Convolução Discreta e Transformada Z - Definição, Fórmula e Aplicações

1 Escolha duas sequências discretas para cada uma das letras A e B com amostras pequenas Pode ser até de dois elementos em cada função mesmo Creio que entre três e quatro está de bom tamanho a CONVULAÇÃO DISCRETA Nesta pesquisa deverá constar a definição fórmula da soma de convolução discreta e a expressão da propriedade da Transformada Z associada à convolução Escolha duas sequências discretas hn e xn quaisquer como exemplo para aplicar as equações e determinar o resultado da convolução de xn com hn Recomendo que escolham sequências xn e hn com poucas amostras Etapa1 resolver o exemplo passoapasso pela definição Etapa2 Aplicar a propriedade da Transformada Z direta calcular o resultado e aplicar a transformada Z inversa Etapa3 Comparar os resultados obtidos na Etapa1 e Etapa2 Links de vídeos para consulta e estudos 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvRF7ISO11d6Q 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvDhUjfJC5Gc b CONVULAÇÃO DISCRETA Nesta pesquisa deverá constar a definição fórmula da soma de convolução discreta e a expressão da propriedade da Transformada Z associada à convolução Escolha duas sequências discretas hn e xn quaisquer como exemplo para aplicar as equações e determinar o resultado da convolução de xn com hn Recomendo que escolham sequências xn e hn com poucas amostras Etapa1 resolver o exemplo passoapasso pela definição Etapa2 Aplicar a propriedade da Transformada Z direta calcular o resultado e aplicar a transformada Z inversa Etapa3 Comparar os resultados obtidos na Etapa1 e Etapa2 Links de vídeos para consulta e estudos 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvRF7ISO11d6Q 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvDhUjfJC5Gc OBS 1 Escolha duas sequências discretas para cada uma das letras A e B com amostras pequenas Pode ser até de dois elementos em cada função mesmo Creio que entre três e quatro está de bom tamanho a CONVULAÇÃO DISCRETA Nesta pesquisa deverá constar a definição fórmula da soma de convolução discreta e a expressão da propriedade da Transformada Z associada à convolução Escolha duas sequências discretas hn e xn quaisquer como exemplo para aplicar as equações e determinar o resultado da convolução de xn com hn Recomendo que escolham sequências xn e hn com poucas amostras Etapa1 resolver o exemplo passoapasso pela definição Etapa2 Aplicar a propriedade da Transformada Z direta calcular o resultado e aplicar a transformada Z inversa Etapa3 Comparar os resultados obtidos na Etapa1 e Etapa2 Links de vídeos para consulta e estudos 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvRF7ISO11d6Q 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvDhUjfJC5Gc b CONVULAÇÃO DISCRETA Nesta pesquisa deverá constar a definição fórmula da soma de convolução discreta e a expressão da propriedade da Transformada Z associada à convolução Escolha duas sequências discretas hn e xn quaisquer como exemplo para aplicar as equações e determinar o resultado da convolução de xn com hn Recomendo que escolham sequências xn e hn com poucas amostras Etapa1 resolver o exemplo passoapasso pela definição Etapa2 Aplicar a propriedade da Transformada Z direta calcular o resultado e aplicar a transformada Z inversa Etapa3 Comparar os resultados obtidos na Etapa1 e Etapa2 Links de vídeos para consulta e estudos 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvRF7ISO11d6Q 20 minutoshttpswwwyoutubecomwatchvDhUjfJC5Gc OBS Transformada Z A transformada de Fourier de um sinal em tempo discreto é definida como considerando que seja absolutamente somável ou seja Existem muitos sinais não absolutamente somáveis que são do interesse da engenharia e nestes casos a transformada de Fourier não existe Para superar essa limitação podese multiplicar o sinal por uma função exponencial de tal forma que seja forçado a ser absolutamente somável para algum valor real do parâmetro Neste caso a transformada de Fourier discreta fica O resultado dessa soma é uma função de variável complexa definida como Essa é a transformada do sinal discreto A saída de um sistema discreto LIT lineal invariante no tempo com entrada pode ser obtido pela operação de convolução onde é a resposta ao impulso do sistema Figura 1 Sistema LIT A figura 1 ilustra um sistema LIT cujo sinal de entrada é e a saída do mesmo é Para determinar a resposta ao impulso unitário do sistema basta fazer é observar a saída Para explicitar o tipo de sistema que estamos trabalhando isto é lineal invariante no tempo o mesmo deve gozar das seguintes propriedades Em particular se a entrada é uma exponencial complexa então a saída será Essa equação representa que a exponencial complexa é uma auto função de qualquer sistema discreto LTI cujo autovalor é conhecida como transformada da resposta ao impulso conhecida como função de transferência do sistema LTI A transformada tem um conjunto de propriedades semelhantes à transformada de Fourier e a transformada de Laplace São elas Linearidade Deslocamento temporal Escala temporal onde é definido como Convolução e outras propriedades mais porém as que mais importantes nesse contexto foram listadas Vamos observar algumas propriedades da convolução uma vez que é uma ferramenta muito importante em nossas aplicações futuras Considere o sinal de entrada de um sistema LTI e sua saída A operação de convolução onde é a resposta ao impulso do sistema pode ser reescrita da seguinte forma Note que a saída pode ser determinada pela multiplicação simples da transformada da entrada e de Para retorna ao domínio original em podese aplicar a transformada inversa denotada por Agora apresentaremos dois exemplos onde aplicaremos todos os conceitos vistos anteriormente Vamos começar por um exemplo mais simples e posteriormente aumentaremos o grau de complexidade Exemplo 1 Considere a entrada e a resposta ao impulso onde é a função impulso unitário que também pode vim com deslocamento da amostra Vamos começar determinando a convolução pela definição Resolver utilizando a definição Sabese que substituindo e na definição acima obtémse Note que se desse modo a equação acima pode ser reescrita da seguinte forma portanto Alternativamente podemos chegar ao mesmo resultado utilizando as propriedades de transformada já vistas Calcular utilizando as propriedades da transformada Utilizaremos a propriedade para nos auxiliar no calcula da transformada Sabese que onde importante salientar que é simples ver que o resultado ao impulso é com pois para De modo análogo temse Dessa forma determinamos De modo análogo determinamos então Para determinar aplicamos a transformada inversa Note que em ambos os métodos de resolução obtemos o mesmo resultado porém observase maior esforço ao utilizar as propriedades da transformada porém em casos mais complexos é muito mais vantajoso utilizar estas propriedades devido a complexidade do sinal de entrada ou da resposta ao impulso do sistema Exemplo 2 Considere a entrada e a resposta ao impulso Resolver utilizando a definição Note que E de modo análogo a resposta ao impulso Importante observar que a saída depende apenas de valores passados e correntes ou seja tratase de um sistema causal Temse onde obtevese uma série geométrica finita de razão Lembrando que quando se tem essa situação a série geométrica é escrita da seguinte forma desse modo a série encontrada pode ser reescrita do seguinte modo portanto Calcular utilizando as propriedades da transformada Com auxílio da propriedade determinaremos saída do sistema no domínio e posteriormente acharemos a resposta no domínio original Já explicitamos quem é a entrada e a resposta ao impulso desse modo e Essas transformadas podem ser facilmente encontradas consultando a tabela de transformadas De modo encontramos e para encontrar basta multiplica las Agora vamos calcular a transformada inversa Para isso utilizaremos o método de frações parciais é uma técnica utilizada na integração de funções racionais Ele consiste em decompor uma função racional em uma soma de frações parciais mais simples o que permite encontrar com maior facilidade a transformada inversa Considere repare que o grau do numerador é igual ao do denominador por isso é necessário encontrar os inteiros Temse agora temos que determinar as raízes do denominador para isso basta verificar onde gz0 as raízes são portanto de modo que obtémse o seguinte sistema cuja solução é e Desse modo portanto aplicando a transformada inversa com auxílio da tabela de transformadas obtémse reescrevendo o resultado obtido Portanto o resultado obtido pelos dois métodos isto é pela definição e posteriormente pelas propriedades da transformada obtevese o mesmo resultado o que já era esperado Apenas notamos a presença do impulso em porém o impulso se nos demais os resultados são idênticos Podese notar que utilizando as propriedades da transformada tevese neste caso maior esforço do que pela definição Transformada Z A transformada de Fourier de um sinal em tempo discreto xn é definida como X e jωF xn n x n e jωn considerando que xn seja absolutamente somável ou seja n x n Existem muitos sinais não absolutamente somáveis que são do interesse da engenharia e nestes casos a transformada de Fourier não existe Para superar essa limitação podese multiplicar o sinal xn por uma função exponencial e σn de tal forma que xn seja forçado a ser absolutamente somável para algum valor real do parâmetro σ Neste caso a transformada de Fourier discreta fica F x n e σn n x n e σne jωn n xne σ jωn n xne sn n xn z nXz O resultado dessa soma é uma função de variável complexa definida como ze se σjω Essa é a transformada Z do sinal discreto xn X z Z x n n xnz n A saída yn de um sistema discreto LIT lineal invariante no tempo com entrada xn pode ser obtido pela operação de convolução y nh nx n k h k xnk onde hn é a resposta ao impulso do sistema Figura 1 Sistema LIT A figura 1 ilustra um sistema LIT cujo sinal de entrada é xn e a saída do mesmo é yn Para determinar a resposta ao impulso unitário do sistema basta fazer x n δ n é observar a saída y nh n Para explicitar o tipo de sistema que estamos trabalhando isto é lineal invariante no tempo o mesmo deve gozar das seguintes propriedades Linear T a x1n b x2 n aT x1nbT x2n invariante y nT x nT xnnd y nnd Em particular se a entrada é uma exponencial complexa x n z ne s ne sn então a saída yn será y n k h k z nkz n k h k z kH z z n Essa equação representa que a exponencial complexa x n z ne sn é uma auto função de qualquer sistema discreto LTI cujo autovalor é H z k h k z k conhecida como transformada Z da resposta ao impulso h n conhecida como função de transferência do sistema LTI A transformada Z tem um conjunto de propriedades semelhantes à transformada de Fourier e a transformada de Laplace São elas Linearidade Z ax nby n aX z bY z Deslocamento temporal Zx nn0z n0 Xz Escala temporal Z x nk X z k onde xnké definido como x nk x nk sené multiplode k 0caso contrário Convolução Z x n y nX z Y z e outras propriedades mais porém as que mais importantes nesse contexto foram listadas Vamos observar algumas propriedades da convolução uma vez que é uma ferramenta muito importante em nossas aplicações futuras Considere xn o sinal de entrada de um sistema LTI e yn sua saída A operação de convolução y nx n h n onde hn é a resposta ao impulso do sistema pode ser reescrita da seguinte forma Y z X z H z 1 Note que a saída pode ser determinada pela multiplicação simples da transformada Z da entrada xn e de hn Para retorna ao domínio original em n podese aplicar a transformada Z inversa denotada por Z 1Y z Agora apresentaremos dois exemplos onde aplicaremos todos os conceitos vistos anteriormente Vamos começar por um exemplo mais simples e posteriormente aumentaremos o grau de complexidade Exemplo 1 Considere a entrada x n δ n5 e a resposta ao impulso h nδ n1 onde δ n é a função impulso unitário que também pode vim com deslocamento k da amostra n Vamos começar determinando a convolução x n h n pela definição Resolver utilizando a definição Sabese que y nh nx n k h k x nk k x k hnk substituindo xn e hn na definição acima obtémse y n k δ k5 δ n1k Note que δ k5 1 se k5 desse modo a equação acima pode ser reescrita da seguinte forma y n k 1δ n15 k 1δ n4 k δ n4 portanto y nδ n4 Alternativamente podemos chegar ao mesmo resultado utilizando as propriedades de transformada Z já vistas Calcular utilizando as propriedades da transformada Z Utilizaremos a propriedade 1 para nos auxiliar no calcula da transformada Sabese que Y z X z H z onde X z k x k z k importante salientar que k δ nk z kz nk0 é simples ver que o resultado ao impulso é z k com k0 pois δ nk 1 para nk De modo análogo temse k δ nk z kz nk0 Dessa forma determinamos X z X z k δ k5 z kz 5 De modo análogo determinamos H z k δ n1 z kz 1 então Y z X z H z z 5z 1z 4 Para determinar yn aplicamos a transformada Z inversa Z 1 Y z Z 1 z 4δ n4 y nδ n4 Note que em ambos os métodos de resolução obtemos o mesmo resultado porém observase maior esforço ao utilizar as propriedades da transformada Z porém em casos mais complexos é muito mais vantajoso utilizar estas propriedades devido a complexidade do sinal de entrada ou da resposta ao impulso do sistema Exemplo 2 Considere a entrada x n 1 2 n un e a resposta ao impulso h nun Resolver utilizando a definição Note que x n 1 2 n n0 0cc E de modo análogo a resposta ao impulso h n 1n0 0cc Importante observar que a saída yn depende apenas de valores passados e correntes ou seja tratase de um sistema causal Temse y nx n h n k0 x k hnk k0 x k hnk k0 1 2 n u nk k0 n 1 2 n 1 k0 n 1 2 n onde obtevese uma série geométrica finita de razão r1 2 Lembrando que quando se tem essa situação a série geométrica é escrita da seguinte forma k0 n r n1r n1 1r desse modo a série encontrada pode ser reescrita do seguinte modo k0 n 1 2 n 1 1 2 n1 11 2 1 1 2 n1 1 2 21 1 2 n1 portanto y nx n h n21 1 2 n1 2 1 2 n 2 Calcular utilizando as propriedades da transformada Z Com auxílio da propriedade 1 determinaremos Y z saída do sistema no domínio Z e posteriormente acharemos a resposta no domínio original Já explicitamos quem é a entrada xn e a resposta ao impulso hn desse modo X z Z x n 1 11 2 z 1 2z 2 z1 z 1 2 e H z Z h n 1 1z 1 z z1 z1 Essas transformadas podem ser facilmente encontradas consultando a tabela de transformadas Z De modo encontramos X z e H z para encontrar Y z basta multiplica las Y z X z H z 2 z 2z1 z z1 2z 2 2z 23 z1 Agora vamos calcular a transformada Z inversa Para isso utilizaremos o método de frações parciais é uma técnica utilizada na integração de funções racionais Ele consiste em decompor uma função racional em uma soma de frações parciais mais simples o que permite encontrar com maior facilidade a transformada inversa Considere Y z 2z 2 2z 23 z1 repare que o grau do numerador é igual ao do denominador por isso é necessário encontrar os inteiros Temse 2z 2 2z 23 z1 1 3 z1 2 z 23 z1 agora temos que determinar as raízes do denominador g z 2 z 23z1 para isso basta verificar onde gz0 2 z 23z10 b 24ac 3 24211 as raízes são z031 4 2 4 1 2 z131 4 1 portanto 2 z 23z12z1 z1 de modo que 3 z1 2z 23 z1 3 z1 2 z1 z1 A 2z1 B z1 A2B z A1 2 B 2 z1 z1 obtémse o seguinte sistema A2B3 AB1 cuja solução é A1 e B2 Desse modo 3 z1 2z 23 z1 1 2 z1 2 z1 z 1 2z 1 2 z 1 1z 1 portanto 2z 2 2z 23 z1 1 3 z1 2 z 23 z1 1 z 1 2z 1 2 z 1 1z 1 aplicando a transformada Z inversa com auxílio da tabela de transformadas obtémse y nδ n 2 n2 reescrevendo o resultado obtido y nδ n 2 1 2 n 3 Portanto o resultado obtido pelos dois métodos isto é pela definição e posteriormente pelas propriedades da transformada Z obtevese o mesmo resultado o que já era esperado Apenas notamos a presença do impulso em 3 porém o impulso δ n 1 se n0 nos demais os resultados são idênticos Podese notar que utilizando as propriedades da transformada tevese neste caso maior esforço do que pela definição