Trabalho Resolvido Transferencia de Calor - Conducao Transiente em Esferas de Aco Inoxidavel

TRANSFERÊNCIA DE CALOR 2022 Trabalho de condução transiente Um processo de tratamento térmico está sendo testado Esferas de 10 mm de diâmetro estão em equilíbrio térmico em um forno a 400 ºC e deverão ser resfriadas O processo de resfriamento consiste em duas etapas As esferas são resfriadas no ar T20ºC e h18 Wm²K até que o centro das esferas atinja 250 ºC Logo as esferas são resfriadas em banho de água T20ºC e h1800 Wm²K até que o centro das esferas atinja 60 ºC Considerando as esferas de aço inoxidável calcule a O tempo da etapa 1 Discuta o método utilizado e o nº de Biot Os gradientes de temperatura radiais são significativos b O tempo requerido para a etapa 2 do processo c Para a etapa 2 represente graficamente as variações de temperatura Trt para o centro e a superfície das esferas no mesmo gráfico e discuta d Se estas esferas fossem de cobre como resfriariam em relação as de aço tempo e gradiente de temperatura Comente utilizando o número de Biot e a constante de tempo térmica Condições de realização e entrega do trabalho O trabalho deverá ser realizado em duplas O trabalho entregue pelo grupo deverá ser no formato de um relatório com a apresentação do desenvolvimento de cada item com todos os cálculos realizados os resultados e discussões O trabalho deverá ser postado no Moodle até dia 271022 Questão 1 A A condutividade térmica do aço inox sua densidade e calor específico são dados aproximadamente por k18 W m K ρ7830 kg m 3 c p500 J kg K Note que na etapa 1 o número de Biot baseado no comprimento equivalente da esfera é dado por Bih Le k Aqui temos Le V As Le 4 3 π R 3 4 π R 2 LeR 3 Logo temos Bi h R 3 k Bi 180005 3 18 Bi000166 Como o número de Biot é muito inferior à unidade temos que os gradientes de temperatura dentro da esfera são desprezíveis Ou seja as temperaturas são praticamente as mesmas em quaisquer pontos dentro da esfera Logo um modelo de capacitância global pode ser utilizado para modelar o transiente de temperatura nas esferas Assim partimos do seguinte balanço global de energia dE dt Esai d mc pT dt h AT sT Como estamos usando capacitância global temos T sT logo m c p dT dt h ATT ρV c p dT dt h ATT dT dt h A ρV c p TT dT dt h4 π R 2 ρ 4 3 π R 3c p TT dT dt 3h ρc pR TT Resolvendo a EDO por separação de variáveis temos dT TT 3h ρc p R dt T 0 T dT TT 3h ρc pR 0 t dt lnTT T0 T 3h ρc pR t 0 t lnTT ln T 0T 3h ρc p R t0 ln TT T 0T 3h ρc p R t TT T 0T e 3h ρcp R t Assim a equação da temperatura das esferas em função do tempo é dada por T t T T 0T e 3h ρc pR t Manipulando esta equação podemos expressar o tempo requerido em função das temperaturas desejadas tρc pR 3h ln TT T 0T Assim o tempo da etapa I é dado por t I78305000005 318 ln 25020 40020 t I182s B Note que na etapa 2 o número de Biot é dado por Bi h R 3 k Bi 18000005 3 18 Bi0166 Como o número de Biot é maior que 01 temos que os gradientes de temperatura dentro da esfera são significativos Assim devese usar um modelo capaz de prever a variação de temperatura dentro da esfera com o tempo Assim vamos imaginar uma casca esférica situada no raio r de espessura dr e temperatura T t r O balanço de energia nessa casca é dado por dE dt EentraEsai ddmc pT dt q rdr 2 q rdr 2 Aplicando a lei de Fourier temos dmc p T t k A rdr 2 T rrdr 2 k A rdr 2 T rr dr 2 ρ dV c p T t k4 πrdr 2 2 T rrdr 2 k4πr dr 2 2 T rrdr 2 ρ 4 π r 2drc p T t k4 πr 2rdr dr 2 4 T rrdr 2 k4 πr 2rdr d r 2 4 T rrdr 2 ρ r 2drc p T t k r 2rdr T rrdr 2 k r 2rdr T rrdr 2 ρ dr c p k T t 1dr r T rrdr 2 1 dr r T rrdr 2 ρ dr c p k T t T rrdr 2 dr r T rrdr 2 T rrdr 2 dr r T rrdr 2 ρ dr c p k T t T rr dr 2 T rrdr 2 dr r T rrdr 2 T rrdr 2 ρc p k T t T rrdr 2 T rrdr 2 dr 1 r T r rdr 2 T r rdr 2 Escrevendo em forma de derivadas temos ρc p k T t 2T r 2 1 r 2 T r ρc p k T t 1 r 2r 2 2T r 2 2r T r 1 α T t 1 r 2r 2 2T r 2 r 2 r T r Assim chegamos à equação de condução transiente na esfera 1 α T t 1 r 2 r r 2 T r As condições de contorno são T 0r T0 T r t 00 k T r t R hT t RT A solução exata deste problema de transferência de calor envolve a resolução da equação diferencial parcial sujeita às condições de contorno o que pode ser feito mediante o uso de séries infinitas Mas se Fo αt R 202 podemos considerar apenas o primeiro termo da série obtendo θ C1e ξ 1 2Fo sinξ1r ξ1r Os coeficientes são interpolados da seguinte tabela Nesta tabela em particular devemos usar o seguinte Biot BitabelahR k 18000005 18 05 ξ111656 C111441 Assim temos TT T 0T C1e ξ 1 2Fo sinξ1r ξ1r Logo para o centro da esfera r 0 temos T cT T 0T C1e ξ1 2 Fo Logo para a superfície da esfera r 1 temos T sT T 0T C1e ξ 1 2Fo sinξ1 ξ1 Assim o tempo requerido para resfriar até o centro da esfera é dado por Fo αt R 21 ξ1 2 ln 1 C1 T cT T 0T tR 2 α 1 ξ1 2 ln 1 C1 T cT T0T tR 2 k ρc p 1 ξ1 2 ln 1 C1 T cT T0T Logo t II 0005 2 18 7830500 1 11656 2 ln 1 11441 6020 25020 t II754s c As temperaturas no centro T c e superfície T s possuem o seguinte gráfico Aqui note que o modelo matemático prevê que a temperatura da superfície sempre será menor do que a temperatura no centro da esfera o que é correto Neste gráfico note que nenhuma das curvas começa exatamente na temperatura inicial de 250C isto ocorre porque a equação utilizada foi apenas uma simplificação faltando incluir muitos outros termos da série infinita para reproduzir o comportamento físico do sistema completamente D Considerando a etapa 2 para o aço inox temos BihR k 18000005 18 05 τ ρcp R 3h 78305000005 31800 363 s Já para o cobre considerando propriedades típicas temos BihR k 18000005 400 00225 τ ρcp R 3h 89603860005 31800 320 s Note que o número de Biot do cobre é bastante menor indicando que o resfriamento das esferas seria mais uniforme se estas fossem de cobre Já a constante térmica é muito semelhante em ambos casos sugerindo que o tempo de resfriamento das esferas seria bastante similar para ambos materiais Rick Bragg On Brawny Legs Began a Journey Rick Bragg was raised in a small house in Alabama the only son of a violent stepfather At 14 he left home and Beverly Brumley vividly recalls her first meeting with Rick Bragg She was fifteen years old at the time and he was 14 I was sittin on the porch of this shotgun house she recalls Rick come up and asked Can I sit down I thought he was so cute He looked older than he was Billy Rycampo calls the day Rick moved into his house the best day of my life He is Ricks cousin and the two have been close since Rick arrived at the house of Ricks mother and six brothers and sisters Rick was hungry and they fed and clothed him Before long he was delivering newspapers and later flying across the country as a commercial airline pilot for American Airlines His mother had no money to send him to school so he taught himself to read Rick Bragg did more than grow up in Alabamahe grew up Read his story in Rick Braggs Beautiful Forevers page 99 My mom thought school was a waste of time so she put me to work he says I had to take care of my seven brothers and sisters and clean the house and cook because my mom didnt know how I didnt have time to go to school You might say Rick Bragg was born with a gift and a stubborn spirit That spirit helped him escape a difficult childhood and make a better life for himself Today he is one of the most highly regarded journalists in the country His Pulitzer Prizewinning reporting and bestselling books bring to life the people and places of the South I was proud of being poor I was proud that my family needed me I had to get a job and I did What can you accomplish when you work hard and never give up What can you learn from Rick Braggs story Answers will vary Build Vocabulary Resource Book VOLUME 4 39 Developed by Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company 0842511997coverqxd 101906 846 AM Page 1 Questão 1 A A condutividade térmica do aço inox sua densidade e calor específico são dados aproximadamente por 𝑘 18 𝑊 𝑚 𝐾 𝜌 7830 𝑘𝑔 𝑚3 𝑐𝑝 500 𝐽 𝑘𝑔 𝐾 Note que na etapa 1 o número de Biot baseado no comprimento equivalente da esfera é dado por 𝐵𝑖 ℎ𝐿𝑒 𝑘 Aqui temos 𝐿𝑒 𝑉 𝐴𝑠 𝐿𝑒 4 3 𝜋𝑅3 4𝜋𝑅2 𝐿𝑒 𝑅 3 Logo temos 𝐵𝑖 ℎ 𝑅 3 𝑘 𝐵𝑖 18 0005 3 18 𝐵𝑖 000166 Como o número de Biot é muito inferior à unidade temos que os gradientes de temperatura dentro da esfera são desprezíveis Ou seja as temperaturas são praticamente as mesmas em quaisquer pontos dentro da esfera Logo um modelo de capacitância global pode ser utilizado para modelar o transiente de temperatura nas esferas Assim partimos do seguinte balanço global de energia 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝐸𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑚𝑐𝑝𝑇 𝑑𝑡 ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝𝑇𝑠 𝑇 Como estamos usando capacitância global temos 𝑇𝑠 𝑇 logo 𝑚𝑐𝑝 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝𝑇 𝑇 𝜌𝑉𝑐𝑝 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝𝑇 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝 𝜌𝑉𝑐𝑝 𝑇 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ℎ 4𝜋𝑅2 𝜌 4 3 𝜋𝑅3𝑐𝑝 𝑇 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑇 𝑇 Resolvendo a EDO por separação de variáveis temos 𝑑𝑇 𝑇 𝑇 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇0 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑑𝑡 𝑡 0 ln𝑇 𝑇𝑇0 𝑇 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑡0 𝑡 ln𝑇 𝑇 ln𝑇0 𝑇 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑡 0 ln 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅 𝑡 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇 𝑒 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅𝑡 Assim a equação da temperatura das esferas em função do tempo é dada por 𝑇𝑡 𝑇 𝑇0 𝑇𝑒 3ℎ 𝜌𝑐𝑝𝑅𝑡 Manipulando esta equação podemos expressar o tempo requerido em função das temperaturas desejadas 𝑡 𝜌𝑐𝑝𝑅 3ℎ ln 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇 Assim o tempo da etapa I é dado por 𝑡𝐼 7830 500 0005 3 18 ln 250 20 400 20 𝒕𝑰 𝟏𝟖𝟐 𝒔 B Note que na etapa 2 o número de Biot é dado por 𝐵𝑖 ℎ 𝑅 3 𝑘 𝐵𝑖 1800 0005 3 18 𝐵𝑖 0166 Como o número de Biot é maior que 01 temos que os gradientes de temperatura dentro da esfera são significativos Assim devese usar um modelo capaz de prever a variação de temperatura dentro da esfera com o tempo Assim vamos imaginar uma casca esférica situada no raio 𝑟 de espessura 𝑑𝑟 e temperatura 𝑇𝑡 𝑟 O balanço de energia nessa casca é dado por 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝐸𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑑𝑚𝑐𝑝𝑇 𝑑𝑡 𝑞𝑟𝑑𝑟 2 𝑞𝑟𝑑𝑟 2 Aplicando a lei de Fourier temos 𝑑𝑚𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑘𝐴𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑘𝐴𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑑𝑉𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑘 4𝜋 𝑟 𝑑𝑟 2 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑘 4𝜋 𝑟 𝑑𝑟 2 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌4𝜋𝑟2𝑑𝑟𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑘 4𝜋 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑟2 4 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑘 4𝜋 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑟2 4 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑟2𝑑𝑟𝑐𝑝 𝑇 𝑡 𝑘𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑘𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑑𝑟𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 1 𝑑𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 1 𝑑𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑑𝑟𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑑𝑟𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝜌𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 1 𝑟 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 𝑇 𝑟 𝑟𝑑𝑟 2 Escrevendo em forma de derivadas temos 𝜌𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 2𝑇 𝑟2 1 𝑟 2 𝑇 𝑟 𝜌𝑐𝑝 𝑘 𝑇 𝑡 1 𝑟2 𝑟2 2𝑇 𝑟2 2𝑟 𝑇 𝑟 1 𝛼 𝑇 𝑡 1 𝑟2 𝑟2 2𝑇 𝑟2 𝑟2 𝑟 𝑇 𝑟 Assim chegamos à equação de condução transiente na esfera 1 𝛼 𝑇 𝑡 1 𝑟2 𝑟 𝑟2 𝑇 𝑟 As condições de contorno são 𝑇0 𝑟 𝑇0 𝑇 𝑟 𝑡 0 0 𝑘 𝑇 𝑟 𝑡 𝑅 ℎ𝑇𝑡 𝑅 𝑇 A solução exata deste problema de transferência de calor envolve a resolução da equação diferencial parcial sujeita às condições de contorno o que pode ser feito mediante o uso de séries infinitas Mas se 𝐹𝑜 𝛼𝑡 𝑅2 02 podemos considerar apenas o primeiro termo da série obtendo 𝜃 𝐶1𝑒𝜉12𝐹𝑜 sin𝜉1𝑟 𝜉1𝑟 Os coeficientes são interpolados da seguinte tabela Nesta tabela em particular devemos usar o seguinte Biot 𝐵𝑖𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 ℎ𝑅 𝑘 1800 0005 18 05 𝜉1 11656 𝐶1 11441 Assim temos 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇𝐶1𝑒𝜉12𝐹𝑜 sin𝜉1𝑟 𝜉1𝑟 Logo para o centro da esfera 𝑟 0 temos 𝑇𝑐 𝑇 𝑇0 𝑇𝐶1𝑒𝜉12𝐹𝑜 Logo para a superfície da esfera 𝑟 1 temos 𝑇𝑠 𝑇 𝑇0 𝑇𝐶1𝑒𝜉12𝐹𝑜 sin𝜉1 𝜉1 Assim o tempo requerido para resfriar até o centro da esfera é dado por 𝐹𝑜 𝛼𝑡 𝑅2 1 𝜉1 2 ln 1 𝐶1 𝑇𝑐 𝑇 𝑇0 𝑇 𝑡 𝑅2 𝛼 1 𝜉1 2 ln 1 𝐶1 𝑇𝑐 𝑇 𝑇0 𝑇 𝑡 𝑅2 𝑘 𝜌𝑐𝑝 1 𝜉1 2 ln 1 𝐶1 𝑇𝑐 𝑇 𝑇0 𝑇 Logo 𝑡𝐼𝐼 00052 18 7830 500 1 116562 ln 1 11441 60 20 250 20 𝒕𝑰𝑰 𝟕𝟓𝟒 𝒔 c As temperaturas no centro 𝑇𝑐 e superfície 𝑇𝑠 possuem o seguinte gráfico Aqui note que o modelo matemático prevê que a temperatura da superfície sempre será menor do que a temperatura no centro da esfera o que é correto Neste gráfico note que nenhuma das curvas começa exatamente na temperatura inicial de 250C isto ocorre porque a equação utilizada foi apenas uma simplificação faltando incluir muitos outros termos da série infinita para reproduzir o comportamento físico do sistema completamente D Considerando a etapa 2 para o aço inox temos 𝐵𝑖 ℎ𝑅 𝑘 1800 0005 18 05 𝜏 𝜌𝑐𝑝𝑅 3ℎ 7830 500 0005 3 1800 363 𝑠 Já para o cobre considerando propriedades típicas temos 𝐵𝑖 ℎ𝑅 𝑘 1800 0005 400 00225 𝜏 𝜌𝑐𝑝𝑅 3ℎ 8960 386 0005 3 1800 320 𝑠 Note que o número de Biot do cobre é bastante menor indicando que o resfriamento das esferas seria mais uniforme se estas fossem de cobre Já a constante térmica é muito semelhante em ambos casos sugerindo que o tempo de resfriamento das esferas seria bastante similar para ambos materiais