Transferencia de Calor - Trabalho Resolucao de Conducao Transiente em Aco Inox

TRANSFERÊNCIA DE CALOR 2022 Trabalho de condução transiente Um processo de tratamento térmico está sendo testado Esferas de 10 mm de diâmetro estão em equilíbrio térmico em um forno a 400 ºC e deverão ser resfriadas O processo de resfriamento consiste em duas etapas As esferas são resfriadas no ar T20ºC e h18 Wm²K até que o centro das esferas atinja 250 ºC Logo as esferas são resfriadas em banho de água T20ºC e h1800 Wm²K até que o centro das esferas atinja 60 ºC Considerando as esferas de aço inoxidável calcule a O tempo da etapa 1 Discuta o método utilizado e o nº de Biot Os gradientes de temperatura radiais são significativos b O tempo requerido para a etapa 2 do processo c Para a etapa 2 represente graficamente as variações de temperatura Trt para o centro e a superfície das esferas no mesmo gráfico e discuta d Se estas esferas fossem de cobre como resfriariam em relação as de aço tempo e gradiente de temperatura Comente utilizando o número de Biot e a constante de tempo térmica Condições de realização e entrega do trabalho O trabalho deverá ser realizado em duplas O trabalho entregue pelo grupo deverá ser no formato de um relatório com a apresentação do desenvolvimento de cada item com todos os cálculos realizados os resultados e discussões O trabalho deverá ser postado no Moodle até dia 271022 ID W7Meu4Emo Descrição do problema Em um processo de tratamento térmico esferas de aço inox com diâmetro de 10 mm estão sendo resfriadas de uma temperatura inicial de 400C em equilíbrio com o forno em duas etapas na primeira elas são resfriadas em ar T20C e h18 Wm²K até que seu centro atinja 250C e na segunda elas são resfriadas em um banho de água T20C e h1800 Wm²K até que o seu centro atinja 60C a Para calcular o tempo de resfriamento na etapa 1 devese avaliar se o sistema é de parâmetros concentrados ou seja apresenta uma temperatura uniforme em toda a esfera e que varia uniformemente ao longo do tempo TTt ou se o sistema é de parâmetros distribuídos ou seja apresenta um perfil de temperatura radial de modo que TTrt Para descobrir isso devese calcular o número de Biot Equação 1 Mas antes é necessário obter as propriedades do aço inox Considerouse que as esferas sejam constituídas de aço AISI 316 A temperatura inicial do mesmo é de 400C 673 K Ao final do primeiro resfriamento a temperatura no centro vai ser de 250C 523 K Para melhor avaliar o comportamento térmico devese avaliar as propriedades na temperatura média do processo de 325C 598 K ou seja nessa primeira etapa vão ser utilizados dados termofísicos do aço AISI 316 na temperatura de 600 K Tabela 1 Devido a ser um metal a massa específica é empregada como na temperatura ambiente 27C ou 300 K afinal pouco vai variar com a temperatura Com os dados obtidos calculouse a difusividade térmica por meio da Equação 2 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 1 𝛼 𝑘 𝜌 𝑐𝑝 2 Tabela 1 Propriedades temofísicas do aço AISI 316 para a primeira etapa ρ kgm³ T300K 8238 k WmK T600K 183 Cp JkgK T600K 550 α m²s T600K 4039 x 106 Fonte Çengel Ghajar 2012 calculado pela Eq 2 Em seguida calculase o número de Biot O comprimento característico Lc é igual a razão entre o volume do corpo e sua área de troca térmica Para esferas isso é igual ao raio dividido por três Aplicando os valores obtémse 1 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 ℎ 𝑅 3 𝑘 18 𝑊𝑚² 𝐾 𝑥 0005 𝑚 3 𝑥 183 𝑊𝑚 𝐾 𝑩𝒊 𝟏 𝟔𝟒 𝒙 𝟏𝟎𝟑 Como o Biot é bastante menor que 01 aproximadamente 100 vezes menor isso significa que o sistema se comporta como a parâmetros agregados ou seja os gradientes de temperatura radiais não são significativos e existe apenas variação temporal da temperatura Para calcular o tempo de resfriamento é necessário proceder com um balanço global de energia no qual o calor que é liberado das esferas por convecção é igual a taxa de resfriamento das mesmas Equação 3 Tratase de um processo transiente sem geração de energia e cujas propriedades termofísicas são admitidas como constantes 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝐺𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝐴𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝐴𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 ℎ 𝐴 𝑇 𝑇 𝜌 𝐶𝑝 𝑉 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ℎ 𝐴 𝑇 𝑇 𝜌 𝐶𝑝 𝑉 𝐴𝑉3𝑅 𝑑𝑇 𝑑𝑡 3 ℎ 𝑇 𝑇 𝜌 𝐶𝑝 𝑅 𝑡 0 𝑇 𝑇0 3 O problema de valor inicial da Equação 3 é uma EDO de variáveis separáveis ou linear de primeira ordem Sua resolução resulta em uma equação para o perfil temporal de temperatura Equação 4 e outra para o tempo total de resfriamento Equação 5 𝑇𝑡 𝑇 𝑇0 𝑇𝑒 3ℎ 𝜌𝐶𝑝𝑅𝑡 4 𝑡 𝜌 𝐶𝑝 𝑅 3 ℎ 𝑙𝑛 𝑇0 𝑇 𝑇 𝑇 5 Substituindo os valores na Equação 5 obtémse o tempo de resfriamento para a etapa 1 do processo 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝑬𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟏 𝟐𝟏𝟎 𝟔𝟒 𝒔 𝒐𝒖 𝟑 𝟓𝟏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 b Para a segunda etapa de resfriamento devese proceder da mesma maneira que a primeira etapa Calculase o número de Biot por meio da Equação 1 para avaliar se o sistema se comporta como parâmetros agregados ou distribuídos e em seguida realizase a modelagem do problema e os cálculos Como a temperatura inicial do corpo esférico é de 250C e a temperatura final é de 60C as propriedades termofísicas do aço devem ser avaliadas na temperatura média de 155C ou 428K Neste caso será necessária a interpolação dos dados nas temperaturas de 400 K e 600 K Tabela 2 Mais uma vez a massa específica será tomada como constante e para o valor de 300 K Com os valores de condutividade e calor específico para 428 K calculase a difusividade térmica por meio da Equação 2 Tabela 2 Propriedades termofísicas do aço AISI 316 para a segunda etapa ρ kgm³ 8238 k WmK T400 K 152 k WmK T600 K 183 k WmK T428 K 15634 Cp JkgK T400 K 504 Cp JkgK T600 K 550 Cp JkgK T428 K 51044 α m²s T428 K 3718 x 106 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 valores calculados Agora calculase o número de Biot Equação 1 1 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 ℎ 𝑅 3 𝑘 1800 𝑊𝑚² 𝐾 𝑥 0005 𝑚 3 𝑥 15634 𝑊𝑚 𝐾 𝑩𝒊 𝟎 𝟏𝟗𝟐 Desta vez como o Biot ficou entre 01 e 40 existe um gradiente de temperatura radial dentro das esferas e as mesmas não podem ser analisadas como um sistema agregado Neste caso a modelagem vai ser representada pela Equação 6 e suas respectivas condições de contorno Na superfície o fluxo de calor difusivo dentro das esferas é igual ao fluxo de calor convectivo no fluido térmico 1 𝑟² 𝑟 𝑘𝑟² 𝑇 𝑟 𝜌 𝐶𝑝 𝑇 𝑡 𝑡 0 𝑇 𝑇0 𝑟 0 𝑇 𝑟 0 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟 𝑅 𝑇 𝑟 ℎ 𝑘 𝑇 𝑇𝑅 𝑡 6 Para facilitar a sua resolução a mesma pode ser adimensionalizada por meio das expressões da Equação 7 gerando a Equação 8 e sua resolução vai resultar na Equação 9 Nesta modelagem o comprimento característico do corpo é igual ao raio Esse novo valor segue apresentado na Equação 10 𝜃 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇 𝜁 𝑟𝑅 𝜏 𝛼𝑡 𝑅² 7 1 𝜁² 𝜁 𝜁² 𝜃 𝜁 𝜃 𝜏 𝜏 0 𝜃 1 𝜁 0 𝜃 𝜁 0 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝜁 1 𝜃 𝜁 𝐵𝑖 𝜃1 𝜏 8 𝜃𝜁 𝜏 4𝑠𝑒𝑛𝜆𝑛 𝜆𝑛𝑐𝑜𝑠𝜆𝑛 2𝜆𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑛 𝑒𝜆𝑛2𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑛𝜁 𝜆𝑛𝜁 1 𝜆𝑛 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜆𝑛 𝐵𝑖 9 𝑛1 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 ℎ 𝑅 𝑘 1800 𝑊𝑚² 𝐾 𝑥 0005 𝑚 15634 𝑊𝑚 𝐾 𝑩𝒊 𝟎 𝟓𝟕𝟓𝟔𝟕 10 Para resolver a Equação 9 primeiro vamos admitir que o tempo tal 𝜏 é maior que 02 pois assim truncase a série no primeiro termo Assim calculase o tal e se de fato ele for maior que 02 o resultado obtido já vai ser o correto Caso contrário devese abrir o somatório em mais termos Logo 𝜃 𝑇 𝑇 𝑇0 𝑇 60𝐶 20𝐶 250𝐶 20𝐶 0174 𝜁 𝑟𝑅 0 9 𝜃𝜁 𝜏 4𝑠𝑒𝑛𝜆1 𝜆1𝑐𝑜𝑠𝜆1 2𝜆1 𝑠𝑒𝑛𝜆1 𝑒𝜆12𝜏 𝐴1 𝑒𝜆12𝜏 A Tabela 42 da referência analisada ÇENGEL GAHJAR 2012 fornece os valores de 𝜆1 e A1 em função do Biot É necessário que interpolemos os valores Tabela 3 Tabela 3 Valores de lambda e A para o primeiro termo em um sistema esférico Bi 𝝀𝟏 𝑨𝟏 05 11656 11441 06 12644 11713 057567 124036 116468 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 calculados por interpolação Aplicando valores na Equação 9 obtémse 9 𝜃𝜁 𝜏 0174 𝐴1 𝑒𝜆12𝜏 0174 116468 𝑥 𝑒124036²𝜏 𝝉 𝟏 𝟐𝟑𝟔𝟎𝟒 𝟎 𝟐 Como o tempo tal é maior que 02 truncar o somatório no primeiro termo não é problema Portanto este vai ser o valor desse parâmetro Finalmente para calcular o tempo de resfriamento basta aplicar os valores na Equação 7 7 𝜏 𝛼𝑡 𝑅² 𝑡 𝜏 𝑅² 𝛼 123604 𝑥 0005² 𝑚² 3718 𝑥 106𝑚²𝑠 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝒆𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟐 𝟖 𝟑𝟏 𝒔 Portanto o tempo total de resfriamento é de aproximadamente 227 segundos ou 3783 minutos c O perfil de temperatura no centro da esfera é representado pela Equação 10 O perfil de temperatura na superfície das esferas rR ou 𝜁1 se relaciona com o perfil no centro da esfera por meio da Equação 11 O tempo tal vai ser o mesmo De antemão já se prevê que ambos perfis são proporcionais pois a única diferença entre ambos é uma constante sen𝜆1 𝜆1 A Figura 1 apresenta ambos perfis no centro e na superfície para essas esferas 𝜃𝜁 0 𝜏 Tr 0T T0T A1e𝜆12𝜏 Tr 0 T T0TA1e𝜆12𝜏 10 𝜃𝜁 1 𝜏 𝜃𝜁 0 𝜏 sen𝜆1 𝜆1 Tr RT T0T A1e𝜆12𝜏 sen𝜆1 𝜆1 Tr R T T0TA1e𝜆12𝜏 sen𝜆1 𝜆1 11 Figura 1 Perfis de temperatura no centro e na superfície da esfera Fonte Autoria própria 2022 A temperatura no centro das esferas é maior que na superfície Essa diferença representa o gradiente existente entre essas duas regiões dentro das esferas Ambas apresentam um decrescimento exponencial previsto pelas Equações 10 e 11 Com o passar do tempo o gradiente de temperatura diferença entre elas vai diminuindo até que se torna indistinguível Aproximadamente a partir de 15 ou 17 segundos praticamente não há mais diferença entre a superfície e o centro e o sistema volta a ser agregado com variação de 0 50 100 150 200 250 300 0 10 20 30 40 50 Temperatura C tempo s Centro da esfera Superfície da esfera temperatura apenas no centro Por fim notase que a partir de 30 s o corpo já se encontra em equilíbrio térmico com o banho de água a 20C d Caso as esferas fossem de cobre devese realizar o mesmo procedimento em cada uma das duas etapas de resfriamento Primeira etapa Antes é necessário obter as propriedades termofísicas do cobre Elas estão apresentadas na Tabela 4 para a temperatura média do resfriamento T325C ou 598K Mais uma vez a difusividade térmica α foi calculada pela Equação 2 A massa específica foi utilizada na temperatura de 27C 300K e tomada como invariável em relação a temperatura Tabela 4 Propriedades termofísicas do cobre para a primeira etapa ρ kgm³ T300K 8933 k WmK T600K 379 Cp JkgK T600K 417 α m²s T600K 10174 x 104 Fonte Çengel Ghajar 2012 Em seguida para avaliar se o sistema é termicamente agregado ou distribuído calcula se o Biot por meio da Equação 1 1 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 ℎ 𝑅 3 𝑘 18 𝑊𝑚² 𝐾 𝑥 0005 𝑚 3 𝑥 379 𝑊𝑚 𝐾 𝑩𝒊 𝟕 𝟗𝟏𝟓 𝒙 𝟏𝟎𝟓 Como o valor é muito menor que um o sistema se comporta como termicamente agregado Portanto o perfil de temperatura e o tempo até o resfriamento são expressos pelas Equações 4 e 5 respectivamente Aplicando a última delas obtémse o tempo de resfriamento na primeira etapa 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝑬𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟏 𝟏𝟕𝟑 𝟏𝟖 𝒔 𝒐𝒖 𝟐 𝟖𝟗 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 Segunda etapa Mais uma vez primeiro devese calcular o Biot para saber se o sistema é agregado ou distribuído Desta vez as propriedades termofísicas do cobre devem ser avaliadas na temperatura média do resfriamento T155C ou 428K Tabela 5 Propriedades termofísicas do cobre para a segunda etapa ρ kgm³ 8933 k WmK T400 K 393 k WmK T600 K 379 k WmK T428 K 39104 Cp JkgK T400 K 397 Cp JkgK T600 K 417 Cp JkgK T428 K 3998 α m²s T428 K 1095 x 104 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 1 𝐵𝑖 ℎ 𝐿𝑐 𝑘 ℎ 𝑅 3 𝑘 1800 𝑊𝑚² 𝐾 𝑥 0005 𝑚 3 𝑥 39104 𝑊𝑚 𝐾 𝑩𝒊 𝟕 𝟔𝟕𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟑 Como o Biot mais uma vez é menor que 01 o sistema se comporta como a parâmetros agregados e o perfil de temperatura e o tempo de resfriamento vão ser expressos por meio das Equações 4 e 5 respectivamente 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝑬𝒕𝒂𝒑𝒂 𝟐 𝟓 𝟕𝟖 𝒔 Portanto o tempo total de resfriamento será de aproximadamente 179 segundos ou cerca de 3 minutos menor que o tempo necessário para o aço Isso ocorre devido as propriedades termofísicas do cobre serem diferentes principalmente a maior condutividade térmica Como consequência a difusividade térmica também será maior cerca de 100 vezes maior e o mesmo acontece com a constante de tempo térmica 𝜏 Isso explica o resfriamento ocorrer em um tempo menor O fato do Biot ter sido muito menor que 01 em ambas etapas de resfriamento indica que dentro das esferas de cobre não existe gradiente de temperatura A mesma varia uniformemente com o tempo dentro do corpo Referências ÇENGEL YA GHAJAR A J Transferência de Calor e Massa uma abordagem prática 4ª ed 2012 AMGH Porto Alegre 904p ID W7Meu4Emo Descrição do problema Em um processo de tratamento térmico esferas de aço inox com diâmetro de 10 mm estão sendo resfriadas de uma temperatura inicial de 400C em equilíbrio com o forno em duas etapas na primeira elas são resfriadas em ar T20C e h18 Wm²K até que seu centro atinja 250C e na segunda elas são resfriadas em um banho de água T20C e h1800 Wm²K até que o seu centro atinja 60C a Para calcular o tempo de resfriamento na etapa 1 devese avaliar se o sistema é de parâmetros concentrados ou seja apresenta uma temperatura uniforme em toda a esfera e que varia uniformemente ao longo do tempo TTt ou se o sistema é de parâmetros distribuídos ou seja apresenta um perfil de temperatura radial de modo que TTrt Para descobrir isso devese calcular o número de Biot Equação 1 Mas antes é necessário obter as propriedades do aço inox Considerouse que as esferas sejam constituídas de aço AISI 316 A temperatura inicial do mesmo é de 400C 673 K Ao final do primeiro resfriamento a temperatura no centro vai ser de 250C 523 K Para melhor avaliar o comportamento térmico devese avaliar as propriedades na temperatura média do processo de 325C 598 K ou seja nessa primeira etapa vão ser utilizados dados termofísicos do aço AISI 316 na temperatura de 600 K Tabela 1 Devido a ser um metal a massa específica é empregada como na temperatura ambiente 27C ou 300 K afinal pouco vai variar com a temperatura Com os dados obtidos calculouse a difusividade térmica por meio da Equação 2 Bih Lc k 1 α k ρcp 2 Tabela 1 Propriedades temofísicas do aço AISI 316 para a primeira etapa ρ kgm³ T300K 8238 k WmK T600K 183 Cp JkgK T600K 550 α m²s T600K 4039 x 106 Fonte Çengel Ghajar 2012 calculado pela Eq 2 Em seguida calculase o número de Biot O comprimento característico Lc é igual a razão entre o volume do corpo e sua área de troca térmica Para esferas isso é igual ao raio dividido por três Aplicando os valores obtémse 1Bih Lc k h R 3k 18W m ²K x0005m 3 x18 3W m K Bi164 x 10 3 Como o Biot é bastante menor que 01 aproximadamente 100 vezes menor isso significa que o sistema se comporta como a parâmetros agregados ou seja os gradientes de temperatura radiais não são significativos e existe apenas variação temporal da temperatura Para calcular o tempo de resfriamento é necessário proceder com um balanço global de energia no qual o calor que é liberado das esferas por convecção é igual a taxa de resfriamento das mesmas Equação 3 Tratase de um processo transiente sem geração de energia e cujas propriedades termofísicas são admitidas como constantes EntradaSaídaGeração Acúmulo SaídaAcúmulo h A TT ρCpV dT dt dT dt h A TT ρCpV AV 3 R dT dt 3hTT ρCpR t0TT 0 3 O problema de valor inicial da Equação 3 é uma EDO de variáveis separáveis ou linear de primeira ordem Sua resolução resulta em uma equação para o perfil temporal de temperatura Equação 4 e outra para o tempo total de resfriamento Equação 5 T tT T 0T e 3h ρCp Rt 4 t ρCpR 3h ln T 0T TT 5 Substituindo os valores na Equação 5 obtémse o tempo de resfriamento para a etapa 1 do processo tempoEtapa121064 sou351minutos b Para a segunda etapa de resfriamento devese proceder da mesma maneira que a primeira etapa Calculase o número de Biot por meio da Equação 1 para avaliar se o sistema se comporta como parâmetros agregados ou distribuídos e em seguida realizase a modelagem do problema e os cálculos Como a temperatura inicial do corpo esférico é de 250C e a temperatura final é de 60C as propriedades termofísicas do aço devem ser avaliadas na temperatura média de 155C ou 428K Neste caso será necessária a interpolação dos dados nas temperaturas de 400 K e 600 K Tabela 2 Mais uma vez a massa específica será tomada como constante e para o valor de 300 K Com os valores de condutividade e calor específico para 428 K calculase a difusividade térmica por meio da Equação 2 Tabela 2 Propriedades termofísicas do aço AISI 316 para a segunda etapa ρ kgm³ 8238 k WmK T400 K 152 k WmK T600 K 183 k WmK T428 K 15634 Cp JkgK T400 K 504 Cp JkgK T600 K 550 Cp JkgK T428 K 51044 α m²s T428 K 3718 x 106 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 valores calculados Agora calculase o número de Biot Equação 1 1Bih Lc k h R 3k 1800W m ²K x0005m 3 x15634W m K Bi0192 Desta vez como o Biot ficou entre 01 e 40 existe um gradiente de temperatura radial dentro das esferas e as mesmas não podem ser analisadas como um sistema agregado Neste caso a modelagem vai ser representada pela Equação 6 e suas respectivas condições de contorno Na superfície o fluxo de calor difusivo dentro das esferas é igual ao fluxo de calor convectivo no fluido térmico 1 r ² r kr ² T r ρCp T t t0TT 0 r0 T r 0simetriano eixo rR T r h k T T Rt 6 Para facilitar a sua resolução a mesma pode ser adimensionalizada por meio das expressões da Equação 7 gerando a Equação 8 e sua resolução vai resultar na Equação 9 Nesta modelagem o comprimento característico do corpo é igual ao raio Esse novo valor segue apresentado na Equação 10 θ TT T 0T ζr R τ αt R² 7 1 ζ ² ζ ζ ² θ ζθ τ τ0θ1 ζ0 θ ζ 0simetriano eixo ζ1 θ ζ Biθ1τ 8 θζ τ n1 4sen λnλncos λn 2 λnsen λn e λn 2τ senλnζ λnζ 1λncotg λnBi9 Bih Lc k h R k 1800W m² K x0005m 15634W m K Bi05756710 Para resolver a Equação 9 primeiro vamos admitir que o tempo tal τ é maior que 02 pois assim truncase a série no primeiro termo Assim calculase o tal e se de fato ele for maior que 02 o resultado obtido já vai ser o correto Caso contrário devese abrir o somatório em mais termos Logo θ TT T 0T 60 C20C 250 C20C 0174 ζrR0 9θζ τ 4 senλ1λ1cosλ1 2λ1senλ1 e λ1 2τA1e λ1 2τ A Tabela 42 da referência analisada ÇENGEL GAHJAR 2012 fornece os valores de λ1 e A1 em função do Biot É necessário que interpolemos os valores Tabela 3 Tabela 3 Valores de lambda e A para o primeiro termo em um sistema esférico Bi λ1 A1 05 11656 11441 06 12644 11713 057567 124036 116468 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 calculados por interpolação Aplicando valores na Equação 9 obtémse 9θζ τ0174A1e λ1 2τ 0174116468 x e 1 24036²τ τ12360402 Como o tempo tal é maior que 02 truncar o somatório no primeiro termo não é problema Portanto este vai ser o valor desse parâmetro Finalmente para calcular o tempo de resfriamento basta aplicar os valores na Equação 7 7τ αt R² tτ R ² α 123604 x 0005² m² 3718x 10 6m ² s tempoetapa28 31s Portanto o tempo total de resfriamento é de aproximadamente 227 segundos ou 3783 minutos c O perfil de temperatura no centro da esfera é representado pela Equação 10 O perfil de temperatura na superfície das esferas rR ou ζ1 se relaciona com o perfil no centro da esfera por meio da Equação 11 O tempo tal vai ser o mesmo De antemão já se prevê que ambos perfis são proporcionais pois a única diferença entre ambos é uma constante senλ1 λ1 A Figura 1 apresenta ambos perfis no centro e na superfície para essas esferas θζ0 τT r0T T 0T A1e λ1 2 τT r0TT 0T A1e λ1 2τ 10 θζ1τθζ0τ sen λ1 λ1 T rRT T 0T A1e λ1 2 τ senλ1 λ1 T rRTT 0T A1e λ1 2τ sen λ1 λ1 11 Figura 1 Perfis de temperatura no centro e na superfície da esfera 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 50 100 150 200 250 300 Centro da esfera Superfície da esfera tempo s Temperatura C Fonte Autoria própria 2022 A temperatura no centro das esferas é maior que na superfície Essa diferença representa o gradiente existente entre essas duas regiões dentro das esferas Ambas apresentam um decrescimento exponencial previsto pelas Equações 10 e 11 Com o passar do tempo o gradiente de temperatura diferença entre elas vai diminuindo até que se torna indistinguível Aproximadamente a partir de 15 ou 17 segundos praticamente não há mais diferença entre a superfície e o centro e o sistema volta a ser agregado com variação de temperatura apenas no centro Por fim notase que a partir de 30 s o corpo já se encontra em equilíbrio térmico com o banho de água a 20C d Caso as esferas fossem de cobre devese realizar o mesmo procedimento em cada uma das duas etapas de resfriamento Primeira etapa Antes é necessário obter as propriedades termofísicas do cobre Elas estão apresentadas na Tabela 4 para a temperatura média do resfriamento T325C ou 598K Mais uma vez a difusividade térmica α foi calculada pela Equação 2 A massa específica foi utilizada na temperatura de 27C 300K e tomada como invariável em relação a temperatura Tabela 4 Propriedades termofísicas do cobre para a primeira etapa ρ kgm³ T300K 8933 k WmK T600K 379 Cp JkgK T600K 417 α m²s T600K 10174 x 104 Fonte Çengel Ghajar 2012 Em seguida para avaliar se o sistema é termicamente agregado ou distribuído calcula se o Biot por meio da Equação 1 1Bih Lc k h R 3k 18W m ²K x0005m 3 x379W m K Bi7915 x 10 5 Como o valor é muito menor que um o sistema se comporta como termicamente agregado Portanto o perfil de temperatura e o tempo até o resfriamento são expressos pelas Equações 4 e 5 respectivamente Aplicando a última delas obtémse o tempo de resfriamento na primeira etapa tempoEtapa117318s ou289minutos Segunda etapa Mais uma vez primeiro devese calcular o Biot para saber se o sistema é agregado ou distribuído Desta vez as propriedades termofísicas do cobre devem ser avaliadas na temperatura média do resfriamento T155C ou 428K Tabela 5 Propriedades termofísicas do cobre para a segunda etapa ρ kgm³ 8933 k WmK T400 K 393 k WmK T600 K 379 k WmK T428 K 39104 Cp JkgK T400 K 397 Cp JkgK T600 K 417 Cp JkgK T428 K 3998 α m²s T428 K 1095 x 104 Fonte ÇENGEL GHAJAR 2012 1Bih Lc k h R 3k 1800W m ²K x0005m 3 x39104W m K Bi7672 x10 3 Como o Biot mais uma vez é menor que 01 o sistema se comporta como a parâmetros agregados e o perfil de temperatura e o tempo de resfriamento vão ser expressos por meio das Equações 4 e 5 respectivamente tempoEtapa2578s Portanto o tempo total de resfriamento será de aproximadamente 179 segundos ou cerca de 3 minutos menor que o tempo necessário para o aço Isso ocorre devido as propriedades termofísicas do cobre serem diferentes principalmente a maior condutividade térmica Como consequência a difusividade térmica também será maior cerca de 100 vezes maior e o mesmo acontece com a constante de tempo térmica τ Isso explica o resfriamento ocorrer em um tempo menor O fato do Biot ter sido muito menor que 01 em ambas etapas de resfriamento indica que dentro das esferas de cobre não existe gradiente de temperatura A mesma varia uniformemente com o tempo dentro do corpo Referências ÇENGEL YA GHAJAR A J Transferência de Calor e Massa uma abordagem prática 4ª ed 2012 AMGH Porto Alegre 904p