1 n Coeficiente de correção 0 644 141 1 1 2 1 2 2 n C celula f f 1 4 2 1 1 2 1 152 2 21 50 c c f R R C C f kHz k nF Prof Rubem S Dreger Filtro de quarta ordem com isolador 0dB kHz f nF k f R C f c c c 88 2 20 21 2 435 0 2 1 3 3 2 1 n Coeficiente de correção 0 435 119 1 1 2 1 2 4 n 80dBdec C celula f f Em Branco Prof Rubem S Dreger