Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais Modernos - Quarta Edição

QUARTA EDIÇÃO Esta quarta edição internacional de Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais Modernos contém os mais recentes avanços tecnológicos e suas aplicações em sistemas de comunicações integrando conceitos matemáticos com o software MATLAB Os estudantes e os leitores interessados podem usar novas ferramentas de ensino e realizar experimentos e práticas na tela do computador A obra abrange um vasto espectro de conteúdos como sinais e sistemas modulação analógica modulação digital por codificação de pulsos e uma visão geral da teoria da informação e dos princípios de códigos corretores de erros entre outros Apresenta sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas com vasta aplicação comercial e sistemas celulares redes locais wireless e serviços de internet com fio Os canais seletivos em frequência e sistemas OFDM também são abordados o que assinala o valor das novas tecnologias como espalhamento espectral e multiplexação por divisão em frequências ortogonais Ao buscar atender às crescentes demandas tecnológicas Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitais Modernos consolidase como um livro ímpar na área de telecomunicações apresentando o texto de forma objetiva didática e atualizada SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES ANALÓGICOS E DIGITAIS MODERNOS O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método LTC EPU e Forense Universitária que publicam nas áreas científica técnica e profissional Essas empresas respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras que têm sido decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração Direito Enfermagem Engenharia Fisioterapia Medicina Odontologia Educação Física e muitas outras ciências tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico distribuílo de maneira flexível e conveniente a processos justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e estudantes Nosso compromisso ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são refletores da participação e da sinergia de nossa atividade sem compromisso e crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES ANALÓGICOS E DIGITAIS MODERNOS Quarta Edição B P Lathi Professor Emérito da Califórnia State University Sacramento Zhi Ding Professor da University of California Davis Tradução J R Souza PhD Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Revisão Técnica José Alexandre Nalon Mestre em Engenharia Elétrica pela UNICAMP Professor do Centro Universitário Salesiano de São Paulo UNISAL Os autores e a editora empenhamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autores de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis erros caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham originado em uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor da editora e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bemvindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que visem ao aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr MODERN DIGITAL AND ANALOG COMMUNICATION SYSTEMS INTERNATIONAL FOURTH EDITION Copyright 1983 by CBS College Publishing 1989 by B P Lathi Saunders College Publishing a division of Holt Rinehart and Winston Inc 1995 1998 2010 by B P Lathi All rights reserved MODERN DIGITAL AND ANALOG COMMUNICATION SYSTEMS INTERNATIONAL FOURTH EDITION foi editada originalmente em inglês em 2009 Esta tradução é uma publicação por acordo com a Oxford University Press Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2012 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwlteditoracaocombr Capa Dan Niver Foto de Capa Robert Churchill IStockphotocom Editoração Eletrônica K2 design CIPBRASIL CATALOGAÇÃONAFONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ L379 Lathi B P Bhagwandas Pannalal 1933 Sistemas de comunicações analógicos e digitais modernos B P Lathi Zhi Ding tradução J R Souza revisão técnica José Alexandre Nalon Rio de Janeiro LTC 2012 il 28 cm Tradução de Modern digital and analog communication systems 4ª ed Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521620273 1 Sistemas de telecomunicação 2 Comunicações digitais I Ding Zhi 1962 II Título 120450 CDD 621382 CDU 62139 PREFÁCIO xix INTRODUÇÃO 1 ANÁLISE E TRANSMISSÃO DE SINAIS 59 5 MODULAÇÕES E DEMODULAÇÕES EM ÂNGULO 187 48 MALHA DE CAPTURA DE FASE PHASE LOCKED LOOP PLL E ALGUMAS APLICAÇÕES 161 49 EXERCÍCIOS COM MATLAB 168 DETECÇÃO DE ERRO 337 APLICAÇÃO FILTRAGEM ÓTIMA FILTRO DE WIENERHOPF 447 Sinalização Multiamplitude PAM 508 EQUALIZAÇÃO DO CANAL NO RECEPTOR 620 EQUALIZAÇÃO CEGRA E IDENTIFICAÇÃO 658 MISCELÂNEA 822 PREFÁCIO O principal objetivo desta quarta edição é atender ao enorme progresso tecnológico em sistemas de comunicação ocorrido ao longo da década desde o lançamento da terceira edição Ao mesmo tempo novos pacotes de software e ferramentas de ensino se tornaram disponíveis facilitando a apresentação de exemplos ricos e ilustrativos assim como mais oportunidades experimentais para os estudantes Nesta nova edição grandes mudanças foram implementadas para incorporar esses recentes avanços tecnológicos na área de telecomunicações Para aguçar o interesse dos estudantes e permitir que relacionem os conteúdos de cursos e experiências com ferramentas de comunicação com maior facilidade apresentaremos informações relevantes sobre a operação e as características de sistemas celulares redes locais sem fio LANs e serviços de internet com fio linha digital de assinantes DSL entre outros Revisão Importante Diversas alterações importantes foram motivadas pela necessidade de enfatizar os fundamentos de sistemas de comunicação digital que permitem nossa vida diária Em especial devido à disseminação das aplicações de novas tecnologias como espelhamento espectral e multiplexação por divisão em frequência ortogonais OFDM acrescentamos dos novos capítulos sobre espelhamento espectral Capítulo 11 e sobre canais seletivos em frequência e sistemas OFDM Capítulo 12 Como exemplares práticos desses sistemas elaboramos um texto introdutório básico sobre os mais padrões de comunicação sem fio incluindo sistemas celulares e redes de área local LANs em função do padrão IEEE 80211abgn Adicionalmente incluímos um resumo das mais modernas tecnologias de modems e serviços DSL De modo a teoria e a forma de codificar a informação também foram transformadas pelo progresso em diversas áreas importantes Nesta obra incluímos os princípios básicos da tecnologia de sistemas com múltiplas entradas e saídas MIMO que passou a ter amplo uso comercial Cobrimos ainda diversas inovações excelentes na codificação para corrigir erros incluindo decodificação suave códigosturbo e códigos de verificação de paridade de baixa densidade LDPC Para tornar o aprendizado mais aprimorado e dar aos estudantes a oportunidade de treinamento experimental baseado em computador apresentamos exemplos relevantes e exercícios em MATLAB nos capítulos o que aumenta a qualidade do conteúdo abordado mediante o uso de experiências práticas Organização A obra inicia tradicionalmente com a revisão de fundamentos de sinais e sistemas e prossegue com os tópicos de comunicação essenciais módulos analógica e digital por codificação de pulsos A seguir mencionamos as ferramentas básicas da teoria da probabilidade e do processamento aleatório pois cobrir isso tendo como o texto para análise e projeto de sistemas de comunicação digital Após cobrir os fundamentos destes sistemas os dois últimos capítulos apresentam uma abordagem superficial da teoria da informação e dos princípios de códigos corretores de erros O ideal seria que o conteúdo deste livro fosse dividido em dois cursos um sobre a operação básica de sistemas de comunicação e outro sobre a análise de sistemas modernos de comunicação sujeitos a ruído e outras distorções No primeiro a base seria as ferramentas de análise determinística como séries de Fourier transformadas de Fourier e teorema da amostragem enquanto no segundo seriam cobertas as ferramentas de probabilidade e de processos aleatórios para tratar a imprevisibilidade de sinais de mensagens e ruídos Todavia atualmente dada a grande variedade de cursos pode ser difícil incluir dois semestres básicos sobre comunicação no programa típico de engenharia Algumas universidades exigem como prérequisito um curso de probabilidade e processos aleatórios o que permite que as duas áreas sejam cobertas razoavelmente bem em uma única disciplina de um semestre Este livro foi projetado para ser adotado tanto em um curso de um semestre no qual se enfatizam os aspectos determinísticos de sistemas de comunicação com uma abordagem superficial dada aos efeitos do ruído e interferência da mesma forma que em um curso que estude os aspectos determinísticos e probabilísticos de sistemas de comunicação O livro é autossuficiente e prova toda a teoria básica de probabilidade e processos aleatórios Entretanto como dissemos o objetivo é cobrir os aspectos determinísticos e probabilísticos referentes a esses sistemas em um semestre é altamente desejável que os estudantes já tenham bom conhecimento de probabilidade O Capítulo 1 apresenta um panorama dos sistemas de comunicação Explicamos de forma qualitativa e heurística todos os conceitos importantes relativos à teoria da comunicação Isso atrai os estudantes a cursos que cobrem genericamente este tópico Com este estimulo eles se entusiasmam a estudar nos Capítulos 2 e 3 a ferramenta de análise de sinais nesses capítulos os estudantes aprendem a ver um sinal como um vetor e a pensar no espectro de Fourier como uma forma de representarem um sinal em termos de suas componentes vetoriais Os Capítulos 4 e 5 discutem modulações em amplitude linear e em ângulo não linear respectivamente Na área digital muitos professores acham que a modulação deveria ser menos relevância Consideramos porém que é fundamental essa modulação de processamento de sinais de que um método de comunicação ela será sempre necessária tanto na área de comunicação digital ou analógica como em vários outros campos da engenharia elétrica Por conseguinte desprezála pode significar a ausência de uma perspectiva de conversão analógicodigital ADC Ele detalha amostragem modulação por codificação de pulso incluindo DPCM modulação delta codificação de voz vocoder codificando e compressões de imagemvídeo O Capítulo 7 discute os princípios e técnicas empregadas em modulação digital introduzindo o conceito de distorção de canal e apresentando a equalização como uma forma eficaz de compensar a distorção Os Capítulos 8 e 9 apresentam aspectos básicos das teorias de probabilidade e de processos aleatórios que representam a segunda ferramenta necessária ao estudo de sistemas de comunicação Todo o esforço é feito para motivar os estudantes a assim conserválos à medida que avançam na leitura dos capítulos para isto sempre que possível apresentamos aplicações para problemas de comunicação O Capítulo 10 trata da análise de sistemas de comunicação digital na presença de ruídos incluindo a detecção última de sinais O Capítulo 11 prioriza as comunicações por espalhamento especial O Capítulo 12 apresenta diversas técnicas práticas que podem ser empregadas no combate a distorções reais de canais abordando tanto a equalização de canal como a tecnologia OFDM amplamente utilizada O Capítulo 13 oferece um tutorial sobre teoria da informação Por fim o Capítulo 14 discute os princípios e importantes aspectos práticos de codificação para controle de erro Um dos nossos objetivos ao escrever este livro foi tomar prazeroso o aprendizado ou pelo menos tornar a minha experiência menos intimidadora para os estudantes nesse sentido cuidamos para apresentar o assunto de forma clara compreensível e logicamente organizada Sempre que possível esforçamonos para apresentar vídeos esclarecedores mais do que compreensíveis bem como aplicações heurísticas de resultados teóricos Incluímos também vários exemplos que auxiliaram no entendimento de resultados abstratos Mesmo que o sucesso em atingir este objetivo seja parcial nosso esforço terá valido a pena Um Mundo Completamente Novo Assim que publicamos a terceira edição em 1998 surgiram importantes desenvolvimentos tecnológicos Primeiro a telefonia celular se tornou profundamente enraizada na vida das pessoas seja nos centros urbanos ou nos subúrbios tanto na maioria dos países desenvolvidos quanto nos em desenvolvimento Em 1998 pouquíssimos estudantes dispunham de pagers e de telefones celulares Hoje praticamente todos têm um celular Segundo em 1998 a maioria das conexões domésticas da internet era feita em baixa velocidade 288 kbs via modems para linhas telefónicas discadas Atualmente a maioria dos estudantes se conecta ao ciberespaço por meio de serviços DSL ou a cabo Além disso as redes LAN sem fio fizeram com que termos esotéricos como IEEE 80211 se tornassem corriqueiros Grande parte dos estudantes já aplicou essas tecnologias Devido aos enormes avanços tecnológicos a nova geração de estudantes tem grande interesse em estudálos aprender como implementálos Eles anseiam por compreender como é possível contribuir para essa indústria Tanto entusiasmo deve ser proventosamente estimulado e explorado Esta nova edição permitirá que o professor recorde alguns tópicos que não preparou Este material de leitura para que os estudantes possam assimilar informações relevantes Esses objetivos podem ser alcançados como o destaque dos aspectos digitais do texto e a incorporação das mais conhecidas tecnologias digitais com e sem fio Uso do Livro em Cursos Juntos temos mais de 55 anos de experiência de ensino e lecionamos em grandes universidades em cursos com duração de um trimestre ou de um semestre De forma complementar as experiências práticas dos estudantes relacionadas a sistemas de comunicação se multiplicaram continuamente desde a década de 1960 ao século XXI assim dos simples aparelhos de rádio até o acesso rápido e redes LAN sem fio aos dispositivos celulares as estações de rádio via satélite e aos serviços domésticos de internet Em consequência mais e mais estudantes têm interesse em aprender como esses aparelhos eletrônicos funcionam Considerando essa importante necessidade e nossa experiência de ensino reunimos essa edição visão adequála apropriadamente às diferentes configurações de programas de estudo Em todos os casos uma abordagem básica deve ser dada aos fundamentos de comunicações analógicas e digitais Capítulos 1 a 7 Curso de Um Semestre sem grande conhecimento de probabilidade Em muitos programas de estudo os estudantes de graduação não utilizam ferramentas simples de probabilidade até chegarem aos cursos de comunicação Em geral isso ocorre porque as instituições forçam a fazer um curso introdutório de estatística desvinculado das necessidades da área de engenharia Este texto é adequado aos estudantes sem essa formação Os primeiros estes capítulos cobrem uma cobertura abrangente ao estudo dos modernos sistemas de comunicação analógica e digital tendo em vista o típico estudante de engenharia Um curso como este pode ser lecionado em um semestre 40 a 45 horasaula Com base na premissa de que os estudantes tenham adquirido conhecimento consistente de análise de Fourier em um curso anterior obrigatório sobre sinais e sistemas a maior parte dos três capítulos iniciais pode ser tratada como revisão em uma semana O resto do semestre pode ser totalmente dedicado ao estudo dos Capítulos 4 a 7 com cobertura prática dos sistemas de comunicações analógicas e digitais Capítulos 11 e 12 para aumentar o interesse dos estudantes Curso de Um Semestre com grande conhecimento de probabilidade No caso de programas de estudo que reforçaram o estudo inicial de teoria da probabilidade uma cobertura mais abrangente de comunicações digitais pode ser alcançada em um semestre A teoria da probabilidade poderá ser ensinada com maior rigor no contexto da análise de sinais e sistemas cf George R Cooper e Clare D McGillem Probability Methods of Signal and System Analysis Oxford University Press 1999 Nesse cenário além dos Capítulos 1 a 7 o Capítulo 12 é parte do Capítulo 11 sobre equalização também pode ser lecionado em um semestre desde que os estudantes dominem Prefácio xx nem o conteúdo de probabilidade permitindo que se restrinja a cobertura dos Capítulos 8 e 9 a algumas poucas horas Os estudantes que completarem este curso estarão bem preparados para ingressar no mercado de trabalho de telecomunicações em um curso de pósgraduação Série de Dois Semestres sem um curso separado de probabilidade Todo o texto pode ser integral e detalhadamente coberto em dois semestres no caso de programas de estudo sem um curso prévio de probabilidade Em outras palavras para uma série de dois cursos o objetivo é ensinar sistemas de comunicações e os fundamentos de probabilidades Em uma era em que numerosos cursos devem ser acomodados no programa de engenharia é difícil alocar cursos de dois semestres direcionados apenas para comunicações Contudo a maioria das universidades oferece um curso autônomo de probabilidade oferecido por professores sem formação em engenharia Nesse cenário seria preferível incluir toda a teoria da probabilidade nos dois cursos de comunicações Assim para cursos de dois semestres a cobertura pode ser dividida da seguinte forma Primeiro semestre Capítulos 1 a 7 Sinais e Sistemas de Comunicação Segundo semestre Capítulos 8 a 12 Modernos Sistemas de Comunicação Digital Curso de Um Trimestre com grande conhecimento de probabilidade Em um sistema trimestral os estudantes devem fazer um curso anterior de probabilidade e estatística em um nível avançado cf Cooper e McGillem Probabilistic Methods of Signal and System Analysis Também devem dominar a análise de Fourier Em um trimestre as aulas podem tratar dos fundamentos de sistemas de comunicações analógico e digital Capítulos 3 a 7 com os Capítulos 10 e 11 e análise de sistemas de comunicação digital e comunicações por espalhamento espectral respectivamente Curso de Um Trimestre sem grande conhecimento de probabilidade No caso raro de estudantes com pouco conhecimento de probabilidade é importante que eles apreendam os fundamentos de sistemas de comunicação Sugerimos que o curso não se proponha a analisar os sistemas de comunicação digital Em vez disso a cobertura básica sem conhecimento de probabilidade pode ser feita com o ensino da operação de sistemas analógicos e digitais Capítulos 1 a 7 e discussão em alto nível de sistemas sem fim por espalhamento espectral Capítulo 11 Série de Dois Trimestres com conhecimento básico de probabilidade Ao contrário do curso de um trimestre uma série de dois trimestres pode ser bem projetada para ensinar a maior parte do conteúdo importante sobre sistemas de comunicação e sua análise Todo o texto pode ser ensinado em dois trimestres caso o programa de estudo inclua alguma cobertura preliminar de análise de Fourier e probabilidades Em essência os Capítulos 1 a 6 e o Capítulo 8 foram vistos como parcialmente novos e parcialmente de revisão a cobertura pode ser feita da seguinte forma Primeiro trimestre Capítulos 1 a 9 Sistemas de Comunicação e Análise Segundo trimestre Capítulos 10 a 14 Sistemas de Comunicação Digital MATLAB e Experimentos de Laboratório Como muitas universidades não mais dispõem de laboratórios físicos para comunicações para auxiliar o aprendizado o livro inclui exercícios sobre sistemas de comunicação baseados em MATLAB Utilizando a tela do computador e medidas de taxa de erro de bits os estudantes podem modificar seus parâmetros e avaliar os efeitos sobre o desempenho de sistemas de comunicação Agradecimentos Primeiro os autores agradecem a todos os estudantes que tiveram em todos esses anos Esta edição não seria possível sem os comentários e sugestões fornecidos pelos nossos estudantes e sem as discussões que tivemos com eles Os autores agradecem a todos os revisores por fornecerem valiosa ajuda no aprimoramento do texto Por fim os autores também agradecem ao professor Norman Morrison da University of Cape Town por sugerir um novo exercício E823 nesta edição BP Lathi Zhi Ding Material Suplementar Este livro conta com o seguinte material suplementar Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgeniogrupogencombr 1 INTRODUÇÃO A longo da última década a rápida expansão das tecnologias de comunicação digital foi simplesmente impressionante A internet uma palavra e conceito inicialmente familiares apenas a técnicos e a comunidade científica permeou todos os aspectos da vida das pessoas Na sociedade moderna é difícil encontrar qualquer indivíduo que não tenha sido influenciado pelas novas tecnologias de comunicação dos telefones celulares ao Bluetooth Este livro examina os princípios básicos de comunicação por sinais elétricos Antes dos tempos modernos mensagens eram transportadas por correios pombocorreio luzes e fogo Estes esquemas eram adequados às distâncias e taxas de dados da época Na maior parte do mundo esses modos de comunicação foram substituídos por sistemas elétricos de comunicação capazes de transmitir sinais por Distâncias muito maiores até planetas e galáxias distantes e a velocidade de luz A comunicação elétrica é confiável e econômica e as tecnologias nelas empregadas aumentam a produtividade e a conservação de energia Com frequência as reuniões de trabalho são feitas em tempo real de qualquer ponto do globo O correio eletrônico está substituindo rapidamente os mais custosos e lentos correioslésma O comércio eletrônico reduziu alguns custos e atrasos associados à venda e os consumidores passaram a ter mais informação sobre novos produtos e suas características As formas tradicionais de mídia como televisão rádio e jornais evoluíram rapidamente nos últimos anos para se adequarem às novas tecnologias de comunicação e de redes de dados podendo mais do que simplesmente refletir as mudanças esperadas que necessitarão maior proveito O objetivo deste livro é prover o conhecimento técnico fundamental de que necessitarão os engenheiros e técnicos de comunicações da próxima geração para que sejam capazes de projetar sistemas de comunicação ainda melhores no futuro 11 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO A Figura 11 ilustra três sistemas de comunicação típicos uma conexão entre telefones de linha discada e celular um sistema de difusão de TV e uma rede sem fio de computadores Devido aos numerosos exemplos de sistemas de comunicação seria tolice tentar listar um a um os detalhes de todos os tipos de sistemas de comunicação A forma mais eficiente e eficaz de estudar os principais conceitos fundamentais que compõem os sistemas existentes que estudamos mas o mais importante a ser observado é que mesmo que a forma da mensagem seja diferente os princípios de comunicação são os mesmos utilizados nesta nova Figura 11 Alguns exemplos de sistemas de comunicação A fonte origina uma mensagem como uma fala humana uma imagem de televisão uma mensagem de correio eletrônico ou algum dado Se o dado for não elétrico por exemplo fala humana texto de correio eletrônico vídeo de televisão deve ser convertido por um transdutor de entrada em uma forma de onda elétrica referida como sinal em banda base ou sinal de mensagem dispositivos físicos que realizam essa conversão são por exemplo microfone teclado de computador câmera fotográficafilmadora digital Figura 12 Sistema de comunicação Mensagem Sinal de Sinal de Sinal de Sinal de de entrada transmitido recebido saída Transdutor de entrada O transmissor modifica o sinal em banda base para transmissão eficiente O transmissor pode consistir em um ou mais subsistemas conversor AD codificador e modulador De forma semelhante o receptor pode ser um demodulador um decodificador e um conversor DA O canal é um meio de escolha no qual os sinais elétricos na saída do transmissor são transportados de um lugar a uma dada distância Um canal típico pode ser um par de fios de cobre trançados telefone e DSL cabo coaxial televisão e internet fibra óptica ou enlace de rádio Além disso um canal também pode ser uma conexão ponto a ponto em uma malha de canais interconectados que formam uma rede de comunicação O receptor processa o sinal recebido do canal revertendo as modificações feitas pelo transmissor no sinal e removendo os distúrbios feitos pelo canal A saída do receptor é alimentada ao transdutor de saída que converte o sinal elétrico à sua forma original a mensagem O destino é a unidade a qual a mensagem é endereçada Um canal é um meio físico que se comporta parcialmente como um filtro que em geral atenua o sinal e distorce os formas de onda transmitidas A atenuação do sinal aumenta com o comprimento do canal variando de uma pequena porcentagem no caso de curtas distâncias a ordens de magnitude no caso de comunicação interplanetária A distorção das formas de onda dos sinais tem origem em fenômenos físicos como ganhos dependentes da frequência efeitos de multiplexores e descoelens Por exemplo um canal seletivo em frequência causa diferentes valores de atenuação e deslocamento de fase a diferentes componentes de frequência do sinal Um pulso quadrado é arredondado do espalhamento durante a transmissão por um canal passabaixas Distorções desse tipo denominadas distorções lineares podem permanecer parcialmente corrigidas no receptor por um equalizador de maneira a fazer complementares as do canal Os canais também podem causar distorções que não linear através de atenuação que varia com a amplitude do sinal Tais distorções também podem ser corrigidas ao canal sendo conhecidas também podem ser facilmente compensadas por transmissões na forma de predistorções dependendo do contexto 4 Capítulo 1 um 26 letras 10 números um espaço e diversos caracteres de pontuação e de acentuação Com isso um documento de texto escrito em inglês é uma mensagem digital construída a partir de um conjunto ASCII de 128 símbolos A fala humana também é uma mensagem digital pois é constituída de um vocabulário finito em alguma linguagem As notas musicais também são digitais embora o som da música seja analógico Da mesma forma uma mensagem telegráfica em código Morse é uma mensagem digital construída a partir de um conjunto de apenas dois símbolos traço e ponto Consequentemente é uma mensagem binária ou seja de apenas dois símbolos Uma mensagem digital construída com M símbolos é denominada mensagem Mária Mensagens analógicas são caracterizadas por dados cujos valores variam em um intervalo contínuo e são definidos em um período contínuo de tempo Por exemplo a temperatura de um local ao longo do tempo pode variar em um intervalo contínuo e pode assumir um número infinito incontável de valores possíveis Uma peça musical gravada por um pianista também é um sinal analógico De modo semelhante a amplitude de uma particular forma de onda de voz varia em um intervalo contínuo Em um dado intervalo de tempo existe um número infinito de diferentes possíveis formas de onda de voz em contraste com apenas um número finito de possíveis mensagens digitais 121 Imunidade de Sinais Digitais ao Ruído Não é segredo mesmo para um observador casual que toda vez que alguém examina os mais recentes produtos de comunicação eletrônica uma tecnologia digital mais nova é nem mal substituta à vetecnologia analógica Na última década as telefones celulares completaram a transformação da primeira geração analógica AMPS na atual segunda geração por exemplo GSM CDMA e sua descente digital a terceira geração por exemplo WCDMA Mais visível nas residências a tecnologia de vídeo digital DVD tornou o sistema analógico de VHS praticamente obsoleto A televisão digital dá prosseguimento ao ataque à tecnologia de vídeo analógico removendo o último remanescente da televisão em cores É razoável perguntar por que as tecnologias digitais são melhores A resposta está associada a aspectos econômicos e à qualidade A motivação econômica é a facilidade mais importante no que diz respeito ao nível de qualidade uma característica proeminente das comunicações digitais e à maior imunidade de sinais digitais ao ruído e a interferências As mensagens digitais são transmitidas como um conjunto finito de ondas elétricas Em outras palavras uma mensagem digital é gerada a partir de um alfabeto finito e cada caractere no alfabeto pode ser representado por uma forma de onda ou por uma combinação sequencial de formas de onda Por exemplo no envio de uma mensagem em código Morse um traço pode ser transmitido por um pulso eléctrico de amplitude A2 e o ponto por um pulso de amplitude negativa A2 Fig 13a Em um caso Mário M pulsos ou formas de onda elétricos são usados cada um dos M pulsos representam um dos M símbolos possíveis Após a transmissão o receptor deve extrair a mensagem do sinal distorcidoeruidosonasaída do canal É mais fácil em geral extrair mensagens de sinais digitais 123 Conversão AnalógicoDigital AD Apesar da diferença entre sinais analógicos e digitais há uma base comum entre os dois a conversão de mensagens analógicas em sinais digitais conversão AD O conversor analógicodigital AD encontrase essencial na eletrônica permite que sistemas de comunicação digital transportem sinais analógicos como áudio e vídeo De um modo geral sinais analógicos são contínuos no tempo e cada instante de tempo é representado em um intervalo de dado intervalo Sinais digitais por sua vez existem apenas em momentos discretos no tempo e podem assumir somente um número finito de valores A conversão AD jamais é 100 precisa Contudo como a percepção humana não exige precisão infinita a conversão AD pode de modo efetivo capturar a informação necessária de uma fonte analógica para a transmissão do sinal digital A conversão AD se dá em dois passos um sinal em tempo contínuo é amostrado para produzir um sinal em tempo discreto cujas amplitudes contínuas são então quantizadas em níveis discretos de sinal Primeiro o espectro de um sinal é analisado na magnitudes relativas das diversas componentes de frequência O teorema da amostragem Capítulo 6 afirma que e a mais alta frequência no espectro do sinal de B em hertz o sinal pode ser reconstruído a partir das amostras discretas tomadas a uma taxa uniforme não menor que 2B amostras por segundo Isso significa que para preservar a informação de um sinal em tempo contínuo basta transmitir apenas suas amostras A incerteza out o erro causado pela quantização pode ser reduzido a qualquer valor desejado através do aumento de L Além disso o uso de repetidores regenerativos permite a transmissão de sinais ao longo de distâncias muito maiores do que seria possível com sinais analógicos Como veremos mais adiante no texto o preço de todos esses benefícios da comunicação digital é pago em termos de maiores complexidade de processamento e largura de banda de transmissão 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 No projeto de sistemas de comunicação são essenciais o entendimento e a análise de fatores importantes como características do sinal e do canal amplitude relativa do ruído número máximo de bits por segundo que pode ser transmitido por um canal e principalmente a qualidade do sinal A comunicação pode ser confidencial quanto desejamos Contudo a capacidade apenas ressalta essa possibilidade pois não específica como ser implementada É importante ressaltar que é impossível transmitir uma taxa segura e essa sem incorrem em erros A equação de Shannon deixa bem clara a limitação imposta à taxa de comunicação por B e pela SNR Se não houvesse ruído no canal o que correspondia a SNR a capacidade C seria o e a taxa de comunicação poderia ser arbitrariamente alta Poderíamos então transmitir qualquer quantidade de informação em um canal sem ruído Essa afirmação pode ser comprovada com facilidade A modulação também permite que múltiplos sinais sejam transmitidos ao mesmo tempo em uma mesma geográfica sem interferência mútua direta Um exemplo simples disso são as diversas estações de televisão transmitindo por um mesmo cabo ou pelo ar até os receptores de TVs nas casas das pessoas Sem modulação múltiplos sinais de vídeo interfeririam uns com os outros pois todos os sinais de vídeo em banda base têm a mesma largura de banda Portanto sem modulação a TV a cabo ou pelo ar seria limitada a uma estação em uma dada região ou o que seria um protocolo com grandes perdas pois a largura de banda do canal é muitas vezes maior do que o sinal A relação sinalruído SNR e a largura de banda são fatores que determinam o desempenho de uma dada comunicação Diferentemente do que se passa em sistemas de comunicação analógica sistemas digitais em geral adotam medidas agressivas para reduzir a taxa de dados de fonte e combater o ruído do canal Em particular a codificação da fonte é aplicada para gerar o menor número possível de bits para uma mensagem sem sacrificar a precisão da detecção O combate aos erros advindos de ruído e interferências por sua vez reabre a introdução sistemática de redundância A codificação para correção de erros desempenha um papel importante nas comunicações Enquanto a codificação de fonte remove redundâncias os códigos corretivos de erros adicionam redundância A introdução sistemática de redundância viabiliza a comunicação confiável Devido à redundância se erros atingem bits formam corrompidos por ruído ou interferências outros bits e elesrelacionados podem ajudar dar a recuperarlos permitindo que a mensagem seja decodificada com precisão apesar dos erros no sinal recebido Todas as linguagens são redundantes Por exemplo o inglês tem uma redundância de cerca de 50 isto é em média podemos descartar metade das letras ou palavras do inglês sem que o significado de uma dada mensagem seja perdido Isso também significa que em qualquer mensagem em inglês o orador ou escritor tem livre escolha de metade das letras ou palavras em média A outra metade é determinada pela estrutura estatística do idioma Se todas as redundâncias do inglês forem removidas a transmissão de um telegrama ou uma conversa telefónica poderá ser feita em cerca da metade do tempo Contudo caso ocorra um erro no receptor será muito difícil entender o significado da mensagem recebida A redundância em uma mensagem desempenha portanto um papel vital em canal Pode parecer paradoxal que na codificação de fonte removamos redundância e na subsequente codificação para correção de erros adicionemos mais redundância Para explicar por que isso faz sentido consideramos a remoção total das redundâncias do inglês através da codificação de fonte Isso encurtaria a mensagem em 50 para economizar largura de banda Entretanto para correção de erros podemos recuperar alguma redundância sistemática porém essa redundância bem projetada tem apenas a metade do comprimento da que foi removida pela codificação de fonte mas provê a mesma proteção contra erros Portanto fica claro que uma boa combinação de codificação de fonte e codificação para correção de erros pode remover redundância ineficiente sem sacrificar a correção de erros Na verdade um problema muito comum nesse campo é a eterna busca da codificação conjunta fontecanal que permita máxima remoção da redundância sem afetar a correção de erros Para comprovamos como redundância viabiliza a correção de erros consideremos um exemplo para a transmissão de amostras com L 16 níveis de quantização podemos utilizar um grupo de dois pulsos binários como mostrado na Fig 15 Nesse esquema de codificação não há redundância Caso ocorra um erro na recepção de até mesmo apenas um pulso o receptor produzirá um valor errado Aqui podemos usar redundância para eliminar o efeito de possíveis erros causados por ruído ou imperfeições do canal Por exemplo se adicionarmos e cada palavra de código um pulso com polaridade tal que o número de pulsos positivos seja par teremos um código capaz de detectar um erro em qualquer posição Assim a palavra de código 9001 adicionamos um quinto pulso deveria ser par e obtemos a nova palavra de código 0001 Assim o número de pulsos positivos é 2 par Se ocorrer um erro em alguma posição essa paridade será violada O receptor saberá que ocorreu um erro e poderá solicitar retransmissão da mensagem Esse é um esquema de codificação muito simples e pode detectar apenas a ocorrência de um erro não é capaz de localizar ou corrigir o erro Além disso esse esquema também não é capaz de detectar um número par de erros A introdução de mais redundância permite não apenas detectar erros mas também corrigilos Por exemplo para L 16 pode ser mostrado que a adição adequada de três pulsos permite a detecção e a correção de um erro que ocorra em qualquer localização Códigos corretivos de erros serão discutidos em detalhes no Capítulo 14 16 BREVE REVISÃO HISTÓRICA DE TELECOMUNICAÇÕES MODERNAS As telecomunicações literalmente comunicações à distância sempre foram fundamentais para a sociedade humana Mesmo na antiguidade governos e unidades militares dependiam fortemente das telecomunicações para reunir informações e emitir ordens O primeiro tipo de telecomunicação se valia de mensageiros a pé ou a cavalo mas a necessidade de transportar uma mensagem curta por uma longa distância como avisar uma cidade da aproximação de invasores levou ao emprego de sinais de fogo ou fumaça O primeiro uso registrado dessa técnica se deu na Grécia antiga Espelhos de sina lização também eram mencionados no relato por Marco Polo de sua viagem ao Extremo Oriente Essas antigas tecnologias de comunicação visual são digitais o que não deixa de ser surpreendente Por isso era difícil detalhar todos os eventos históricos que marcaram o desenvolvimento recente das telecomunicações usaremos a Tabela 11 para resumir alguns dos mais notáveis eventos na evolução dos sistemas de telecomunicações Como nosso foco é a telecomunicação elétrica não começaremos a igualmente longa história das comunicações por fibras ópticas Importantes Eventos dos Dois Últimos Séculos das Telecomunicações TELGRAFIA A G BELL Patente emitida em 7 de março de 1876 A primeira missão da NASA oficialmente equipada com códigos corretos de erros que permitiram a transmissão confiável de fotografias de Marte 2 SINAIS E ESPAÇO DE SINAIS Neste capítulo discutiremos certos conceitos básicos relativos a sinais que são processados por sistemas Iniciaremos com uma explicação dos termos sinal e sistema 20 Capítulo 2 Exemplo de sinais a Sinal com energia finita b Sinal com potência finita Essa definição pode ser generalizada para um sinal gt de valores complexos como Eg gt2 dt Exemplo 21 Determinemos medidas razoáveis dos sinais na Fig 22 O sinal na Fig 22a tende a 0 à medida que t Portanto uma medida razoável para este sinal é energia Eg dada por Eg g2t dt 01 22 dt 0 4et dt 4 4 8 22 Capítulo 2 Figura 23 a Sinal em tempo contínuo b Sinal em tempo discreto Crescimento percentual do PIB trimestral dos Estados Unidos ao longo dos anos 222 Sinais Analógicos e Sinais Digitais Não devemos confundir sinais analógicos com sinais em tempo contínuo Os dois conceitos não são iguais Isso também se aplica aos conceitos de sinais digitais e sinais em tempo discreto Um sinal cuja amplitude pode assumir apenas valores em um intervalo contínuo de tempo é um sinal analógico o que significa que a amplitude de um sinal analógico pode assumir um número infinito incontável de valores Um sinal digital por sua vez é aquele cuja amplitude pode assumir somente um número finito de valores Sinais associados com um computador digital são digitais porque assumem apenas dois valores sinais binários Para que um sinal se qualifique como digital o número de valores não precisa ser limitado a dois pode ser um número finito qualquer Um sinal digital cuja amplitude pode assumir M valores é um sinal Mário do qual o binário M 2 é um caso especial Os termos tempo contínuo e tempo discreto descrevem a natureza do sinal ao longo do tempo eixo vertical A Fig 24 mostra exemplos de sinais de vários tipos Fica claro que analógico não é necessariamente em tempo contínuo assim como digital não é sempre discreto Um sinal analógico pode ser convertido em um sinal digital via conversão analógicadigital AD por meio de quantização arredondamento como explicado no Capítulo 6 23 Sinais e Espaço de Sinais 223 Sinais Periódicos e Sinais Aperiódicos Um sinal gt é dito periódico se existir uma constante positiva T0 tal que gt gtT0 para todo t 25 O menor valor de T0 que satisfaz a condição de periodicidade da Eq 25 é o período de gt O sinal na Fig 22b é um sinal periódico com período 2 Naturalmente um sinal é aperiódico se não for periódico O sinal na Fig 22a é aperiódico Por definição um sinal periódico gt não se altera quando sofre deslocamento ou translação temporai igual a um período Isso significa que um sinal periódico deve ter início em t pois se tiver início em algum instante de tempo finito digamos t 0 o sinal deslocado gt T0 teria início em t T0 e portanto gt T0 não seria o mesmo que gt Em consequência um sinal periódico por definição deve ter início em t o continuar indefinidamente como ilustrado na Fig 25 Vale observar que um sinal periódico não se altera quando é deslocado no tempo por um múltiplo de T0 Dessa forma gt pode ser considerado um sinal periódico com período mT0 sendo m um inteiro qualquer No entanto pela definição o período é o menor intervalo que satisfaz a condição de periodicidade da Eq 25 Ou seja o período é T0 24 Capítulo 2 224 Sinais de Energia e Sinais de Potência Um sinal com energia finita é um sinal de energia um sinal com potência finita é um sinal de potência Em outras palavras um sinal gt é um sinal de energia se De modo similar um sinal com potência valor quadrático médio finito e não nulo g0 é um sinal de potência Em outras palavras um sinal g de potência se Os sinais nas Figs 22a e 22b são exemplos de sinais de energia e de potência respectivamente Observemos que potência é o valor temporal de energia Como o valor é tomado em um intervalo de tempo infinitamente longo um sinal com energia finita tem potência nula e um sinal com potência finita tem energia infinita Portanto um sinal não pode ao mesmo tempo ser de energia e de potência Se um não poderá ser o outro Contudo alguns sinais com potência infinita não são nem de energia nem de potência O sinal rampa é um exemplo 225 Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios Um sinal cuja descrição física seja completamente conhecida de forma matemática ou gráfica é um sinal determinístico Um sinal que seja conhecido apenas em termos de uma descrição probabilística como valor médio valor quadrático médio ou distribuições e na sua completa descrição matemática ou gráfica é um sinal aleatório A maioria dos sinais de ruído encontrados na prática é de sinais aleatórios Todos os sinais de mensagens são sinais aleatórios pois como mostraremos posteriormente para que um sinal transporte informação deve haver alguma incerteza aleatoriedade em relação ao mesmo O tratamento de sinais aleatórios será discutido em capítulos ulteriores 23 SINAL IMPULSO UNITÁRIO A função impulso unitário δt é uma das mais importantes funções no estudo de sinais e sistemas Suas definição e aplicação resultam em conveniências não permitidas em matemática pura A função impulso unitário δt foi definida por P A M Dirac por isso também é conhecida como função delta de Dirac como δt 0 t 0 28 δt dt 1 Sinais e Espaço de Sinais 25 Capítulo 2 Sinais e Espaço de Sinais 27 Cabe a seguinte pergunta qual é a melhor decomposição O conceito de ótimo depende de nosso objetivo ao decompor g em duas componentes Em cada uma das três representações anteriores g é dado em termos de x e de outro vetor denominado vetor de erro Se nosso objetivo for aproximar g por cx Fig 28 o erro nessa aproximação é o vetor diferença e g cx De modo similar os erros nas aproximações são e2 e e3 respectivamente A aproximação na Fig 28 é ótima pois seu vetor de erro é o menor menor magnitude ou norma Podemos agora definir matematicamente a componente c como um vetor x como cx onde c é escolhido para minimizar a magnitude do vetor de erro e g cx Do ponto de vista geométrico a magnitude da componente de g ao longo de x é gcos θ que também é igual a c Portanto c g cos θ Com base na definição do produto interno de dois vetores multiplicando os dois lados por x obtemos c² x² g x cos θ g x e c g x x x 1 x² g x De Fig 28 fica aparente que quando g e x são perpendiculares ou ortogonais g tem componente nula na direção de x neste caso c 0 Tendo em vista a Eq 219 podemos definir g como ortogonal a x ou seja se g x 0 em que gt e xt são funções de valores complexos de t Em geral tanto o coeficiente e como o sinal do erro Um resultado semelhante se aplica a sinais A energia da soma de dois sinais ortogonais é igual à soma das energias dos dois sinais Assim se os sinais xt e yt forem ortogonais em um intervalo t1 t2 e É conveniente que examinemos a aplicação de correlação à deteção de sinais em um equipamento de radar onde um pulso é transmitido para detectar um alvo suspeito A deteção da presença ou ausência 34 Capítulo 2 35 Sinais e Espaço de Sinais 36 Capítulo 2 A energia de uma componente cₘxt é cₘEₖ Igualando as energias nos dois lados da Eq 256 obtemos Eg c²₁E₁ c²₂E₂ c²₃ c²ₙEₙ 257 Esse importante resultado é conhecido como teorema de Parseval Recordemos que a energia de um sinal área sob a curva do quadrado do valor do sinal é análogo ao quadrado do comprimento de um vetor segundo a analogia vetorsinal Em um espaço vetorial sabemos que o quadrado do comprimento de um vetor é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de suas componentes ortogonais O teorema de Parseval Eq 2571 é a afirmação desse fato para o caso de sinais 27 SÉRIE DE FOURIER EXPONENCIAL Observamos anteriormente que a representação ortogonal de sinais NÃO é única Embora a tradicional série de Fourier trigonométrica permita uma boa representação de todos os sinais periódicos nesta seção apresentamos uma representação ortogonal de sinais periódicos equivalente mas que tem forma mais simples Primeiro observamos que o conjunto de exponenciais eⁿˣₜ n 0 1 2 é ortogonal em um intervalo de duração T₀ 2πω₀ ou seja ₀T₀ eⁱⁿⁿᴵᴷᵗ eⁱⁿᵀ₉ₜ dₜ 0 m n T₀ m n 258 Além disso esse conjunto é completo1² Das Eqs 253 e 256 um sinal gt pode ser expresso em um intervalo de duração T₀ segundos por uma série de Fourier exponencial gt Dₙ eⁱⁿˣᵗ 259 em que ver Eq 253 Dₙ 1T₀ ₀T₀ gteⁱⁿˣᵗ dₜ 260 A série de Fourier exponencial na Eq 259 consiste em componentes da forma eⁱⁿˣᵗ com n variando de a e é periódica com período T₀ Exemplo 23 Determinemos a série de Fourier exponencial para o sinal na Fig 213b Neste caso T₀ π 2πf₀ 2πT₀ 2 e ϕt Dₙ eⁱⁿˣᵗ em que Dₙ 1T₀ ₀T₀ ϕt eⁱⁿˣᵗ dₜ 1π ₀T₀ e²ᵗ₂ eⁱⁿˣᵗ dₜ 1π ₀T₀ e14 j n2ᵗ dₜ 1π 12 j n ₀ 0504 1 j 4n 05041 j4n 261 e ϕt 0504 11 j4neⁱⁿˣᵗ 262a 0504 1 11 j4 e²ᵗ₂ 11 j8 eⁱ₄ 11 j⁴ eⁱ²ᵗ₄ 262b Vale observar que os coeficientes Dₙ são complexos Além disso Dₙ e Dₙ são complexos conjugados como esperado Para a série no Exemplo 23 D₀ 0504 D₁ 05041 j4 D₁ 0122 D₁ 7596 D₁ 05041 j4 D₁ 0122 D₁ 7596 e D₂ 05041 j8 D₂ 00625 D₂ 8287 D₂ 05041 j8 D₂ 00625 D₂ 8287 e assim por diante Vale notar que Dₙ e Dₙ são complexos conjugados como esperado ver Eq 263b A Fig 214 mostra os espectros de frequência amplitude e fase da série de Fourier exponencial para o sinal periódico ϕt na Fig 213b Podemos observar algumas características interessantes nesses espectros Primeira o espectro existe para valores positivos e negativos de f frequência Segunda o espectro de amplitude é uma função par e o espectro de fase uma função ímpar de f As Eqs 263 mostram as características de simetria da amplitude e da fase de Dₙ O que Significa Frequência Negativa A existência do espectro em frequências negativas f é de alguma forma algo intrigante para algumas pessoas pois a frequência número de repetições por segundo f por definição é uma grandeza positiva Como devemos interpretar uma frequência negativa f₀ Para expressar uma senoide de uma frequência negativa f₀ podemos subtrair ω₀ 2πf₀ e usar uma identidade trigonométrica como cosω₀t θ cosω₀t θ Isso mostra claramente que a frequência angular de uma senoide cosωt θ é ja que é uma grandeza positiva A afirmação baseada no bom senso de que uma frequência deve ser positiva além da tena Na verdade o conceito de frequência associado a senóides de valores reais descreve somente a taxa de variação senoidal sem aterse ao sentido da variação Isso ocorre porque sinais senoidais de valores reais NÃO contêm informação a respeito do sentido de sua variação O conceito de frequência negativa faz sentido apenas quando consideramos senoides de valores complexos para as quais a taxa e o sentido da variação têm significado Devemos observar que ejωt cosωt jsenωt Exemplo 24 Determinemos a série de Fourier exponencial da onda quadrada periódica mostrada na Fig 216 wt n to Dn ej2πnf0t onde D0 1T0 from T02 to T02 wt dt 12 Dn 1T0 from T02 to T02 wtej2πnf0t dt n 0 1T0 from T02 to T02 ej2πnf0t dt 1j2πn f0 ej2πn f0 T04 ej2πn f0 T04 22πn f0 sennπxT0 1πx sennπx2 Exemplo 25 Determinemos a série de Fourier exponencial para o trem de pulsos δT0t mostrado na Fig 218 e traçamos o gráfico dos correspondentes espectros A série de Fourier exponencial é dada por δT0t n to Dn ej2πnf0t 1T0 com Dn 1T0 from T0 to T0 δT0tej2πnf0t dt Escolhendo o intervalo de integração T02 T02 e observando que neste intervalo δT0t δt obtemos Dn 1T0 from T02 to T02 δtej2πnf0t dt Nesse integral o impulso está localizado em t 0 Da propriedade de amostragem da função impulso a integral no lado direito é o valor de ej2πn f0t em t 0 localização do impulso Logo Dn 1T0 Teorema de Parseval na Série de Fourier Um sinal periódcio gt é um sinal de potência e cada termo em sua série de Fourier também é um sinal de potência A potência Pg de gt é igual à potência de sua série de Fourier Como a série de Fourier consiste em termos que são mutuamente ortogonais em um período a potência da série de Fourier é igual à soma das potências das componentes de Fourier Esse resultado advém do teorema de Parseval Portanto para a série de Fourier exponencial gt D0 n n0 Dnejωnt a potência é dada por veja o Exercício 217 Pg n Dn2 Para um sinal gt de valores reais Dn Dn Logo Pg D02 2n1 Dn2 Comentário O teorema de Parseval admite diferentes formas como as das Eq 257 e Eq 268a No próximo capítulo apresentaremos mais uma forma para o caso de sinais periódicos Embora essas várias representações do teorema pareçam distintas todas afirmam o mesmo princípio o quadrado do comprimento de um vetor gt é igual a soma dos quadrados dos comprimentos de suas componentes ortogonais A primeira forma Eq 257 se aplica a sinais de energia a segunda Eq 268a a sinais periódicos representados pela série de Fourier exponencial ustepm implementa a função degrau unitário ut rectm implementa a função retangular padrão rectt trianglm implementa a função triangular padrão Δt nome do arquivo ustepm A função degrau unitário é uma função do tempo t Uso y ustept ustept 0 se t 0 ustept 1 se t 1 t deve ser uma variável real podendo ser um vetor ou uma matriz function yustept y t0 end nome do arquivo rectm A função rectangular é uma função do tempo t Uso y rectt t deve ser uma variável real podendo ser um vetor ou uma matriz rectt 1 se t 05 rectt 0 se t 05 function yrectt ysignt05signt050 end nome do arquivo trianglm A função triangular é uma função do tempo t trianglt 1t se t 1 trianglt 0 se t 1 Uso y trianglt t deve ser uma variável real podendo ser um vetor ou uma matriz function ytrianglt y 1abstt1t1 end Figura 219 Gráfico de um sinal A seguir mostramos um exemplo de como usar o MATLAB para gerar o gráfico de um sinal Para isso fornecemos o arquivo siggrafm Neste exemplo construímos o sinal yt exptsen6πtut 1 e traçamos o gráfico de sua variação com o tempo A Fig 219 mostra a curva resultante nome do arquivo siggrafm Para traçar o gráfico de um sinal o primeiro passo é especificar os eixos x e y Podemos primeiro especificar o comprimento do eixo x t200013 w varia de 2 a 3 em incrementos de 001 a seguir calculamos valores do sinal no intervalo de t especificado para o gráfico yexptsin10πtustept1 figure1 fig1plotty gráfico de t versus y na figura 1 setfig1LineWidth2 escolhemos uma linha mais larga xlabelt s usamos t itálico para o título do eixo x ylabelybf yit t usamos y em negrito para o título do eixo y titleybf yitrm no domínio do tempo podemos usar subscritos O programa gera um sinal periódico como mostrado na Fig 220 e produz as respostas numéricas