Distancia Ponto-plano

Distância de Ponto a Plano\nDado um ponto P0 e um plano π, quer-se calcular a distância d(P0, π) de P0 a π. Seja A um ponto qualquer de π e n um vetor normal a π. A Figura 7.3 esclarece que a distância d(P0, π) é o módulo da projeção de AP0 na direção de n.\nDe acordo com o visto no Capítulo 2, tem-se:\nd(P0, π) = proj_n AP0 = AP0 ⋅ n / ||n|| (3)\nA partir do enunciado temos que P0(x0, y0, z0) e π: ax + by + cz + d = 0 e A(x1, y1, z1) ∈ π.\nComo\nAP0 = (x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1) = n / √(a² + b² + c²)\n\npela fórmula (3) vem\nd(P0, π) = | (x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1) | / √(a² + b² + c²)\nd(P0, π) = |a(x0 - x1) + b(y0 - y1) + c(z0 - z1)| / √(a² + b² + c²)\nd(P0, π) = |ax0 + by0 + cz0 - ax1 - by1 - cz1|\n/ √(a² + b² + c²)\nComo A e π, suas coordenadas satisfazem a equação de π, isto é, ax1 + by1 + cz1 + d = 0\ne\nd = -ax1 - by1 - cz1\nLogo,\nd(P0, π) = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a² + b² + c²) (4)