Campo Elétrico: Conceitos, Cálculo e Aplicações - Guia Completo

Por DECIO T SANTANA 2 CAMPO ELÉTRICO 2 CAMPO ÉLETRICO 21 Campo Elétrico de uma carga puntiforme 22 Linhas de Força do Campo Elétrico 23 Distribuições de Cargas discretas e contínuas 24 Cálculo de Campos Elétricos Campo Elétrico de um disco carregado Campo Elétrico de um anel carregado Campo Elétrico de uma linha de carga Campo Elétrico de uma casca esférica carregada 2 2 1 0 4 1 r q q Fe Matematicamente expressamos LEI DE COULOMB 1784 O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas 2 2 12 0 2 2 9 0 85410 8 8 98810 4 1 m N C C N m k eF Fe 2q 1q EXEMPLO Duas cargas puntiformes q e q estão situadas no vácuo separadas por uma distância 2d Com que força atuam sobre uma terceira carga q situada sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas a uma distância D do ponto médio deste segmento D F 1F r cos 2 1F F F2 d d q q q A força resultante F tem magnitude Usando a Lei de Coulomb obtemos 𝐹 2 1 4𝜋𝜀 𝑞𝑞 𝑟2 cos 𝜃 2 1 4𝜋𝜀 𝑞𝑞 𝑟3 𝑑 1 2𝜋𝜀 𝑞𝑞𝑑 𝑑2𝐷2 3 2 𝑭 𝑭𝟏 𝑭𝟐 2 CAMPO ELÉTRICO eF e F Sejam dois corpos A e B carregados A e B exercem forças elétricas entre si A B A P Remova o corpo B e marque a posição em que estava como P O corpo A forma um campo elétrico E no ponto P A P 0q F E e 0q O que é o campo elétrico Existe um campo elétrico num ponto P do espaço quando uma carga q0 colocada nesse ponto reagir como se estivesse sob a ação de uma força de origem elétrica Assim O vetor campo elétrico E nesse ponto tem intensidade direção e sentido dados por 0q F E e Onde q0 é por definição uma carga positiva Observações importantes 1 O campo é uma grandeza vetorial que depende do ponto no espaço onde se encontra 2 uma distribuição de cargas cria um campo elétrico nos pontos do espaço em torno dela e este campo elétrico é responsável pelo aparecimento da força elétrica sobre a carga q0 de prova colocada nesses pontos 21 Campo Elétrico de uma carga puntiforme r r q q F E e ˆ 4 1 2 0 0 A P r r q q Fe ˆ 4 1 2 0 0 r 3 2 Linhas de Força do Campo Elétrico O conceito de linhas de força foi introduzido por M Faraday como uma maneira de visualizar o campo elétrico Veja Uma carga puntual positiva Q que cria um campo radial no espaço à sua volta Duas cargas pontuais positiva e negativa Q criam no espaço à sua volta 2 3 DISTRIBUIÇÕES DE CARGAS DISTRIBUIÇÃO DISCRETA EXEMPLO 1 A figura mostra três partículas de cargas q1 2Q q2 2Q e q3 4Q todas situadas a uma distância d da origem Determine o campo elétrico total 𝐸 produzido na origem pelas três partículas 𝐸1 1 4𝜋𝜀0 𝑞1 𝑑2 1 4𝜋𝜀0 2𝑄 𝑑2 𝐸2 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑑2 1 4𝜋𝜀0 2𝑄 𝑑2 𝐸1 𝐸3 1 4𝜋𝜀0 𝑞3 𝑑2 1 4𝜋𝜀0 4𝑄 𝑑2 2𝐸1 𝑬 𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝑬𝟑 E₁ E₂ 1 4πε₀ 2Q d² 1 4πε₀ 2Q d² 1 4πε₀ 4Q d² DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA ou dq ρ dV dE k dq r² r Ferramentas matemáticas importantes para distribuições continuas Densidade linear de cargas 𝜆 𝑑𝑞 𝑑𝑟 𝝀 𝒅𝒒 𝒅𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝒙 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 𝜎 𝑑𝑞 𝑑𝐴 Densidade superficial de cargas Densidade volumétrica de cargas 𝜌 𝑑𝑞 𝑑𝑉 Campo Elétrico de um anel carregado r r dq dE ˆ 4 1 2 0 k R z qz ER 2 32 2 0 4 1 dq R z z k dE ER 2 32 2 0 4 1 cos 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒛 𝒓 𝒛 𝒛𝟐 𝑹𝟐 𝟏 𝟐 24 Cálculos de Campos Elétricos dq R z z k dE ER 2 32 2 0 4 1 cos 𝑑𝑞 𝑟2 cos 𝜃 𝑑𝑞 𝑟2 𝑧 𝑟 𝑧𝑑𝑞 𝑟3 𝑧𝑑𝑞 𝑧2 𝑅2 1 2 3 163 Anel de carga Considere um anel carregado conforme a Fig 15 A carga dq contida em um elemento de comprimento infinitesimal ds é dada por dq λ ds Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual e gera um campo infinitesimal dE dE dq 4πε₀ r² λ ds 4πε₀ r² O campo elétrico total é dado somando integrando a contribuição de todos os elementos infinitesimais Por simetria o campo deve apontar na direção z pois contribuições na direção radial se cancelam em pares simetricamente opostos Temos então E ₐₙₑₗ dE cos θ ₐₙₑₗ λ ds 4πε₀ r² z r λ 4πε₀ r² z r ₀²πR ds z λ2πR 4πε₀ r³ Finalmente usando q λ 2πR e r z² R² temos E qz 4πε₀ z² R²³² 19 Uma outra forma de escrever esse resultado é E q 4πε₀ r² z r q 4πε₀ r² cos θ 110 que será útil quando considerarmos uma casca esférica Note que quando R 0 ou z temos E qz 4πε₀ z³ q 4πε₀ z² como esperado para uma carga pontual Campo Elétrico de um disco carregado k R z z E 12 2 2 0 1 2 Portanto o campo total é dado por E dE zdq 4πε₀z²r²³² zσ2πrdr 4πε₀z²r²³² zσ 4ε₀ 2r dr z²r²³² Fazendo a substituição u z²r² du 2r dr temos E zσ 4ε₀ 2r dr z² r²³² zσ 4ε₀ z²z²R² du u³² zσ 4ε₀ 2 u¹² from z² to z²R² zσ 4ε₀ 2 z²r² from 0 to R zσ 4ε₀ 2 z 2 z² R² ou seja E σ 2ε₀ 1 z z² R² 111 Figura 16 Disco carregado Halliday E σ 2ε₀ 1 z z² R² 111 Note que quando R temos que o campo de uma placa infinita é constante E σ 2ε₀ Por outro lado para R 0 ou z podemos fazer uma expansão binomial obtendo z z² R² 1 1 R z² 1 R² 2z² Neste caso como a carga total do disco q σπR² temos E σ 2ε₀ R² 2z² σπR² 4πε₀z² q 4πε₀z² Ou seja como esperado nesse limite o disco parece uma carga pontual Campo Elétrico de uma linha de carga 165 Linha de carga Considere agora o campo em um ponto x devido a uma linha de carga Q comprimento 2a e densidade linear de carga constante λ dQ dy Q 2a como mostrado na Fig 17 Por simetria temos que Ey 0 pois elementos opostos se cancelam Mas vamos mostrar que isso resulta matematicamente também A magnitude da contribuição diferencial dE devido ao elemento dQ é dE dQ 4πε₀r² λdy 4πε₀x² y² temos dEx dE cos α λdy 4πε₀x² y² x r λx 4πε₀x² y²³² dy dEy dE sin α λdy 4πε₀x² y² y r λ 4πε₀x² y²³² ydy A integral em dEy é idêntica ao do problema de um disco carregado Obtemos Ey dEy λ 4πε₀ from a to a ydy x² y²³² λ 4πε₀ 1 x² y² from a to a 0 114 como esperado Para Ex obtemos Ex dEx λx 4πε₀ from a to a dy x² y²³² Ex dEx λx 4πε0 from a to a dy x² y²32 calcular a integral dy x² y²32 1x³ dy 1 yx²32 Fazendo yx tan α temos dy x dtan α dα dα x1 tan² αdα x dα cos² α e portanto dy x² y²32 1x³ x dα cos² α cos² α32 1x² du cos α sin α x² Imaginando um triângulo retângulo de catetos y e x e hipotenusa x² y² como tan α yx segue que sin α y x² y² Portanto dy x² y²32 y x² x² y² e temos finalmente Ex λx 4πε0 from a to a dy x² y²32 λx 4πε0 y x² x² y² from a to a λx 4πε0 2a x² x² a² λ2a 4πε0 1 x² 1 ax² Novamente no limite em que x ou a 0 usando Q λ2a a linha parece uma carga pontual Ex Q 4πε0 x² Ex Q 4πε0 x² Por outro lado para a temos uma linha infinita de carga e o campo é dado por Ex λ2a 4πε0 1 x² ax λ 2πε0 x Campo Elétrico de uma casca esférica carregada Rsinθ dEcos Ф O elemento de carga dq é dado por dq σ2πR sin θRdθ e portanto Er dq 4πε₀ s² cos φ σ2πR² 4πε₀ sin θ cos φ s² dθ Como s e φ são funções de θ é conveniente fazer a integração em s Usando a lei dos cossenos para φ e θ temos s² r² R² 2rR cos θ R² r² s² 2rs cos φ Destas relações temos 2s ds 2rR sin θ dθ sin θ dθ s ds rR cos φ r² s² R² 2rs É o mesmo de uma carga pontual com carga q localizada no centro da casca esférica DENTRO DA CASCA ESFÉRICA limites de integração são s R r e s R r o que resulta Er σπR 4πε₀ r² s r² R² sRrRr σπR 4πε₀ r² R r R r r² R² 1 R r 1 R r σπR 4πε₀ r² 2r R² r² R r R r R rR r σπR 4πε₀ r² 2r 2r 0 ie o campo é nulo dentro da casca esférica Esses resultados na casca esférica foram mostrados por Newton na teoria da gravitação que também decae com o quadrado da di