Onda Plana: Solução e Propriedades da Equação de Onda

Onda Plana Solução da Eq de Onda para a Onda Plana 1 Uma onda plana opera na frequência de 31014 Hz e se propaga no espaço livre sendo Vetor k λ e número de onda k Aplicando a lei de Faraday para determinar o campo Vemos o campo elétrico e o campo magnético estão sempre no plano transversal na direção de propagação esta onda é conhecida como TEM Transversal Eletromagnética Velocidade do Fase vp ms Considerando o campo elétrico de uma onda possui a radução x se propagando em z É E0 ejktx no domínio do tempo E E0 cosωt kzx A fase total no ponto P será ωt kz0 φ 1 No entanto t t0 a fase total no ponto P será ωt kz1 φ 2 Subtraindo 1 de 2 ωt t0 kz1 z0 0 ω Δt k Δz 0 Δz ωk fazendose no lim Δz Δt 0 dz e dt dz dt ωk dz dt veloc com que a fase total no onda viaja no meio dz vp Assim vp ωk ϵμ vp 1μϵ ms Exercício 5 O campo magnético H no espaço livre é dado por Hxt 10 cos108t k0x ẑ Am Encontre a k0 b λ c Ext em P010203 sm t 1 ms 1 H aponta do para ẑ se propagando na direção x a k0 ωμ0ϵ0 ωvp 108 1 radm b k 2πλ λ 2πk 2π3 611 m c E ẑ x HωE E kHẑωE H0ẑ 2 Onda plana ẑ x z se propagando na direção ẑ k 25 radm η EH 1500 Ω 2785 Ω λ 2πk 2π25 025 m vp ω 2π 400 106 10 108 ms vp μϵ μϵ μϵ 0377 vp 1μϵ 1μϵ 3103μϵ Velocidade de Grupo vg Todas as vezes em vgvp menos não dispersivos Vetor de Poynting Portanto e H dS potência instantânea devido a um campo eletromagnético e e H vetor densidade de potência instantânea de um campo eletromagnético vista de Poynting P e Hμwm² so pode ser explicada se for corrente contínua 2206 Potência média de uma onda eletromagnética Para determinar a potência média devese resolver primeiro o vetor de Poynting médio d PAV 1T ₀T P dt Produto Vetorial de duas grandezas com variação temporal na forma harmônica Supondo c a b sendo a a₀ cos ωt ϕa b b₀ cos ωt ϕb Utilizando fase a² Re A ejωt I Re B ejωt vendo o A i B respectivamente mundo logo c² Re A ejωt Re B ejωt Re fx dx z x²2 x y y x O termo Re B ejωt B ejωt B ejωt c² 12 Re A ejωt ejωt A ejωt c² Re A x B ejωt O valor médio de c² será c²AV 1T ₀T Re A x B ejωt A x B dt observando que ₀T Re A x B ejωt dt Re A x B ₀T Re ejωt dt re A x B ₀T cosωt dt c²AV 1dt ₀T Re A x B ₀T dt c²AV 12 Re A x B Fazendo a integral do volume no volume V da figura temse V eHdV 2dtμ H²dV 2dtεE²dV εE²dV o p0s generalizando uma fonte de uma onda em um estado espaço com um volume V interceptado por uma superfície Aplicando o teorema do divergente no lado esquerdo de 2 V eHdV S eHdS eH eH 2dt μ H²dV 2dt εE²dV εE²dV sabendose que Fixa 3 μ H²dV Energia potencial associada no campo magnético εE²dV Energia potencial associada no campo elétrico ddt μ H²dV Potência instantânea no campo magnético ddt εE²dV elétrico Para obter no valor de Peiming médio para funções harmônicas temse vecP extav frac12 extRe vecE imes vecH wm2 vecP extav frac12 extRe 0265 hatz abla imes vecH epsilon fracpartial vecEpartial t Exercício Proposto Determine o vetor de Poynting associado aos campos eletromagnéticos radiados pela antena no dipolo de Hertz para distâncias muito pequenas R O Wm² Como η με ω εE βμ α β α ω με1 jσωε NPm P ω μεγ² jσωε Wm Exemplo Na prática a energia em uma onda eletromagnética pode ser associada a um sistema de transmissão considerando seu valor paragem ao novo valor inicial considera uma onda eletromagnética na frequência de 16 Hz propagando no c Propagação no cobre