Caderno de Eletromagnetismo Aplicado: Fluxo e Potencial Elétrico

Caderno Eletromag 2018 Eletromagnetismo Aplicado Fluxo Elétrico Potencial Elétrico Vu Trabalho Não realizado W Q AB E dl V E dl 0 Teorema de Stokes lims0 AB E nA ds E 0 E V Dado o potencial V 10r2 sen θ cos φ a E V E 10r2 r Vθ θ Vφ φ E 20 sen φ θ 10r2 cos φ φ Para 2 π2 0 temos que D ε₀ 20 sen φ 10 cos φ D 8854 1012 20 r W Q AB E dl Q VAB W QA VB VA W 10 106 1016 12 12 W 106 03 52 W 2812 μJ No semicondutor vecJ mue vecE muh vecE Mobilidade das lacunas Substituindo vecJ mue vecE na densidade de corrente temse vecJ rho vecE mue rho vecE O termo mue rho é conhecido como condutividade elétrica sigma Sm Lei de Ohm para o eletromagnetismo Ex Um condutor de 1 mm de diâmetro e condutividade de 5107 sm possui 1028 eletrons livresm³ quando o campo elétrico de 10 mV é aplicado a Determine a densidade de carga b A densidade de corrente c Corrente no condutor d Velocidade dos elétrons a sigma 5107 Sm vecE 10 mV n frac102810 ext Eletrons livresm3 Rightarrow n 1029 cdot 16 cdot 1019 Rightarrow n 16 cdot 103 Cm3 b vecJ sigma vecE vecJ sigma cdot vecE vecJ 01 Am² sigma 5107 cdot 103 3129 cdot 105 mm vecJ rhov cdot vecE Rightarrow sigma fracIArhov Rightarrow sigma frac5106 Am16 cdot 1010 Cm3 Ex 2 Em uma dada região vecE E0 o campo elétrico é dado por vecE 2xy2 hati 2x2y hatj z hatk Vm Se as cargas possuem uma velocidade vecv haty extms determine o corrente que flui pela superfície retangular definida por 0 x z 05 y 1 E0 8854 cdot 1012 Fm abla cdot vecD rhov abla cdot vecE rhov rhov epsilon0 abla cdot vecE Princípio de Conservação de Carga Conservação de Energia Uma carga elétrica não pode ser criada nem destruída Supondo que um dado volume V carregado com carga Q sendo este volume encerrado por uma superfície fechada S Em um dado momento conectase um condutor neste volume e iniciase o passagem de uma corrente i Com a corrente temos como consequência a diminuição de Q Para que o princípio de conservação de carga energia seja respeitado a taxa temporal de decaimento das cargas dentro do volume deve ser igual à corrente i fracdQdt i 1 Equação de continuidade bruta Reescrevendo 1 em função da densidade de carga e corrente temos que i iiint vecJ cdot dvecs fracdQdt int int int rhov dv Aplicando o teorema do divergente na eq acima temos que intV abla cdot vecJ dv int fracddt rhov dv Em um meio condutor homogêneo determine o decaimento da densidade de carga a partir do momento em que um campo elétrico origina a corrente elétrica J dρv dt Lei de Gauss D ρv E E ρv ε E E ρv E E E ρv ε ρv ε dρv dt δ ρv ε dρv dt R dρv dt ρv δ 0 R ρv δ ε ρv 0 Eq Característica ρv R δ ε 0 C solução zero do tipo ρv ρ0 e R t ρ0 constante R raiz do EC Portanto ρv ρ0 e δ ε t Para t 0 temos que ρv ρ0 ρ0 Carga Inicial Quando a quantidade de cargas for 1e do carga inicial ρ0 no instante que este valor é conhecido como tempo de relaxação Para tempos maiores que o tempo de relaxação a quantidade de carga dentro de um volume tornase muito pequena e pode ser desconsiderado Calcule o tempo de relaxação do cobre δ 58107 Sm e E E0 ρv ρ0 e δ ε t para t t temos que ρv 1 e ρ0 1 e ρ0 ρ0 e 1 e δ ε t δ 8541012 58107 δ 1 δ 1521049 δ E ε Uma barra de chumbo σ 5 x 106 Sm de seção reta quadrada tem um furo ao longo de seus 4m de comprimento cuja seção reta é mostrada na Figura 55 Determine a resistência entre as extremidades da barra σ 5106 Sm l 4m A 003 m2 π002 m2 91014 25105 875106 m h l δ A 4m 5106 m 875106 R 4 43375 Ex 53 é Importante Lei de Faraday Φ constante Como o momento é o mesmo o fluxo não era constante e gerase uma força eletromotriz e gera uma corrente elétrica Fem força eletromotriz diferença de potencial induzido na espira Fem dΦ dt Fem dΦ dt ddP A B Edl ddP espira B Edl A dΦ Edl Fem dΦ dt d dt Bdl Lei de Ampere H j c Dt E Bt Considere uma fonte de tensão alternada dada por Vg Vosenωt sendo Vo a amplitude ligado a um capacitor conforme a figura abaixo Mostre que a corrente de condução é igual a corrente de deslocamento A Área do Capacitor d Distância dos placas E Vgd E Vosenωt Como C εAd ict CdVgdt ict CVoωcosωt idt dEdtA idt εAddEdtA idt εAVoωcosωt Dado E 30π e j108t βz x Vm H Hm e j108t βz ȷ Am Encontre Hm e β Campo Elétrico Campo Magnético x E Bt i j k Exx Eyy Ezz 30π e j108t βz Bt B j30πβ e j108t βz H j30πβ e j108t βzη Hm 30πβ108μ₀ j H j30πβ108μ₀ j Como B t E H 075β e j108t βz ȷ Hm 30πβ108μ₀ Hm 30πβ108μ₀13 β 13 radm Hm 025 Am Potenciais Elétrico e Potencial Magnéticos E H x E βt x x E t x B x H Et jIc x x H εEt jIc Quando se deseja determinar os campos elétricos e magnéticos a partir de uma dada fonte há dois caminhos a serem seguidos 1 Consiste em resolver as equações de maxwell diretamente 2 Resolver os campos com o auxílio das potenciais elétricas e magnéticas Potenciais auxiliares Das equ de Maxwell sabese que B 0 Lei de Gauss pl magnetismo Comparando a lei de Gauss com 2 é possível escrever B em função do rotacional de um segundo vetor A B x A A Vetor potencial Magnético Wbm Aplicando o vetor potencial magnético A na lei de Faraday x E Bt x E x At x E x At 0 x E At 0 Ou seja E At V E V At Da equação de Amperes x H jₒ Et Aplicando as potenciais elétricas e magnéticos temse que H 1μ x A x 1μ x A jₒ ε Et Para meios Homogêneos Permitividade Permeabilidade Condutividade Constantes ²x A μ jₒ ε ²At² ²x A ε μ At² jε ²A μ ε At² μ jε Então ²A μ ε ²At² μ jc² Equação da Onda do Vetor Potencial Magnético A A equação de onda para o potencial elétrico é obtido do lei de Gauss E ρε E V At V At ρε Solução das equações de onda para V e A Será desenvolvido a solução de equações de onda para o potencial elétrico e a solução do potencial magnético será baseada na solução do potencial elétrico Um ponto de ρV Uma carga pontual Qt ρV ΔV ΔV Variação de Volume ²V μ ε ²Vt² ρVε A solução da EO é igual para qualquer tipo de distribuição de cargas Entretanto será usado uma carga pontual localizada na origem do sistema de coordenadas esféricas Eq da Onda para todo o sistema ²V μ ε ²Vt² ρVε Desconsiderando a origem do sistema de coordenadas temse ²V μ ε ²Vt² 0 ρV 0 Como a carga é pontual o sistema de coordenadas será o esférico Neste sistema há simetria em relação a θ e φ ou seja as regiões equipotenciais são esféricas Logo a EO estará em função apenas de r Vrt frac1r Urt frac1r phiat br Vrt frac14piepsilon int fracrhovt sqrtmuepsilon rr dV Az fracmu I2pi rho drho Cdisplaystyle ext densidade de corrente vecJ 80t Am2 ext está no eixo z ext de um fio condutor situado no espaço livre e no intervalo 01 z 01 ext Encontre vecA ext no ponto 200 Um fio condutor reto e infinito com área desprezível transporta uma corrente elétrica de fluxo por vecJ left beginarrayll 0 t0 J0 t0 endarray right ext Encontre o campo elétrico e o campo magnético sabendose que o condutor é eletricamente neutro rho00 ext e V0 int frac1sqrtz2 r2dx lnleftsqrtz2 r2right extconstant