Distancia Ponto-plano

Cap. 7 Distâncias 153 Distância de Ponto a Plano Dado um ponto P₀ e um plano π, quer-se cal- cular a distância d(P₀, π) de P₀ a π. Seja A um ponto qualquer de π e n um vetor normal a π. A Figura 7.3 esclarece que a distância d(P₀, π) é o módulo da projeção de \overrightarrow{AP₀} na direção de n . De acordo com o visto no Capítulo 2, tem-se d(P₀, π) = \left|\text{proj}_{n} \overrightarrow{AP₀}\right| = \left|\overrightarrow{AP₀} \cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\| n \|} \right| \hspace{0.5cm} (3) Admitindo-se então que P₀(x₀, y₀, z₀), π: ax + by + cz + d = 0 e A(x₁, y₁, z₁) ∈ π, \overrightarrow{AP₀} = (x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) = \frac{\overrightarrow{n}}{\sqrt{a² + b² + c²}} d(P₀, π) = \left|(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) \cdot \frac{(a, b, c)}{\sqrt{a² + b² + c²}} \right| d(P₀, π) = \left| \frac{a(x₀ - x₁) + b(y₀ - y₁) + c(z₀ - z₁)}{\sqrt{a² + b² + c²}} \right| d(P₀, π) = \left| \frac{ax₀ + by₀ + cz₀ - ax₁ - by₁ - cz₁}{\sqrt{a² + b² + c²}} \right| Como A ∈ π, suas coordenadas satisfazem a equação de π, isto é, ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 0 e d = -ax₁ - by₁ - cz₁ Logo, d(P₀, π) = \frac{|ax₀ + by₀ + cz₀ + d|}{\sqrt{a² + b² + c²}} \hspace{1cm} (4)