Atividade de Livro de Matemática em Anexo

Volume único Módulo 1 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Volume único 3ª edição Geometria Analítica I Jorge J Delgado Gómez IMUFF Kátia Rosenvald Frensel IMUFF Nedir do Espírito Santo IMUFRJ Volume único Módulo 1 3ª edição Geometria Analítica I Apoio Material Didático Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte de acordo com as normas da ABNT Copyright 2007 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Fundação D352g Delgado Gómez Jorge J Geometria analítica I vúnico Jorge J Delgado Gómez 3ed Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2009 283p 21 x 297 cm ISBN 9788576483731 1 Vetores 2 Cônicas 3 Seções cônicas I Frensel Katia Rosenvald II Santo Nedir do Espírito III Título CDD 5163 20092 ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cristine Costa Barreto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Ana Tereza de Andrade Gláucia Guarany Marcia Pinheiro COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Débora Barreiros EDITORA Tereza Queiroz REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe CEDERJ COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Jorge Moura PROGRAMAÇÃO VISUAL Marcelo Freitas ILUSTRAÇÃO Equipe CEDERJ CAPA Eduardo de Oliveira Bordoni Fábio Muniz de Moura PRODUÇÃO GRÁFICA Fábio Rapello Alencar Departamento de Produção Fundação Cecierj Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói 1364 Mangueira Rio de Janeiro RJ CEP 20943001 Tel 21 23341569 Fax 21 25680725 Presidente Masako Oya Masuda Vicepresidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF Regina Moreth UNIRIO Luiz Pedro San Gil Jutuca Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Governador Alexandre Cardoso Sérgio Cabral Filho UENF UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor Almy Junior Cordeiro de Carvalho UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Vieiralves UNIRIO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora Malvina Tania Tuttman UFRRJ UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Motta Miranda UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Aloísio Teixeira UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor Roberto de Souza Salles UENF Universidade Estadual do Norte Fluminense Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro GOVERNO DO Rio de Janeiro SECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE TÉCNICA FEDERAL do Rio de Janeiro UNIRIO Ministério da Educação BRASIL UM PAÍS DE TODOS GOVERNO FEDERAL Fundação CECIERJ Consórcio Cederj Geometria Analítica I SUMÁRIO Volume único Módulo 1 Geometria Analítica Plana 7 Aula 1 Vetores no Plano Segmentos Orientados 9 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 2 Vetores no Plano Operações 19 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 3 A Reta e a Dependência Linear 33 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 4 Produto Interno 49 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 5 Produto interno Aplicações 69 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 6 Produto interno Aplicações continuação 79 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 7 Simetrias e simetrias das cônicas 97 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 8 Cônicas Translação de sistemas de coordenadas 111 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 9 Cônicas Rotação de sistemas de coordenadas 123 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 10 Regiões e inequações no plano 143 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 11 Coordenadas polares 161 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 12 Equações paramétricas das cônicas 181 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 13 Apêndice Parametrizações de curvas planas 191 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 14 Círculo 207 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 15 Parábola 217 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 16 Parábola continuação 225 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 17 Parábola aplicações 233 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 18 Elipse 243 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 19 Elipse continuação 253 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 20 Hipérbole 263 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Aula 21 Hipérbole continuação 273 Jorge J Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo Modulo 1 Geometria Analıtica Plana Geometria una et aeterna est in mente Dei refulgens A Geometria e unica e eterna brilhando na mente de Deus Conversation with the Sidereal Messenger carta aberta a Galileo Galilei Johannes Kepler Prerequisitos PreCalculo Geometria Basica Bibliografia 1 Lehman C Geometria Analıtica Editora Globo 2 Lima E Coordenadas no Plano SBM Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano 1781 1848 Praga Austria Hoje Republica Tcheca Filosofo matematico e teologo fez contribuicoes significativas a Matematica A sua teoria sobre o infinito matematico antecipouse a Teoria de Conjuntos Infinitos de George Cantor httpwwwgroupsdcs standacukhistory MathematiciansBolzano html A geometria cartesiana descoberta por Pierre de Fermat e Rene Descar tes por volta de 1636 foi de grande importˆancia na Matematica permitindo estudar problemas da Geometria Classica por meio de metodos algebricos e reciprocamente interpretar e resolver geometricamente problemas algebricos No entanto em meados do seculo XIX comecou a busca por um metodo mais simples que permitisse obter informacoes geometricas a partir de equacoes algebricas e obter as equacoes algebricas de conceitos geometricos de uma forma mais direta Para isso foi fundamental o desenvolvimento da nocao de vetor Segundo os historiadores os vetores surgiram informalmente no inıcio do seculo XIX nas publicacoes de Bernard Bolzano Em 1804 Bolzano publi cou o livro Betrachtungen uber einige Gegenstande der Elementargoemetrie Reflexoes sobre algumas ideias relativas a Geometria Elementar Nesse livro ele considera pontos retas e planos como sendo nocoes primitivas e define operacoes entre eles Este foi um grande progresso no sentido de abs trair as propriedades inerentes as nocoes primitivas que originaram a nocao de vetor Neste Modulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano e do espaco 7 CEDERJ ISBN 9788576483731 9 7 8 8 5 7 6 4 8 3 7 3 1 Vetores no Plano Segmentos Orientados M ODULO 1 AULA 1 Aula 1 Vetores no Plano Segmentos Orientados Objetivos Definir os conceitos de orientacao direcao e modulo de um segmento Analisar a nocao de equipolˆencia entre segmentos orientados Apresentar a nocao de vetor no plano Para saber mais Sobre a nocao de vetor e as suas implicacoes no desenvolvimento da Matematica consulte httpwwwgroupsdcs standacukhistory HistTopicsAbstract linearspaceshtml Giusto Bellavitis 1803 1880 Italia Matematico autodidata Refinou o calculo baricˆentrico de Mobius e sua teoria de vetores foi muito importante no desenvolvimento da Geometria httpwwwgroupsdcs standacukhistory Mathematicians Bellavitishtml Em 1832 Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde apareceu explicitamente a nocao de vetor Dados dois pontos A e B do plano Bellavitis considerou os segmentos AB e BA de extremidades A e B como objetos distintos Ele adotou esta convencao porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B pode ser percorrido de duas maneiras distintas partindo de A para chegar ate B ou partindo de B para chegar ate A Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma relacao que chamou equipolˆencia Essa relacao deu origem a nocao de vetor Nesta aula caracterizaremos a nocao de equipolˆencia Segmentos orientados Daqui em diante todos os elementos considerados pontos retas etc pertencem a um plano fixo Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para B No segmento AB o ponto A e chamado origem e o ponto B extremidade Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de pontos do plano os pontos da reta que passa por A e B que estao entre A e B incluindo A e B a sua orientacao isto e o sentido de percurso e contraria ou oposta Veja as figuras abaixo Figura 11 Segmento de extremida des A e B Figura 12 Percurso de A ate B segmento AB Figura 13 Percurso de B ate A segmento BA 9 CEDERJ Vetores no Plano Segmentos Orientados Pense por exemplo que vocˆe possa ir de Petropolis a Campos por uma estrada retilınea Entao vocˆe pode ir tambem de Campos a Petropolis seguindo a mesma estrada mas em sentido contrario Devemos fixar e distinguir bem dois conceitos importantes a direcao e o sentido ou orientacao de um segmento A direcao de um segmento e dada pela reta que o contem dois segmentos tˆem a mesma direcao quando as retas que os contˆem sao paralelas ou coincidentes Figura 14 Segmentos com mesma direcao Na Figura 14 os seg mentos AB e CD tˆem a mesma direcao pois as retas que os contˆem sao paralelas Os segmentos AB e EF tˆem a mesma direcao porque as retas que os contˆem sao coincidentes isto e os pontos A B E e F sao colineares Retas e segmentos paralelos Duas retas no plano sao paralelas quando nao tˆem pontos em comum e dois segmentos sao paralelos quando as retas que os contˆem sao paralelas Pontos colineares Lembre que trˆes ou mais pontos sao chamados colineares quando pertencem a uma mesma reta caso contrario os pontos sao chamados naocolineares Observe tambem que dois pontos sao sempre colineares pois estao contidos em uma unica reta Consideremos dois segmentos orientados AB e CD com a mesma direcao Vejamos o que significa os segmentos terem o mesmo sentido Analisemos separadamente os seguintes dois casos Caso a Os segmentos orientados AB e CD estao em retas paralelas NOTA IMPORTANTE No plano uma reta r determina dois semiplanos cuja intersecao e r Isto e convencionamos que a reta r esta contida em ambos os semiplanos por ela determinados Neste caso dizemos que os segmentos tˆem o mesmo sentido se os pontos B e D estao no mesmo semiplano determinado pela reta que passa por A e C Caso contrario dizemos que eles tˆem sentidos opostos Na Figura 15 os segmentos orientados AB e CD tˆem o mesmo sen tido enquanto que na Figura 16 os segmentos EF e GH tˆem sentidos opostos Figura 15 Segmentos orientados de igual sentido Figura 16 Segmentos orientados de sentidos opostos Caso b Os segmentos orientados AB e CD estao na mesma reta ℓ Sejam r e s as retas perpendiculares a ℓ que passam por A e C res pectivamente veja as Figuras 17 e 18 Cada uma das retas r e s divide o plano em dois semiplanos Seja PB o semiplano determinado pela reta r CEDERJ 10 Vetores no Plano Segmentos Orientados M ODULO 1 AULA 1 que contem o ponto B e seja PD o semiplano determinado pela reta s que contem o ponto D Figura 17 Segmentos orientados de igual sentido Figura 18 Segmentos orientados de sentidos opostos Com essa construcao se PB PD ou PD PB dizemos que AB e CD tˆem o mesmo sentido Se PB PD e PD PB dizemos que AB e CD tˆem sentidos opostos Observacao Se AB e CD tˆem sentidos opostos e A C entao PB PD e a regiao do plano limitada pelas retas r e s No entanto se A C PB PD r s Lembre que Com respeito a um sistema de coordenadas cartesianas escolhido no plano a distˆancia de um ponto A de coordenadas x0 y0 a um ponto B de coordenadas x1 y1 e AB dA B q x1x02y1y02 Daqui em diante fixamos uma unidade de medida para determinar o comprimento dos segmentos orientados no plano Figura 19 Segmentos equipolentes entre si Vocˆe sabe que o comprimento de um segmento de reta AB e a distˆancia do ponto A ao ponto B Esta medida designada por AB ou por dA B e o modulo do segmento AB Note que AB BA Bellavitis classificou os segmentos orientados pela seguinte relacao Definicao 11 Segmentos equipolentes Dois segmentos orientados sao equipolentes quando tˆem a mesma direcao o mesmo sentido e o mesmo modulo veja a Figura 19 Se os segmentos orientados AB e CD sao equipolentes escrevemos AB CD Caso contrario escrevemos AB CD Vejamos um criterio importante para determinar quando dois segmen tos orientados sao equipolentes Proposicao 11 Sejam A B C e D pontos do plano colineares ou nao Entao AB CD se e somente se AD e BC possuem o mesmo ponto medio Demonstracao Consideramos separadamente os casos possıveis 11 CEDERJ Vetores no Plano Segmentos Orientados a Os pontos A B C e D nao sao colineares e trˆes dentre esses pontos tambem nao sao colineares Neste caso os pontos sao vertices de um quadrilatero que tem seus lados contidos em retas que nao sao coincidentes Figura 110 Paralelogramo ABDC Figura 111 ABDC nao e um paralelo gramo Ponto Medio Se A e B sao pontos do plano que num sistema de coordenadas cartesianas sao representados pelos pares ordenados A x1 y1 e B x2 y2 entao o ponto medio do segmento AB e M x1 x2 2 y1 y2 2 Paralelogramo Um paralelogramo e um quadrilatero de lados opostos paralelos Um quadrilatero ABDC e um paralelogramo se e somente se as diagonais AD e BC se intersectam ao meio E importante observar a ordem em que sao nomeados os vertices o quadrilatero ABDC nao e o mesmo que o quadrilatero ABCD No primeiro os lados sao os segmentos AB BD DC e CA enquanto que no segundo os lados sao AB BC CD e DA No paralelogramo ABDC da Figura 110 as diagonais se intersectam no ponto M Logo MA MD e MB MC O quadrilatero ABDC da Figura 112 nao e um paralelogramo As diagonais nao se intersectam mutuamente ao medio Figura 112 Qua drilatero ABDC Se AB CD entao os segmentos estao contidos em retas paralelas e como tˆem o mesmo modulo e o mesmo sentido o quadrilatero ABDC e um paralelogramo e as suas diagonais AD e BC cortamse mutuamente ao meio Compare as Figuras 110 e 111 para se convencer de que a orientacao dos seg mentos e importante Na Figura 111 AB e CD tˆem orientacoes contrarias e portanto nao podem ser equipolentes Reciprocamente se AD e BC tˆem o mesmo ponto medio entao ABDC e um paralelogramo Logo AB e CD tˆem o mesmo sentido o mesmo modulo e a mesma direcao Portanto AB CD b A B C e D estao contidos numa reta ℓ Figura 113 Consideremos um sistema de coordenadas na reta ℓ Sejam a b c e d as coordenadas dos pontos A B C e D respectivamente Entao AB b a e CD d c Se AB CD entao AB CD e portanto b a d c Como AB e CD tˆem o mesmo sentido ba e d c sao numeros reais com o mesmo sinal ambos positivos ou ambos negativos Figura 113 AB e CD sao equipolentes CEDERJ 12 Vetores no Plano Segmentos Orientados M ODULO 1 AULA 1 Logo ba dc e portanto bc ad Dividindo esta igualdade por 2 concluımos que a d 2 b c 2 Assim o ponto medio de AD e igual ao ponto medio de BC Reciprocamente se A B C e D sao colineares e o ponto medio do segmento AD coincide com o ponto medio do segmento BC entao a d 2 b c 2 Esta igualdade equivale a b a d c Em particular b a e d c tˆem o mesmo sinal o que significa que AB e CD tˆem o mesmo sentido Alem disso b a d c isto e AB CD Como AB e CD estao contidos na mesma reta eles tˆem tambem a mesma direcao Portanto AB CD Observacao Um possıvel terceiro caso ocorreria quando os quatro pontos A B C e D nao sao colineares mas trˆes deles sao colineares os segmentos AB e CD nao tem a mesma direcao e portanto nao podem ser equipolentes Tambem os segmentos AD e BC nao se cortam num ponto diferente de uma extremidade em particular nao se cortam ao meio Assim nenhuma das hipoteses da proposicao 1 e satisfeita e podemos ignorar este caso Enquanto a Proposicao 11 caracteriza geometricamente a relacao de equipolˆencia a Proposicao 12 abaixo estabelece que qualquer ponto do plano e origem de um segmento equipolente a um segmento dado Proposicao 12 Se AB e um segmento orientado e C e um ponto do plano entao apenas um segmento orientado com origem em C e equipolente a AB Demonstracao Devemos determinar um ponto D no plano de modo que AB CD Isto e os segmentos AB e CD devem ter a mesma direcao o mesmo sentido e o mesmo modulo Seja r a reta que passa por A e B analisemos separadamente o que acontece quando C r e quando C r Caso C r Neste caso existe apenas uma reta s paralela a r que passa pelo ponto C Veja a Figura 114 Seja C o cırculo de centro C e raio AB Figura 114 Caso C r A reta que passa por A e C divide o plano em dois semiplanos um dos quais que designamos PB contem o ponto B O cırculo C intersecta s em exa tamente dois pontos diametralmente opostos um dos quais que chamare mos D esta contido em PB Pela forma como foi obtido o ponto D o segmento orientado CD e equipolente a AB 13 CEDERJ Caso C r Neste caso o círculo C de centro C e raio AB intersecta a reta r em dois pontos diametralmente opostos Mas apenas um deles que chamaremos D é tal que AB e CD têm o mesmo sentido Logo AB e CD são equipolentes pois têm a mesma direção e os seus módulos são iguais Convencão Um segmento AB onde A B é chamado um segmento nulo Os segmentos nulos têm módulo zero e não têm direção nem sentido Se A é um ponto do plano designamos por AA o segmento nulo de origem e extremidade A Todos os segmentos nulos são considerados equipolentes No que se segue passaremos a considerar um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano com origem no ponto O Os pontos do plano são identificados por suas coordenadas Proposição 13 Sejam A a₁ a₂ B b₁ b₂ C c₁ c₂ e D d₁ d₂ pontos no plano cartesiano então AB CD b₁ a₁ b₂ a₂ d₁ c₁ d₂ c₂ Demonstração Pela Proposição 11 AB CD se e somente se AD e BC têm o mesmo ponto médio O ponto médio do segmento AD é a₁d₁2 a₂d₂2 e o ponto médio do segmento BC é b₁c₁2 b₂c₂2 Portanto AB CD se e somente se a₁d₁2 a₂d₂2 b₁c₁2 b₂c₂2 isto é a₁d₁2 b₁c₁2 e a₂d₂2 b₂c₂2 que equivale a b₁ a₁ d₁ c₁ e b₂ a₂ d₂ c₂ ou seja b₁ a₁ b₂ a₂ d₁ c₁ d₂ c₂ Exemplo 11 Sejam A 1 0 e B 1 1 pontos do plano Determinemos o ponto P x y tal que OP AB Solução Segundo a Proposição 13 AB OP se e somente se 1 1 1 0 x 0 y 0 x y P Portanto P 2 1 Vetores no Plano Segmentos Orientados M ODULO 1 AULA 1 Figura 116 Exemplo 11 A relacao de equipolˆencia verifica as seguintes propriedades Para saber mais Uma relacao entre os elementos de um conjunto que satisfaz as propriedades reflexiva simetrica e transitiva e chamada uma relacao de equivalˆencia Dois elementos do conjunto que estao relacionados sao ditos equivalentes Havendo uma relacao de equivalˆencia no conjunto ele pode ser dividido em subconjuntos chamados classes de equivalˆencia Cada classe de equivalˆencia consiste de todos os elementos do conjunto que estao relacionados entre si isto e que sao equivalentes entre si Reflexiva Todo segmento orientado e equipolente a si proprio Simetrica Se AB CD entao CD AB Transitiva Se AB CD e CD EF entao AB EF As propriedades reflexiva e simetrica sao faceis de serem verificadas Para mostrarmos a propriedade transitiva usamos a Proposicao 13 Sejam A a1 a2 B b1 b2 C c1 c2 D d1 d2 E e1 e2 e F f1 f2 pontos do plano Como AB CD e CD EF temos b1 a1 b2 a2 d1 c1 d2 c2 e d1 c1 d2 c2 f1 e1 f2 e2 Logo b1 a1 b2 a2 f1 e1 f2 e2 e portanto AB EF Essas propriedades permitem dividir o conjunto de todos os segmentos orientados do plano em subconjuntos cada um dos quais consistindo de todos os segmentos orientados que sao equipolentes entre si Definicao 12 Vetor no plano Um vetor no plano e a colecao de todos os segmentos orientados equipolentes a um segmento orientado dado Se AB e um segmento orientado o vetor que consiste de todos os segmentos orientados equipolentes a AB e designado por AB Qualquer segmento orientado equipolente a AB e chamado um representante do vetor AB Os vetores sao tambem escritos usando letras minusculas com uma flecha como a b c etc Assim pela Definicao 12 AB CD se e somente se AB CD Note que As nocoes de direcao sentido e modulo juntas dao lugar a nocao de vetor Vocˆe deve estar achando um pouco estranha a definicao de vetor e provavelmente esta perguntando a si mesmo como desenhar um vetor no plano 15 CEDERJ Na verdade o que desenhamos são apenas os representantes dos vetores isto é segmentos orientados Pela Proposição 12 temos Dados um vetor a e um ponto A existe um único ponto B tal que o segmento AB representa o vetor a Isto é a AB Vejamos agora como representar os vetores em termos de coordenadas de um sistema cartesiano dado Definição 13 Coordenadas e módulo de um vetor Sejam A a₁ a₂ e B b₁ b₂ pontos do plano e a AB Dizemos que b₁ a₁ b₂ a₂ são as coordenadas do vetor a e escrevemos a b₁ a₁ b₂ a₂ Observação As coordenadas de um vetor a não dependem do segmento escolhido para representálo e são as coordenadas do único ponto P tal que a OP De fato se C c₁ c₂ D d₁ d₂ e a CD AB então CD AB e pela Proposição 13 b₁ a₁ b₂ a₂ d₁ c₁ d₂ c₂ Seja agora P x y tal que a OP Então AB OP e usando novamente a Proposição 13 temos b₁ a₁ b₂ a₂ x 0 y 0 x y P Exemplo 12 Sejam os pontos A 0 1 B 1 12 e C 1 1 Determinemos as coordenadas do vetor AB o único ponto D tal que AB CD e o ponto P tal que AB OP Solução As coordenadas do vetor AB são AB 1 0 12 1 1 32 Seja D d₁ d₂ tal que CD AB Isto é AB CD Pela Proposição 13 temos d₁ 1 d₂ 1 1 32 Portanto d₁ 0 d₂ 12 e D 0 12 Segundo vimos na observação anterior P 1 32 pois P e AB têm coordenadas iguais Exemplo 13 Sejam A 1 2 B 3 1 e C 4 0 Determine as coordenadas do vetor v AB e as coordenadas do ponto D tal que v CD Solução Temos v AB 3 1 1 2 2 1 Além disso se D d₁ d₂ então v AB CD AB CD 2 1 d₁ 4 d₂ 0 2 d₁ 4 e 1 d₂ 0 d₁ 2 4 6 e d₂ 1 0 1 Portanto D 6 1 Resumo Nesta aula analisamos o significado de direção sentido e módulo de um segmento no plano e definimos a relação de equipolência entre dois segmentos orientados Você viu o significado da relação de equipolência entre segmentos orientados do ponto de vista tanto geométrico quanto analítico em coordenadas Definimos a noção de vetor no plano e observamos que as coordenadas de um vetor não dependem do representante do vetor Exercícios 1 Verifique se os seguintes pares de segmentos AB e CD estão em retas paralelas ou coincidentes Caso afirmativo mostre geometricamente se têm o mesmo sentido ou sentidos opostos a A 0 2 B 2 2 C 0 1 D 1 1 b A 1 1 B 2 3 C 0 0 D 2 4 c A 0 2 B 1 1 C 0 3 D 2 1 d A 1 1 B 2 3 C 2 4 D 0 1 2 Determine em cada caso o ponto D tal que CD AB onde A 1 1 e B 2 12 Faça também um esboço dos segmentos orientados no plano cartesiano seguindo a construção da Proposição 12 a C 1 1 b C 1 2 c C 0 2 d C 2 3 3 Determine se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes onde a A 0 3 B 3 0 C 1 1 D 1 1 GEOMETRIA ANALÍTICA I b A 1 1 B 3 1 C 0 1 D 2 1 c A 1 3 B 12 13 C 1 0 D 12 1 d A 1 3 B 12 1 C 1 0 D 12 1 4 Determine as coordenadas do ponto P tal que OP AB onde a A 1 1 B 3 4 b A 32 12 B 43 54 c A 32 12 B 12 32 5 Determine se AB CD onde a A 1 1 B 2 0 C 1 1 D 0 2 b A 1 1 B 2 0 C 1 1 D 0 0 c A 2 1 B 12 1 C 12 1 D 1 1 d A 0 0 B 2 1 C 1 1 D 2 3 6 Determine os vértices C e D do paralelogramo ABDC sabendo que A 1 1 B 3 2 e as diagonais AD e BC se cortam no ponto M 4 2 7 Sejam P 1 0 Q 2 4 e R 3 3 pontos do plano Determine os pontos S do plano de modo que P Q R e S sejam vértices de um paralelogramo Sugestão Observe que há três possíveis diagonais para o paralelogramo PR PQ ou QR cada uma delas fornece um possível ponto S Autoavaliação Se você entendeu as noções de direção sentido e módulo de um segmento orientado assimilando bem o significado da relação de equipolência então conseguiu resolver os exercícios 1 2 e 3 Se você resolveu os exercícios 4 e 5 entendeu a noção de vetor e aprendeu a determinar as coordenadas de um vetor Se você entendeu a equipolência e a sua relação com o paralelogramo então resolveu os exercícios 6 e 7 Se ainda tiver dificuldades volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula Não esqueça que há tutores que poderão ajudar a eliminar as suas dúvidas Desde já lembrese de discutir os conteúdos com seus colegas Vetores no Plano Operacoes M ODULO 1 AULA 2 Aula 2 Vetores no Plano Operacoes Objetivos Definir as operacoes de adicao de vetores e multiplicacao de vetores por escalares reais Compreender as propriedades das operacoes com vetores Resolver problemas geometricos utilizando a linguagem vetorial Na aula anterior vimos que por cada ponto do plano e possıvel tracar um segmento orientado que representa um vetor dado Proposicao 12 Comecamos esta aula utilizando esse resultado para definir a operacao de adicao de vetores no plano Definicao 24 Adicao de vetores Sejam a e b vetores no plano A um ponto qualquer do plano AB o representante de a com origem no ponto A e BC o representante de b com origem no ponto B O vetor soma de a e b designado por a b e o vetor representado pelo segmento orientado AC a b AB BC AC Figura 21 Adicao dos vetores a e b Na Figura 21 mostramos a soma a b dos vetores a e b represen tada pelo segmento orientado AC No entanto observe que a definicao do ve tor soma a b depende da escolha do ponto A Para verificarmos que o ve tor soma esta bem definido devemos de monstrar que ele independe dessa esco lha Bem definido Em Matematica muitas nocoes sao definidas a partir da escolha de determinados objetos Dizer que a nocao esta bem definida significa que a escolha dos objetos utilizados na definicao e irrelevante e podem ser substituıdos por outros com propriedades similares No caso da definicao da operacao de adicao de vetores o vetor soma a b e definido a partir da escolha do ponto A onde a AB O vetor soma esta bem definido pois como vemos na demonstracao ao lado podemos substituir a origem A do vetor a por outro ponto Sejam A outro ponto do plano e B o ponto determinado pela Pro posicao 12 tal que a AB e seja C o ponto determinado pela mesma Proposicao tal que b BC Devemos demonstrar que a b AC ou seja que AC AC 19 CEDERJ Vetores no Plano Operacoes Figura 22 a b AC AC Com respeito a um sistema de co ordenadas cartesianas com origem no ponto O suponha que os pontos A B C A B e C tˆem coordenadas A a1 a2 A a 1 a 2 B b1 b2 B b 1 b 2 C c1 c2 C c 1 c 2 Sabemos que a AB AB AB AB b1 a1 b 1 a 1 b2 a2 b 2 a 2 e b BC BC BC BC c1 b1 c 1 b 1 c2 b2 c 2 b 2 Logo c1 b1 b1 a1 c 1 b 1 b 1 a 1 c2 b2 b2 a2 c 2 b 2 b 2 a 2 isto e c1 a1 c 1 a 1 e c2 a2 c 2 a 2 e portanto AC AC Com isso provamos que o vetor soma a b esta bem definido pois depende apenas das parcelas a e b e nao da escolha do ponto A Alem disso se a b1 a1 b2 a2 x1 y1 e b c1 b1 c2 b2 x2 y2 entao a b c1 a1 c2 a2 x1 x2 y1 y2 Resumindo Coordenadas do vetor soma As coordenadas do vetor soma sao obtidas somando as coordenadas res pectivas das parcelas Isto e se a x1 y1 e b x2 y2 entao a b x1 x2 y1 y2 Figura 23 Soma de ve tores Exemplo 21 Sejam A 1 0 B 2 1 e C 1 2 Determinemos AB AC Solucao Segundo o destaque acima AB 2 1 1 0 3 1 e AC 11 20 2 2 Logo AB AC 3 12 2 5 1 Figura 23 O representante do vetor soma AB AC com origem no ponto A e o segmento orientado AD onde D d1 d2 e o ponto tal que AC BD Entao d1 2 1 1 e d2 1 2 0 isto e D d1 d2 4 1 CEDERJ 20 Vetores no Plano Operacoes M ODULO 1 AULA 2 Observacao Sejam A B C pontos naocolineares do plano entao o ponto D faz do quadrilatero ABDC um paralelogramo se e somente se AD AB AC De fato se ABDC e um paralelogramo entao AC BD Logo AB AC AB BD AD Figura 24 O qua drilatero ABDC e um paralelogramo se e somente se AB AC AD Reciprocamente se AB AC AD entao pela definicao da adicao de vetores o ponto D e a extremidade do representante de AC com origem no ponto B Isto e AC BD e portanto ABDC e um paralelogramo Figura 24 Propriedades da adicao de vetores A adicao de vetores satisfaz as seguintes propriedades 1 Propriedade comutativa a b b a Com efeito se a a1 a2 e b b1 b2 entao a b a1 b1 a2 b2 b1 a1 b2 a2 b a Segmento nulo Lembre que um segmento nulo e um segmento cuja origem e extremidade coincidem Os segmentos nulos tˆem modulo zero mas nao tˆem direcao nem sentido Todos os segmentos nulos sao considerados equipolentes 2 O vetor nulo que designamos por 0 e o vetor representado por qualquer segmento nulo As coordenadas do vetor nulo sao 0 BB b1 b1 b2 b2 0 0 onde B b1 b2 e um ponto qualquer do plano Se a e um vetor qualquer temos a 0 a De fato se a a1 a2 entao a 0 a1 0 a2 0 a1 a2 a 3 Dado um vetor a existe um vetor que designamos por a e cha mamos o simetrico de a tal que a a 0 De fato se AB e um segmento orientado que representa o vetor a entao o segmento orientado BA e um representante do vetor a pois pela definicao da adicao de vetores vemos que a a AB BA AA 0 21 CEDERJ GEOMETRIA ANALÍTICA I Subtração de vetores Subtração é a soma de um vetor b com o simétrico a de um vetor a O vetor b a se escreve de forma abreviada como b a Figura 25 Subtração de vetores Figura 26 Propriedade associativa da adição de vetores Os vetores λ a Na Figura 27 mostramos vetores da forma λ a com λ 1 1 12 12 32 Figura 27 Múltiplos de um vetor Observe também que se a a1 a2 então as coordenadas de a são a a1 a2 4 A adição de vetores é associativa Isto é dados três vetores a b e c a b c a b c Com efeito sejam a a1 a2 b b1 b2 e c c1 c2 Usando a propriedade associativa da adição de números reais temos a b c a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 a2 b1 c1 b2 c2 a b c Desta maneira vemos que a operação de adição de vetores possui as mesmas propriedades que a operação de adição de números reais Definimos agora uma operação de multiplicação de um número real por um vetor Convenção No seguinte os números reais serão chamados também escalares Definição 25 Multiplicação de escalares por vetores Se a AB e λ ℝ definimos o produto de λ por a como sendo o vetor λ a λ AB representado pelo segmento AB de modo que A B e B são colineares AB dA B λ dA B λ AB AB e AB têm o mesmo sentido se λ 0 sentidos opostos se λ 0 Observe que quando λ 0 dA B 0 dA B 0 isto é B A e portanto 0 a AA 0 Similarmente se a 0 podemos verificar a partir da definição que λ 0 0 qualquer que seja λ ℝ Proposição 24 A multiplicação do escalar λ pelo vetor a AB não depende do segmento representante AB Vetores no Plano Operações MÓDULO 1 AULA 2 Demonstração Devemos mostrar que se CD AB então CD λ CD coincide com AB isto é que AB CD Como CD AB temos que CD e AB têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo módulo Logo CD λ CD λ AB AB Suponhamos primeiro que λ 0 Neste caso AB tem a mesma direção e sentido que AB e CD tem a mesma direção e sentido que CD Portanto AB e CD têm também a mesma direção e sentido Suponhamos agora que λ 0 Neste caso AB e AB têm a mesma direção e sentidos contrários O mesmo acontece com CD e CD Como AB e CD têm o mesmo sentido concluímos que AB e CD têm a mesma direção e o mesmo sentido Portanto seja λ positivo ou negativo obtemos CD AB como queríamos Faça você mesmo os argumentos para os casos em que λ 0 ou AB é um segmento nulo Proposição 25 Se a a1 a2 e λ ℝ é um escalar nãonulo então λ a λa1 a2 λa1 λa2 Demonstração Sejam P a1 a2 e Q λa1 λa2 pontos do plano Devemos mostrar que λOP OQ Isto significa que O P e Q são pontos colineares OQ λ OP OQ têm o mesmo sentido que OP quando λ 0 e sentido oposto quando λ 0 De fato se a1 0 então O P e Q estão sobre o eixo y Se a1 0 então a reta que passa por O e Q tem inclinação λ a2λ a1a2a1 que é igual à inclinação da reta que passa por O e P Logo O P e Q são colineares Observe também que OQ λa1² λa2² λ²a1² a2² λa1² a2² λ OP Vetores no Plano Operacoes Resta mostrar que OP e OQ tˆem o mesmo sentido quando λ 0 e sentidos opostos quando λ 0 Para isto e necessario analisar os seguintes casos a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 a1 0 e a2 0 Figura 28 Caso λ 0 a1 0 a2 0 Suponhamos λ 0 a1 0 e a2 0 Neste caso os pontos P a1 a2 e Q λa1 λa2 estao no primeiro quadrante do plano Logo P e Q estao no mesmo semiplano determinado pela perpendicular a reta que passa por O P e Q Isto e OP e OQ tˆem o mesmo sentido Os outros casos sao tratados de ma neira similar Facaos vocˆe mesmo Exemplo 22 Sejam A 0 1 e B 1 0 Determinemos os representantes CD CD e CD dos vetores AB 2 AB e 2 AB com origem no ponto C 1 1 Solucao Temos que AB 1 0 0 1 1 1 2 AB 2 1 2 1 2 2 2 AB 2 1 2 1 2 2 e C 1 1 Figura 29 Exemplo 22 E os pontos buscados D d1 d2 D d 1 d 2 e D d 1 d 2 devem satisfazer as seguintes relacoes veja a Proposicao 13 da Aula 1 CD AB d1 1 1 d2 1 1 CD 2 AB d 1 1 2 d 2 1 2 e CD 2 AB d 1 1 2 d 2 1 2 Isto e D 2 0 D 1 3 e D 3 1 Na Figura 29 ilustramos os segmentos orientados AB CD CD e CD assim como o segmento OP representante na origem do vetor AB CEDERJ 24 Vetores no Plano Operacoes M ODULO 1 AULA 2 Propriedades da multiplicacao de escalares por vetores Sejam a b e c vetores do plano e sejam λ µ R 1 A multiplicacao de escalares por vetores e associativa Isto e λ µ a λ µ a De fato se a a1 a2 com respeito a um sistema de coordenadas no plano temos λ µ a λ µa1 µa2 λµa1 µλa2 λµa1 λµa2 λµ a 2 A multiplicacao de escalares por vetores satisfaz as propriedades distributivas λ a b λ a λ b λ µ a λ a µ a Figura 210 Distribu tividade A primeira destas propriedades ilustrada na Figura 210 se verifica da seguinte maneira se a a1 a2 e b b1 b2 entao λ a b λa1 b1 a2 b2 λa1 b1 λa2 b2 λa1 λb1 λa2 λb2 λa1 λa2 λb1 λb2 λ a λ b Faca vocˆe mesmo a verificacao da outra propriedade distributiva usando coordenadas e interprete geometricamente o seu significado 3 O numero 1 R e o elemento neutro da multiplicacao de escalares por vetores 1 a a De fato se a a1 a2 entao 1 a 1 a1 1 a2 a1 a2 a Exemplo 23 Dados os vetores u 1 1 e v 3 1 determine a 2 u v b u 2 v c 1 2 b a Solucao Temos a 2 u v 21 1 3 1 21 21 3 1 2 2 3 1 2 3 2 1 5 1 25 CEDERJ Vejamos agora como usar a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geométricos simples Exemplo 24 Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer determinam um paralelogramo Solução De fato seja ABCD um quadrilátero Figura 212 Sejam X o ponto médio do lado AB Y o ponto médio do lado BC W o ponto médio do lado CD e Z o ponto médio do lado DA Devemos mostrar que XYWZ é um paralelogramo Para tal basta mostrar que XY ZW isto é XY ZW Temos X ponto médio de AB AX XB 12 AB Y ponto médio de BC BY YC 12 BC W ponto médio de DC DW WC 12 DC Z ponto médio de AD AZ ZD 12 AD Logo XY XB BY 12 AB 12 BC 12 AB BC 12 AC Similarmente ZW ZD DW 12 AD 12 DC 12 AD DC 12 AC Portanto XY 12 AC ZW como queríamos Exemplo 25 O baricentro de um triângulo Sejam A B e C pontos nãocolineares do plano e O um ponto qualquer do plano Definimos o baricentro do triângulo ABC como sendo o ponto G tal que OG 13 OA OB OC 21 Mostraremos que o ponto G independe do ponto O isto é dado outro ponto O do plano temos OG 13 OA OB OC Solução De fato se O é outro ponto do plano OA OO OA OB OO OB e OC OO OC Logo OG OO OG OO 13 OA OB OC 13 OO OA OO OB OO OC 13 OA OB OC Assim o baricentro G do triângulo ABC depende apenas dos vértices A B e C Mais ainda como a identidade 21 é válida para todo ponto O do plano podemos substituir O pelo próprio ponto G Nesse caso como OG GG 0 segue da identidade 21 que GA GB GC 0 22 Vetores no Plano Operacoes Exemplo 26 O baricentro e as medianas As medianas do triˆangulo ABC sao os segmentos que vao de cada um dos vertices ate o ponto medio do lado oposto Na Figura 214 mostramos o triˆangulo ABC e suas medianas AX BY e CZ Neste exemplo verificamos que Figura 214 O baricen tro G e a interseccao das medianas do triˆangulo As medianas do triˆangulo ABC se intersectam no baricentro G Solucao Para isto basta mostrar que o baricentro G caracterizado pela identidade 22 pertence as trˆes medianas AX BY e CZ do triˆangulo ABC Figura 215 2 GX GD Verifiquemos que o baricentro G pertence a mediana AX De forma similar vocˆe podera mostrar que G pertence as medianas BY e CZ Seja D o ponto tal que GBDC e um parale logramo Desta forma GB GC GD BC e GD as diagonais do paralelogramo GBDC cortamse ao meio no ponto X ponto medio do segmento BC Como GA 2 GX GA GD GA GB GC 0 os pontos G A X sao colineares e G pertence a mediana AX pois GA e GX tˆem sentidos opostos Portanto as trˆes medianas se intersectam no baricentro G Figura 216 Paralelogramo ADBC Exemplo 27 Neste exemplo usaremos as operacoes com ve tores para mostrar que as diagonais de um pa ralelogramo cortamse ao meio Solucao Seja ABDC um paralelogramo veja a Figura 216 Como um paralelogramo tem lados opostos paralelos e de igual comprimento entao AC BD e AB CD Subdivisao baricˆentrica Em Computacao Grafica e frequente a modelagem de superfıcies das mais diversas formas Embora nao pareca as superfıcies que visualizamos na tela de um computador na televisao no cinema ou num videogame sao formadas por pequenos triˆangulos Quanto menor o tamanho desses triˆangulos mais lisa e a aparˆencia da superfıcie Assim apos feita uma primeira aproximacao da superfıcie por meio de triˆangulos sao realizados varios refinamentos de modo a diminuir o tamanho dos triˆangulos Uma importante tecnica consiste em subdividir cada triˆangulo em seis triˆangulos acrescentando os pontos medios dos lados e os baricentros ajustados a forma da superfıcie Na Figura 214 vemos o triˆangulo ABC dividido nos triˆangulos AGZ ZGB BGX XGC CGY e Y GA Esta subdivisao e a chamada subdivisao baricˆentrica do triˆangulo ABC Denotemos E o ponto medio da diagonal AD Isto significa que AE ED 1 2AD CEDERJ 28 Vetores no Plano Operacoes M ODULO 1 AULA 2 Alem disso os segmentos orientados AE ED e AD tˆem mesmo sentido portanto AE ED 1 2 AD 23 Devemos mostrar que E pertence a diagonal isto e que B E C sao colinea res e mostrar que E e o ponto medio BC Logo basta chegarmos a relacao BE 1 2 BC Da definicao da adicao de vetores temos as igualdades BE BA AE 24 BC BA AC 25 Substituindo 23 em 24 obtemos BE BA 1 2 AD 26 Como AC AD DC DC BA e BA BA 2 BA podemos substituir essas relacoes em 25 e obter BC BA AD DC BA AD BA AD 2 BA logo 1 2 AD 1 2 BC BA Substituindo essa relacao em 26 concluımos BE BA 1 2 AD BA 1 2 BC BA 1 2 BC mostrando o afirmado Observacao Vocˆe pode provar que as diagonais de um paralelogramo cortamse ao meio usando congruˆencia de triˆangulos Resumo Nesta aula definimos as operacoes de adicao de vetores e multiplicacao de vetores por escalares Analisamos as propriedades dessas operacoes e usamos a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geometricos Exercıcios 1 Localize os pontos A 1 1 B 3 0 C 4 1 D 2 3 E 3 2 e F 4 3 no plano cartesiano e efetue os seguintes calculos 29 CEDERJ Vetores no Plano Operacoes a AB AC AD b 2 BC EC 3 EF 2 AD c AB BC CD DE EA d AB BC CD DE EF FA e 1 4 AB 1 4 AC 1 4 AD 1 4 AE f AB AC 2 CD ED EB DC 2 Sejam A1 A2 A3 A4 A5 pontos do plano Mostre que A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A1 0 3 Sejam A B e C pontos colineares no plano Mostre que existe um escalar t tal que AB t AC Alem disso t 0 quando AB e AC tˆem o mesmo sentido e t 0 quando AB e AC tˆem sentidos opostos 4 Sejam A 1 0 B 1 2 2 e C 2 1 a Determine o baricentro do triˆangulo ABC usando a identidade 21 b Determine os pontos medios dos lados do triˆangulo ABC e mostre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triˆangulo e igual a 0 Esta propriedade e valida em qualquer outro triˆangulo 5 Determine os vertices B e C do triˆangulo ABC sabendo que A 1 2 BC 3 4 e que a origem e o seu baricentro 6 Seja ABC um triˆangulo no plano e seja G o seu baricentro Mostre que AG 2 3 AX BG 2 3 BY e CG 2 3 CZ onde X Y e Z sao os pontos medios dos lados BC AC e AB respec tivamente 7 Sejam P 1 2 Q 2 2 e r a reta determinada por esses pontos Determine as coordenadas dos pontos que estao sobre r e cuja distˆancia ao ponto Q e λ vezes a distˆancia ao ponto P onde λ 0 Indicacao Seja R x y o ponto desejado A condicao do problema equivale a RQ λRP Como os pontos P Q e R sao colineares RQ λ RP CEDERJ 30 Vetores no Plano Operacoes M ODULO 1 AULA 2 8 Seja n um numero natural maior ou igual a 3 e sejam A1 A2 A3 An e O pontos do plano Considere a regiao poligonal cujos lados sao os n segmentos A1A2 A2A3 AnA1 O centro de massa ou centro de gravidade da regiao poligonal e o ponto G dado por OG 1 n OA1 OA2 OA3 OAn Observe que se n 3 a regiao poligonal e um triˆangulo e o centro de gravidade e o seu baricentro As seguintes propriedades sao validas qualquer que seja n 3 No entanto suponha que n 5 a Mostre que o centro de gravidade G nao depende da escolha do ponto O Indicacao Proceda como no exemplo 6 b Mostre que o centro de gravidade satisfaz uma identidade similar a identidade 22 mostrada no exemplo 6 Para saber mais Uma lˆamina poligonal feita de um material homogˆeneo isto e a massa e distribuıda uniformemente sobre a superfıcie pode ser posta horizontalmente em equilıbrio sobre um prego como mostramos na Figura 217 Basta colocar o centro de gravidade da superfıcie sobre o prego Por esta razao o centro de gravidade e tambem chamado ponto de equilıbrio da superfıcie Tente fazer uma experiˆencia que confirme este fato Figura 217 Centro de gravidade Autoavaliacao Se vocˆe compreendeu bem as operacoes de adicao de vetores e multi plicacao de vetores por escalares e sabe efetuar essas operacoes usando coor denadas com respeito a um sistema cartesiano entao resolveu os exercıcios de 1 a 7 sem dificuldade O exercıcio 8 reafirma e generaliza os conceitos relativos a nocao de baricentro Caso ainda tenha duvidas revise o conteudo da aula Nao esqueca que ha tutores sempre dispostos a orientalo 31 CEDERJ Aula 3 A Reta e a Dependência Linear Objetivos Determinar a equação paramétrica de uma reta no plano Compreender o paralelismo entre retas e vetores Entender a noção de dependência linear entre dois vetores do plano Determinar a equação cartesiana de uma reta a partir de sua equação paramétrica e viceversa Determinar a interseção de duas retas não paralelas no plano Começamos determinando em termos da linguagem vetorial as condições que um ponto P deve satisfazer para pertencer à reta r Se A e B são pontos distintos no plano sabemos que há uma única reta r que os contém Segundo a definição da multiplicação de um vetor por um escalar um ponto P pertence a r se e somente se Figura 31 AP t AB 31 para algum t ℝ chamado parâmetro do ponto P A equação 31 é uma equação vetorial paramétrica da reta r Dizemos também que r tem direção AB e r P AP t AB t ℝ Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas se A a1 a2 B b1 b2 e P x y a equação 31 é dada por x a1 y a2 tb1 a1 tb2 a2 que equivale ao par de equações r x a1 tb1 a1 y a2 tb2 a2 t ℝ 32 chamadas equações paramétricas da reta r Nas equações 31 e 32 devemos observar que t 0 quando AP e AB têm o mesmo sentido e t 0 quando AP e AB têm sentidos opostos veja o Exercício 3 da Aula 2 GEOMETRIA ANALÍTICA I A Reta e a Dependência Linear Exemplo 31 Determinar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A 2 3 e B 1 2 Solução Como AB 1 2 2 3 1 1 temos P x y r x y 2 3 t1 1 t ℝ x y 2 t 3 t t ℝ Portanto as equações paramétricas da reta r são r x 2 t y 3 t t ℝ Exemplo 32 Sejam A 1 0 B 0 1 C 1 2 e D 12 12 Verifiquemos que os pontos A B C e D são colineares e determinemos as equações paramétricas da reta r que os contém em termos de A e B e em termos de C e D Solução Para verificarmos que os pontos dados são colineares devemos determinar números c e d tais que AC c AB e AD d AB Em coordenadas temos AC c AB 1 1 c0 1 2 0 c1 0 c 2 e AD d AB 12 1 d0 1 12 0 d1 0 d 12 Portanto a reta r que passa por A e B também passa por C e D A equação vetorial paramétrica de r em termos de A e B é AP t AB t ℝ onde P x y r e t é o seu parâmetro Em coordenadas temos x 1 y 0 AP t AB t0 1 t1 0 Isto é as equações paramétricas da reta r em termos de A e B são r x t 1 y t t ℝ 33 Como C 1 2 r e D 12 12 r a equação de r é também CP s CD s ℝ onde P x y r e s é o parâmetro de P na reta Em coordenadas temos x 1 y 2 s 12 1 s 12 2 Isto é as equações paramétricas de r em termos de C e D são r x 32 s 1 y 32 s 2 s ℝ 34 Figura 32 Reta r e vetores AB e CD na origem Observe que o ponto P 1 2 pertence à reta r Em relação às equações paramétricas 33 o parâmetro do ponto P é t 2 No entanto com respeito às equações 34 o parâmetro do ponto P é s 0 Definição 36 Sejam v e w vetores do plano Se v λw para algum λ ℝ dizemos que v é múltiplo de w Observação O vetor nulo 0 é múltiplo de qualquer outro vetor No entanto nenhum vetor nãonulo é múltiplo do vetor 0 De fato se v é um vetor qualquer do plano temos 0 0 v Como λ 0 0 nenhum vetor nãonulo pode ser múltiplo de 0 Se v e w são vetores nãonulos então v é múltiplo de w se e somente se w é múltiplo de v Com efeito se v λw então λ 0 e w 1λ v Sejam AB e C pontos distintos do plano Então v AB é múltiplo de w AC se e somente se A B e C são colineares Note que AB é múltiplo de AC se e somente se existe um escalar λ 0 tal que AB λAC isto é o ponto B satisfaz a equação vetorial paramétrica da reta que passa por A e C λ é o parâmetro do ponto B Exemplo 33 Consideremos os vetores u 1 0 v 1 1 e w 2 1 Mostremos que u não é múltiplo de v mas sim de v w Solução De fato se u fosse múltiplo de v teríamos u λv para algum escalar λ isto é 1 0 λ1 1 λ λ A Reta e a Dependˆencia Linear Logo terıamos λ 1 e λ 0 o que e uma contradicao Portanto u nao pode ser multiplo de v Seja u1 v w 1 1 2 1 3 0 Como u 1 0 1 33 0 1 3 u1 temos que u e multiplo de u1 Mudanca de parˆametro Se v e w sao vetores naonulos e w λ v entao AP t w e AP s v sao equacoes da mesma reta Na primeira t e o parˆametro do ponto P e na segunda s tλ e o parˆametro do mesmo ponto A segunda equacao e dita uma reparametrizacao da primeira sendo s tλ a mudanca de parˆametro Definicao 37 Dizemos que um vetor naonulo v e paralelo a reta r e escrevemos v r se quaisquer que sejam A B r o vetor AB e multiplo de v Observacao O vetor v e paralelo a reta r se e so se v determina a direcao de r De fato basta observar que se r tem equacao AP t AB onde t e o parˆametro de P e AB λ v entao AP s v e tambem equacao de r onde s tλ e o parˆametro de P Seja r a reta que contem A a1 a2 e e paralela a v a b Andando nas retas As equacoes parametricas 35 descrevem a reta r como uma trajetoria retilınea percorrida com velocidade v partindo do ponto A O parˆametro t de um ponto P mede o tempo necessario para chegar ate esse ponto Observe que a mesma reta pode ser percorrida de distintas maneiras Fazendo uso da Proposicao 12 da Aula 1 existe um unico ponto B r tal que AB v Logo P x y r se e somente se AP t AB t v t R Em coordenadas esta equacao equivale a x a1 y a2 t a t b t R ou seja as equacoes parametricas da reta r sao dadas por r x a1 t a y a2 t b t R 35 Observacao A partir das equacoes parametricas 35 de uma reta r identificamos as coordenadas de um ponto A r e de um vetor direcao v Para isto olhamos o lado direito das equacoes o coeficiente de t na expressao de x e a primeira coordenada de v o coeficiente de t na expressao de y e a segunda coordenada de v a primeira coordenada de A e o termo a1 na expressao de x que independe de t e a segunda coordenada de A e o termo a2 na expressao de y que independe de t Exemplo 34 Determinar as equacoes parametricas da reta r que contem o ponto A 1 0 e e paralela ao vetor v 1 1 CEDERJ 36 A Reta e a Dependˆencia Linear M ODULO 1 AULA 3 Figura 33 Exemplo 34 Solucao Basta substituir as coordenadas a1 1 a2 0 de A e a 1 b 1 de v na equacao 35 r x 1 t 1 y 0 t 1 t R isto e r x 1 t y t t R Na figura 33 vemos a reta r do Exemplo 34 e seu vetor direcao v representado por um segmento na origem Figura 34 OP OA t v Observacao A equacao da reta r que contem o ponto A e e paralela ao vetor v e AP t v t R como AP OP OA esta equacao escrevese na forma OP OA t v t R isto e a equacao da reta r e dada por veja a Figura 211 OP OA t v t R 36 Como as coordenadas do vetor OP sao as coordenadas do ponto P e as coor denadas do vetor OA sao as coordenadas do ponto A a equacao vetorial 36 corresponde as equacoes parametricas 35 A equacao cartesiana e as equacoes parametricas de uma reta No Modulo 2 do PreCalculo vocˆe estudou a reta a partir de sua equacao cartesiana α x β y γ 0 37 Vejamos agora como determinar as equacoes parametricas da reta a partir de sua equacao cartesiana e viceversa Equacao cartesiana da reta Seja αx βy γ 0 a equacao cartesiana de uma reta r no plano Se β 0 r e a reta vertical x γ α Se β 0 r e a reta de inclinacao ou coeficiente angular α β passando pelo ponto 0 γ β 37 CEDERJ A Reta e a Dependˆencia Linear Seja r a reta com equacao cartesiana 37 Para obtermos as coorde nadas de um ponto da reta r atribuımos um valor a variavel x e calculamos o valor da variavel y usando a equacao 37 ou atribuımos um valor a y e calculamos x a partir da equacao 37 Se a reta r nao e vertical β 0 tomamos dois valores distintos x1 e x2 para x e usamos a equacao 37 para calcular os valores correspondentes y1 e y2 de y Com isto determinamos pontos A x1 y1 e B x2 y2 pertencentes a reta r Conhecendo dois pontos de r podemos escrever as suas equacoes parametricas como fizemos anteriormente Se r e uma reta vertical β 0 e α 0 a sua equacao e αx γ 0 isto e x γ α Logo se y1 e y2 sao quaisquer dois numeros reais distintos A γ α y1 e B γ α y2 pertencem a reta r Exemplo 35 Determinemos equacoes parametricas da reta r dada pela equacao cartesiana r 2x 3y 12 0 38 Solucao Seja x 0 na equacao 38 temos 3y 12 0 ou seja y 4 Logo A 0 4 r Similarmente seja y 0 na equacao 38 temos 2x 12 0 ou seja x 6 e portanto B 6 0 r Substituindo as coordenadas de A e B nas equacoes parametricas 32 obtemos as equacoes parametricas de r r x 0 t6 0 y 4 t0 4 t R isto e r x 6t y 4 4t t R Tomando pontos A e B distintos aos considerados acima vocˆe pode obter outras equacoes parametricas da mesma reta r Reciprocamente suponhamos conhecidas as equacoes parametricas da reta r r x x0 at y y0 bt t R 39 Note que se a 0 a reta r e vertical e a sua equacao cartesiana e x x0 Se a 0 a reta r nao e vertical e neste caso obtemos a equacao cartesiana de r colocando em evidˆencia o parˆametro t nas equacoes 39 t 1 ax x0 e t 1 by y0 e igualando estas expressoes obtemos 1 ax x0 1 by y0 ou seja bx ay bx0 ay0 0 CEDERJ 38 A Reta e a Dependˆencia Linear M ODULO 1 AULA 3 que corresponde a equacao 37 com α b β a e γ bx0 ay0 Exemplo 36 Determinemos a equacao cartesiana da reta r cujas equacoes parametricas sao r x 6t y 4 4t t R Solucao Colocando em evidˆencia o parˆametro t destas equacoes t x 6 e t 4 y 4 e igualando estas expressoes x 6 4y 4 obtemos que a equacao cartesiana de r e 2x 3y 12 0 Convencao Em todo o seguinte usaremos a abreviacao LI para significar linearmente independentes e a abreviacao LD para significar linearmente dependentes Posicao relativa de duas retas no plano Sabemos que duas retas r1 e r2 no plano podem ser paralelas coinci dentes ou concorrentes Isto e r1r2 r1 r2 ou r1 r2 consiste de um unico ponto Conhecendo as equacoes cartesiana vetorial ou parametricas de duas retas no plano vejamos como analisar a sua posicao relativa Definicao 38 Dizemos que dois vetores v e w do plano sao linearmente dependentes ou abreviadamente LD se v e multiplo de w ou w e multiplo de v Se v e w nao sao LD isto e v nao e multiplo de w nem w e multiplo de v dizemos que v e w sao linearmente independentes LI Exemplo 37 a Como o vetor nulo e multiplo de qualquer vetor v os vetores v e 0 sao LD b Se v 2 3 w1 1 3 2 w2 4 6 e w3 1 1 entao v e w1 sao LD pois v 2 w1 v e w2 sao LD pois v 1 2 w2 v e w3 sao LI De fato Suponha por absurdo que os vetores sao LD Entao existe λ R tal que v λw3 isto e 2 3 λ λ Igualando as coordenadas temos λ 2 e λ 3 o qual nao e possıvel Portanto v e w3 sao LI Vejamos agora uma importante caracterizacao da dependˆencia linear Proposicao 36 Dois vetores v a b e w a b sao LD se e somente se 39 CEDERJ GEOMETRIA ANALÍTICA I Determinantes de matrizes Uma matriz 2x2 é um arranjo de quatro números reais dispostos ordenadamente na forma A cada matriz associamos um número real chamado o seu determinante que designamos por ou e definimos da seguinte maneira ad bc Pararelismo Duas retas no plano que possuem vetores direção LD são paralelas se não têm pontos em comum e são coincidentes se possuem um ponto em comum Retas com vetores direção LI são necessariamente concorrentes A Reta e a Dependência Linear Exemplo 38 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano onde r1 x 3 2t y 1 3t t R e r2 x 1 s y 1 s s R Solução A reta r1 reta passa pelo ponto A1 3 1 e é paralela ao vetor v1 2 3 Similarmente r2 contém o ponto A2 1 1 e é paralela ao vetor v2 1 1 Como det2 3 1 1 2 1 3 1 2 3 1 0 os vetores v1 e v2 são LI Logo r1 e r2 são concorrentes Podemos portanto determinar o ponto P do plano tal que r1 r2 P Igualando as coordenadas respectivas nas equações de r1 e r2 obtemos 3 2t 1 s 1 3t 1 s isto é 2t s 4 3t s 0 Resolviendo este sistema encontramos t 4 e s 12 Substituindo o valor de t nas equações de r1 ou o valor de s nas equações de r2 obtemos x 11 e y 11 Portanto as retas se intersectam no ponto P 11 11 Exemplo 39 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano onde r1 x 3y 1 e r2 x 1 t y 1 t t R Solução A reta r1 passa pelos pontos A 0 13 e B 1 0 e é paralela ao vetor v1 AB 1 0 0 13 1 13 A reta r2 é paralela ao vetor v2 1 1 Como det1 13 1 1 1 1 13 1 1 13 43 0 os vetores v1 e v2 são LI Logo r1 e r2 são concorrentes Seja P o ponto de interseção das retas r1 e r2 Então P x y 1 t 1 t para algum t R e 1 x 3y 1 t 3 3t Logo t 54 Substituindo o valor obtido para t nas equações de r2 temos x 14 e y 14 Portanto r1 r2 P onde P 14 14 41 A Reta e a Dependência Linear Exemplo 310 Determinemos a posição relativa das retas r1 e r2 no plano onde r1 x 5 5 t y 12 12 t t R e r2 x 2s y 1 52 55 s s R Solução A reta r1 é paralela ao vetor v1 5 12 e a reta r2 é paralela ao vetor v2 2 55 Como det5 122 55 5 55 12 2 1 1 0 os vetores v1 e v2 são LD Logo as retas r1 e r2 são paralelas ou coincidentes Seja t 0 nas equações de r1 vemos que P 5 12 r1 Vamos verificar se P r2 Caso afirmativo as retas r1 e r2 não serão paralelas e sim coincidentes Procuremos s R tal que 5 2s e 12 1 52 55 s Da primeira identidade temos s 52 Substituímos este valor na segunda identidade para verificar se há compatibilidade 1 52 55 52 12 52 52 12 Logo s 52 é o parâmetro do ponto P 5 12 r2 Assim r1 e r2 têm direções v1 e v2 paralelas e um ponto em comum sendo portanto coincidentes r1 r2 Finalizamos esta aula com outra importante aplicação da noção de dependência linear Proposição 37 Sejam v e w vetores LI Se u é um vetor arbitrário do plano então existem números reais únicos λ e μ tais que u λv μw 310 Demonstração Sejam v a b w a b e u c1 c2 Procuramos λ μ R tais que c1 c2 λa b μa b isto é a λ a μ c1 b λ b μ c2 Resolvendo este sistema para λ e μ obtemos os números procurados λ c1 b c2 aa b b a e μ c2 a c1 ba b b a Note que deta ba b a b b a 0 pois v e w são LI Nas condições da Proposição 37 dizemos que u é combinação linear dos vetores v e w Mostramos então que todo vetor do plano se escreve de maneira única como combinação linear de dois vetores LI Ou seja dois vetores LI geram todo o plano Por essa razão dizemos também que o plano é um conjunto geométrico de dimensão 2 Exemplo 311 Verifiquemos que os vetores v 1 1 e w 1 2 são LI Vejamos também como escrever o vetor u 3 1 como combinação linear de v e w Solução Como det1 11 2 1 2 1 1 3 0 os vetores v e w são LI Devemos achar λ μ R tais que u λv μw Em coordenadas esta equação equivale ao seguinte sistema nas variáveis λ e μ 1 λ 1 μ 3 1 λ 2 μ 1 42 GEOMETRIA ANALÍTICA I A Reta e a Dependência Linear deta ba b ab ab 0 Equivalentemente v e w são LI se e somente se deta ba b 0 Demonstração Se w 0 então v e w são LD pois w 0 v e também ab ab 0 pois a b 0 Suponhamos agora que w 0 e que v e w são LD isto é v λw para algum λ R Então a λa b λb e deta ba b ab ab λab aλb 0 Reciprocamete suponhamos que w 0 e ab ab 0 Devemos determinar λ R λ 0 tal que v a b λa b λw isto é a λa e b λb Se a 0 então ab ab ab 0 Como w 0 temos b 0 Logo a 0 e λ bb Se a 0 da igualdade ab ab 0 temos aba b e portanto a b aa a b isto é v λw com λ aa A partir do conceito de dependência linear vamos analisar a posição relativa de duas retas no plano mediante exemplos concretos que ilustram as técnicas gerais A Reta e a Dependˆencia Linear M ODULO 1 AULA 3 cujas solucoes sao λ 3211 1211 5 3 e µ 1131 1211 4 3 Exemplo 312 Seja P um paralelogramo ABDC cujas diagonais estao sobre as retas r1 x t 1 y t 1 t R e r2 x 2s 1 y s 2 s R Se A 1 1 e AB r onde r e uma reta paralela ao vetor v 2 1 determine os vertices B C e D Figura 36 Paralelogramo P Solucao Tomando t 0 nas equacoes parametricas de r1 vemos que A r1 Assim r1 e a reta que contem a diagonal AD O ponto medio M das diagonais AD e BC e o ponto de intersecao das retas r1 e r2 Para determinarmos o ponto M procuramos os valores de s e t de modo que M t1 t1 2s1 s2 ou seja t 1 2s 1 t 1 s 2 Somando as equacoes obtemos 2 s 3 Logo s 1 e M 1 3 Seja D d1 d2 Como MD AM temos d1 1 d2 3 1 1 3 1 ou seja d1 1 d2 3 2 2 Portanto d1 3 d2 5 e D 3 5 Seja B b1 b2 Como AB r e r 2 1 temos b1 1 2λ b2 1 λ para algum λ R Alem disso como B r2 temos b1 2s 1 b2 s 2 para algum s R Logo 1 2λ 2s 1 1 λ s 2 Resolvendo este sistema obtemos λ 1 2 Portanto B 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 Finalmente seja C c1 c2 43 CEDERJ A Reta e a Dependˆencia Linear Sabendo que AB CD temos 2 1 3 2 1 3 c1 5 c2 Portanto C 4 9 2 Resumo Nesta aula vimos como determinar a equacao parametrica de uma reta no plano abordamos as questoes de paralelismo entre retas e vetores vi mos como passar da equacao cartesiana de uma reta para as suas equacoes parametricas e viceversa Estabelecemos a nocao de dependˆencia linear en tre vetores do plano e aplicamos esses conceitos para determinar a posicao relativa de duas retas no plano Exercıcios 1 Determine as equacoes parametricas e um vetor direcao da reta r que passa pelos pontos A e B onde a A 1 1 B 2 1 2 b A 2 3 4 B 9 4 1 c A 4 1 B 2 0 d A 1 1 B 3 1 2 Determine as equacoes parametricas da reta r que passa pelo ponto P0 e e paralela ao vetor v onde a P0 1 1 v 1 1 2 b P0 2 1 v 2 9 4 c P0 1 1 2 v 1 0 d P0 1 1 v 3 1 3 Sejam A B e O pontos do plano a Mostre que um ponto P pertence ao segmento AB se e somente se existe t 0 1 tal que OP 1 t OA t OB 311 Observacao Verifique que a equacao 311 nao depende do ponto O Portanto o numero t e determinado a partir de A B e P b Em particular mostre que o ponto medio do segmento AB e obtido fazendo t 1 2 na equacao 311 c Mostre que a equacao 311 e uma equacao vetorial parametrica da reta r que passa pelos pontos A e B quando consideramos o parˆametro t percorrendo todo o R 4 Determine a equacao cartesiana da reta r onde CEDERJ 44 A Reta e a Dependˆencia Linear M ODULO 1 AULA 3 a r x 2 t 2 y t t R b r x 3 y 2 t t R c r x 1 t y 1 t t R d r x 4t y 3t t R 5 Determine as equacoes parametricas e um vetor paralelo a reta r onde a r 2x y 1 0 b r x 5 0 c r 3x y 1 d r x y 3 6 Verifique se v r onde a v 1 2 r 2x 4y 1 0 b v 1 1 2 r x 2 2t y 1 2 t t R c v 1 5 4 3 r x 1 5 t y 4 3 t t R d v 3 5 1 w 3 5 r P OP t w t R 7 Determine se as retas r1 e r2 sao paralelas coincidentes ou concorrentes determinando no ultimo caso o ponto de intersecao a r1 2x y 1 0 r2 x 1 t y t t R b r1 x 3 3t y 1 1 2t t R r2 x 6y 3 c r1 x t y 2 3 2t t R r2 x 4 4s y 2 6s s R d r1 x t y 2 3 2t t R r2 x 4s y 6s s R 8 Determine se os vetores v e w sao LI ou LD onde a v 3 4 w 7 28 3 b v 1 0 w 0 c v 1 5 4 3 w 2 8 15 d v 1 3 1 6 w 1 2 9 Sejam A 3 2 B 1 1 C 0 2 pontos do plano 45 CEDERJ A Reta e a Dependˆencia Linear a Determine as equacoes parametricas e as equacoes parametricas das retas que contˆem as medianas do triˆangulo ABC b Determine o baricentro do triˆangulo ABC achando o ponto de intersecao das trˆes retas do item anterior 10 Verifique que os vetores v e w sao LI e escreva u como combinacao linear desses vetores onde a v 1 1 w 1 2 u 5 6 b v 2 3 w 5 4 u 1 4 5 11 Sejam v 1 2 e w AB vetores do plano onde B 3 4 Determine o ponto A pertencente ao eixo X de modo que v e w sejam LD 12 Dois lados de um paralelogramo estao sobre as retas r1 8x 3y 1 e r2 x t y 2t 1 t R e uma de suas diagonais pertence a reta r 3x 2y 3 Ache as coordenadas de seus vertices 13 Dadas as retas r1 2x y 0 e r2 2x y 4 e o ponto P 3 0 determine a reta que passa por P intersecta r1 em A e r2 em B de tal modo que P seja o ponto medio do segmento AB Sugestao Escreva as equacoes parametricas de r1 e r2 14 Seja P o paralelogramo ABDC que tem a diagonal AD sobre a reta r1 x y 1 o lado AB sobre a reta r2 2x y 2 e o lado BD paralelo ao vetor v 2 1 Determine os vertices A B C e D supondo que AD 8 e D tem abscissa positiva Autoavaliacao Se vocˆe resolveu os exercıcios 1 a 3 entao assimilou bem as tecnicas es tabelecidas para determinar as equacoes parametricas de uma reta no plano Os exercıcios 4 e 5 avaliam se os metodos para obter as equacoes parametricas a partir da equacao cartesiana e viceversa foram bem entendidos Fazendo os exercıcios 6 e 7 vocˆe vera se existe alguma dificuldade em entender o paralelismo em termos de vetores e se a nocao de dependˆencia linear apli cada ao problema de determinar a posicao relativa de duas retas no plano CEDERJ 46 A Reta e a Dependˆencia Linear M ODULO 1 AULA 3 foi compreendida Faca os exercıcios 8 9 e 10 para avaliar se entendeu bem os conceitos de dependˆencia linear e combinacao linear Os exercıcios de 11 a 14 avaliam os seus conhecimentos gerais sobre estas trˆes primeiras aulas Reveja o Exemplo 19 antes de resolver os exercıcios 12 13 e 14 Se vocˆe entendeu bem os conceitos apresentados na aula nao precisa resolver todos os itens dos exercıcios propostos mas resolva pelo menos dois para fixar os conceitos Se tiver dificuldade reveja o conteudo da aula discuta com seus colegas ou consulte os tutores para nao acumular duvidas 47 CEDERJ Produto Interno MÓDULO 1 AULA 4 Aula 4 Produto Interno Objetivos Definir as noções de ângulo entre dois vetores a norma de um vetor e a operação de produto interno Compreender as propriedades básicas da norma e do produto interno assim como a relação entre o produto interno e o conceito de ângulo Aplicar os conceitos de ângulo da norma e do produto interno em diversas situações geométricas e relacionar a equação da reta com a noção de produto interno Nesta aula definiremos outra operação entre vetores o produto interno Para isso introduzimos a noção de ângulo entre dois vetores Convenção Sejam O P e Q pontos do plano e consideremos o ângulo POQ Convencionamos atribuir o sinal positivo à medida de POQ quando esta for tomada no sentido antihorário e o sinal negativo quando tomada no sentido horário No ângulo POQ veja a Figura 41 medimos partindo da semireta que contém OP para a semireta que contém OQ Se tomamos o sentido antihorário obtemos para POQ medida positiva Se tomarmos o sentido horário a medida é negativa Se a primeira medida for igual a θº então a segunda é 360º θº Observe que podemos medir o ângulo POQ partindo da semireta que contém OQ para a semireta que contém OP veja a Figura 42 Desta forma no sentido antihorário a medida do ângulo é θº e no sentido horário é 360º θº Sendo que cos θº cos360º θº cosθº cos360º θº convencionamos em atribuir ao ângulo POQ a menor medida positiva Por exemplo ao ângulo POQ mostrado nas Figuras 41 e 42 atribuímos a medida θ Figura 41 POQ medido de PO para QO Figura 42 POQ medido de QO para PO Sobre a medida dos ângulos Lembre que um ângulo pode ser medido tanto em graus quanto em radianos A medida de um ângulo em radianos seguindo o sentido antihorário é igual ao comprimento do arco do círculo de raio 1 determinado por esse ângulo Assim para determinar a medida X em radianos que corresponde à medida θº usamos a seguinte regra de proporção sabendo que a medida de 360º corresponde a 2π radianos θº X 360º 2π Isto é X 2 π θ π θ Similarmete a medida de 360 180 X radianos corresponde a θº onde θ 360 X 180 X 2π π 49 CEDERJ GEOMETRIA ANALÍTICA I Produto Interno Ângulo entre segmentos orientados Consideremos dois segmentos orientados AB e CD Sejam OP e OQ os únicos segmentos orientados com origem no ponto O que são equipolentes a AB e CD respectivamente O ângulo de AB para CD é o ângulo POQ com exigência de que sua medida seja tomada de OP para OQ Figura 43 Observação Se um dos segmentos orientados AB ou CD for nulo diremos que o ângulo entre eles é nulo Observe que se AB e CD são equipolentes a AB e CD respectivamente então o ângulo de AB para CD é igual ao ângulo de AB para CD Definição 49 Ângulo entre vetores Sejam v e w vetores do plano Consideremos AB e CD segmentos orientados tais que v AB e w CD O ângulo de v para w denotado vw é o ângulo de AB para CD Se v 0 ou w 0 for nulo dizemos que o ângulo wv é nulo Sabendo que o módulo de um segmento orientado é igual à distância entre as suas extremidades definimos o tamanho ou norma de um vetor Definição 410 Norma de um vetor Sejam v um vetor do plano e AB um segmento orientado tal que v AB A norma ou comprimento do vetor v que designamos por v é o módulo do segmento AB v AB dAB Considerando um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas do plano com origem no ponto O e o ponto P xy tal que v OP temos v OP dOP x² y² Na seguinte proposição reunimos as principais propriedades da norma Ângulo bem definido Note que a definição de vw não depende dos representantes de v e w De fato sejam EF e GH tais que v EF e w GH Como EF e GH são equipolentes a AB e CD respectivamente o ângulo de EF pra GH é igual ao ângulo de AB para CD A norma está bem definida Se AB e CD são segmentos equipolentes então AB CD Logo se v AB temos v AB CD Isto é v independe do segmento orientado escolhido como representante de v 50 CEDERJ Proposição 48 Propriedades da norma de um vetor Sejam v w vetores do plano e λ R então 1 v 0 2 v 0 se e somente se v é o vetor nulo 3 λv λv 4 v w v w esta é a chamada desigualdade triangular Demonstração 1 Como a distância entre dois pontos do plano é sempre um número nãonegativo temos que se v AB então v AB dA B 0 2 Se v AB temos v AB dA B 0 A B v AB 0 3 Consideremos o vetor v em coordenadas v x y Temos λ v λx λy λx2 λy2 λ2x2 y2 λx2 y2 λv 4 A seguir a desigualdade triangular não será utilizada No entanto por se tratar de uma importante propriedade da norma apresentamos a sua demonstração no Apêndice B Definição 411 Vetor unitário Um vetor que tem norma igual a 1 é chamado unitário Exemplo 41 a Os vetores v 10 e w 33 63 são unitários De fato v 12 02 1 1 e w 332 632 39 69 99 1 Na prática Calculamos a norma de um vetor a partir da sua expressão em coordenadas Como no exemplo ao lado b O vetor u 22 12 não é unitário pois u 222 122 24 14 34 32 1 Observação Dado um vetor nãonulo do plano sempre podemos determinar dois vetores unitários colineares a v Com efeito se v x y é um vetor nãonulo então v é um número real positivo Afirmamos que os vetores u 1v v e w 1v v são unitários e colineares a v De fato u e w são colineares a v pois são múltiplos de v eles são unitários pois u 1v v 1vv 1vv vv 1 w 1v v 1vv 1vv vv 1 Exemplo 42 Calcular os vetores unitários paralelos ao vetor v 3 2 Solução A norma de v é v 32 22 13 Logo os vetores u 1133 2 313 213 e w 1133 2 313 213 são unitários e colineares a v Agora estamos em condições de definir o produto interno de dois vetores Definição 412 Produto interno Sejam v e w vetores do plano O produto interno de v e w denotado por v w é o número real v w v w cosv w Lembre que Na expressão que define o produto interno v w é o ângulo de v para w Definição 413 Projeção ortogonal Sejam v AB e w AC vetores do plano representados por segmentos orientados com a mesma origem Tracemos a reta que passa pelo ponto B e é perpendicular a reta que contém AC Seja B o ponto de interseção dessas duas retas O vetor AB que designamos por pr w v é chamado a projeção ortogonal de v sobre w veja a Figura 44 O produto interno está intimamente relacionado ao conceito geométrico de projeção ortogonal De fato suponhamos que w seja um vetor unitário isto é w 1 Tracemos o círculo de centro A e raio igual ao comprimento norma de v Segue da trigonometria que o comprimento do vetor pr w v é igual ao produto do raio do círculo v pelo módulo de cosw v veja a Figura 45 ou seja pr w v AB vcosw v Como cosv w cosv w cosw v e w 1 temos pr w v vw cosv w v w Com isto mostramos que se w é um vetor unitário o módulo do produto interno de v e w é igual ao comprimento da projeção ortogonal de v sobre w Se o ângulo v w está entre 0 e π2 90 temos pr w v v w pois cosv w 0 e se v w está entre π2 e π temos pr w v v w pois cosv w 0 Note ainda que para v w π2 os vetores são perpendiculares portanto a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro é o vetor nulo Portanto se w é um vetor unitário a projeção ortogonal de v sobre w que designamos por pr w v é o vetor pr w v v w w Observe que Se v ou w é o vetor nulo então v w 0 Note também que se v e w são unitários então v w cosv w Nesse sentido as noções de ângulo e produto interno são essencialmente equivalentes Produto Interno Na seguinte proposicao apresentamos as propriedades basicas do pro duto interno Proposicao 49 Propriedades do produto interno Para quaisquer vetores u v w e para qualquer numero real λ valem as propriedades 1 v w w v propriedade comutativa 2 λ v w λ v w v λ w 3 u v w u v u w propriedade distributiva Demonstracao Propriedade 1 Ja vimos que cos v w cos w v Segue deste fato e da propriedade comutativa do produto dos numeros reais que v w w v Logo v w v w cos v w w v cos w v w v Propriedade 2 Se λ 0 a propriedade e facilmente verificada pois λ v e λ w sao vetores nulos Figura 46 ˆAngulos com λ 0 Consideremos o caso em que λ 0 Analisemos primeiro os modulos Como λ v λ v para qualquer ve tor v e λ e positivo temos λ v λ v e λ w λ w Analisemos agora os ˆangulos Como λ e positivo o vetor λ v tem o mesmo sentido que v e λ w tem o mesmo sentido de w Logo os ˆangulos v w λ v w e v λ w tˆem a mesma medida veja a Figura 46 Portanto cos v w cosλ v w cos v λ w Logo λ v w λ v w cosx v w λ v w cos v w λ v w cos v w λ v w CEDERJ 54 Produto Interno MÓDULO 1 AULA 4 Analogamente concluímos que 𝑣 λ𝑤 λ𝑣 𝑤 Consideremos agora o caso em que λ 0 Primeiro analisem os módulos como λ 0 temos λ λ assim λ𝑣 λ𝑣 λ𝑣 e λ𝑤 λ𝑤 λ𝑤 Agora analisemos os ângulos como λ 0 λ𝑣 e 𝑣 têm sentidos opostos Logo λ𝑤 e 𝑤 também têm sentidos opostos Portanto se o ângulo 𝑣 𝑤 mede θ então o ângulo λ𝑣 𝑤 mede π θ veja a Figura 47 Figura 47 Análise do ângulo com λ 0 Segue das identidades trigonométricas que cosπ θ cos θ cos𝑣 𝑤 Logo λ𝑣 𝑤 λ𝑣 𝑤 cosλ𝑣 𝑤 λ𝑣 𝑤 cos𝑣 𝑤 λ𝑣 𝑤 Propriedade 3 Para demonstrar a propriedade distributiva precisamos da expressão do produto interno em coordenadas Para obter essa expressão utilizaremos a Lei dos cossenos veja a nota ao lado Proposição 410 Expressão do produto interno em coordenadas Sejam 𝑣 𝑥₁ 𝑦₁ e 𝑤 𝑥₂ 𝑦₂ vetores do plano Então 𝑣 𝑤 𝑥₁𝑥₂ 𝑦₁𝑦₂ 41 Demonstração Observe que a relação 41 é válida quando algum dos vetores é o vetor nulo Portanto consideremos apenas o caso em que 𝑣 e 𝑤 são vetores nãonulos Figura 49 Identidades trigonométricas Se α e β são duas medidas de ângulos então cosα β cos α cos β sen α sen β e senα β cos α sen β sen α cos β Lei dos cossenos Se A B e C são pontos distintos do plano a BC b AC c AB e α BAC β ABC γ ACB então a2 b2 c2 2bc cos α b2 a2 c2 2ac cos β c2 a2 b2 2ab cos γ Figura 48 Lei dos cossenos no triângulo ABC Nota importante A lei dos cossenos continua válida mesmo que os pontos A B e C sejam colineares Veja o Apêndice Produto Interno Sejam a v b w c w v e γ a medida do ˆangulo v w Usando a lei dos cossenos temos c2 a2 b2 2 a b cos γ Logo w v 2 v 2 w 2 2 v w cos v w Como w v x2 x1 y2 y1 obtemos w v 2 x2 x12 y2 y12 x2 2 x2 1 2x1x2 y2 2 y2 1 2y1y2 42 Figura 49 Produto in terno e lei dos cossenos e tambem v 2 w 2 2 v w cos v w v 2 w 2 2 v w x2 1 x2 2 y2 1 y2 2 2 v w 43 A formula 41 resulta igualando 42 e 43 e cancelando os termos comuns Estamos agora em condicoes de demonstrar a propriedade distributiva do produto interno u v w u v u w Com respeito a um sistema ortogonal de coordenadas sejam u x1 y1 v x2 y2 e w x3 y3 Usando as propriedades das operacoes em R e a formula 41 temos u v w x1 y1 x2 x3 y2 y3 x1x2 x3 y1y2 y3 x1x2 x1x3 y1y2 y1y3 x1x2 y1y2 x1x3 y1y3 u v u w Com isto terminamos a prova da proposicao 49 Observacao Se v e um vetor qualquer do plano entao v v v 2 De fato como a medida do ˆangulo v v e 0 radianos ou 0o temos cos v v cos 0 1 e v v v v cos v v v 2 CEDERJ 56 Produto Interno MÓDULO 1 AULA 4 Quando analisamos a representação geométrica do produto interno em termos da projeção ortogonal vimos que se 𝑤 é um vetor unitário então a projeção ortogonal pr𝑤𝑣 do vetor 𝑣 sobre o vetor 𝑤 é pr𝑤𝑣 𝑣 𝑤𝑤 𝑤 Se o vetor 𝑤 não é unitário mas apenas nãonulo consideramos o vetor 𝑤 𝑤 que é unitário paralelo a 𝑤 e com igual sentido Definimos a projeção de 𝑣 sobre 𝑤 como sendo a projeção de 𝑣 sobre 𝑤 𝑤 que designamos por pr𝑤𝑣 Usando a Propriedade 2 do produto interno temos pr𝑤𝑣 𝑣 𝑤 𝑤 𝑤 𝑤 𝑣 𝑤 𝑤2 𝑤 Terminamos esta aula ilustrando a importância do produto interno com uma série de exemplos e considerações geométricas Exemplo 43 Determinar o valor de 𝑎 ℝ tal que os vetores 𝑣 𝑎 1 e 𝑤 2 3 tenham produto interno igual a 15 Achar também o cosseno do ângulo formado por esses vetores e a projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑤 Solução Usando a caracterização do produto interno em termos de coordenadas temos 𝑣 𝑤 𝑎 1 2 3 𝑎 2 1 3 2𝑎 3 Logo 𝑣 𝑤 15 se e somente se 2𝑎 3 15 Portanto 𝑎 6 e 𝑣 6 1 Da definição do produto interno temos cos𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 Como 𝑣 6 1 6² 1² 37 e 𝑤 2 3 2² 3² 4 9 13 temos cos𝑣 𝑤 15 37 13 Finalmente a projeção de 𝑣 sobre 𝑤 é o vetor pr𝑤𝑣 𝑣 𝑤 𝑤2 𝑤 15 132 2 3 3013 4513 Exemplo 44 Determinar os valores 𝑚 ℝ que fazem a projeção ortogonal do vetor 𝑣 𝑚 1 𝑚 1 sobre o vetor 𝑤 𝑚 1 𝑚 ser unitária GEOMETRIA ANALÍTICA I Produto Interno Solução Como pr𝑤𝑣 𝑣 𝑤𝑤 temos pr𝑤𝑣 1 𝑚1 𝑚1 𝑚 1𝑚 𝑚2 1𝑚2 1 𝑚1 𝑚1 𝑚 1𝑚 𝑚2 1𝑚2 𝑚2 𝑚 𝑚2 2𝑚 1 𝑚2 1𝑚2 3𝑚 1 𝑚2 1𝑚2 3𝑚 12 𝑚2 1𝑚22 9𝑚2 6𝑚 1 𝑚2 1 2𝑚 𝑚2 7𝑚2 4𝑚 0 𝑚 0 ou 7𝑚 4 0 𝑚 0 ou 𝑚 47 Definição 414 Ortogonalidade de vetores Dois vetores 𝑣 e 𝑤 do plano são chamados ortogonais ou perpendiculares e escrevemos 𝑣 𝑤 se o produto interno entre eles é nulo Isto é 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 0 Como 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 cos𝑣 𝑤 concluímos que 𝑣 𝑤 se e somente se 𝑣 0 ou 𝑤 0 ou cos𝑣 𝑤 0 A última alternativa significa que o ângulo entre 𝑣 e 𝑤 é reto isto é a sua medida é 90 ou seja π2 radianos Observação Seja 𝑣 𝑎 𝑏 um vetor nãonulo Então um vetor 𝑤 é ortogonal a 𝑣 se e somente se 𝑤 λ𝑏 λ𝑎 para algum escalar λ ℝ De fato um vetor 𝑤 𝑐 𝑑 é ortogonal a 𝑣 𝑎 𝑏 se e somente se 𝑣 𝑤 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑐 𝑏𝑑 0 No entanto na Aula 3 vimos que det c d b a 𝑎𝑐 𝑏𝑑 0 se e somente se o vetor 𝑐 𝑑 é múltiplo do vetor 𝑏 𝑎 Isto é se e somente se existe um escalar λ ℝ tal que 𝑐 𝑑 λ𝑏 𝑎 λ𝑏 λ𝑎 Exemplo 45 Os vetores 𝑣 2 1 e 𝑤 22 4 são ortogonais pois Produto Interno M ODULO 1 AULA 4 v w 22 2 14 4 4 0 No entanto se u 1 2 entao u e v nao sao ortogonais De fato u v 1 2 21 2 2 0 O conceito de ortogonalidade entre vetores permite dar um significado geometrico aos coeficientes da equacao cartesiana de uma reta Sejam A x1 y1 e B x2 y2 pontos da reta r ax by c Entao ax1 by1 c e ax2 by2 c Igualando os lados esquerdos dessas identidades obtemos ax1 by1 ax2 by2 Logo ax2 x1 by2 y1 0 e portanto η AB a b AB 0 Isto e η a b e ortogonal a qualquer vetor direcao da reta r Este fato motiva a seguinte definicao Definicao 415 Um vetor v e dito normal ortogonal ou perpendicular a uma reta r se ele for ortogonal a qualquer vetor direcao da reta r Pelo visto anteriormente temos η a b e um vetor normal a reta r ax by c Exemplo 46 Seja A 1 3 um ponto do plano Determinar a equacao cartesiana da reta r que passa por A e e perpendicular ao vetor v 4 5 Solucao A equacao cartesiana de r e da forma 4x 5y c Como A pertence a r temos 41 53 c Isto e c 19 Portanto a equacao de r e 4x 5y 19 Exemplo 47 Dar as equacoes parametricas da reta r 3x y 2 0 Solucao Da equacao cartesiana de r obtemos que η 3 1 e um vetor normal a r Logo o vetor δ 1 3 1 3 que e perpendicular a η e um vetor direcao de r Alem disso observe que o ponto A 0 2 pertence a r 59 CEDERJ Produto Interno Portanto as equacoes parametricas de r sao r x 0 1 t y 2 3 t t R Isto e r x t y 2 3t t R Compare com as tecnicas desenvolvidas na Aula 3 Exemplo 48 Determinar a equacao cartesiana da reta r onde r x 2 3t y 1 t t R Solucao A partir da forma das equacoes parametricas vemos que r e a reta que passa pelo ponto A 2 1 com direcao δ 3 1 Logo o vetor η 1 3 e um vetor normal a r Portanto a equacao cartesiana de r e da forma 1x 3y c Para determinarmos o valor de c substituımos as coordenadas do ponto A na identidade 1x 3y c 12 31 c ou seja c 5 e a equacao cartesiana de r e x 3y 5 ou seja multiplicando por 1 r x 3y 5 Exemplo 49 Seja A 1 3 Dar a equacao cartesiana da reta r que contem A e e perpendicular a reta s de equacoes parametricas s x 2 3t y 1 t t R Solucao Das equacoes parametricas de s obtemos um vetor direcao δ 3 1 Esse vetor e perpendicular as retas perpendiculares a s Assim a reta r que procuramos deve ter a sua equacao cartesiana na forma 3x y c onde o valor de c e determinado substituindo as coordenadas do ponto A 31 3 c isto e c 6 Portanto a equacao cartesiana de r e r 3x y 6 A nocao geometrica de ˆangulo entre duas retas do plano e tambem reformulada analiticamente a partir do produto interno veja Definicao 416 ˆAngulo entre duas retas do plano Sejam r e s retas do plano e sejam v w vetores naonulos paralelos a r CEDERJ 60 e s respectivamente Definimos o ângulo entre r e s como sendo o ângulo de medida θ com 0 θ π 2 radianos ou seja entre 0º e 90º tal que cosθ cosv w v w v w Isto é o ângulo entre duas retas é o menor ângulo positivo por elas determinado Exemplo 410 Determinemos o cosseno do ângulo entre as retas r e s dadas por r 3x 4y 1 e s x 2t 1 y t t R Solução Da equação cartesiana de r vemos que η 3 4 r Logo v 4 3 4 3 que é perpendicular a η é um vetor direção de r Das equações de s vemos que w 2 1 é um vetor direção de s Calculando temos v 42 32 16 9 25 5 w 22 12 4 1 5 v w 42 31 8 3 5 Portanto o cosseno da medida θ do ângulo entre r e s é cosθ 5 55 1 5 Definição 417 Mediatriz de um segmento Seja AB um segmento no plano e seja M o seu ponto médio A reta r que é perpendicular à reta que contém A e B e passa pelo ponto M é chamada a mediatriz de AB Exemplo 411 Determinar a equação cartesiana da mediatriz r do segmento AB onde A 2 3 e B 5 4 Solução Como o vetor AB 5 2 4 3 3 1 é perpendicular à mediatriz do segmento AB a equação da mediatriz é r 3x y c Já que o ponto médio M 122 5 3 4 72 72 do segmento AB pertence à reta r temos 3 72 72 c Isto é c 4 72 14 Portanto a equação cartesiana da mediatriz é r 3x y 14 Exemplo 412 Determinar as equações das retas que passam pelo ponto 2 1 formando um ângulo de 45º com a reta r 2x 3y 7 0 Solução Seja v a b o vetor direção de uma das retas procuradas O vetor 2 3 é perpendicular a r logo 3 2 é um vetor direção de r Pela definição do ângulo entre duas retas temos 2 2 cos 45º a b 3 2 a b 3 2 3a 2b a b 3 2 logo 2 a b 3 2 23a 2b Tomando quadrados em ambos os lados dessa igualdade obtemos 2a² b²3² 2² 43a 2b² e efetuando os produtos temos 13a² 13b² 18a² 24ab 8b² Agrupando os termos nesta igualdade obtemos 5a² 5b² 24ab 0 Isto é 5a² 24ab 5b² ou seja a² 245 ab b² Completando o quadrado temos a² 245 ab 12² 52 b² b² 12² 52 b² ou seja a 125 b² 169 25 b² 135 b² Portanto a 125 b 135 b ou a 125 b 135 b Isto é a 15 b ou a 5 b Logo os vetores direção das retas procuradas são da forma 15 b b ou 5 b b Produto Interno M ODULO 1 AULA 4 Assim fazendo b 5 no primeiro vetor e b 1 no segundo obtemos os vetores direcao 1 5 e 5 1 que sao mutuamente perpendiculares Logo as duas retas possıveis sao da forma x 5y c1 ou 5x y c2 As constantes c1 e c2 sao determinadas sabendo que as retas passam pelo ponto 2 1 c1 2 51 3 e c2 52 1 11 Portanto as retas procuradas tˆem equacoes cartesianas x 5y 3 e 5x y 11 Figura 412 Exemplo 413 Exemplo 413 Determinar o ponto P simetrico ao ponto P 4 1 com respeito a reta r 2x y 2 Solucao Para obtermos o ponto P tracamos a reta ℓ perpendicular a reta r que passa por P Essa reta intersecta r em um ponto Q O ponto P procurado e o ponto tal que Q e o ponto medio de PP Isto e PQ QP Como o vetor 2 1 e perpendicular a reta r entao ele e um vetor direcao da reta ℓ Portanto 1 2 e perpendicular a reta ℓ e a sua equacao cartesiana tem a forma ℓ x 2y c onde o numero c e obtido substituindo na equacao de s as coordenadas de P c 4 21 6 Logo ℓ x 2y 6 Para obter o ponto Q resolvemos o sistema dado pelas equacoes das retas r e ℓ 2x y 2 x 2y 6 e obtemos Q 2 2 Da condicao QP PQ calculamos as coordenadas de P x y x 2 y 2 2 4 2 1 Logo P 0 3 Observacao Um problema geometrico interessante e o seguinte dadas as retas r e s determinar a reta r simetrica a reta r em relacao a s veja a Figura 413 A reta r e obtida da seguinte forma seja P r tal que P s Como no Exemplo 413 tomamos o ponto P simetrico de P em relacao a reta s 63 CEDERJ Produto Interno Figura 413 A reta r e simetrica a reta r em relacao a reta s Se r e s nao sao paralelas r e a reta que passa por P e pelo ponto de intersecao de r e s Se r e s sao paralelas entao r e a reta que passa por P e tem a direcao de r Exemplo 414 Determinar os pontos C e B de modo que a projecao ortogonal do segmento AB sobre a reta r x 3y 6 seja o segmento CD onde A 1 1 D 3 1 e AB e um segmento contido numa reta paralela ao vetor 2 1 Solucao Como AB s onde s e uma reta paralela ao vetor 2 1 temos que OB OA λ2 1 1 2λ 1 λ para algum λ R A reta s que e perpendicular a reta r e passa por A tem por equacao carte siana s 3x y 2 Verifique Entao s intersecta r no ponto C 6 5 8 5 vocˆe ja sabe que para determinar o ponto C basta resolver o sistema dado pelas equacoes de r e s Similarmente seja ℓ a reta perpendicular a reta r que passa por D ℓ 3x y 8 Como D e a projecao ortogonal do ponto B sobre a reta r e ℓ e perpendicular a reta r entao B ℓ Portanto as coordenadas de B 1 2λ 1 λ satisfazem a equacao de ℓ ℓ 31 2λ 1 λ 8 5λ 2 8 λ 6 5 Logo B 1 2 6 5 1 6 5 17 5 11 5 Resumo Nesta aula est a belecemos a nocao de produto interno entre dois veto res do plano Para isto foi necessario reest a belecer a nocao de ˆangulo entre segmentos e definir o conceito de norma ou comprimento de um vetor Vimos as propriedades da norma e do produto interno interpretamos geometrica mente o produto interno por meio da projecao ortogonal de um vetor sobre outro Obtivemos as expressoes da norma em coordenadas e aplicamos esses conceitos em diversas situacoes geometricas CEDERJ 64 Exercícios 1 Verifique que os pontos 2 5 8 1 e 2 1 são vértices de um triângulo retângulo 2 Determine a equação cartesiana da reta a paralela à reta 2x 5y 1 que passa pelo ponto 1 2 b perpendicular à reta y 3x 1 que passa pelo ponto 3 1 c perpendicular à reta x 3 que passa pelo ponto 2 0 3 Sejam A 1 2 B 1 3 e C 0 4 pontos do plano Determine a bissetriz do ângulo BAC Indicação Lembre que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide em dois outros ângulos de medidas iguais Considere os pontos B na semireta AB e C na semireta AC tais que v AB e w AC sejam unitários Observe que o vetor v w é a direção da reta desejada 4 Determine a reta simétrica à reta r em relação à reta s onde a r 4x y 3 e s 2x y 1 b r 2x 3y 1 e s 2x 3y 2 5 Determine as equações das retas que passam pelo ponto P 1 1 e formam cada uma um ângulo de 30º com a reta r x 3y 1 6 Dados os pontos A 1 0 B 2 4 C 2 1 e a reta r 3x 2y 4 determine D r tal que o vetor CD seja a projeção ortogonal do vetor AB sobre r 7 Seja r a mediatriz do segmento AB onde A 5 3 e B 1 1 Determine pontos C D r de modo que ACBD seja um quadrado 8 Determine a b R de modo que a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta x 2y 1 seja o segmento CD onde C 1 0 D 3 1 A 0 a e B 1 b 9 Seja P o paralelogramo ABCD cujas diagonais são perpendiculares e se cortam no ponto M 2 2 Se A 1 1 e o comprimento de lado AB é igual a 10 determine os outros vértices de P 10 A hipotenusa de um triângulo retângulo ABC está sobre a reta 2x 3y 5 O vértice A do ângulo reto é o ponto 1 1 e o vértice B tem abscissa 2 Determine as coordenadas dos vértices B e C 11 Seja BB um segmento que contém o segmento BA onde A 1 1 é o ponto médio de BB e overrightarrowAB é paralelo ao vetor overrightarrowv 2 1 Se a projeção ortogonal de B sobre a reta r x 3y5 é o ponto C2 1 determine as coordenadas do ponto B 12 Seja mathcalP o paralelogramo ABCD com o lado AB sobre a reta r e uma das diagonais sobre a reta s onde r x 2y 1 e s x y 2 Se o ponto médio da diagonal AC é o ponto M 1 1 e as diagonais são perpendiculares determine os vértices e a área de mathcalP Autoavaliação Os exercícios acima avaliam se você assimilou todos os conceitos apresentados nesta aula Em cada um desses exercícios os conceitos de produto interno norma perpendicularidade e medida de ângulos são manipulados de forma unificada Caso tenha dificuldade ao resolvêlos volte e reveja os conceitos apresentados Lembrese que os tutores podem ajudálo Não esqueça de trocar idéias com os seus colegas Apêndice A Lei dos cossenos Nesta aula usamos a Lei dos cossenos para obter a expressão do produto interno em termos de coordenadas Apenas para complementar a nossa exposição lembramos aqui os detalhes sobre esse importante resultado Proposição Lei dos cossenos Sejam A B e C pontos distintos do plano Denotemos a BC b AC c AB e alpha angle BAC beta angle ABC gamma angle ACB Então a2 b2 c2 2bc cos alpha b2 a2 c2 2ac cos beta c2 a2 b2 2ab cos gamma Demonstração Consideremos separadamente o caso em que os pontos não são colineares e o caso em que os pontos são colineares Caso 1 Os pontos A B e C não são colineares Produto Interno M ODULO 1 AULA 4 Tracando a altura CH em relacao ao lado AB e aplicando o Teorema de Pitagoras ao triˆangulo HBC temos a2 BH2 CH2 Observe que se 0 α π 2 como na Figura 414 entao AH b cos α CH b sen α e BH c AH c b cos α Logo a2 c b cos α2 b sen α2 c2 2bc cos α b2 cos2 α b2 sen2 α c2 2bc cos α b2cos2 α sen2 α c2 b2 2bc cos α As outras relacoes sao obtidas tracando as outras alturas Se π 2 α π entao AH b cosπ α CH b senπ α e BH c AH O resto dos calculos segue como no caso em que 0 α π 2 Caso 2 Os pontos A B e C sao colineares De fato sejam a BC b AC e c AB Figura 416 Lei dos cossenos A B e C colineares Suponhamos que B esteja entre A e C veja a Figura 416 Entao o ˆangulo α entre AB e AC e nulo cos α 1 a b c e temos a2 b2 c2 2bc b2 c2 2bc cos α o ˆangulo β entre BA e BC e π cos β 1 b a c e temos b2 a2 c2 2 a b a2 c2 2ac cos β o ˆangulo γ entre CA e CB e nulo cos γ 1 c b a e temos c2 a2 b2 2 a b a2 b2 2 a b cos γ O caso em que A esta entre B e C e o caso em que C esta entre A e B sao analisados de maneira similar 67 CEDERJ Produto Interno Apˆendice B A desigualdade triangular Desigualdade triangular A interpretacao geometrica da desigualdade triangular e que num triˆangulo qualquer a soma dos comprimentos de dois lados e sempre maior que o comprimento do terceiro lado Observe que representando os comprimentos de dois dos lados de um triˆangulo por meio das normas dos vetores v e w o terceiro lado e representado pela norma do vetor v w Figura 417 Desigual dade triangular Neste apˆendice vamos demonstrar a desigualdade triangular anunciada na propriedade 4 da Proposicao 48 Para quaisquer vetores v e w do plano temos v w v w Antes de demonstrarmos a desigualdade observe que se v e w sao vetores do plano entao v w v w Com efeito sabemos que o cosseno de um ˆangulo qualquer e um numero real pertencente ao intervalo 1 1 logo cos v w 1 e temos v w v w cos v w v w 1 v w Demonstracao da desigualdade triangular Como a norma de um vetor e um numero nao negativo vemos que a desigualdade triangular e equivalente a seguinte desigualdade v w 2 v w 2 Para demonstrar esta desigualdade desenvolvemos o lado direito usando a propriedade distributiva do produto interno e as observacoes acima v w 2 v w v w v v 2 v w w w v 2 2 v w w 2 v 2 2 v w w 2 v w 2 demonstrando assim a desigualdade triangular Lembre que Se a e b sao numeros reais nao negativos entao a desigualdade a b equivale a desigualdade a2 b2 pois a funcao fx x2 x 0 e crescente CEDERJ 68 Aula 5 Produto interno Aplicações Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas Determinar as bissetrizes de duas retas concorrentes Nesta aula vamos usar o produto interno e a norma para calcular áreas de paralelogramos e triângulos e calcular distâncias entre pontos e retas e entre retas paralelas Afinal todas as situações geométricas no plano que envolvem a determinação de distâncias e ângulos no plano podem ser analisadas em termos de produtos internos de vetores Áreas de paralelogramos e triângulos Sabemos que a área de um paralelogramo ABCD é o produto da medida de um dos seus lados pela altura em relação a esse lado No paralelogramo da Figura 51 DD é a altura em relação ao lado AB logo Área de ABCD ABcdot DD Se alpha angle DAD segue da trigonometria que DD AD sen alpha e substituindo expressão da área obtemos Área de ABCD AB cdot AD cdot sen alpha Para expressar essa área em termos do produto interno consideremos os vetores nãonulos overrightarrowv overrightarrowAB e overrightarroww overrightarrowAD Então AB overrightarrowv AD overrightarroww e sen alpha senoverrightarrowv overrightarroww onde overrightarrowv overrightarroww é o ângulo de overrightarrowv para overrightarroww Substituindo na expressão da área temos Área de ABCD overrightarrowv cdot overrightarroww cdot senoverrightarrowv overrightarroww 51 Como overrightarrowv eq overrightarrow0 e overrightarroww eq overrightarrow0 temos cosoverrightarrowv overrightarroww fraclangle overrightarrowv overrightarroww rangleoverrightarrowv cdot overrightarroww Além disso sabemos que sen2overrightarrowv overrightarroww 1 cos2 overrightarrowv overrightarroww Logo Lembre que A relação cos2 heta sen2 heta 1 é válida qualquer que seja o ângulo heta Dessa relação obtemos sen2 heta 1 cos2 heta Logo sen heta sqrt1 cos2 heta para todo heta Figura 51 Paralelogramo ABCD Lembre que Um paralelogramo é um quadrilátero que tem lados opostos paralelos Você pode verificar que isso implica que os lados opostos são congruentes senoverrightarrowv overrightarroww left1 cos2overrightarrowv overrightarroww rightfrac12 left1 fraclangle overrightarrowv overrightarroww rangle2overrightarrowv2 overrightarroww2 rightfrac12 leftfracoverrightarrowv2 overrightarroww2 langle overrightarrowv overrightarroww rangle2overrightarrowv2 overrightarroww2rightfrac12 fracsqrtoverrightarrowv2 overrightarroww2 langle overrightarrowv overrightarroww rangle2overrightarrowv overrightarroww Substituindo essa expressão na identidade 51 temos Área de ABCD overrightarrowv overrightarroww fracsqrtoverrightarrowv2 overrightarroww2 langle overrightarrowv overrightarroww rangle2overrightarrowv overrightarroww sqrtoverrightarrowv2 overrightarroww2 langle overrightarrowv overrightarroww rangle2 Como overrightarrowv overrightarrowAB overrightarroww overrightarrowAD overrightarrowv AB e overrightarroww AD Área de ABCD sqrtAB2 AD2 langle overrightarrowAB overrightarrowAD rangle2 52 Exemplo 51 Sejam os pontos A 01 B 3 0 C 1 2 e D 2 1 Mostrar que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e calculemos sua área Solução Para mostrar que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo basta verificar que seus lados opostos são paralelos Isso equivale a mostrar que os vetores overrightarrowAB e overrightarrowCD são colineares e que os vetores overrightarrowAD e overrightarrowBC também são colineares overrightarrowAB 30 01 3 1 overrightarrowCD 21 12 3 1 overrightarrowAD 20 11 2 2 overrightarrowBC 13 20 2 2 Dessas expressões vemos que overrightarrowAB é colinear a overrightarrowCD e overrightarrowAD é colinear a overrightarrowBC Para determinar a área de ABCD calculamos AB sqrt32 12 sqrt10 AD sqrt22 22 sqrt8 langle overrightarrowAB overrightarrowAD rangle langle 3 1 2 2rangle 3 imes2 1 imes 2 6 2 4 Substituindo esses valores na fórmula 52 obtemos Área de ABCD sqrtAB2 AD2 langle overrightarrowAB overrightarrowAD rangle2 sqrt10 imes 8 42 sqrt80 16 sqrt64 8 unidades de área Consideremos agora um triângulo ABC Sabemos que sua área é a metade do produto do comprimento de um dos lados pela altura em relação a esse lado Figura 52 Portanto se AB é o lado considerado e CC é a altura então Área de ABC 12 AB CC Sendo AB CC a área do paralelogramo ABAC Figura 53 onde A é o ponto de interseção da reta paralela ao segmento AC que passa por B com a reta paralela e AB que passa por C obtemos Área de ABC 12AB2AC2 AB AC2 53 Distância de um ponto a uma reta Seja r uma reta e P um ponto do plano A distância de P a r que denotamos dP r é assim definida a reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r intersecta r num único ponto P0 A distância de P a r é a distância de P a P0 isto é veja a Figura 54 dP r PP0 Note que se Q r Q P0 então a distância de P a Q é maior que a distância de P a P0 pois no triângulo PP0Q o lado PQ é oposto ao ângulo reto sendo portanto o maior dos lados desse triângulo Observação P r dP r 0 pois P0 P e dP r PP0 PP 0 Vejamos agora como calcular a distância de um ponto P x1 y1 a uma reta r ax by c Da Aula 4 sabemos que η a b é um vetor normal perpendicular à reta r Portanto a reta s que passa por P e é perpendicular a r tem equações paramétricas s x x1 at y y1 bt t ℝ Como P0 r s o ponto P0 é um ponto de s Logo existe um número real t0 tal que P0 x1 at0 y1 bt0 Pela definição da distância de um ponto a uma reta temos dP r PP0 x1 at0 x12 y1 bt0 y12 a2t02 b2t02 t0a2 b2 Resta encontrarmos o valor de t0 Como P0 r as suas coordenadas satisfazem a equação de r ax1 at0 by1 bt0 c Desenvolvendo essa igualdade obtemos o valor de t0 ax1 a2t0 by b2t0 c t0a2 b2 c ax1 by1 t0 c ax1 by1 a2 b2 ax1 by1 c a2 b2 Substituindo esse valor de t0 na equação 54 da distância de P a r dP r t0a2 b2 ax1 by1 c a2 b2a2 b2 ax1 by1 c a2 b2 Destacamos o resultado obtido da seguinte maneira Proposição 511 A distância do ponto P x1 y1 à reta r ax by c é igual a dP r ax1 by1 c a2 b2 54 Exemplo 52 Determinemos a distância do ponto P 4 2 à reta r de equações paramétricas r x 3 5t y 2 3t t ℝ Solução Para usar a equação 54 devemos conhecer a equação cartesiana da reta r Colocando em evidência o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas x 3 5t t x 3 5 y 2 3t t y 2 3 e igualando as expressões de t obtemos x 3 5 y 2 3 Logo a equação cartesiana de r é r 3x 5y 1 Nessa equação cartesiana identificamos a 3 b 5 e c 1 Substituindo esses dados na relação 54 junto com as coordenadas x1 4 e y1 2 do ponto P obtemos a distância de P a r em unidades de comprimento dP r 34 52 1 32 52 3 34 3 34 334 34 Como aplicação do conceito de distância de um ponto a uma reta veremos como determinar as bissetrizes entre duas retas concorrentes Definição 518 Uma reta r é chamada uma bissetriz de duas retas concorrentes r1 e r2 se os ângulos de r a r1 e de r a r2 são iguais Veja a Figura 56 Primeiramente vamos caracterizar uma bissetriz em termos de distância Proposição 512 Uma reta r é uma bissetriz das retas r1 e r2 se e somente se os pontos de r são eqüidistantes das retas r1 e r2 Demonstração Suponhamos que r é uma bissetriz das retas r1 e r2 que se cortam no ponto P0 e seja P r um ponto arbitrário A reta perpendicular a r1 que passa por P intersecta r1 no ponto Q1 e a reta perpendicular a r2 que passa por P intersecta r2 no ponto Q2 como mostramos na Figura 57 Consideramos os triângulos retângulos P0Q1P e P0Q2P Como r é bissetriz de r1 e r2 os ângulos PP0Q1 e PP0Q2 têm a mesma medida e como os ângulos P0Q1P e P0Q2P são retos concluímos que os ângulos P0PQ1 e P0PQ2 têm também a mesma medida Portanto os triângulos P0Q1P e P0Q2P são congruentes pois têm o lado P0P em comum critério de congruência ALA ânguloladoângulo Em particular as medidas dP r1 PQ1 e dP r2 PQ2 são iguais Como P r foi escolhido arbitrariamente concluímos que os pontos da bissetriz r são eqüidistantes de r1 e r2 Reciprocamente vejamos que se P é um ponto eqüidistante de r1 e r2 então a reta r que passa por P e P0 é uma bissetriz de r1 e r2 A nossa hipótese equivale a PQ1 PQ2 ver Figura 57 Como os triângulos P0Q1P e P0Q2P têm o lado P0P em comum obtemos pelo Teorema de Pitágoras que os lados P0Q1 e P0Q2 têm a mesma medida e portanto os triângulos são congruentes Logo os ângulos Q1P0P e Q2P0P têm a mesma medida Isto é a reta r é bissetriz de r1 e r2 Exemplo 53 Verifiquemos que as retas r1 3x 4y 1 e r2 y 3 são concorrentes e determinemos as suas bissetrizes Solução As retas r1 e r2 são concorrentes pois o determinante da matriz cujas filas são os vetores normais dessas retas é diferente de zero lembre que isso implica que os vetores normais são LI ou seja não são paralelos 3 4 0 1 3 1 4 0 3 0 Para determinar as bissetrizes tomamos um ponto arbitrário P x y do plano tal que dP r1 dP r2 Calculando as distâncias de P a r1 e r2 usando a fórmula 54 obtemos 3x 4y 132 42 y 302 12 ou seja 3x 4y 15 y 3 ou ainda 3x 4y 1 5y 3 Eliminando os valores absolutos a última identidade equivale a 3x 4y 1 5y 15 ou 3x 4y 1 5y 15 obtendo assim duas possíveis equações para a bissetriz r r 3x y 16 ou r 3x 9y 14 Observe que as duas bissetrizes são perpendiculares pois calculando o produto interno dos vetores normais temos 3 1 3 9 3 3 1 9 0 Veja na Figura 58 as retas r1 e r2 junto com as suas bissetrizes Distância entre duas retas paralelas ou coincidentes Sabemos duas retas r e s no plano podem estar em três possíveis posições a saber as retas r e s podem ser Produto interno Aplicacoes M ODULO 1 AULA 5 coincidentes quando determinam o mesmo conjunto de pontos no plano concorrentes quando se intersectam em um unico ponto paralelas quando nao se intersectam Definimos a distˆancia entre as duas retas paralelas ou coincidentes da seguinte maneira Definicao 519 Sejam r e s duas retas no plano que sao paralelas ou coincidentes Se r e s sao coincidentes dizemos que a distˆancia entre elas que denotamos dr s e igual a zero Se r e s sao paralelas a distˆancia dr s e a distˆancia de um ponto qualquer de r a s dr s dP s sendo P um ponto qualquer de r e r s Na Figura 59 mostramos duas retas paralelas r e s Na reta r esco lhemos dois pontos P e Q A reta perpendicular a r e portanto a s que passa pelo ponto P intersecta s num unico ponto P Analogamente a reta perpendicular a r que passa pelo ponto Q intersecta s num unico ponto Q Vocˆe pode usar congruˆencia de triˆangulos para verificar que PP QQ Isto e dP s dQ s Logo a distˆancia entre duas retas esta bem definida Alem disso trocando os papeis de r e s nas consideracoes acima vemos que da no mesmo medir a distˆancia de r a s ou de s a r dr s dP s dP P dP r ds r Figura 59 Distˆancia de r e s A distˆancia de r a s Na Figura 59 vocˆe pode usar congruˆencia de triˆangulos para verificar que dP P dQ Q Por exemplo verifique que os triˆangulos P P Q e QQP sao congruentes Portanto dP s dQ s quaisquer que sejam os pontos P Q r Logo o calculo da distˆancia de r a s independe da escolha do ponto P na reta r Dito em outras palavras a distˆancia entre duas retas paralelas ou coincidentes esta bem definida Exemplo 54 Determinemos a distˆancia entre as retas r e s dadas por r 3x 6y 2 e s 2x 4y 5 75 CEDERJ Solução Note que as retas r e s são paralelas pois os seus vetores normais 3 6 e 2 4 são paralelos De fato 2 4 23 3 6 Figura 510 Determinamos a distância de r a s escolhendo um ponto P na r e calculando a sua distância à reta s Tomando x 0 na equação de r obtemos y 13 Logo o ponto P 0 13 pertence à reta r Usando a fórmula 54 dr s dP s 20 413 5 22 42 43 54 16 19320 193 25 19530 em unidades de comprimento Resumo Nesta aula vimos como usar o produto interno para calcular áreas de paralelogramos e triângulos a distância de um ponto a uma reta a distância entre duas retas paralelas e as bissetrizes de duas retas concorrentes Exercícios 1 Em cada um dos itens abaixo ache o ponto D de modo que ABCD seja um paralelogramo e calcule a sua área a A 1 1 B 2 1 C 4 2 b A 2 1 B 1 1 C 1 2 c A 0 1 B 0 1 C 5 2 d A 2 3 B 2 3 C 3 2 2 Determine a distância do ponto P à reta r onde a P 35 2 r x 4 b P 1 1 r 3x 2y 0 c P 3 2 r x 4y 3 d P 3 1 r x t 2 y 2t t R e P 0 2 r x 2t 1 y t 3 t R Produto interno Aplicacoes M ODULO 1 AULA 5 3 Verifique que o quadrilatero ABCD A 2 2 B 3 3 C 3 0 e D 1 2 e um trapezio isosceles e calcule sua area usando o produto interno 4 Determine se as retas r e r sao concorrentes ou nao caso afirmativo ache as bissetrizes a r 3x y 1 r y 3 2x b r x y 1 r x 2t 1 y t t R c r x t 1 y t 2 t R r x s y s 1 s R 5 Determine se as retas r e s sao paralelas ou nao caso afirmativo calcule a distˆancia entre elas a r 4x y 1 s y 4x 3 b r x 3 t y t t R s x 6 3u y 2u 1 u R c r 4x 2y 3 s x 1 t y 3 2t t R d r y 3 2x s x 1 3t y 3 6t t R Autoavaliacao Se vocˆe resolveu os exercıcios vocˆe fixou as tecnicas desenvolvidas na aula e sabe utilizar o produto interno para determinar areas e calcu lar distˆancias de pontos a retas e entre retas Fixe bem a nocao de bissetriz resolvendo em particular o Exercıcio 4 Nao acumule duvidas reveja o conteudo da aula e peca ajuda aos tutores 77 CEDERJ Aula 6 Produto interno Aplicações continuação Objetivos Calcular a distância de um ponto a um círculo e de uma reta a um círculo Determinar retas tangentes a um círculo Entender a posição relativa entre dois círculos e calcular a distância entre eles Nesta aula continuamos a aplicar as técnicas para determinar distâncias obtidas através do produto interno para analisar a posição relativa de pontos retas e círculos com respeito a círculos Além disso veremos como determinar as tangentes a um círculo que passam por um ponto dado Para isso apresentamos as noções básicas sobre o círculo no plano incluindo a determinação da sua equação a introdução dos conceitos de retas tangente e normal num ponto pertencente ao círculo o esboço do gráfico do círculo a partir da sua equação e a identificação de pontos interiores e exteriores a um círculo dado Preliminares sobre círculos Sejam C um ponto no plano e r um número real positivo O círculo Γ de centro C e raio r 0 é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r Γ P dP C r Determinemos a equação que caracteriza os pontos do círculo Γ de centro C e raio r 0 Seja P x y um ponto de Γ representado pelas suas coordenadas em relação a um sistema de coordenadas cartesianas fixado Então se C h k temos P Γ dP C r xh² yk² r Figura 61 Círculo de centro C e raio r Sobre círculos O conteúdo preliminar que apresentamos sobre círculos foi extraído de PréCálculo Módulo 2 Curvas Planas de J Delgado Gómez e M L Torres Villela Ed CECIERJCEDERJ O símbolo Γ é a maiúscula da letra grega γ que se lê gama Note que os dois pontos do círculo Γ situados sobre uma reta passando pelo centro C estão a uma distância 2r Estes pontos são ditos diametralmente opostos O diâmetro do círculo é o valor 2r 82 Para determinar o subconjunto do plano que esta equação representa completamos os quadrados repetindo o que foi feito no exemplo anterior x² y² ax by c 0 x² ax a²4 a²4 y² by b²4 b²4 c 0 x a2² y b2² a²4 b²4 c 0 x a2² y b2² a²4 b²4 c x a2² y b2² a² b² 4c4 Agora podemos responder à pergunta Qual o subconjunto do plano Γ x y x² y² ax by c 0 Γ o ponto P a2 b2 se a² b² 4c 0 o círculo de centro C e raio r se a² b² 4c 0 o conjunto vazio se a² b² 4c 0 No segundo caso o círculo Γ tem centro C a2 b2 e raio r a² b² 4c2 Em cada ponto P de um círculo considere a reta n que passa pelo centro C e pelo ponto P Esta reta é dita normal ao círculo no ponto P A reta t que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta n é chamada tangente ao círculo no ponto P Figura 63 Tangente e normal ao círculo em P Exemplo 65 Determinemos as equações das retas horizontais e tangentes ao círculo de centro C 2 2 e raio r 3 A equação deste círculo é x 2² y 2² 9 isto é x 2² y 2² 9 85 Para isso devemos verificar que qualquer outro ponto Q de Γ distinto de Q satisfaz PQ PQ Suponhamos que P seja um ponto interior a Γ distinto do centro Então o triângulo P₀QQ é isósceles e portanto P₀QQ P₀QQ Figura 66 Além disso no triângulo PQQ temos PQQ P₀QQ P₀QQ PQQ Logo o ângulo oposto a PQ é menor que o ângulo oposto a PQ Portanto PQ PQ Suponhamos agora que P seja um ponto exterior a Γ Como o triângulo P₀QQ é isósceles Figura 67 P₀QQ é um ângulo agudo Logo PQQ é um ângulo obtuso e portanto PQQ é um ângulo agudo Assim o ângulo oposto a PQ é menor que o ângulo oposto a PQ e portanto PQ PQ Desta maneira vemos que para determinar dP Γ sendo P P₀ basta determinar dP Q PQ Isto é feito da seguinte maneira Se P é um ponto interior a Γ Figura 66 dP Γ r dP P₀ r P₀P Se P é um ponto de Γ então dP Γ 0 Se P é um ponto exterior a Γ Figura 67 dP Γ dP P₀ r P₀P r Assim qualquer que seja a posição relativa de P com respeito a Γ temos dP Γ r dP₀ P r P₀P 61 Exemplo 68 Seja Γ o círculo de equação x 3² y 1² 4 Determinemos a posição relativa dos pontos P₁ 1 1 P₂ 3 3 e P₃ 2 0 com respeito ao círculo Γ e calculemos as suas distâncias a Γ Veja a Figura 68 Produto interno Aplicacoes continuacao Portanto o cırculo Γ de centro C h k e raio r tem equacao Γ x h2 y k2 r2 Essa equacao se escreve desenvolvendo os quadrados na forma x2 y2 2hx 2ky h2 k2 r2 0 ou seja a equacao do cırculo Γ se escreve na chamada forma normal Γ x2 y2 Cx Dy F 0 onde C 2h D 2k e F h2 k2 r2 No entanto como veremos A equacao do cırculo Γ ao lado e sua equacao canˆonica mais adiante nem toda equacao que tem essa forma representa um cırculo no plano O grafico do cırculo Γ e o conjunto GrafΓ x y x h2 y k2 r2 Exemplo 61 A equacao do cırculo de centro C 0 0 e raio r e x2 y2 r2 Observe que os pontos r 0 r 0 0 r e 0 r sao pontos deste cırculo A figura 142 ilustra o grafico deste cırculo Figura 62 Cırculo de centro 0 0 e raio r Exemplo 61 Exemplo 62 A equacao x32y22 5 representa um cırculo de centro C 3 2 e raio r 5 Exemplo 63 A equacao x2 y2 4x 2y 11 0 e de um cırculo De fato reescrevemos esta equacao como x2 4x y2 2y 11 0 x2 4x 4 4 y2 2y 1 1 11 0 x 22 4 y 12 1 11 0 x 22 y 12 16 x 22 y 12 42 Portanto o centro do cırculo e C 2 1 e o raio e r 4 A primeira equivalˆencia foi obtida completando os quadrados dos polinˆomios nas variaveis x e y CEDERJ 80 Produto interno Aplicacoes continuacao M ODULO 1 AULA 6 Exemplo 64 Que subconjuntos do plano representam as equacoes x2 y2 4x 2y 5 0 e x2 y2 4x 2y 6 0 Veremos que estes conjuntos nao sao cırculos De fato as duas equacoes diferem da equacao do exemplo anterior apenas no termo independente de x e y isto e a constante Procedendo de maneira analoga ao exemplo anterior completamos os qua drados nas duas equacoes olhando para os polinˆomios nas variaveis x e y x2 4x y2 2y 5 0 x2 4x 4 4 y2 2y 1 1 5 0 x 22 4 y 12 1 5 0 x 22 y 12 0 e x2 4x y2 2y 6 0 x2 4x 4 4 y2 2y 1 1 6 0 x 22 4 y 12 1 6 0 x 22 y 12 1 Como a soma de quadrados de numeros reais e sempre um numero real maior ou igual a zero temos que a unica solucao da primeira equacao e x 2 0 e y 1 0 Entretanto nao ha solucao em pares de numeros reais para a segunda equacao Logo apenas o ponto 2 1 e solucao da primeira equacao e nao ha solucao em pares x y de numeros reais para a segunda equacao isto e o conjunto solucao da segunda equacao e o conjunto vazio Cuidado Como acabamos de verificar a equacao x2 y2 ax by c 0 nem sempre representa um cırculo ela pode representar um unico ponto ou o conjunto vazio 81 CEDERJ Produto interno Aplicacoes continuacao M ODULO 1 AULA 6 As retas tangentes horizontais sao perpendiculares a reta vertical s que passa pelo centro C 2 2 A equacao da reta s e x 2 Para determinar a intersecao do cırculo com a reta s substituımos a equacao de s na equacao do cırculo ou seja fazemos x 2 na equacao do cırculo 2 22 y 22 9 y 22 9 extraindo a raiz quadrada y 2 3 y 2 3 ou y 2 3 y 5 ou y 1 Portanto os pontos do cırculo que estao na reta s sao 2 5 e 2 1 As retas tangentes ao cırculo passando por estes pontos sao horizontais e tˆem equacoes y 5 e y 1 Exemplo 66 Fixemos o cırculo Γ de centro C 1 2 e raio 3 cuja equacao e x 12 y 22 9 Os pontos P a b tais que a 12 b 22 9 nao estao no cırculo Γ Por exemplo os pontos A 1 3 e B 2 5 tˆem esta propriedade pois a 12 b 22 5 se a b 1 3 10 se a b 2 5 Faca um desenho de Γ e observe que A esta na regiao do plano limitada por Γ e que B esta na regiao do plano exterior ao cırculo Γ regiao ilimitada Os pontos P a b tais que a 12 b 22 9 sao ditos pon tos interiores ao cırculo Γ Por outro lado os pontos P a b tais que a 12 b 22 9 sao ditos pontos exteriores ao cırculo Γ Em geral se a equacao de um cırculo e x h2 y k2 r2 e P x0 y0 e um ponto do plano entao P esta no interior do cırculo x0 h2 y0 k2 r2 P esta no cırculo x0 h2 y0 k2 r2 P esta no exterior do cırculo x0 h2 y0 k2 r2 83 CEDERJ Produto interno Aplicacoes continuacao Exemplo 67 Figura 64 Cırculo de centro 2 1 e raio 5 2 Na figura ao lado esbocamos o grafico do cırculo de centro C 2 1 e raio r 5 2 cuja equacao e x 22 y 12 25 4 O ponto A 2 3 esta no interior do cırculo e o ponto B 1 2 esta no ex terior do cırculo Dˆe outros exemplos de pontos situados no interior e exterior deste cırculo Resumindo O cırculo Γ de centro no ponto P0 e raio r divide o plano em trˆes subconjuntos disjuntos Figura 65 Figura 65 P1 e ponto interior a Γ P2 e ponto exterior a Γ P3 Γ O conjunto dos pontos de Γ O conjunto de pontos interiores a Γ ou abreviadamente o interior de Γ que con siste dos pontos P do plano tais que dP P0 r O conjunto de pontos exteriores a Γ ou simplesmente o exterior de Γ que con siste dos pontos P do plano tais que dP P0 r Distˆancia de um ponto a um cırculo A distˆancia de um ponto P do plano ao cırculo Γ que designamos por dP Γ e por definicao a menor das distˆancias de P aos pontos de Γ Assim se P Γ entao dP Γ 0 e se P P0 entao dP Γ r Se P e um ponto do plano que nao pertence a Γ e e diferente do centro P0 entao a semireta com origem em P0 que passa por P intersecta o cırculo Γ num unico ponto Q Usando congruˆencia de triˆangulos mostraremos que dP Γ dP Q CEDERJ 84 GEOMETRIA ANALITICA I Produto interno Aplicações continuação Solução O círculo Γ tem o seu centro no ponto P₀ 3 1 e raio r 2 Para determinar a posição relativa dos pontos com respeito a Γ devemos calcular a sua distância ao centro P₀ a dP₀ P₁ P₀P₁ 1 3² 1 1² 4 4 8 22 2 r logo P₁ é um ponto exterior a Γ Usando a equação 61 dP₁ Γ 2 P₀P₁ 2 22 22 1 b dP₀ P₂ P₀P₂ 3 3² 3 1² 0 4 2 r logo P₂ é um ponto de Γ Portanto dP₂ Γ 0 c dP₀ P₃ P₀P₃ 2 3² 0 1² 1 1 2 2 r logo P₃ é um ponto interior a Γ Usando a equação 61 temos dP₃ Γ 2 P₀P₃ 2 2 2 2 Distância de uma reta a um círculo Seja Γ o círculo de centro P₀ e raio r Sabemos que uma reta s pode ou não intersectar o círculo Γ A distância da reta s ao círculo Γ que designamos por ds Γ é definida como sendo a menor das distâncias dos pontos de Γ à reta s Assim se s Γ então ds Γ 0 Para verificar se s e Γ se intersectam ou não basta determinar a distância do centro P₀ do círculo à reta s Se dP₀ s r então s Γ Se dP₀ s r então s Γ Usando seus conhecimentos de Geometria Elementar você pode verificar que se s Γ e Q é o ponto onde a reta perpendicular a s que passa por P₀ intersecta Γ então a distância de s a Γ é a distância de Q a s Isto é se Q é outro ponto qualquer de Γ diferente de Q então dQ s dQ s veja a Figura 69 Na prática se s Γ a distância de s a Γ é obtida da seguinte maneira Calculamos a distância do centro P₀ à reta s que você já sabe como calcular e subtraímos a medida do raio Figura 69 Ou seja s Γ ds Γ dP₀ s r Figura 68 Exemplo 68 Sobre a figura 69 Para mostrar que dQ s dQ s observe que no quadrilátero QPPQ os ângulos QPP e PPQ são retos enquanto QQP é obtuso pois o triângulo QQP₀ é isósceles verifique Isso implica que QPPQ não é um paralelogramo e que QP QP Produto interno Aplicações continuação Portanto se a reta s tem equação cartesiana ax by c e P₀ x₀ y₀ obtemos ds Γ dP₀ s r ax₀ by₀ c a² b² r Exemplo 69 Sejam s reta de equação cartesiana 3x 4y 7 e Γ o círculo de equação x² y² 3x 2 0 Calculemos ds Γ Solução Primeiro precisamos obter as coordenadas do centro P₀ e o raio r do círculo Γ Para tanto devemos escrever a equação de Γ na forma canônica x x₀² y y₀² r² Vejamos x² y² 3x 2 0 x² 3x 94 y² 94 2 0 x 32² y² 14 Assim Γ é o círculo de centro P₀ 32 0 e raio r 12 Logo dP₀ s 332 40 7 3² 4² 92 145 5 2310 Portanto a distância de s a Γ em unidades de comprimento é dr Γ dP₀ s r 2310 12 1810 95 De volta às retas tangentes a um círculo Sabemos que a equação canônica do círculo Γ de centro P₀ e raio r é x x₀² y y₀² r² Seja P x₁ y₁ um ponto exterior a Γ Figura 610 Exemplo 69 Lembre que Uma reta r é tangente ao círculo Γ se r Γ consiste de um único ponto denominado ponto de tangência A propriedade fundamental de uma reta tangente a um círculo é que ela é perpendicular à reta que passa pelo centro do círculo e pelo ponto de tangência reta normal a Γ Produto interno Aplicacoes continuacao Figura 611 Tangentes a Γ Determinemos as equacoes das retas tan gentes a Γ passando pelo ponto P Na Figura 611 vemos que sempre e pos sıvel tracar duas retas tangentes a Γ passando pelo ponto P Para determinar essas retas precisamos determinar os pontos Q e Q onde elas sao tangentes ao cırculo Γ Uma reta r passando por P e tangente ao cırculo Γ no ponto Q Γ se e somente se Q r e r e perpendicular a reta que passa por Q e pelo centro P0 de Γ Isto e os vetores diretores PQ e P0Q dessas retas devem ser perpendiculares PQ P0Q 0 Observando que PQ PP0 P0Q veja a Figura 611 a identidade anterior se escreve 0 PP0 P0Q P0Q PP0 P0Q P0Q P0Q Como Q Γ temos P0Q P0Q P0Q 2 dQ P02 r2 Logo r2 PP0 P0Q 0 e sendo que PP0 P0P obtemos P0P P0Q r2 Substituindo nessa identidade as coordenadas P0 x0 y0 P x1 y1 e Q x y obtemos x x0x1 x0 y y0y1 y0 r2 Alem disso como o ponto Q pertence ao cırculo Γ as coordenadas x y de Q devem satisfazer tambem a equacao de Γ x x02 y y02 r2 Assim para determinarmos as coordenadas do ponto Q x y deve mos resolver o sistema formado pelas duas equacoes x x0x1 x0 y y0y1 y0 r2 x x02 y y02 r2 62 Esse sistema possui duas solucoes Q x y e Q x y Isso significa que ha duas retas tangentes a Γ passando pelo ponto P a reta r que contem P e Q e a reta r que contem P e Q veja a Figura 611 CEDERJ 88 Produto interno Aplicacoes continuacao M ODULO 1 AULA 6 Exemplo 610 Determinemos as retas tangentes ao cırculo Γ x 32 y 12 2 que passam pelo ponto P 6 2 Solucao Substituindo as coordenadas do centro P0 x0 y0 3 1 de Γ e do ponto P x1 y1 6 2 no sistema 62 obtemos 6 3x 3 2 1y 1 2 x 32 y 12 2 isto e 3x 3 y 1 2 x 32 y 12 2 Da primeira equacao temos y 1 2 3x 3 3x 11 e substituindo na segunda equacao x 32 3x 112 2 x2 6x 9 9x2 66x 121 2 10x2 72x 128 0 5x2 36x 64 0 As solucoes desta ultima equacao sao x 4 e x 16 5 Substituindo esses valores na expressao y 3x 12 encontramos os respectivos valores de y x 4 y 34 12 0 logo Q 4 0 x 16 5 y 3 16 5 12 4860 5 12 5 logo Q 16 5 12 5 Figura 612 Exemplo 610 Deixamos vocˆe verificar que a reta r1 tangente a Γ que passa por P e Q tem equacao r1 x y 4 e que a reta r2 tangente a Γ que passa por P e Q tem equacao veja a Figura 612 r2 7y x 20 Alem disso comprove tambem que a reta que passa pelo ponto P e pelo centro P0 de Γ e uma bissetriz das retas tangentes r1 e r2 Distˆancia entre cırculos A distˆancia e a posicao relativa entre dois cırculos podem ser analisadas usando outros recursos da Geometria plana No entanto e muito importante que vocˆe saiba efetuar a analise no contexto do calculo de distˆancias derivado da nocao de produto interno Comecamos considerando dois cırculos Γ1 e Γ2 de centros P1 P2 e raios r1 e r2 respectivamente Pode acontecer que Γ1Γ2 ou que Γ1Γ2 No segundo caso dizemos que a distˆancia entre Γ1 e Γ2 que denotamos por dΓ1 Γ2 e igual a zero Estudemos o caso em que Γ1 Γ2 89 CEDERJ Produto interno Aplicacoes continuacao Lembre que O interior de um cırculo Γ de centro P e raio r e o conjunto dos pontos Q do plano tais que dP Q r Analogamente o exterior de Γ consiste dos pontos Q do plano tais que dP Q r Finalmente o cırculo Γ consiste dos pontos que ficam na fronteira entre o interior e o exterior isto e consiste dos pontos Q tais que dP Q r Sejam Ω1 o interior de Γ1 e Ω2 o interior de Γ2 respectivamente e analisemos separadamente as possıveis posicoes relativas entre Γ1 e Γ2 a Γ2 Ω1 note que o caso Γ1 Ω2 e analisado de maneira similar b Ω1 Ω2 isto e os interiores de Γ1 e Γ2 nao tˆem pontos em comum Caso a Γ2 Ω1 Neste caso existem ainda as seguintes possibilidades Figura 613 Γ2 Ω1 e P1 Γ2 Ω2 Caso a1 Γ2 Ω1 e P1 Γ2 Ω2 Consideremos a semireta ℓ com ori gem em P1 passando por P2 Observe que pode acontecer que P1 P2 cırculos concˆentricos em cujo caso consideramos uma semireta qualquer com origem em P1 A semireta ℓ mesmo no caso dos cırculos serem concˆentricos intersecta Γ1 em um unico ponto Q1 e Γ2 em um ponto Q2 diferente de P1 Vocˆe pode verificar usando Geometria Elementar que Q2 e o ponto de Γ2 que esta mais proximo de Γ1 Definimos entao a distˆancia de Γ1 a Γ2 que designamos por dΓ1 Γ2 da seguinte maneira dΓ1 Γ2 Q1Q2 P1Q1 P1Q2 r1 P1Q2 Como P1Q2 P1P2 P2Q2 temos dΓ1 Γ2 r1 P1Q2 r1 P1P2 P2Q2 r1 P1P2 r2 Logo dΓ1 Γ2 r1 r2 P1P2 onde r1 e o raio do cırculo maior Γ1 e r2 e o raio do cırculo menor Γ2 Como o caso em que Γ1 Ω2 e P2 Ω1 e analisado de forma analoga trocando o ındice 1 por 2 obtemos dΓ1 Γ2 r2 r1 P2P1 onde r2 e o raio do cırculo maior e r1 e o raio do cırculo menor Portanto se um cırculo esta contido no interior do outro e o centro do cırculo maior esta contido no interior ou sobre o cırculo menor temos CEDERJ 90 Produto interno Aplicacoes continuacao M ODULO 1 AULA 6 Figura 614 Cırculos concˆentricos dΓ1 Γ2 r2 r1 P1P2 Com esta formula calculamos ainda a distˆancia de Γ1 a Γ2 quando os cırculos sao concˆentricos Figura 614 pois nesse caso P1 P2 e dΓ1 Γ2 r2 r1 Figura 615 Γ2 Ω1 e P1 Γ2 Ω2 Caso a2 Γ2 Ω1 e P1 Γ2 Ω2 Neste caso a semireta ℓ com ori gem em P1 e que passa por P2 inter secta o cırculo Γ2 em dois pontos Q2 e Q 2 pertencentes a um diˆametro de Γ2 Isto e pontos de Γ2 que sao diametral mente opostos Escolhemos os nomes dos pontos Q2 e Q 2 de modo que P1Q 2 P1Q2 Assim Q2 e o ponto de Γ2 que esta mais proximo de Γ1 Logo a distˆancia de Γ1 a Γ2 e dΓ1 Γ2 Q1Q2 P1Q1 P1Q2 P1Q1 P1P2 P2Q2 Como P1Q1 r1 e P2Q2 r2 obtemos dΓ1 Γ2 r1 P1P2 r2 r1 r2 P1P2 Analogamente se Γ1 Ω2 e P2 Ω1 obtemos dΓ1 Γ2 r2 r1 P2P1 Resumimos a analise dos casos a1 e a2 da seguinte maneira Proposicao 613 Sejam Γ1 e Γ2 os cırculos de centros P1 e P2 e raios r1 e r2 respectivamente Suponhamos que Γ1 Γ2 e que Γ1 esta contido no interior de Γ2 ou Γ2 esta contido no interior de Γ1 Entao a distˆancia de Γ1 a Γ2 e dΓ1 Γ2 r2 r1 P1P2 63 91 CEDERJ Produto interno Aplicacoes continuacao Figura 616 Γ1 Γ2 e Ω1 Ω2 Caso b Ω1 Ω2 Consideremos o segmento P1P2 li gando os centros de Γ1 e Γ2 Como Γ1 Γ2 e Ω1 Ω2 o segmento P1P2 intersecta Γ1 num ponto que designamos Q1 e tambem intersecta Γ2 num ponto que designamos Q2 Usando Geometria Elementar podemos mostrar que o ponto Q1 e o ponto de Γ1 que esta mais proximo de Γ2 e que o ponto Q2 e o ponto de Γ2 que esta mais proximo de Γ1 e que quaisquer que sejam os pontos Q 1 Γ1 e Q 2 Γ2 com Q1 Q 1 ou Q2 Q 2 temse Q1Q2 Q 1Q 2 veja a Figura 616 Portanto dΓ1 Γ2 dQ1 Q2 Q1Q2 Como Q1Q2 P1P2 P1Q1 P2Q2 P1P2 r1 r2 obtemos Proposicao 614 Sejam Γ1 e Γ2 cırculos de centros P1 e P2 raios r1 e r2 e interiores Ω1 e Ω2 respectivamente Suponhamos que Γ1 Γ2 e Ω1 Ω2 Entao dΓ1 Γ2 P1P2 r1 r2 64 Exemplo 611 Sejam Γ1 o cırculo de equacao x 12 y 22 2 e Γ2 o cırculo de equacao x 22 y 12 36 Mostremos que Γ1 e Γ2 nao se intersectam e calculemos dΓ1 Γ2 Solucao Para mostrar que Γ1 e Γ2 nao se intersectam devemos mostrar que o sistema abaixo nao tem solucao x 12 y 22 2 x 22 y 12 36 Suponhamos pelo absurdo que o sistema tenha solucao e procuremos por ela Uma maneira simples de resolver esse sistema e evitar desenvolver os quadra dos imediatamente e reescrever a segunda equacao de forma que possamos utilizar melhor a primeira Observe CEDERJ 92 Produto interno Aplicações continuação x 2² y 1² 36 x 1 3² y 2 3² 36 x 1² 6x 1 9 y 2² 6y 2 9 36 2 6x 1 9 6y 2 9 36 6x 1 6y 2 16 3x 1 3y 2 8 3x 1 3y 14 de onde obtemos x em função de y x 3y 173 Substituindo essa expressão obtida para x na primeira equação do sistema temos 3y 173 1² y 2² 2 3y 143² y 2² 2 3y 14²9 y 2² 2 3y 14² 9y 2² 18 9y² 60y 107 0 Essa equação não tem raízes reais pois o seu discriminante é Δ 3600 4 9 107 36100 107 0 Isso mostra que círculos Γ₁ e Γ₂ não se intersectam Para calcular dΓ₁ Γ₂ determinamos a distância entre os centros P₁ 1 2 de Γ₁ cujo raio é r₁ 2 e P₂ 2 1 de Γ₂ cujo raio é r₂ 6 P₁P₂ 2 1² 1 2² 18 32 Como a distância de P₁ a P₂ é menor que a soma dos raios r₁ r₂ 6 2 estamos na situação do Caso a Calculamos a distância de Γ₁ a Γ₂ em unidades de comprimento usando a fórmula 63 dΓ₁ Γ₂ r₂ r₁ P₁P₂ 6 2 32 6 42 Figura 617 Exemplo 611 Produto interno Aplicacoes continuacao Resumo Nesta aula vimos como aplicar a nocao de produto interno via o calculo de normas para determinar a distˆancia de um ponto uma reta ou um cırculo a um cırculo e as tangentes a um cırculo passando por um ponto dado Exercıcios 1 Determine a distˆancia do ponto P ao cırculo Γ onde a P 1 1 Γ x2 y 22 4 b P 10 1 Γ x 22 y 52 9 c P 0 0 Γ x 22 y 32 4 d P 1 1 Γ x2 y2 16 e P 7 1 Γ x2 y2 5y 13 4 0 2 Calcule a distˆancia da reta r ao cırculo Γ onde a r x 3y 2 Γ x 72 y 12 3 b r y 2x 1 Γ x 12 y 22 4 c r x 3 2t y 1 5t t R Γ x 72 y 12 3 d r x t y 2 3t t R Γ x2 y2 14x 2y 12 3 Dˆe as equacoes das retas tangentes ao cırculo Γ que passam pelo ponto P onde a Γ x 72 y 12 3 P 3 2 b Γ x2 y 12 4 P 5 1 c Γ x 12 y2 3 P 6 0 4 Calcule a distˆancia entre os cırculos Γ1 e Γ2 onde a Γ1 x 52 y 12 36 e Γ2 x 32 y 22 1 b Γ1 x2 y 12 64 e Γ2 x 12 y 12 4 CEDERJ 94 Produto interno Aplicacoes continuacao M ODULO 1 AULA 6 c Γ1 x 12 y 12 1 e Γ2 x 52 y 32 1 d Γ1 x 32 y 32 16 e Γ2 x2 y2 6x y 14 0 5 Considere os cırculos Γ1 x 22 y 42 17 e Γ2 x 22 y2 9 a Verifique que os cırculos Γ1 e Γ2 se intersectam b Calcule a distˆancia entre os pontos de intersecao dos cırculos Γ1 Γ2 c Determine a distˆancia dos pontos de intersecao a reta que passa pelos centros de Γ1 e Γ2 6 Determine a posicao relativa dos cırculos Γ1 e Γ2 onde a Γ1 x 12 y 32 4 e Γ2 x 12 y 72 4 b Γ1 x 12 y 32 4 e Γ2 x 12 y 72 4 c Γ1 x 12 y 32 4 e Γ2 x 12 y 72 4 d Γ1 x 12 y 32 4 e Γ2 x 12 y 72 4 Autoavaliacao Os exercıcios tˆem por objetivo fixar as tecnicas apresentadas na aula Vocˆe devera resolvˆelos todos e se tiver ainda alguma dificuldade reveja o conteudo da aula ou procure ajuda dos tutores Nao esqueca de trocar ideias com seus colegas 95 CEDERJ Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 Aula 7 Simetrias e simetrias das cˆonicas IMPORTANTE Nas proximas aulas deste Modulo assumimos os conceitos fundamentais sobre as curvas cˆonicas apresentados no PreCalculo ja conhecidos Objetivos Estudar as simetrias em relacao a um ponto e em relacao a uma reta Estudar as simetrias das cˆonicas no plano Entender as cˆonicas degeneradas Figura 71 Cone circu lar reto O duplo cone circular reto e a superfıcie descrita por uma reta ℓ chamada geratriz ao girar mantendo um ˆangulo constante em torno de outra reta d chamada diretriz do cone duplo e com a qual tem um ponto em comum chamado vertice do cone Cortando esse cone duplo por planos obtemos as curvas cˆonicas Lembremos que as curvas cˆonicas sao assim denominadas por serem obtidas pela intersecao de um plano com um duplo cone circular reto Figura 71 Nas ilustracoes abaixo mostramos algumas curvas cˆonicas o cırculo a elipse a parabola e a hiperbole Figura 72 Cırculo Figura 73 Elipse Nos seus escritos o matematico grego Pappus de Alexandria 290350 atribuiu ao geˆometra grego Aristeu o Anciao 370300 aC o credito de ter publicado o primeiro tratado sobre as secoes cˆonicas referindose aos Cinco livros sobre secoes cˆonicas de Aristeu nos quais foi apresentado um estudo cuidadoso das curvas cˆonicas e as suas propriedades Figura 74 Parabola Figura 75 Hiperbole 97 CEDERJ Simetrias e simetrias das cˆonicas Segundo Pappus o matematico grego Euclides de Alexandria 325265 aC contemporˆaneo de Aristeu conhecia muito bem os cinco livros sobre as curvas cˆonicas e evitou aprofundarse sobre esse assunto na sua obra Os elementos de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a obra ori ginal de Aristeu Duzentos anos mais tarde o astrˆonomo e matematico grego Apolˆonio de Perga 262190 aC recompilou e aprimorou os resultados de Aristeu e de Euclides nos oito livros da sua obra Secoes Cˆonicas No en tanto a Historia indica que as cˆonicas foram descobertas pelo matematico grego Menaecmus 380320 aC aproximadamente quando estudava como resolver os trˆes problemas famosos da Geometria grega a trisecao do ˆangulo a duplicacao do cubo e a quadratura do cırculo Segundo o historiador Pro clus Menaecmus nasceu em Alopeconnesus na Asia Menor o que hoje e a Turquia foi aluno de Eudoxio na academia de Platao Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses parabolas e hiperboles sao obtidas cortando um cone com um plano nao paralelo a sua base Mesmo assim pensavase que os nomes dessas curvas foram inventados por Apolˆonio porem traducoes de antigos escritos arabes indicam a existˆencia desses nomes em epocas anteriores a Apolˆonio Para saber mais Sobre Aristeu o Anciao veja httpwwwgroupsdcs standacukhistory MathematiciansAristaeus html e sobre Menaecmus veja httpwwwgroupsdcs standrewsacukhistory Mathematicians Menaechmushtml Apolˆonio de Perga 262 190 aC Nasceu em Ionia Grecia hoje Turquia e faleceu em Alexandria Egito onde passou a maior parte da sua vida Embora a sua formacao fosse em Astronomia escreveu sobre varios topicos matematicos sendo Secoes Cˆonicas o mais famoso deles A obra original consistia de oito livros dos quais apenas sete sao conhecidos Os primeiros quatro chegaram a Europa numa traducao grega e os outros trˆes numa traducao arabe do seculo IX Apolˆonio resumiu nos primeiros trˆes livros toda a teoria desenvolvida por Aristeu e Euclides dedicando os cinco livros restantes a pesquisa original sobre as propriedades das secoes cˆonicas Veja httpwwwgroupsdcs standacukhistory Mathematicians Apolloniushtml Notacao Designaremos por OXY um sistema cartesiano ortogonal de co ordenadas de origem O e eixos coordenados OX e OY As equacoes canˆonicas das curvas cˆonicas no sistema de coordenadas OXY sao Elipse x2 a2 y2 b2 1 com a 0 e b 0 Se a b entao a elipse e o cırculo de raio a Figura 76 Elipse Hiperbole x2 a2 y2 b2 1 ou y2 a2 x2 b2 1 com a 0 e b 0 Parabola x2 ky ou y2 kx com k 0 CEDERJ 98 Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 Figura 77 Hiperbole Figura 78 Parabola Figura 79 Simetria re lativa a r Simetrias Um fato importante e que as equacoes das cˆonicas e portanto as cur vas cˆonicas que elas representam sao invariantes por determinadas trans formacoes do plano denominadas simetrias Definicao 720 Simetria em relacao a uma reta Seja r uma reta no plano O simetrico de um ponto P do plano em relacao a reta r e o ponto P sobre a perpendicular a r que passa por P e cuja a distˆancia a r e a mesma que a distˆancia de P a r Figura 79 Figura 710 Simetria em relacao aos eixos Observe que no plano cartesi ano o simetrico de um ponto P x1 y1 em relacao ao eixo OX e o ponto Q x1 y1 e o simetrico em relacao ao eixo OY e o ponto S x1 y1 Similarmente S x1 y1 e o simetrico de R x1 y1 com respeito ao eixo OX e Q x1 y1 e o simetrico de R com respeito ao eixo OY Veja a Figura 710 Exemplo 71 Determinemos o ponto Q simetrico ao ponto P 1 2 em relacao a reta r 2x 3y 1 Solucao Devemos determinar a reta s perpendicular a r passando pelo ponto P e a distˆancia de P a r 99 CEDERJ Simetrias e simetrias das cˆonicas O ponto Q procurado sera o ponto da reta s tal que Q P e dQ r dP r O vetor normal de r e n 2 3 Esse vetor e um vetor direcao da reta s Assim as equacoes parametricas de s sao s x 2t 1 y 3t 2 t R Figura 711 Exemplo 71 Note que Na figura acima o ponto Q e o simetrico de P em relacao a reta r e tambem o ponto P e o simetrico do ponto Q em relacao a mesma reta Portanto vemos que a simetria em relacao a uma reta e uma relacao simetrica Como dP r 2 1 3 2 1 22 32 5 13 devemos determinar os pontos da reta s cuja distˆancia a reta r e 5 13 Substituindo as coordenadas dos pontos de s na formula da distˆancia a r e igualando a 5 13 devemos achar os valores do parˆametro t tais que 22t 1 33t 2 1 13 5 13 isto e 13t 5 13 5 13 Ou seja 13t 5 5 Resolvendo a equacao obtemos t 0 ou t 10 13 Substituindo o valor t 0 nas equacoes de s obtemos o ponto P e subs tituindo o valor t 10 13 obtemos o ponto Q 33 13 4 13 veja a Figura 711 O ponto Q 33 13 4 13 e o simetrico a P 1 2 com respeito a reta r Em geral o calculo das coordenadas do ponto Q x y simetrico do ponto P x1 y1 e dado na seguinte proposicao Proposicao 715 Sejam P x1 y1 um ponto e r uma reta de equacao ax by c Se Q x y e o simetrico de P em relacao a r entao x 1 a2 b22ac b2 a2x1 2aby1 y 1 a2 b22bc a2 b2y1 2abx1 71 Demonstracao Para determinarmos Q precisamos encontrar as equacoes que suas coordenadas devem satisfazer Sejam M o ponto medio do segmento PQ e v b a um vetor direcao de r lembre que o η a b e direcao normal a r Entao o ponto Q e tal que as seguintes condicoes sao satisfeitas M e um ponto da reta r o segmento PQ e perpendicular a r isto e PQ v 0 CEDERJ 100 Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 A primeira condicao nos diz que as coordenadas de M x1x 2 y1y 2 tˆem que satisfazer a equacao de r ou seja a x1x 2 b y1y 2 c De onde tiramos a primeira equacao pois a x1x 2 b y1y 2 c ax1 x by1 y 2c ax by 2c ax1 by1 Da segunda relacao extraımos a segunda equacao de fato PQ v 0 x x1 y y1 b a 0 bx x1 ay y1 0 bx ay bx1 ay1 Logo as condicoes dadas inicialmente equivalem as equacoes obtidas e portanto para determinar as coordenadas de Q basta resolver o seguinte sistema ax by 2c ax1 by1 bx ay bx1 ay1 Multiplicando a primeira equacao por a a segunda por b e somando as equacoes obtidas chegamos a x 1 a2 b22ac b2 a2x1 2aby1 Multiplicando a primeira equacao por b a segunda por a e somando as equacoes obtidas chegamos a y 1 a2 b22bc a2 b2y1 2abx1 Assim a proposicao esta demonstrada Observacao Note que o simetrico de P e o proprio P se e somente se P r Exemplo 72 Seja r a reta de equacao 3x 5y 2 0 Determinemos os simetricos dos pontos P0 6 4 e P1 2 3 em relacao a reta r Figura 712 Exemplo 72 Solucao O simetrico de P0 e o proprio P0 pois P0 e ponto de r suas coor denadas satisfazem a equacao de r Como P1 nao e ponto de r aplicamos a proposicao Para isso e importante identificar bem os elementos da equacao Vejamos a 3 b 5 e c 2 observe que na prova da proposicao a equacao de r e dada por ax by c Obtemos entao a2 b2 34 a2 b2 16 e b2 a2 16 101 CEDERJ Logo as coordenadas do ponto Q1 são x 134232 162 2353 3517 y 134252 163 2352 6417 O ponto Q1 3517 6417 é o simétrico de P1 em relação a r Definição 721 Simetria em relação a um ponto Seja P0 um ponto fixado no plano e seja P um ponto do plano distinto de P0 O simétrico do ponto P em relação ao ponto P0 é o ponto Q que pertence à reta r que passa por P0 e P que é diferente de P e tal que dP0Q dP0P Esta definição equivale a P0 ser o ponto médio do segmento PQ Se P0 x0y0 e P x1y1 da condição de P0 ser ponto médio de PQ obtemos as coordenadas de Q xy pois xx12 yy12 x0y0 12xx1 x0 12yy1 y0 x2x0 x1 y2y0 y1 Note que se P0 é a origem do sistema de coordenadas então o simétrico do ponto P x1y1 é Q x1y1 Exemplo 73 Se P0 O 00 é a origem do sistema de coordenadas e r é uma reta que passa pela origem verifiquemos que o simétrico de cada ponto de r pertence a r Solução Seja r uma reta que passa pela origem dada pelas equações paramétricas r xtx1 yty1 t R Seja P tx1ty1 r O simétrico de P com respeito à origem é o ponto Q tx1ty1 r Observe que o ponto Q é obtido também pela relação 72 pois as coordenadas de Q são x20 tx1 tx1 y20 ty1 ty1 Isso mostra que Q tx1ty1 pertence a r veja a Figura 714 Em geral temos a seguinte definição Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 Figura 714 O ponto P e o seu simetrico Q em relacao a origem Figura 715 Curva simetrica com respeito a reta r Figura 716 Regiao R simetrica com respeito a P0 Definicao 722 Uma figura geometrica plana e chamada invariante por uma simetria do plano se o simetrico de qualquer ponto da figura pertence tambem a figura Na definicao acima o termo figura plana significa um conjunto qualquer de pontos do plano Por exemplo na Figura 715 vemos uma curva C que e simetrica com respeito uma reta r o simetrico de todo ponto de C e tambem um ponto de C Analogamente na Figura 716 vemos uma regiao R do plano que e simetrica com respeito ao ponto P0 pois o simetrico de qualquer ponto P pertencente a R em relacao ao ponto P0 e tambem um ponto de R Uma propriedade interessante das simetrias em relacao a retas e pontos e que elas levam retas em retas Isto e se aplicarmos sobre todos os pontos de uma reta uma simetria em relacao a um ponto ou a uma outra reta obtemos uma nova reta Vamos verificar essas propriedades nas Proposicoes 716 e 717 Proposicao 716 Seja r a reta de equacao ax by c O simetrico de uma reta s em relacao a reta r e tambem uma reta Demonstracao Suponhamos que a reta s tenha as seguintes equacoes parametricas x x0 v1t y y0 v2t t R Seja P x0 v1t y0 v2t um ponto qualquer de r entao as coorde nadas do seu simetrico Q x y sao dadas pelas relacoes 71 x 1 a2 b22ac b2 a2x0 v1t 2aby0 v2t y 1 a2 b22bc a2 b2y0 v2t 2abx0 v1t Logo o conjunto dos pontos simetricos aos pontos de r e o conjunto dos pontos cujas coordenadas sao da forma x 2ac b2 a2x0 2aby0 a2 b2 2ac b2 a2v1 2abv2 a2 b2 t y 2bc a2 b2y0 2abx0 a2 b2 2bc a2 b2v2 2abv1 a2 b2 t t R 103 CEDERJ Essas são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 2ac b2 a2x0 2aby0 a2 b2 2bc a2 b2y0 2abx0 a2 b2 e é paralela ao vetor 2ac b2 a2v1 2abv2 a2 b2 2bc a2 b2v2 2abv1 a2 b2 Exemplo 74 Seja a reta r x 2y 0 Determinemos o simétrico da reta s 2x y 2 0 em relação à reta r Solução Observe que a reta r é perpendicular à reta s pois os seus vetores direção são perpendiculares Logo o simétrico da reta s em relação à reta r é a própria reta s Esse fato pode ser ainda verificado fazendo uso dos resultados acima descritos Com efeito pela Proposição 716 sabemos que o simétrico da reta s em relação à reta r é uma reta s Para determinar a reta s devemos achar os simétricos de dois pontos quaisquer de s com respeito a r Os simétricos dos pontos P1 02 e P2 10 de s são respectivamente os pontos Q1 85 65 e Q2 35 45 Podemos verificar que a equação da reta s que passa por Q1 e Q2 é 2x y 2 0 que é a própria reta s Proposição 717 O simétrico de uma reta s em relação a um ponto P0 x0y0 é uma reta Demonstração Seja s a reta de equações paramétricas x x1 v1t y y1 v2t t R Seja P x1 v1t y1 v2t um ponto qualquer de r As coordenadas do ponto Q xy simétrico ao ponto P em relação a P0 são obtidas das relações 72 x 2x0 x1 v1t y 2y0 y1 v2t Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 Logo o conjunto dos pontos simetricos aos pontos de r e o conjunto dos pontos cujas coordenadas sao da forma x 2x0 x1 v1t y 2y0 y1 v2t t R que sao as equacoes parametricas da reta paralela ao vetor v1 v2 que passa pelo ponto 2x0 x1 2y0 y1 Observacao Na demonstracao da Proposicao 717 vemos que duas retas simetricas com respeito a um ponto sao paralelas Exemplo 75 Determinemos o simetrico da reta s 2xy2 0 em relacao a P0 2 1 Solucao Pela proposicao anterior sabemos que o simetrico de s e uma reta Logo basta encontrarmos o simetrico de dois pontos de s Usando as relacoes 72 vemos que os simetricos dos pontos P1 0 2 e P2 1 0 de s sao respectivamente Q1 4 0 e Q2 5 2 A equacao da reta que passa por esses pontos e 2x y 8 0 Simetrias das cˆonicas Sabemos que um ponto P do plano pertence a uma cˆonica C se e somente se as suas coordenadas satisfazem a equacao de C Portanto C e simetrica com respeito a um ponto P0 ou com respeito a uma reta r se e somente se as coordenadas do simetrico de cada ponto de C com respeito ao ponto P0 ou com respeito a reta r tambem satisfazem a equacao de C A princıpio fazemos a analise da simetria para as equacoes das cˆonicas na forma canˆonica Figura 717 Simetrias da elipse Proposicao 718 Simetrias das elipses e hiperboles As elipses e as hiperboles sao invariantes por simetrias em relacao aos seus eixos no caso da equacao canˆonica esses eixos sao os eixos coordenados e tambem sao invariantes por simetria em relacao ao seu centro no caso da equacao canˆonica o centro e a origem Demonstracao Seja P x y um ponto da elipse E x2 a2 y2 b2 1 entao as coordenadas de P satisfazem a equacao de E Como os simetricos de P em relacao aos eixos coordenados OX e OY sao Q x y e R x y respectivamente e como x2 x2 e y2 y2 vemos que as coordenadas de Q e de R satisfazem a equacao de E 105 CEDERJ Simetrias e simetrias das cˆonicas Alem disso o simetrico de P em relacao a origem e S x y Logo as coordenadas de S tambem satisfazem a equacao da elipse E Veja a Figura 717 O mesmo argumento mostra a proposicao para as hiperboles pois a equacao canˆonica dessas cˆonicas e dada tambem em termos dos quadrados das coordenadas dos seus pontos Veja a Figura 718 Figura 718 As simetrias da hiperbole Proposicao 719 Simetrias das parabolas Uma parabola e invariante por simetria em relacao a reta que contem seu vertice e seu foco no caso da equacao na forma canˆonica essa reta pode ser o eixo OX ou o eixo OY Demonstracao Consideremos a parabola P x2 ky A reta que contem o vertice e o foco de P reta focal de P e o eixo OY Sabemos que o simetrico de um ponto P x y P em relacao ao eixo OY e o ponto R x y Figura 719 Simetria das parabolas Como x2 x2 e P P te mos que x2 ky Logo R x y P e por tanto P e invariante pela simetria em relacao ao seu eixo focal eixo OY Por outro lado a reta focal da parabola P y2 kx e o eixo OX Dado um ponto P x y P o seu simetrico em relacao ao eixo OX e Q x y que tambem satisfaz a equacao Logo P e invariante pela simetria em relacao ao seu eixo focal Muitas vezes a equacao de uma cˆonica nao e apresentada na forma canˆonica Na verdade as cˆonicas aparecem como o conjunto de solucoes de uma equacao geral do segundo grau da forma Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 73 com A B C nao simultaneamente nulos Os valores A B C D E F sao chamados os coeficientes da equacao Lembre que Para determinar o grau de uma equacao algebrica tomamos cada termo da equacao e somamos os valores dos expoentes das variaveis que nele aparecem O valor encontrado e o grau do termo O grau da equacao e o maior dentre os graus dos seus termos Na equacao 73 os termos Ax2 Bxy e Cy2 sao de grau 2 e como os outros termos que aparecem sao de grau 1 ou zero concluımos que a equacao 73 e de grau 2 Alem disso note que se A B C 0 entao a equacao nao e do segundo grau Faremos o estudo dessas equacoes por etapas introduzindo conceitos que auxiliarao na determinacao do conjunto de solucoes e na identificacao da cˆonica Sabemos que ha equacoes do segundo grau em que o conjunto de solucoes consiste de duas retas ou de apenas um ponto ou e o conjunto vazio Vejamos CEDERJ 106 Definição 723 Cônicas degeneradas Uma cônica degenerada é uma equação do segundo grau a duas variáveis em que o conjunto de soluções reais é vazio ou não é uma elipse nem uma hipérbole e nem uma parábola Exemplo 76 Verifiquemos não existem números reais x e y tais que x1²y4²1 Isto é o conjunto solução dessa identidade é o conjunto vazio Solução De fato a soma dos quadrados de dois números reais é sempre um número real nãonegativo Portanto essa equação do segundo grau representa uma cônica degenerada o conjunto vazio Exemplo 77 Verifiquemos que a equação x5² 4 y1² 3 0 tem por solução um único ponto e portanto o lugar geométrico que ela representa consiste de um ponto só Solução Reescrevendo a equação como soma de dois quadrados temos x52² y13² 0 O ponto xy satisfaz essa equação se e somente se x 5 0 e y 1 0 Isto é x 5 e y 1 Logo o conjunto das soluções da equação proposta consiste apenas do ponto 51 Exemplo 78 O lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação de segundo grau x3² 4 y1² 16 0 é formado por duas retas concorrentes Solução A equação dada se escreve como diferença de dois quadrados x32² y14² 0 que equivale ao produto x32 y14x32 y14 0 Desta identidade vemos que x32 y14 0 ou x32 y14 0 Simetrias e simetrias das cˆonicas A primeira identidade equivale a equacao 2xy7 0 e a segunda equivale a equacao 2xy5 0 Essas equacoes representam retas no plano Verifique vocˆe mesmo que essas retas se intersectam no ponto 3 1 Figura 720 Exemplo 79 O lugar geometrico da equacao y 22 3 consiste de duas retas paralelas Figura 721 Exemplo 79 Solucao De fato da equacao temos as pos sibilidades veja a Figura 721 y 2 3 ou y 2 3 que sao as retas paralelas y 2 3 ou y 2 3 Exemplo 710 O lugar geometrico dos pontos que satisfazem a equacao x 32 8 0 consiste de uma reta isto e duas retas coincidentes Solucao Com efeito temos x 32 8 0 x 32 0 x 3 0 que e a equacao de uma reta vertical Veja a Figura 722 Figura 722 Exemplo 710 Exemplo 711 O lugar geometrico dos pontos do plano que satisfazem a equacao x 32 8 3 e o conjunto vazio Solucao Observe que a equacao nao tem solucao real pois nao existe numero real cujo quadrado seja negativo Classificacao das cˆonicas degeneradas Vamos resumir as nossas consideracoes e exemplos sobre as cˆonicas degeneradas no seguinte esquema CEDERJ 108 Simetrias e simetrias das cˆonicas M ODULO 1 AULA 7 Cˆonica Equacao Lugar geometrico Exemplo Elipse degenerada xx02 a2 yy02 b2 λ se λ 0 x0 y0 se λ 0 76 77 Hiperbole degenerada xx02 a2 yy02 b2 0 Retas concorrentes r1 bx ay bx0 ax0 0 r2 bx ay bx0 ay0 0 com r1 r2 x0 y0 78 Parabola degenerada A xx02 a2 µ ou B yy02 b2 µ A 8 reta x x0 se µ 0 paralelas 8 x x0 aµ x x0 aµ se µ 0 se µ 0 B 8 reta y y0 se µ 0 paralelas 8 y y0 aµ y y0 aµ se µ 0 se µ 0 79 710 711 Resumo Nesta aula aprendemos a nocao de simetria em relacao a um ponto e a uma reta Revisamos o conceito de curva cˆonica e analisamos suas simetrias Alem disso estudamos e classificamos as cˆonicas degeneradas a partir de exemplos concretos Esquema de classificacao das cˆonicas degeneradas Exercıcios 1 Sejam as retas r 2x 3y 6 0 s 6x 4y 2 0 e os pontos P1 1 1 P2 0 2 a Determine os pontos simetricos Q1 e Q2 aos pontos P1 e P2 res pectivamente em relacao a reta r b Determine os pontos simetricos R1 e R2 aos pontos P1 e P2 res pectivamente em relacao a reta s c Encontre os pontos simetricos M1 e M2 aos pontos Q1 e Q2 res pectivamente em relacao a reta s d Encontre o ponto de intersecao das retas r e s Denote esse ponto P0 Ache os pontos T1 e T2 simetricos aos pontos P1 e P2 respectivamente em relacao ao ponto P0 Compare com os pontos obtidos no item c 109 CEDERJ Simetrias e simetrias das cˆonicas 2 Seja a reta r x 5y 1 0 a Determine o simetrico da reta s x y 1 0 em relacao a r b Considere o triˆangulo de vertices A 1 1 B 1 4 C 3 1 Encontre a figura geometrica correspondente ao simetrico desse triˆangulo em relacao a r A figura obtida e um triˆangulo Em caso afirmativo os triˆangulos sao congruentes 3 Determine o simetrico da reta x 2y 4 0 em relacao ao ponto de intersecao das retas x y 0 e 2x y 3 4 Verifique que o cırculo de equacao x2y2 r2 e invariante pela simetria em relacao a qualquer reta que passe pela origem 5 Verifique que as cˆonicas abaixo sao invariantes pelas seguintes simetrias em relacao a reta x x0 em relacao a reta y y0 e em relacao ao ponto P0 x0 y0 a x x02 a2 y y02 b2 1 b x x02 a2 y y02 b2 1 6 Conclua que se uma elipse de equacao x2 a2 y2 b2 1 e invariante por simetria em relacao a reta bissetriz do primeiro quadrante entao a elipse e de fato um cırculo 7 Seja a equacao Axa2 By b2 λ Identifique as cˆonicas abaixo incluindo os casos degenerados Nos casos degenerados descreva o conjunto solucao da equacao a A 0 B 0 λ 0 b A 0 B 0 λ 0 c A 0 B 0 λ A d A 0 B 0 λ 0 e A 0 B 0 λ B f A 0 B 0 λ 0 Autoavaliacao Se vocˆe resolveu os exercıcios de 1 a 6 vocˆe entendeu bem o conceito de simetria em relacao a uma reta e simetria em relacao a um ponto Resol vendo o exercıcio 7 vocˆe faz um trabalho de fixacao do conceito de cˆonicas degeneradas e do conjunto de pontos do plano que essas equacoes definem Caso tenha alguma dificuldade releia a aula e tente novamente resolver os exercıcios CEDERJ 110 Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 8 Aula 8 Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas Objetivos Entender a mudanca de coordenadas pela translacao do sistema cartesiano Identificar uma cˆonica transladada a partir da sua equacao geral Construir cˆonicas com eixos paralelos aos eixos coordenados Nesta aula estudaremos as equacoes de segundo grau Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 81 Isto e equacoes da forma Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 com B 0 A identificacao do lugar geometrico representado pela equacao 81 e feita transladando o sistema de coordenadas Definicao 824 Translacao do sistema de coordenadas Dados um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY do plano e um ponto O a translacao de OXY para o ponto O e a construcao de um novo sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY tracando paralelas aos eixos do sistema OXY passando pelo ponto O preservando a orientacao e a unidade de medida O ponto O onde se intersectam os novos eixos OX e OY e a origem do novo sistema de coordenadas Figura 81 Translacao do sistema OXY para o sistema OXY O sistema OXY assim construıdo e cha mado o transladado do sistema OXY para o ponto P0 veja a Figura 81 Seja P um ponto do plano Designa mos por x y as coordenadas de P com respeito ao sistema OXY e por x y as coordenadas de P com respeito ao sistema transladado OXY Naturalmente surge a seguinte questao como sao relacionadas as coordenadas x y e x y do ponto P dado 111 CEDERJ Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas Mudanca de coordenadas entre sistemas transladados Seja P um ponto do plano designamos P x y entao as suas coor denadas no sistema OXY sao e as suas coordenadas no sistema OXY sao P x y Figura 82 Mudanca de coordenadas Tracemos por P retas r s paralelas aos eixos coordenados OX e OY respec tivamente Lembre que OX e paralelo a OX e OY e paralelo a OY Figura 82 Segue da definicao de sistema car tesiano ortogonal de coordenadas que a reta r intersecta o eixo OY no ponto de coordenadas 0 y e o eixo OY no ponto de coordenadas 0 y enquanto que a reta s intersecta o eixo OX no ponto x 0 e o eixo OX no ponto x 0 Na Figura 82 vemos que x x x0 y y y0 ou equivalentemente x x x0 y y y0 82 onde x0 y0 sao as coordenadas da origem O no sistema OXY Figura 83 As relacoes 82 indepen dem das posicoes relativas dos pontos Observacao As relacoes de mudanca de coordenadas 82 independem da posicao da origem O e da posicao relativa do ponto P De fato na Figura 83 mostramos um sistema transladado OXY e o ponto P no seu terceiro quadrante Neste caso observamos que os numeros xx0 e yy0 sao negativos e que as equacoes 82 con tinuam sendo as equacoes de mudanca de coordenadas O mesmo acontece independentemente do quadrante em que O esteja com respeito ao sistema OXY Verifique CEDERJ 112 Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 8 Notacao Daqui em diante quando desejarmos fazer mencao explıcita ao sistema de coordenadas com respeito ao qual estejam sendo consideradas as coorde nadas de um ponto escreveremos essas coordenadas colocando o sistema de coordenadas como subındice Por exemplo P a bOXY indica que o ponto P tem coordenadas a b com respeito ao sistema de coordenadas OXY Exemplo 81 Sejam dois sistemas cartesianos ortogonais de coordenadas OXY e OXY onde O 2 3OXY Consideremos o ponto P 5 1OXY e a reta r de equacao 2x y 1 0 com respeito ao sistema OXY Figura 84 Exemplo 81 Determinemos as coordenadas de P no sistema OXY e a equacao de r no sistema OXY Solucao O sistema OXY e obtido trans ladando o sistema OXY ate o ponto O x0 y0 2 3 Usando a segunda das relacoes 82 temos x x x0 5 2 3 y y y0 1 3 2 Assim P 3 2OXY Para determinar a equacao de r no sistema OXY substituımos as coorde nadas x e y da primeira das relacoes 82 x x x0 x 2 x 2 y y y0 y 3 na equacao r 2x y 1 0 e obtemos r 2x 2 y 3 1 0 Simplificando obtemos a equacao de r no sistema OXY r 2x y 8 0 Exemplo 82 Cˆonicas transladadas Se O x0 y0 e um ponto do plano as equacoes 113 CEDERJ Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas abaixo representam curvas cˆonicas x x02 a2 y y02 b2 1 83 x x02 a2 y y02 b2 1 e y y02 a2 x x02 b2 1 84 x x02 ky y0 e y y02 kx x0 85 Verifiquemos que a equacao 83 representa uma elipse de eixos paralelos aos eixos OX e OY com centro no ponto O Figura 85 que as equacoes 84 representam hiperboles com centro no ponto O e eixos paralelos aos eixos OX e OY Figura 86 e que as equacoes 85 representam parabolas de vertice no ponto O e eixo focal paralelo aos eixos coordenados Figura 87 Figura 85 Elipse Figura 86 Hiperbole Figura 87 Parabolas Solucao Seja OXY o sistema ortogonal de coordenadas obtido transla dando o sistema de coordenadas OXY para o ponto O x0 y0 Substituindo a primeira das relacoes 82 em 83 84 e 85 obtemos as equacoes dessas cˆonicas com respeito ao sistema OXY na forma canˆonica x2 a2 y2 b2 1 x2 a2 y2 b2 1 x2 ky e y2 kx que sao as equacoes canˆonicas da elipse hiperbole e parabolas respectiva mente no sistema OXY com origem O Conhecendo as translacoes estamos prontos para o estudo da equacao geral do segundo grau no caso particular em que B 0 equacao 81 Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 A analise dessa equacao leva as cˆonicas estudadas no Modulo 2 do Pre Calculo Essas cˆonicas sao obtidas a partir da equacao acima completando os quadrados Para isso consideramos separadamente os casos CEDERJ 114 Caso i A 0 e C 0 Caso ii A 0 ou C 0 Caso i A 0 e C 0 Neste caso reescrevemos a equação 81 na forma Ax² DA x Cy² EC y F 0 completando os quadrados dentro dos parênteses obtemos Ax² DA x D² 4A² Cy² EC y E² 4C² F D² 4A E² 4C se denotamos λ D² 4A E² 4C F a equação fica assim Ax² D 2A² Cy² E 2C² λ 86 Caso ii A 0 ou C 0 Suponhamos que A 0 e C 0 Neste caso a equação 81 é A x² D x E y F 0 Completando o quadrado na variável x temos A x² D x E y F 0 Ax² DA x D² 4A² E y F D² 4A 0 Ax D2A² E y D² 4A F Denotando μ D² 4A F a equação fica assim Ax D2A² Ey μ 87 No caso C 0 e A 0 uma análise similar nos leva à equação Cy E 2C² D x μ 88 onde μ E² 4C F Você percebeu que em ambos os casos i e ii obtivemos expressões que parecem equações de elipses hipérboles ou parábolas transladadas Cuidado A identificação da equação 86 ou 87 depende dos sinais dos coeficientes A C D e E pois em alguns casos podemos obter cônicas degeneradas Reduzindo essas equações um pouco mais em cada caso particular você pode identificar exatamente de que cônica se trata Exemplo 83 Mostrar que a equação 2x² 4x 5y 3 0 é a equação de uma parábola transladada Vamos determinar o sistema de coordenadas OXY no qual Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas a equacao da parabola e expressa na forma canˆonica assim como a equacao da diretriz da parabola em ambos os sistemas Solucao Como a equacao apresenta apenas um termo do segundo grau a curva candidata e uma parabola Completando os quadrados na equacao obtemos 2x2 4x 5y 3 0 2x2 2x 5y 3 0 2x2 2x 1 5y 3 2 0 2x 12 5y 5 2x 12 5y 1 que corresponde a uma parabola transladada Consideremos o sistema de coordenadas OXY obtido transladando o sis tema OXY ate o ponto O 1 1 A relacao entre as coordenadas desses sistemas e dada por x x 1 y y 1 Substituindo na equacao 2x 12 5y 1 obtemos 2x2 5y que equivale a equacao x2 5 2y Sabemos que a equacao canˆonica da parabola nas coordenadas x e y se escreve na forma x2 4py sendo a reta horizontal y p a sua diretriz CEDERJ 116 Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 8 Figura 88 Parabola 2x2 4x 5y 3 0 Fazendo 4p 5 2 obtemos p 5 8 Logo a equacao da diretriz da parabola x2 5 2 y e a reta y 5 8 Para obter a equacao da diretriz no sis tema OXY recorremos novamente as relacoes entre as coordenadas y 1 5 8 ou seja y 13 8 Exemplo 84 Identificar a equacao x2 3y2 6x 6y 12 0 Solucao Como os coeficientes dos termos do segundo grau sao positivos a curva candidata e uma elipse Completando os quadrados temos x2 6x 3y2 2y 12 0 x2 6x 9 3y2 2y 1 12 9 3 0 x2 6x 9 3y2 2y 1 0 x 32 3y 12 0 x 32 0 e 3y 12 0 x 3 e y 1 Portanto o lugar geometrico descrito pela equacao consiste apenas do ponto 3 1 Exemplo 85 Mostrar que a equacao 4x2 16y2 24x 24y 23 0 representa uma hiperbole transladada Determinar tambem o sistema de coordenadas OXY no qual a equacao e expressa na forma canˆonica assim como as equacoes de suas assıntotas em ambos os sistemas Solucao Como os termos de segundo grau tˆem sinais contrarios a curva candidata e de fato uma hiperbole 117 CEDERJ Completando os quadrados temos 4x² 16y² 24x 24y 23 0 4x² 6x 16y² 2416 y 23 0 4x² 6x 9 16y² 32 y 916 23 36 9 0 4x 3² 16y 34² 4 Dividindo por 4 a última equação obtemos x 3² y 34² 14 1 que é a equação de uma hipérbole transladada cujo eixo focal é paralelo ao eixo x veja a Figura 89 Consideremos o sistema de coordenadas OXY obtido transladando o sistema OXY até o ponto O 3 34OXY A relação entre as coordenadas dos sistemas OXY e OXY é dada por x x 3 e y y 34 Substituindo na equação da hipérbole transladada obtemos a equação na forma canônica x² y² 14 1 Figura 89 Hipérbole 4x² 16y² 24x 24y 23 0 Sabemos que x² a² y² b² 1 representa a hipérbole com assíntotas y ba x e y ba x Como a² 1 e b² 14 obtemos as equações das assíntotas no sistema OXY y 12 x e y 12 x Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 8 Para obter as equacoes das assıntotas no sistema OXY recorremos nova mente as relacoes entre as coordenadas substituindoas nas equacoes das retas obtidas acima y 3 4 1 2x 3 e y 3 4 1 2x 3 Assim as equacoes das assıntotas no sistema OXY sao as retas Figura 89 2x 4y 9 0 e 2x 4y 3 0 Podemos resumir a nossa analise classificando a equacao 81 no es quema a seguir Nesse esquema usamos condicoes sobre os sinais dos coefici entes da equacao expressas mediante produtos Assim por exemplo escrever AC 0 significa que A e C tˆem o mesmo sinal ambos positivos ou ambos negativos Enquanto que escrever AC 0 significa que A e C tˆem sinais contrarios ou seja A e positivo e C negativo ou viceversa Esquema de classificacao das cˆonicas no caso B 0 Classificacao da equacao Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 AC 0 Aλ 0 elipse com reta focal paralela a um dos eixos λ D2 4A E2 4C F λ 0 um ponto Aλ 0 conjunto vazio AC 0 Aλ 0 hiperbole com reta focal paralela a um dos eixos λ D2 4A E2 4C F λ 0 par de retas concorrentes A 0 C 0 AE 0 parabola com reta focal paralela ao eixo OY µ D2 4A F AE 0 conjunto vazio E 0 uma reta se Aµ 0 ou o conjunto vazio se Aµ 0 A 0 C 0 CD 0 parabola com reta focal paralela ao eixo OX µ D2 4C F CD 0 conjunto vazio D 0 uma reta se Cµ 0 ou o conjunto vazio se Cµ 0 Sabemos que a excentricidade da elipse de equacao x2 a2 y2 b2 1 e o numero real e c a onde c e o valor positivo tal que os focos da elipse sao F1 c 0 e F2 c 0 De fato na deducao da equacao da elipse vemos que c a2 b2 Em particular c a Logo e c a 1 Dessa forma a elipse e caracterizada por ter a sua excentricidade menor que 1 O cırculo e caracterizado por ter excentricidade igual a 1 No entanto a parabola nao tem excentricidade definida 119 CEDERJ Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas Analogamente a hiperbole de equacao x2 a2 y2 b2 1 tem sua excentrici dade dada por e c a onde c e o valor positivo tal que os focos da hiperbole sao F1 c 0 e F2 c 0 De fato na deducao da equacao da hiperbole c a2 b2 Em parti cular a c Logo e c a 1 Entao a hiperbole e caracterizada por ter a sua excentricidade maior que 1 Lembre que conhecendo a excentricidade e algum outro elemento da cˆonica coordenadas do foco distˆancia do vertice ao centro da cˆonica equacoes das assıntotas etc podemos obter sua equacao Alem disso o conhecimento da excentricidade ja nos diz de que tipo e a cˆonica Exemplo 86 Determinar a equacao da cˆonica que tem excentricidade e 1 2 centro no ponto P0 1 3 e focos sobre a reta x 1 a uma distˆancia de 3 do centro Solucao Como a excentricidade e menor que 1 a cˆonica e uma elipse Em relacao ao sistema de coordenadas OXY obtido da translacao de OXY para o ponto O P0 a equacao da elipse e x2 b2 y2 a2 1 com a b Como c 3 e e c a 1 2 temos c a 3 a 1 2 e a 2 3 a2 12 Tambem sendo c2 a2 b2 temos b2 a2 c2 12 3 9 Logo a equacao da elipse no sistema OXY e x2 9 y2 12 1 Usando as relacoes de mudanca de coordenadas entre sistemas transladados x x 1 e y y 3 obtemos a equacao da elipse no sistema OXY x 12 9 y 32 12 1 Nota final Achamos mais ilustrativo apresentar alguns exemplos em vez de fazer uma analise geral dos coeficientes da equacao 81 E possıvel identificar uma cˆonica apenas analisando os coeficientes da equacao geral do segundo grau CEDERJ 120 Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 8 Contudo vocˆe deve sempre lembrar que Qualquer equacao do segundo grau do tipo Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 representa uma cˆonica transladada incluindo os casos degenerados e sua reducao a forma canˆonica e obtida completando os quadrados Resumo Nesta aula vimos que uma equacao do segundo grau da forma Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 representa uma cˆonica transladada in cluindo os casos degenerados e que a sua forma canˆonica com respeito a um novo sistema de coordenadas OXY e obtida completando os quadra dos na equacao Alem disso vimos que e possıvel determinar a equacao de uma elipse ou de uma hiperbole conhecendo sua excentricidade e um outro elemento que a caracterize Exercıcios 1 Sejam OXY e OXY sistemas de coordenadas onde OXY e o trans ladado de OXY para o ponto 2 5OXY Consideremos as cˆonicas com as seguintes equacoes no sistema OXY x2 y2 9 1 x2 4 y2 9 1 y2 6x i Dˆe as equacoes dessas cˆonicas no sistema OXY ii Dˆe as coordenadas no sistema OXY dos focos de cada uma dessas cˆonicas 2 Reduza as seguinte equacoes a forma canˆonica exibindo as mudancas de sistemas de coordenadas Para o caso de parabola dˆe a equacao de sua diretriz no sistema OXY e para o caso de hiperbole dˆe as equacoes de suas assıntotas a 4x2 9y2 40x 36y 100 0 b 9x2 16y2 54x 64y 127 0 c 10y2 8x 30y 9 0 d x2 3y2 8x 6y 11 0 3 Em cada item determine a equacao da cˆonica a partir das informacoes dadas 121 CEDERJ Cˆonicas Translacao de sistemas de coordenadas a e 5 2 a distˆancia entre os focos 6 unidades equacao da reta que contem os focos x 2 centro P0 2 1 b e 1 4 centro P0 1 3 equacao da reta que contem os focos y 3 distˆancia de um foco ao centro 4 unidades c e 4 3 focos F1 2 5 e F2 4 5 d e 1 2 centro P0 1 2 foco F1 1 1 Autoavaliacao Resolvendo os Exercıcios 1 e 2 vocˆe fixou as relacoes entre sistemas de coordenadas transladados e a reducao por quadrados perfeitos Resolvendo o Exercıcio 3 vocˆe reviu a nocao de excentricidade Caso tenha encontrado dificuldades releia a aula e os exemplos com atencao e depois volte aos exercıcios Permanecendo com duvidas procure orientacao com os tutores CEDERJ 122 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 Aula 9 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas Objetivos Entender mudancas de coordenadas por rotacoes Identificar uma cˆonica rotacionada a partir da sua equacao geral Identificar uma cˆonica arbitraria e reduzila a sua forma canˆonica Nesta aula completamos a analise das equacoes do segundo grau Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 91 Restanos apenas estudar a influˆencia do termo Bxy na posicao da cˆonica no plano Veremos que uma equacao da forma 91 com B 0 e colocada na forma canˆonica girando e transladando o sistema de coordenadas Rotacao e mudanca de coordenadas entre sistemas rotacionados Antes de entrarmos na analise das equacoes da forma 91 apresenta mos a nocao de rotacao de sistemas de coordenadas Figura 91 Rotacao do sistema de co ordenadas Definicao 925 Rotacao do sistema de coorde nadas A rotacao de um sistema car tesiano ortogonal de coordenadas OXY por um ˆangulo θ e a construcao de um novo sistema OXY cujos eixos OX e OY sao obtidos girando os eixos OX e OY respectivamente do ˆangulo θ em torno da origem O A rotacao e rea lizada no sentido antihorario se θ for positivo e no sentido horario se θ for negativo Figura 91 A origem O do novo sistema e a mesma do sistema original o ponto O Embora as origens sejam as mesmas utilizamos notacoes distintas Dizemos que o sistema OXY e o rotacionado do sistema OXY de θ Como os eixos OX e OY foram rotacionados de θ os eixos OX e OY sao tambem ortogonais Portanto OXY e um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas 123 CEDERJ Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas Relacoes de mudanca de coordenadas entre sistemas rotacionados Seja OXY o sistema ortogonal de coordenadas obtido rotacionando o sistema de coordenadas OXY de um ˆangulo θ Figura 92 Ponto P em OXY e em OXY Seja P um ponto do plano cu jas coordenadas em relacao ao sis tema OXY sao P x yOXY e em relacao ao sistema OXY sao P x yOXY Veja a Figura 92 Para determinarmos a relacao entre as coordenadas x y e x y comecamos observando que o vetor v1 cos θ sen θOXY e um vetor unitario na direcao posi tiva do eixo OX o vetor v2 sen θ cos θOXY e um vetor unitario na direcao positiva do eixo OY os vetores v1 e v2 sao perpendiculares v1 v2 0 Logo as coordenadas do vetor OP ou as coordenadas do ponto P com respeito ao sistema OXY sao os numeros x e y tais que pr v1 OP x v1 e pr v2 OP y v2 Isto e x OP v1 x y cos θ sen θ y OP v2 x y sen θ cos θ de onde obtemos as relacoes de mudanca de variaveis x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ 92 Reciprocamente suponhamos que o sistema OXY foi obtido rotacio nando o sistema OXY de θ Como obter o sistema OXY a partir do sistema OXY Sendo que o sistema OXY foi obtido girando o sistema OXY de θ o sistema OXY deve ser obtido girando o sistema OXY de θ Note que CEDERJ 124 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 neste caso o rotacionado e o sistema OXY e o sistema fixo e o sistema OXY Portanto as relacoes de mudanca de coordenadas sao x x cosθ y senθ y x senθ y cosθ e como cos θ e uma funcao par e sen θ e uma funcao ımpar obtemos a mu danca de coordenadas x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ 93 Assim se OXY e um sistema de coordenadas obtido girando o sistema OXY de um ˆangulo θ podemos usar as relacoes 92 e 93 para obter as coordenadas dos pontos do plano em relacao ao sistema OXY conhecendo as coordenadas em relacao ao sistema OXY e reciprocamente desde que sejam conhecidos o seno e o cosseno do ˆangulo de rotacao Exemplo 91 Seja OXY o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas obtido da rotacao de 30o do sistema XOY Figura 93 Exemplo 91 Seja P o ponto do plano com coor denadas P 1 3OXY e seja r a reta de equacao x 2y 2 0 no sistema OXY Veja a Figura 93 Determinemos as coordenadas de P no sistema OXY e a equacao de r no sistema OXY Solucao Primeiro devemos obter a expressao da mudanca de coordena das usando as relacoes 92 x x cos30o y sen30o 3 2 x 1 2y y x sen30o y cos30o 1 2x 3 2 y Substituindo os valores das coorde nadas x 1 e y 3 de P obte mos x 3 2 1 1 23 3 3 2 y 1 21 3 2 3 1 3 3 2 125 CEDERJ Ou seja P 3 32 1 332 OXY Fazemos também a substituição de x e y na equação de r x 2y 2 0 32x 12y 2 12x 32y 2 0 3x y 2x 23y 4 0 2 3x 1 23y 4 0 Portanto a equação de r no sistema OXY é 2 3x 1 23y 4 0 Exemplo 92 Consideremos o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY obtido por uma rotação do sistema OXY tal que o eixo OX seja a reta que passa pela origem e é paralela à reta 2x 3y 6 0 Seja P ponto do plano com coordenadas P 4 1OXY Determinar as coordenadas de P no sistema OXY Solução A primeira pergunta que surge é como determinar o ângulo de rotação θ Na verdade como foi dito anteriormente não precisamos do valor do ângulo de rotação θ mas sim dos valores cos θ e sen θ O eixo OX e a reta 2x 3y 6 0 têm a mesma inclinação pois são paralelos Reescrevendo a equação da reta na forma y 23x 2 temos tg θ 23 Assim os valores de cos θ e sen θ são obtidos resolvendo o sistema tg θ sen θcos θ 23 cos2 θ sen2 θ 1 Da primeira identidade obtemos cos θ 32 sen θ e substituindo na segunda identidade resulta 32 sen θ2 sen2 θ 1 que equivale a 134 sen2 θ 1 sen θ2 413 sen θ 213 Como a tangente de θ é positiva o cosseno de θ e o seno de θ têm o mesmo sinal Nesse caso convencionamos tomar sempre o sinal positivo que corresponde a θ positivo quando os sinais de cos θ e sen θ forem contrários tomamos o cosseno positivo e o seno negativo Então sen θ 213 e cos θ 313 Figura 94 Exemplo 92 Substituindo os valores de cos θ e sen θ nas relações 93 obtemos x xcos θ ysen θ 3132 x 2133 y y xsen θ ycos θ 2133 x 3132 y Substituindo as coordenadas x 4 e y 1 de P obtemos as coordenadas x e y de P no sistema OXY x 3134 2131 1413 y 2134 3131 513 P 1413 513 OXY Antes de passarmos para a identificação de equações do segundo grau com termo xy fazemos algumas comparações de equações de cônicas entre sistemas de coordenadas rotacionados Sejam OXY e OXY sistemas cartesianos ortogonais de coordenadas em que OXY é obtido girando o sistema OXY de θ Consideremos por exemplo a hipérbole x2a2 y2b2 1 no sistema OXY Como é a equação dessa hipérbole no sistema OXY Substituindo x e y das expressões da mudança de coordenadas 92 na equação da hipérbole temos x2a2 y2b2 1 x cos θ y sen θ2a2 x sen θ y cos θ2b2 1 cos2 θ x2 2 cos θ sen θ xy sen2 θ x2a2 sen2 θ x2 2 cos θ sen θ xy cos2 θ x2b2 1 b2 cos2 θ a2 sen2 θx2 2a2 b2 cos θ sen θ xy b2 sen2 θ a2 cos2 θy2 a2 b2 94 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas Observe que agora apareceu um termo com o produto xy Como a2 b2 0 o coeficiente 2a2 b2 cos θ sen θ de xy em 94 e igual a zero se e somente se cos θ sen θ 0 Ou seja se e somente se cos θ 0 ou sen θ 0 Na figura 95 Temos cos θ 0 e sen θ 1 Veja como o sistema OXY obtido pela rotacao do sistema OXY de 90o tem os seus eixos superpostos aos eixos do sistema OXY Veja a figura 95 de frente ao eixo OX Na figura 96 Temos sen θ 0 e cos θ 1 O sistema OXY obtido pela rotacao do sistema OXY de 180o tem os seus eixos superpostos aos eixos do sistema OXY porem com orientacoes contrarias Veja a figura 96 de cabeca para baixo Se cos θ 0 entao θ 90o e sen θ 1 ou θ 90o e sen θ 1 Em qualquer caso sen2 θ 1 e a equacao 94 fica reduzida a Figura 95 a2x2 b2y2 a2b2 Dividindo essa equacao por a2b2 obtemos x2 b2 y2 a2 1 ou seja y2 a2 x2 b2 1 Figura 95 cos θ 0 e sen θ 1 Figura 96 cos θ 1 e sen θ 0 Analogamente se sen θ 0 entao θ 0o e cos θ 1 ou θ 180o e cos θ 1 Em qualquer caso cos2 θ 1 e ao substituir na equacao 94 obtemos a equacao b2x2 a2y2 1 que equivale a Figura 96 x2 a2 y2 b2 1 Assim no primeiro caso a rotacao e de 90o ou de 90o e no segundo a rotacao e de 0o ou de 180o Portanto os eixos rotacionados OX e OY ficam superpostos aos eixos originais OY e OX respectivamente embora com orientacao contraria Isto faz com que as equacoes nos dois sistemas aparecam na forma canˆonica Concluımos entao que fora esses casos particulares quando a relacao entre os sistemas de coordenadas e de uma rotacao sempre devera aparecer o termo xy na equacao da cˆonica Essa analise e util para raciocinarmos de forma inversa dada a equacao de uma cˆonica em relacao ao sistema OXY determinar os eixos OXY perante os quais a cˆonica estara apresentada na sua forma canˆonica Para CEDERJ 128 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 ilustrar o procedimento vamos analisar com cuidado o seguinte exemplo Exemplo 93 Consideremos a equacao 13x2 18xy 37y2 40 0 95 Sendo que nessa equacao aparece termo xy deve existir um sistema de co ordenadas OXY rotacionado de OXY com respeito ao qual a equacao apareca na sua forma reduzida canˆonica Como encontrar o sistema OXY desejado Solucao Denotemos θ o ˆangulo de rotacao procurado lembre que para de terminar o sistema so precisamos do cosseno e do seno desse ˆangulo As coordenadas no sistema OXY sao dadas a partir das coordenadas em relacao ao sistema OXY mediante as relacoes 93 Substituindo essas relacoes de mudanca de coordenadas na equacao 95 obtemos 13x cos θ y sen θ2 18x cos θ y sen θx sen θ y cosθ 37x sen θ y cos θ2 40 0 Desenvolvendo essa equacao e agrupando os termos comuns temos 13 cos2 θ 18 sen θ cos θ 37 sen2 θx2 26 sen θ cos θ 18 cos2 θ 18 sen2 θ 74 sen θ cos θxy 13 sen2 θ 18 sen θ cos θ 37 cos2 θy2 0 96 Agora impomos a θ a condicao que precisamos θ tem que ser o ˆangulo tal que a equacao acima fique sem o termo xy Isto e o coeficiente de xy deve ser igual a zero Portanto a condicao sobre θ e 26 sen θ cos θ 18 cos2 θ 18 sen2 θ 74 sen θ cos θ 0 Simplificando temos 3 cos2 θ 3 sen2 θ 8 sen θ cos θ 0 Para resolver essa identidade em relacao a cos θ e a sen θ observemos que cos θ 0 pois como vimos anteriormente se cos θ 0 a equacao nao teria o termo xy Dividindo essa identidade por cos2 θ obtemos Note que No procedimento ao lado desejamos achar os valores de cos θ e sen θ 3 3 sen2 θ cos2 θ 8 sen θ cos θ 0 129 CEDERJ Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas Designando u tg θ sen θ cos θ substituindo na equacao reordenando os termos e multiplicando por 1 chegamos a equacao do segundo grau 3 u2 8u 3 0 Resolvendo obtemos u tg θ 8 10 6 Lembre que convencionamos tomar sempre o valor positivo para tg θ que corresponde a um ˆangulo θ entre 0o e 90o Assim tg θ 18 6 3 Note que Resolver as equacoes 97 e 98 com respeito as incognitas sen θ e cos θ equivale a determinar um par de numeros positivos tais que a soma dos seus quadrados e igual a 1 e o seu quociente e 3 Verifique Use uma maquina de calcular para verificar que θ arcsen 3 10 71 56o Sabendo o valor da tangente de θ obtemos os valores do cosseno e do seno conforme fizemos no exemplo 92 a partir das identidades sen θ cos θ 3 97 sen2 θ cos2 θ 1 98 As solucoes sao sen θ 3 10 e cos θ 1 10 Substituindo esses valores nas relacoes 93 vemos que a mudanca de coor denadas que devemos fazer para levar a cˆonica 95 a sua forma canˆonica com respeito ao novo sistema OXY e dada por x 1 10x 3 10y y 3 10x 1 10y De fato substituindo essas relacoes nos coeficientes da equacao 96 obte mos coeficiente de x2 13 cos2 θ 18 sen θ cos θ 37 sen2 θ 13 1 102 18 3 10 1 10 37 3 102 400 10 40 coeficiente de xy 3cos2θ 3sen2θ 8senθcosθ 3 1 102 3 3 102 8 3 10 1 10 0 valor que ja era esperado coeficiente de y2 13 sen2 θ 18 sen θ cos θ 37 cos2 θ 13 3 102 18 3 10 1 10 37 1 102 100 10 10 Assim a equacao 96 fica na forma 40x2 10y2 40 0 isto e na forma x2 y2 4 1 que e a equacao canˆonica de uma elipse no sistema OXY Figura 97 CEDERJ 130 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 Figura 97 13x2 18xy 37y2 40 0 O exemplo acima ilustra o procedimento geral a ser seguido para reduzir uma equacao do segundo grau da forma Ax2BxyCy2F 0 a sua forma canˆonica Isto e feito por meio de uma mudanca do sistema de coordenadas obtida girando o sistema OXY de modo que os eixos OX e OY do sistema rotacionado OXY coincidam com os eixos da cˆonica O procedimento para reduzir a equacao geral de segundo grau Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 a sua forma canˆonica e feito em duas etapas Primeiramente rotacionamos o sistema OXY para um sistema OXY de modo que nas novas coordena das a equacao fique sem o termo em xy Uma vez feito isso transladamos o sistema OXY ate um ponto O de modo que a equacao no sistema trans ladado OXY nao apresente os termos de primeiro grau No seguinte exemplo ilustramos como isso e feito Exemplo 94 Vamos reduzir a equacao 3x2 10xy 3y2 16x 16y 16 0 99 a sua forma canˆonica Solucao Procedendo de forma analoga ao exemplo anterior procuremos o sistema de coordenadas OXY rotacionado de OXY de modo que nesse novo sistema a equacao nao tenha termo xy Novamente fazemos a mu danca de variaveis 131 CEDERJ x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ na equação 99 Observe que a condição sobre cos θ e sen θ é que na equação transformada não apareça o termo em xy Observe que na mudança de variáveis aparece o termo em xy apenas nos termos de segundo grau x2 y2 e xy Assim isolamos esses termos da equação fazemos a substituição e obtemos o coeficiente de xy 3 x2 3x cos θ y sen θ2 3x2 cos2 θ 6xy cos θ sen θ 3 y2 sen2 θ 10 xy 10 x cos θ y sen θx sen θ y cos θ 10 x2 cos θ sen θ 10cos2 θ sen2 θxy 10 y2 sen θ cos θ 3 y2 3x cos θ y sen θ2 3x2 cos2 θ 6xy cos θ sen θ 3 y2 sen2 θ Assim o coeficiente de xy é 6 cos θ sen θ 10cos2 θ sen2 θ 6 cos θ sen θ 10cos2 θ sen2 θ Esse coeficiente é igual a zero se e somente se cos2 θ sen2 θ 0 Logo os valores cos θ e sen θ são obtidos resolvendo o sistema cos2 θ sen2 θ 0 cos2 θ sen2 θ 1 cos θ sen θ 12 22 Isto é cos θ sen θ 22 Considerando cos θ sen θ 22 que corresponde a θ 45º obtemos as relações de mudança de coordenadas x 22 x 22 y y 22 x 22 y Substituindo essas relações na equação 99 temos 3 22 x 22 y 2 10 22 x 22 y 22 x 22 y 3 22 x 22 y 2 16 22 x 22 y 16 22 x 22 y 16 0 Simplificando obtemos a equação 8x² 2y² 162x 16 0 Completando os quadrados como na aula anterior chegamos a x 2² y²4 0 que representa uma hipérbole degenerada cujo gráfico são duas retas concorrentes e tem por equação canônica x² y²4 0 com respeito ao sistema OXY obtido transladando o sistema OXY até O 2 0OXY Figura 98 Mesmo sabendo como reduzir uma equação do segundo grau nas variáveis x e y à sua forma canônica em muitas situações é fundamental identificar se a cônica é uma elipse ou uma hipérbole ou uma parábola mesmo antes de efetuar a redução à forma canônica Para isso devemos caracterizar os elementoschave que nos permitem identificar o lugar geométrico a partir da equação geral Definição 926 Indicador de uma equação do segundo grau O indicador da equação do segundo grau C Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 é o número IC 4 det A B2 B2 C 4 AC B²4 4AC B² Na seguinte proposição mostramos um resultado importante que nos permite efetuar a identificação de uma cônica a partir da sua equação geral calculando apenas o seu indicador Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas Proposicao 920 O indicador e invariante por rotacao Isto e se a equacao C Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 e obtida a partir da equacao C Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 por meio de uma rotacao do sistema de coordenadas entao IC 4AC B2 4AC B2 IC A demonstracao da proposicao feita no apˆendice consiste em calcular o indicador IC apos fazer a mudanca de variaveis na equacao C segundo as relacoes 93 Vejamos agora como esse resultado nos auxilia na identificacao da cˆonica Ja sabemos que dada uma equacao do segundo grau C Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 podemos determinar um sistema de coordenadas OXY no qual a equacao tem a forma C Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 com B 0 Pela Proposicao 920 obtemos IC 4AC B2 4AC IC 910 Mas na aula anterior ja classificamos as equacoes do tipo Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 atraves da observacao dos coeficientes A e C A e C com mesmo sinal AC 0 C e uma elipse A e C com sinal contrario AC 0 C e uma hiperbole A 0 e C 0 ou A 0 e C 0 AC 0 C e uma parabola incluindo os casos degenerados em cada alternativa CEDERJ 134 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 Reveja Os criterios da Aula 8 para identificar uma cˆonica que nao contem o termo xy NOTA IMPORTANTE Em alguns livros sobre Geometria Analıtica o indicador e definido por I 4 det A B2 B2 C B2 4AC Com isso a cˆonica e uma elipse se I 0 uma parabola se I 0 uma hiperbole se I 0 No entanto essa nao e uma convencao padrao e nos achamos mais natural definir o indicador de modo que as elipses fiquem com indicador positivo e as hiperboles com indicador negativo E questao de preferˆencia Portanto da igualdade dos indicadores 910 concluımos Classificacao da equacao geral de segundo grau Dada a equacao C Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 e designando IC 4AC B2 temos IC 0 C e uma elipse equacao de tipo elıptico IC 0 C e uma hiperbole equacao de tipo hiperbolico IC 0 C e uma parabola equacao de tipo parabolico incluindo os casos degenerados em cada alternativa Exemplo 95 Identifiquemos a cˆonica C dada pela equacao C 4xy 3y2 x 0 911 e determinemos o sistema de coordenadas no qual a sua equacao e apresen tada na forma canˆonica Solucao Os coeficientes dos termos do segundo grau sao A 0 B 4 e C 3 Logo o indicador da equacao e IC 4AC B2 4 0 3 42 16 0 Portanto a cˆonica e uma hiperbole e a equacao e do tipo hiperbolico Determinemos agora um sistema de coordenadas OXY rotacionado de OXY para reduzir a equacao dada eliminando o termo em xy Considerando a mudanca de coordenadas x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ determinemos o coeficiente de xy que so aparece nos termos de segundo grau na equacao de C 4xy 4x cos θ y sen θx sen θ y cos θ 4 cos θ sen θ x24cos2 θ sen2 θ xy 4 cos θ sen θ y2 3y2 3x sen θ y cos θ2 3 sen2 θ x26 sen θ cos θ xy 3 cos2 θ y2 135 CEDERJ Assim o coeficiente de xy é 4 cos²θ 4 sen²θ 6 cos θ sen θ Então devemos determinar os valores de cos θ e sen θ para que esse coeficiente seja igual a zero isto é devemos resolver a equação 4 cos²θ 4 sen²θ 6 cos θ sen θ 0 Dividindo essa equação por 2 cos²θ temos 2 tg²θ 3 tg θ 2 0 de onde obtemos tg θ 14 3 3² 422 14 3 5 Isto é tg θ 2 ou tg θ 12 Seguindo a nossa convenção escolhemos o valor positivo tg θ sen θcos θ 12 ou seja 2 sen θ cosθ 0 Do sistema de equações 2 sen θ cos θ 0 sen²θ cos²θ 1 obtemos seguindo a convenção de tomar o seno positivo sen θ 15 e cos θ 25 Com isso a mudança de coordenadas que devemos fazer é dada por x 25 x 15 y y 15 x 25 y Substituindo na equação 911 agrupando os termos comuns e simplificando obtemos a equação da cônica C no sistema rotacionado OXY x² 4y² 255 x 55 y 0 Completando os quadrados e simplificando obtemos x 55² 34² y 540² 38² 1 que é a equação da hipérbole de centro no ponto 55 540 eixo focal paralelo ao eixo OX e com a 34 e b 38 A translação do sistema OXY para o sistema OXY com origem no centro da cônica é dada pela mudança de coordenadas x x 55 y y 540 Com essa translação do sistema de coordenadas a equação da cônica fica na sua forma canônica em relação ao sistema OXY Figura 99 x² 34² y² 38² 1 Mais ainda note que as assíntotas dessa hipérbole têm equações y 12 x e y 12 x Para obtermos as equações correspondentes no sistema OXY temos que fazer duas mudanças de coordenadas a primeira do sistema OXY para o sistema OXY por meio de uma translação y 12 x y 540 12 x 55 y 12 x y 540 12 x 55 x 25x 15y y 15x 25y 15x 25y 540 12 25x 15y 55 15x 25y 540 12 25x 15y 55 y 43x 14 e y 14 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 2 Seja C o cırculo de equacao x2 y2 r2 Mostre que sua equacao e invariante por rotacoes isto e se tomamos um sistema de coordenadas OXY rotacionado de OXY de um ˆangulo θ entao a equacao do cırculo nesse novo sistema e x2 y2 r2 3 Seja C o cırculo de equacao x x02 y y02 r2 Verifique que C e invariante por simetria em relacao a qualquer reta que passe pelo centroa b Sugestao Use a expressao da Proposicao 16 da Aula 7 para fazer a simetria de um ponto do cırculo em relacao a reta e mostre que esse ponto continua a pertencer ao cırculo 4 Faca a reducao a forma canˆonica de cada equacao abaixo identificando a cˆonica Determine conforme o caso vertices assıntotas diretrizes tanto no sistema em que foi obtida a equacao reduzida quanto no sistema OXY a 4xy 3y2 36 0 b 7x2 6xy y2 28x 12y 28 0 c 5x2 2xy 5y2 4x 20y 20 0 d 4x2 12xy 9y2 4x 6y 1 0 5 Na Figura 910 o centro e os vertices da hiperbole estao sobre a reta diagonal y x do plano e tˆem coordenadas 3 3 2 2 e 4 4 respectivamente e as assıntotas sao as retas x 3 e y 3 Dˆe a equacao da hiperbole no sistema OXY Figura 910 Exercıcio 5 Figura 911 Exercıcio 6 139 CEDERJ Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas 6 Na Figura 911 a hiperbole tem os mesmos vertices e centro que a hiperbole do exercıcio anterior e as assıntotas sao as retas x3y6 0 e 3x y 6 0 Dˆe a equacao da hiperbole no sistema OXY 7 Seja a equacao 7x2 48xy 7y2 25t 0 onde t R a Dˆe os valores de t para os quais a equacao se torna a equacao de uma cˆonica degenerada b Tome um valor a 0 Compare as equacoes reduzidas para t a e t a O que as curvas solucoes tˆem em comum 8 Classifique em funcao do parˆametro k a cˆonica x2 2kx 2ky2 2k 1 determinando tambem quando possıvel a equacao da reta focal Sugestao O problema consiste em identificar os valores do parˆametro k para os quais a equacao representa uma elipse uma hiperbole ou uma parabola Devem ser analisados os casos degenerados Use o indicador 9 Considere a equacao mx2 12xy 9y2 4x 6y 6 0 a Determine m R tal que a equacao acima seja do tipo parabolico b Verifique que a equacao com o valor m encontrado no item an terior representa um par de retas paralelas ou seja e uma parabola degenerada Determine a equacao dessas retas no sistema OXY 10 Seja a famılia de curvas x2 2λx λ 2y2 2λ 2y 3λ 3 0 λ R a Classifique essa famılia em funcao do parˆametro λ b Determine para que valores de λ a cˆonica acima e degenerada Autoavaliacao Vocˆe entendeu bem como rotacionar um sistema de eixos coordenados Ficou claro que para fazer a mudanca de variaveis por rotacoes e fundamental determinar o cosseno e o seno do ˆangulo de rotacao Vocˆe nao deve ter dificuldade em resolver os exercıcios propostos Com eles vocˆe ira adquirir mais soltura nos calculos Caso tenha alguma dificuldade reveja os assuntos apresentados na aula e analise os exemplos cuidadosamente ATENC AO Os calculos a serem feitos para reduzir uma cˆonica a sua forma canˆonica sao laboriosos e devem ser realizados com extremo cuidado para evitar enganos Na disciplina de Algebra Linear sera desenvolvido um metodo matricial para reduzir uma cˆonica a sua forma canˆonica com calculos mais simples Ate la vocˆe deve ter bastante familiaridade com os metodos apresentados nesta aula CEDERJ 140 Cˆonicas Rotacao de sistemas de coordenadas M ODULO 1 AULA 9 Apˆendice Invariˆancia do indicador perante rotacoes Neste apˆendice vamos demonstrar a Proposicao 920 Demonstracao Seja C a cˆonica de equacao C Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 Consideremos a mudanca de coordenadas dada pelas relacoes x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ Substituindo essas relacoes na equacao de C chegamos novamente a uma equacao do segundo grau Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 em que os coeficientes A B e C sao A A cos2 θ B cos θ sen θ C sen2 θ B 2A C cos θ sen θ Bcos2 θ sen2 θ C A sen2 θ B cos θ sen θ C cos2 θ O indicador dessa nova equacao e 4AC B2 onde 4AC 4A2 B2 C2 cos2 θ sen2 θ 4BC AB cos3 θ sen θ 4AB BC cos θ sen3 θ 4AC cos4 θ 4AC sen4 θ B2 4A2 2AC C2 cos2 θ sen2 θ 4BC AB cos3 θ sen θ 4AB BC cos θ sen3 θ B2cos2 θ sen2 θ2 Calculando 4AC B2 temos 4AC B2 4B2 sen2 θ cos2 θ 4ACcos4 θ sen4 θ 8AC sen2 θ cos2 θ B2 cos4 θ 2B2 cos2 θ sen2 θ B2 sen4 θ 24AC B2 cos2 θ sen2 θ 4AC B2cos4 θ sen4 θ 4AC B2cos2θ sen2 θ2 4AC B2 Portanto 4AC B2 4AC B2 141 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 Aula 10 Regioes e inequacoes no plano Objetivos Resolver inequacoes do segundo grau Analisar sistemas envolvendo inequacoes do primeiro e segundo graus Resolver inequacoes modulares a duas variaveis Analisar sistemas envolvendo inequacoes do primeiro grau do segundo grau e modulares O conhecimento das curvas representadas por equacoes gerais do pri meiro e segundo graus e um passo importante para determinar regioes do plano delimitadas por tais curvas Uma regiao no plano delimitada por tais curvas consiste do conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem uma ou varias inequacoes algebricas Como veremos a seguir Regioes do plano e inequacoes Vocˆe ja percebeu que retas e cˆonicas dividem o plano em regioes Definicao 1027 Dizemos que uma regiao do plano e conexa se ela nao e a uniao de duas ou mais regioes disjuntas Figura 101 Regioes conexas Dizer que uma regiao e conexa significa que ela e formada de uma peca so como cada uma das figuras U e V ao lado Enquanto que a regiao W e formada por trˆes partes Figura 101 Cada uma das regioes U e V sao conexas enquanto que a regiao W nao e conexa Convencao Daqui por diante usaremos o termo regiao para nos referir a uma regiao conexa Observe que uma reta divide o plano em duas regioes enquanto que o numero de regioes determinadas por uma cˆonica pode variar Primeiramente consideremos as cˆonicas nao degeneradas Uma elipse divide o plano em duas regioes a regiao interior que contem seus focos e a exterior 143 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano Uma hiperbole divide o plano em trˆes regioes uma que contem um dos focos outra que contem o outro foco e a regiao que contem suas assıntotas Uma parabola divide o plano em duas regioes uma que contem o foco e a outra que contem a diretriz Figura 102 Elipse Figura 103 Hiperbole Figura 104 Parabola Se olharmos as cˆonicas degeneradas encontramos outras situacoes Uma elipse degenerada nao divide o plano pois neste caso os possıveis lugares geometricos sao o conjunto vazio ou um unico ponto Uma hiperbole degenerada cujo grafico sao duas retas concorrentes divide o plano em quatro regioes Figura 106 O grafico da hiperbole degenerada definida pela equacao x2 y2 0 consiste de duas retas concorrentes O plano fica dividido nas quatro regioes mostradas na figura Figura 107 Neste grafico mostramos a parabola degenerada x2 x 2 0 cujo grafico consiste de duas retas paralelas que dividem o plano em trˆes regioes Figura 108 Neste grafico mostramos a parabola degenerada y2 0 que divide o plano em duas regioes Figura 105 Regioes A B e C desconectadas Uma parabola degenerada divide o plano em trˆes regioes se o seu grafico consistir de duas retas paralelas e divide o plano em duas regioes quando seu grafico for apenas uma reta duas retas coincidentes Figura 106 Hiperbole de generada Figura 107 Parabola dege nerada Figura 108 Parabola dege nerada Observe que se retiramos do plano o conjunto dos pontos de uma cˆonica nao degenerada entao as regioes que ela determina ficam desconectadas umas das outras O mesmo acontece se retirarmos do plano uma reta Figura 105 Designemos por π o plano e por π o plano do qual retiramos o conjunto dos pontos da cˆonica ou reta conforme o caso por exemplo na Figura 105 CEDERJ 144 Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 o conjunto π A B C e o que resta do plano apos retirarmos os pontos de uma hiperbole Sabemos que as retas e cˆonicas sao lugares geometricos formados por conjuntos de pontos que satisfazem uma equacao dada No caso das retas a equacao e Ax By C 0 e no caso das cˆonicas a equacao e a equacao geral do segundo grau Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 Portanto as regioes de π determinadas por uma reta satisfazem a inequacao Ax By C 0 ou a inequacao Ax By C 0 e as regioes determinadas por uma cˆonica satisfazem a inequacao Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 ou a inequacao Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 Resumindo Observacao importante Dada uma equacao algebrica do primeiro ou segundo graus os pontos de cada regiao de π por ela determinada satisfaz apenas uma das desigual dades Ax By C 0 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 Ax By C 0 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 101 Pense Vocˆe ja observou esse fato nos cırculos Num cırculo de raio r os pontos da regiao que contem o centro denominada regiao interior estao a uma distˆancia do centro menor que r e os pontos da regiao que nao contem o centro denominada regiao exterior estao a uma distˆancia do centro maior que r Esta situacao pode ser descrita usando uma inequacao 145 CEDERJ x a² y b² r² x a² y b² r² x a² y b² r² x a² y b² r² Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 Para F1 x0 c x02 a2 y0 y02 b2 c2 a2 a2 b2 a2 1 b2 a2 1 Para F2 tambem obtemos 1 b2 a2 1 Portanto as coordenadas dos pontos da regiao que contem o centro P0 satis fazem x x02 a2 y y02 b2 1 e as coordenadas dos pontos das regioes que contˆem F1 e F2 satisfazem x x02 a2 y y02 b2 1 Sistemas de inequacoes Definicao 1028 Sistema de inequacoes no plano Um sistema de inequacoes no plano e um conjunto de duas ou mais ine quacoes Sua solucao e o conjunto de pontos do plano que satisfazem simul taneamente cada inequacao do sistema Assim para resolver um sistema de inequacoes encontramos as regiaooes determinadas por cada inequacao pois a solucao do sistema e a interseccao dessas regioes No seguinte analisaremos apenas sistemas de inequacoes de primeiro e segundo graus Veja os seguintes exemplos Exemplo 104 Esbocemos a regiao do plano determinada pelo sistema x2 y2 9 x2 y 3 0 Solucao Primeira etapa Identificamos a equacao correspondente a cada inequacao do sistema Em nosso caso as equacoes sao x2 y2 9 e x2 y 3 0 A primeira e a equacao de um cırculo centrado na origem e raio 3 e a segunda a equacao de uma parabola Segunda etapa Determinamos a solucao de cada inequacao Ja sabemos que a inequacao x2 y2 9 corresponde a uniao do cırculo com seu interior R1 Para identificar a regiao R2 da inequacao x2 y 3 0 testamos o ponto 0 0 Substituindo suas coordenadas no primeiro membro da desigualdade obtemos 3 logo 0 0 nao satisfaz a desigualdade 149 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano Como a parabola determina apenas duas regioes entao a regiao que satisfaz a inequacao e aquela que nao contem 0 0 Figura 1016 Solucao de x2 y2 9 Figura 1017 Solucao de x2 y 3 0 Terceira etapa Esbocamos cada regiao em sistemas de coordenadas separa dos Figuras 1016 e 1017 Convencao Quando uma curva faz parte de uma determinada regiao usamos uma linha cheia para desenhala quando nao usamos linha pontilhada Quarta etapa Esbocamos as regioes em um so sistema de coordenadas exi bindo a regiao definida pelo sistema Figura 1018 R R1 R2 Como a solucao e o conjunto dos pon tos cujas coordenadas satisfazem todas as equacoes do sistema entao a regiao procurada e a interseccao das regioes das Figuras 1016 e 1017 Para esbocar corretamente a regiao pro curada devemos determinar os pontos de interseccao das curvas que a delimitam Isto e devemos resolver o sistema x2 y2 9 x2 y 3 0 Da primeira equacao temos x2 9y2 E substituindo na segunda equacao 9 y2 y 3 0 y2 y 6 0 y 3 ou y 2 Logo y 3 x2 0 x 0 de onde obtemos o ponto 0 3 y 2 x2 9 22 x2 5 x 5 ou x 5 CEDERJ 150 Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 de onde obtemos os pontos 5 2 e 5 2 Com esses dados esbocamos na Figura 1018 a solucao do sistema proposto Exemplo 105 Esbocemos a regiao do plano determinada pelo sistema x y 1 0 x2 3 y2 4 1 x 0 Solucao Sigamos as etapas apresentadas no exemplo anterior As equacoes correspondentes a primeira e a segunda inequacoes sao a reta x y 1 0 e a elipse x2 3 y2 4 1 respectivamente Testemos o ponto 0 0 para determinar a regiao da primeira inequacao Como 0 0 satisfaz a primeira inequacao entao a regiao que ela determina e o semiplano mostrado na Figura 1019 Note que 0 0 nao satisfaz a segunda inequacao Logo a regiao que satisfaz a segunda inequacao e a regiao exterior a elipse Figura 1020 A regiao determinada pela terceira inequacao e o semiplano que consiste dos pontos x y com x 0 mostrada na Figura 1021 Figura 1019 Regiao xy 1 0 Figura 1020 Regiao x2 3 y2 4 1 Figura 1021 Regiao x 0 Para determinar a regiao solucao do sistema proposto determinemos os pon tos de interseccao das curvas que formam o seu contorno Para tanto resolvemos os seguintes sistemas que representam interseccoes das curvas duas a duas 151 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 Inequacoes modulares As inequacoes que envolvem modulos de expressoes de primeiro e se gundo graus sao chamadas inequacoes modulares Essas inequacoes tambem dividem o plano em regioes As inequacoes x2 4x x 4 0 e x y 4 3x y 0 sao exemplos de inequacoes modulares Exemplo 107 Determinar a regiao do plano definida pela inequacao x2 4x x 4 0 Solucao Observe que a variavel y nao aparece na inequacao Isto significa que se x0 y0 e um ponto do plano cujas coordenadas satisfazem a inequacao proposta entao todos os pontos x0 y tambem a satisfazem qualquer que seja o valor de y O primeiro a fazer e eliminar o sinal de modulo Para isso lembre que x 4 x 4 x 4 0 x 4 e x 4 x 4 x 4 0 x 4 Portanto a inequacao proposta e dividida em dois sistemas de inequacoes a x2 4x x 4 0 x 4 ou b x2 4x x 4 0 x 4 Que simplificando correspondem aos sistemas a x2 3x 4 0 x 4 ou b x2 5x 4 0 x 4 e a solucao procurada e a uniao das regioes Ra e Rb determinadas por esses sistemas 153 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano Figura 1024 R solucao do sistema a Resolucao do sistema a A equa cao x2 3x 4 0 tem por solu coes x 1 e x 4 que represen tam retas verticais no plano pois y e arbitrario Essas retas dividem o plano em trˆes regioes A primeira desigualdade do siste ma a e verificada pelos pontos a esquerda da reta x 1 e pelos pontos a direita da reta x 4 in cluındo ambas as retas A segunda desigualdade do sistema a se satisfaz somente na regiao que esta a direita da reta x 4 incluindo a propria reta Portanto a regiao solucao do sistema a consiste dos pontos a direita da reta x 4 incluındo os pontos dessa reta Figura 1025 R solucao do sistema a Resolucao do sistema b A equa cao x25x4 0 tem por solucoes x 1 e x 4 A primeira desigualdade do siste ma b e satisfeita fora da regiao limitada pelas retas x 1 e x 4 incluindo os pontos das retas A segunda desigualdade do sistema b e satisfeita na regiao a esquerda da reta x 4 Logo o sistema b tem por conjunto solucao o semiplano a esquerda da reta x 1 incluindo essa reta A solucao do sistema proposto e a uniao R Ra Rb das regioes solucoes de a e b como mostramos na Figura 1026 CEDERJ 154 Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 Figura 1026 R x2 4x x 4 0 Exemplo 108 Determinar a regiao do plano definida pela inequacao x y 4 3x y 0 Solucao Como x y 4 x y 4 se x y 4 0 x y 4 se x y 4 0 a inequacao proposta e dividida em dois sistemas de inequacoes a x y 4 3x y 0 x y 4 0 ou b x y 4 3x y 0 x y 4 0 Ou seja simplificando a x 1 0 x y 4 0 ou b x y 2 0 x y 4 0 A regiao R solucao da inequacao proposta e igual a uniao das regioes A e B determinadas por esses sistemas respectivamente Isto e R A B Solucao do sistema a As retas x 1 0 e x y 4 0 sao concorrentes e se intersectam no ponto 1 3 dividindo o plano em quatro regioes A regiao A solucao do sistema a e a regiao que contem o ponto 2 0 que satisfaz as duas inequacoes do sistema a 155 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano Figura 1027 Regiao A solucao do sistema a Figura 1028 Regiao B solucao do sistema b Figura 1029 Solucao de x y 4 3x y 0 Solucao do sistema b As retas x y 2 0 e x y 4 0 se in tersectam no ponto 1 3 dividindo o plano em quatro regioes A regiao B solucao do sistema b e aquela que contem o ponto 5 0 que satisfaz as duas inequacoes do sistema b A solucao da inequacao proposta e a regiao R A B da Figura 1029 Para resolver inequacoes envolvendo pro dutos e quocientes de expressoes do pri meiro e segundo grau com ou sem modulos e importante saber resolver sistemas de inequacoes Veja o ultimo exemplo Figura 1030 Hiperbole Na Figura acima mostramos as regioes determinadas pela hiperbole xx02 a2 yy02 b2 1 0 O sinal da expressao do lado esquerdo da equacao e positivo 0 nas regioes R1 que contˆem os focos negativo 0 na regiao R2 que contem o centro e as assıntotas Exemplo 109 Determinar o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a inequacao x 24x2 9y2 40x 54y 10 0 Solucao A desigualdade proposta significa que os fatores envolvidos nos parˆenteses devem ter sinais contrarios Portanto a solucao da inequacao proposta e a uniao das regioes determinadas pelos sistemas a e b a x 2 0 4x2 9y2 40x 54y 10 0 CEDERJ 156 Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 b x 2 0 4x2 9y2 40x 54y 10 0 Primeiramente observamos que a equacao 4x2 9y2 40x 54y 10 0 associada a segunda inequacao de ambos os sistemas se reduz a sua forma canˆonica x 52 94 y 32 1 0 Portanto os sistemas a e b acima sao equivalentes aos sistemas a x 2 x 52 94 y 32 1 0 ou b x 2 x 52 94 y 32 1 0 Figura 1031 Retas e hiperbole O conjunto solucao da equacao x 2 associada as primeiras desigual dades dos sistemas e formado pe las retas x 2 e x 2 Figura 1031 que dividem o plano em trˆes regioes Na Figura 1031 mostramos as curvas envolvidas nos sistemas a e b A hiperbole x52 94 y 32 1 0 e as retas x 2 e x 2 A regiao entre as retas que contem a origem consiste dos pontos tais que x 2 A regiao a direita da reta x 2 cujos pontos satisfazem x 2 A regiao a esquerda da reta x 2 cujos pontos satisfazem x 2 As solucoes dos sistemas a e b sao unioes de regioes cujos contornos sao partes dessas curvas Para determinar com exatidao esses conjuntos devemos achar os pontos onde as retas intersectam a hiperbole Para tal devemos resolver os sistemas A x 2 x 52 94 y 32 1 0 B x 2 x 52 94 y 32 1 0 Substituindo x 2 na segunda equacao do sistema A e resolvendo a equacao quadratica resultante na variavel y obtemos y1 3 3 e y2 3 3 Portanto a reta x 2 intersecta a hiperbole nos pontos P1 2 3 3 e P2 2 3 3 Veja a Figura 1031 Substituindo agora x 2 na segunda equacao do sistema B e resolvendo a equacao quadratica resultante na variavel y obtemos y3 3 187 3 7 56 e y4 3 187 3 1 56 157 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano M ODULO 1 AULA 10 Resumo Nesta aula vimos como determinar regioes do plano a partir de ine quacoes envolvendo expressoes do primeiro e segundo graus Aprendemos tambem a determinar a regiao solucao de sistemas de inequacoes e de inequacoes envolvendo modulos de expressoes do primeiro e segundo graus Exercıcios 1 Para cada sistema abaixo faca um esboco do conjunto solucao a xy 2 x2 y2 1 b x y 1 0 x 12 y 12 2x c x2 y2 2x 4y 1 x2 y2 6x 4y 4 y 0 2 Determine os possıveis valores da constante a para os quais o conjunto solucao da inequacao abaixo contenha a reta y 0 x2 2x y a 0 3 Para cada sistema de inequacoes abaixo esboce detalhadamente a regiao do plano por ele definida a x y 2 x y 2 b x y 1 x2 y2 1 x y c x y 1 x y x2 y2 1 2 d 4x2 y2 16x 6y 7 0 9x2 y2 36x 4y 31 0 y 6 2 e x 2y 2 x y 1 x2 y2 25 y 2 Sugestao para o sistema e faca primeiro a interseccao das regioes determinadas pelas inequacoes de primeiro grau as equacoes corres pondentes sao retas e depois faca a interseccao com o cırculo equacao correspondente da terceira inequacao do sistema 4 Para cada inequacao esboce detalhadamente a regiao do plano por ela dada a x y 1y x 2 0 b 9x2 y2 36x 27x2 4x y 4 0 159 CEDERJ Regioes e inequacoes no plano c x 44x2 9y2 40x 54y 145 0 Autoavaliacao Resolvendo os Exercıcios 1 e 2 fixou as tecnicas para determinar regioes delimitadas por retas e cˆonicas alem de interseccoes entre essas regioes Re solvendo os Exercıcios 3 e 4 adquiriu habilidade para desmembrar sistemas envolvendo inequacoes modulares e analisar uma inequacao dada por produ tos de expressoes por meio de sistemas de inequacoes Em caso de dificuldade releia a aula com atencao volte aos exercıcios e se achar necessario procure os tutores CEDERJ 160 Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 Aula 11 Coordenadas polares Objetivos Definir as coordenadas polares no plano Deduzir as relacoes de mudanca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e viceversa Obter as equacoes de retas e cırculos em coordenadas polares Determinar a equacao polar das cˆonicas Nesta aula veremos que ha outra maneira de expressar a posicao de um ponto no plano distinta da forma cartesiana Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados ha curvas no plano cuja equacao toma um aspecto muito simples em relacao a um referencial nao cartesiano Considere um plano sem qualquer sistema de coordenadas Escolha um ponto O nesse plano e uma semireta OA Seja P um ponto do plano distinto de O Denote ρ a distˆancia de P a O e seja θ a medida do ˆangulo da semireta OA para a semireta OP Lembre que Convencionamos que a medida do ˆangulo tomada de OA para OP no sentido antihorario e positiva e negativa no sentido horario Notacao Quando outros sistemas de coordenadas forem considerados escrevemos as coordenadas polares como P ρ θOρθ O ponto P tem sua posicao bem determinada em relacao ao ponto O e a semireta OA a partir dos valores ρ e θ Vocˆe acabou de construir um sistema de coordenadas polares no plano cuja definicao damos a seguir Figura 111 Co ordenadas polares Definicao 1129 Sistema de coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares O ρ θ no plano con siste de um ponto O denominado polo de uma semireta OA com origem em O denominada eixo polar e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distˆancia de O a um ponto qualquer do plano Dado um ponto P do plano suas coordenadas nesse sis tema sao dois valores ρ e θ sendo ρ a distˆancia de P a O e θ a medida do ˆangulo do eixo polar para a semireta OP Escrevemos entao Figura 111 P ρ θ A Historia da Matematica indica que o sistema de coordenadas polares foi utilizado pela primeira vez pelo matematico suıco Jacob Bernoulli por volta de 1691 sendo assim o primeiro sistema de coordenadas que apareceu na Matematica depois dos sistemas cartesianos Contudo em fevereiro de 161 CEDERJ Coordenadas polares 1949 Charles B Boyer publicou uma nota na revista The American Mathe matical Montly segundo a qual o credito da descoberta das coordenadas po lares deve ser atribuıdo a Isaac Newton Jacob Bernoulli Em algums livros o matematico Jacob Bernoulli e chamado Jaques Bernoulli Nas proximas aulas veremos mais sobre a vida de Jacob Bernoulli Observacao A primeira coordenada polar ρ de um ponto distinto do polo e sempre maior que zero pois representa a distˆancia do ponto ao polo Se a primeira coordenada polar de um ponto e zero entao esse ponto e o polo O ˆangulo do polo nao esta definido Podemos tambem usar a medida radianos para os ˆangulos Por exemplo o ponto P 2 30o pode ser escrito P 2 π6 De acordo com a construcao acima as medidas θ e θ2κπ estao associadas ao mesmo ˆangulo para todo κ Z Isto e a diferenca entre θ e θ 2κπ e de κ voltas no sentido antihorario se κ e positivo e no sentido horario se κ e negativo Portanto as coordenadas polares ρ θ e ρ θ 2κπ representam o mesmo ponto no plano Exemplo 111 Nos sistemas de coordenadas polares Oρθ mostrados na Figura 112 loca lizamos os seguintes pontos P1 1 0o P2 2 π P3 54 45o P4 54 315o e P5 π π2 Figura 112 Pontos P1 P5 Exemplo 112 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano Determinemos os pontos P ρ θ do plano que satisfazem a equacao ρ 3 CEDERJ 162 Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 Figura 113 Pontos com ρ 3 Solucao Como na equacao so figura a variavel ρ a outra θ e arbitraria Isto significa que a equacao so estabelece condicao sobre a distˆancia do ponto ao eixo polar nao importando a medida do ˆangulo Portanto os pontos do plano que satisfazem a equacao sao aqueles cuja distˆancia ao polo O e igual a 3 Logo o conjunto solucao e o cırculo de centro O e raio 3 Figura 113 Equacao polar de uma reta Exemplo 113 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano Determinemos o conjunto dos pontos P ρ θ do plano que satisfazem a equacao θ π 4 Figura 114 Pontos do plano que satisfazem a equacao polar θ π4 Solucao Novamente como na equacao so fi gura uma variavel a outra e arbitraria Logo um ponto P do plano satisfaz a equacao se o ˆangulo do eixo polar para a semireta OP e π4 Portanto o conjunto solucao e a semi reta OP Figura 114 Figura 115 Reta no sistema Oρθ Vejamos como obter a equacao polar de uma reta r conhecendo A distˆancia da reta ao polo dO r O ˆangulo que o eixo polar OA forma com a semireta que tem origem no polo e e perpen dicular a reta r Nas figuras acima a medida do ˆangulo β e tomada de OP para OQ a medida do ˆangulo α e tomada de OA para OQ e a medida do ˆangulo θ e tomada de OA para OP Equacao polar da reta A equacao 111 e a equacao polar da reta Nessa equacao α e λ sao dados e as variaveis sao ρ e θ Proposicao 1121 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano Sejam r uma reta λ a distˆancia de r ao polo e α o ˆangulo que o eixo polar forma com a semireta de origem no polo que e perpendicular a r Figura 115 Entao um ponto P de coordenadas polares ρ θ pertence a r se e somente se ρ cosθ α λ 111 Demonstracao Seja Q o ponto de intersecao de r com a perpendicular a r contendo o polo 163 CEDERJ Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 diretriz e contem o foco F Tal corda e chamada latus rectum da cˆonica Con sequentemente o valor eh que aparece nas equacoes anteriores corresponde a metade do comprimento do latus rectum da cˆonica isto e ao comprimento do semilatus rectum Resumindo as conclusoes anteriores temos Sinal na equacao polar 114 No denominador da equacao polar 114 tomamos o sinal positivo se a diretriz ℓ intersecta o eixo polar e o sinal negativo se ℓ nao intersecta o eixo polar Figura 1115 C ρ λ 1ecos θ Equacao polar das cˆonicas Seja C uma cˆonica com excentricidade e 0 um foco no ponto F e semilatus rectum de compri mento λ Com respeito ao sistema polar de coor denadas Oρθ com o eixo polar sendo o eixo focal de C e O F a equacao de C e C ρ λ 1 e cos θ 114 A distˆancia do foco F a sua diretriz associada ℓ e λ e Figura 1115 Exemplo 119 Identificar a cˆonica C de equacao polar ρ 2 3 cos θ Determinar tambem as coordenadas polares do centro e dos vertices assim como os comprimentos dos eixos e do latus rectum Solucao Comecamos por escrever a equacao de C na forma 114 multipli cando o numerador e o denominador da equacao polar por 1 3 C ρ 2 3 1 1 3 cos θ A partir dessa equacao obtemos que o comprimento do semilatus rectum e λ 2 3 e que a excentricidade de C e e 1 3 Como e 1 C e uma elipse Em particular o comprimento do latus rectum e 2λ 2 2 3 4 3 Como o eixo polar esta sobre a reta focal vamos determinar os vertices o centro e o outro foco de C lembre que um foco e a origem do sistema de coordenadas polares Como o sinal que aparece no denominador da equacao e negativo a diretriz correspondente ao foco O origem do sistema polar Oρθ nao intersecta o eixo polar Portanto estamos na situacao mostrada na Figura 1116 Fazendo θ 0 na equacao de C obtemos ρ 1 Logo segundo o esquema ilustrado na Figura 1116 o ponto V2 1 0Oρθ e um vertice da elipse Para obter o outro vertice fazemos θ π na equacao de C e obtemos ρ 1 2 169 CEDERJ Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 Exemplo 1110 Determinemos uma equacao polar da cˆonica C dada pela equacao cartesiana 7x2 50xy 7y2 114x 78y 423 0 Para obter a forma canˆonica 115 ao lado rotacionamos o sistema OXY de 45o para obter o sistema OXY e depois transladamos esse sistema ate o ponto O 1 2OXY Solucao Conforme vimos na Aula 10 colocamos a cˆonica na forma canˆonica y2 16 x2 9 1 115 A partir dessa equacao vemos que a cˆonica e uma hiperbole cujo eixo focal e o eixo y com a 4 b 3 e consequentemente c a2 b2 5 Com esses dados obtemos as seguintes informacoes Lembre que O valor da excentricidade e e das distˆancias a b e c nao mudam quando rotacionamos e transladamos o sistema de coordenadas Portanto esses valores podem ser determinados a partir da equacao canˆonica da cˆonica a excentricidade da hiperbole e e c a 5 4 a distˆancia de cada vertice ao respectivo foco e c a 5 4 1 a distˆancia de cada vertice a sua respectiva diretriz e c a e 1 5 4 4 5 a distˆancia de cada foco a sua respectiva diretriz e h c a c a e 1 4 5 9 5 o comprimento do semilatus rectum e λ h e 9 5 5 4 9 4 Portanto a equacao polar com respeito ao sistema que tem por origem um dos focos e cujo eixo focal nao intersecta a diretriz correspondente e ρ 9 4 1 5 4 cos θ ou seja ρ 9 4 5 cos θ Figura 1118 Hiperbole 7x250xy7y2114x 78y 423 0 Figura 1119 Hiperbole y2 16 x2 9 1 Na Figura 1118 mostramos a nossa hiperbole na posicao natural e na Fi gura 1119 mostramos a hiperbole apenas com respeito ao sistema rotacio nado e transladado 171 CEDERJ Coordenadas polares A equacao polar obtida e a equacao com respeito ao sistema de coordenadas polares em que a origem e por exemplo o foco F2 e o eixo focal e a semireta F2Y Note que a mesma equacao e obtida se consideramos o sistema de coorde nadas polares em que a origem e o foco F1 e o eixo focal e a semireta de origem F1 que nao intersecta a diretriz ℓ1 Tambem a equacao polar com respeito ao sistema que tem por origem um dos focos e cujo eixo focal intersecta a diretriz correspondente e ρ 9 4 5 cos θ Resumo Nesta aula definimos as coordenadas polares no plano Deduzimos as relacoes de mudanca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e viceversa e obtivemos as equacoes de retas e cırculos em termos de co ordenadas polares Finalmente determinamos a equacao polar das cˆonicas No Apˆendice vocˆe pode ver tambem outras curvas interessantes as espirais cujas equacoes sao apresentadas naturalmente em termos de coordenadas polares Exercıcios 1 Use as relacoes de mudanca de coordenadas cartesianas para coordena das polares para obter a equacao polar correspondente a cada equacao cartesiana dada a x2 y2 1 b xy 2x 0 c 2x y 1 0 d x2 y2 4 2 Use as relacoes de mudanca de coordenadas polares para coordena das cartesianas para obter a equacao cartesiana correspondente a cada equacao polar dada Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso a sec2 θ tg2 θ 1 b 2 sen θ cos θ ρ c ρ sec θ tg θ 3 Sejam a b numeros reais nao simultaneamente nulos e seja c 0 Considere a equacao polar ρ 2 a cos θ 2 b sen θ c a Verifique que a equacao dada e a equacao de um cırculo C b Dˆe as coordenadas cartesianas do centro de C e determine a medida de seu raio CEDERJ 172 Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 4 Determine a equacao polar do cırculo de centro P0 e raio r onde a P0 2 π 3Oρθ e r 2 b P0 3 πOρθ e r 1 c P0 2 7π 4 Oρθ e r 2 5 Dˆe a equacao cartesiana dos cırculos do exercıcio anterior 6 Em cada caso identifique a cˆonica C determine o comprimento do latus rectum dos eixos a posicao dos focos vertices e da diretriz Determine a equacao cartesiana de C e faca um esboco da curva no plano a C ρ 3 24 cos θ b C ρ 3 21cosθ c C ρ 2 4cos θ d C ρ2 5 cos θ 1 e C 3ρ cos θ 2 2ρ 7 Em cada item determine uma equacao polar para a cˆonica C determi nando o comprimento do semilatus rectum e faca um esboco da curva no plano a C 3x2 2y 1 b C x2 6y2 3y 4 c C 2xy x 1 0 d C xy x y 0 Autoavaliacao Resolvendo os Exercıcios de 1 a 6 vocˆe fixou a mecˆanica da mudanca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e viceversa Para re solver o Exercıcio 7 vocˆe devera entender bem as propriedades das cˆonicas em coordenadas cartesianas e polares mesmo quando o seu centro nao esta na origem reveja a Aula 9 Se tiver alguma dificuldade reveja o conteudo da aula e procure orientacao no seu polo Apˆendice Espirais Na Figura 1120 mostramos a imagem do fossil de um ser marinho do perıodo Devoniano era Paleozoica com aproximadamente 300 milhoes de anos chamado Amonita Na Figura 1121 podemos ver um vegetal raro que prolifera na ilha do Havaı a Samambaia Havaiana e na Figura 1122 temos a imagem de um caracol O que essas fotografias tˆem em comum Nao e necessario ser muito observador para perceber que nas trˆes ima gens acima aparecem formas espirais A natureza na Terra assim como no Universo em geral esta repleta de formas espirais 173 CEDERJ Coordenadas polares Figura 1120 Amo nita Figura 1121 Samambaia havaiana Figura 1122 Caracol De fato desde a antiguidade o ser humano observa o ceu e as estrelas O astrˆonomo persa AbdalRahman AlSufi descobriu a Galaxia de Andrˆomeda Figura 1123 por volta de 905 dC chamandoa de pequena nuvem Essa galaxia e a mais proxima da nossa a Via Lactea e mesmo estando a uma distˆancia de 96 milhoes de anosluz e visıvel a olho nu Os astrˆonomos denominam a galaxia de Andrˆomeda de NGC224 Anoluz E a distˆancia que a luz percorre em um ano 365 dias Sabendo que a luz viaja a uma velocidade de 300000 quilˆometros por segundo e que o ano tem aproximadamente 31536000 segundos um anoluz equivale a 9 46 trilhoes de quilˆometros Figura 1123 Andrˆomeda NGC224 Figura 1124 Galaxia NGC5194 Figura 1125 Galaxia NGC5236 Os avancos tecnologicos da nossa civilizacao deram origem a sofistica dos equipamentos e modernos telescopios que permitem observar regioes do espaco muito alem da nossa galaxia descobrindo outras das mais diversas formas entre elas galaxias com estruturas espirais como as da Via Lactea e da galaxia de Andrˆomeda Veja por exemplo as imagens da Galaxia Espiral NGC 5194 Figura 1124 a 37 milhoes de anosluz de distˆancia e da galaxia espiral NGC 5236 a 15 milhoes de anos luz Figura 1125 O estudo matematico das curvas espirais teve inıcio na Historia da Matematica com o livro Sobre espirais de Arquimedes de Siracusa 287212 aC Nesse livro Arquimedes define um tipo particular de espirais hoje chamadas espirais de Arquimedes e descreve detalhadamente as suas propri edades geometricas CEDERJ 174 Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 Outros tipos de espirais foram estudados ao longo da Historia Um deles aparece entre os estudos do matematico suıco Jacob Bernoulli 16541705 sobre a espiral logarıtmica Bernoulli considerava essa espiral uma forma maravilhosa e chegou a denominala spira mirabilis Ele descobriu como veremos adiante que essa espiral mantem a sua forma perante rotacoes ou mudancas de escala essa ultima propriedade se denomina autosimilaridade em torno do seu centro Bernoulli fascinado por essa espiral determinou que na lapide do seu tumulo fosse gravada a frase Eadem mutata resurgo que significa apos transformado ressurgirei o mesmo Arquimedes de Siracusa 287 212 aC Siracusa Italia Considerado um dos grandes matematicos da antiguidade tinha fascinacao pela Geometria escreveu diversos tratados sobre Matematica e Mecˆanica Foi tambem inventor de maquinas e armas de guerra usadas pelo rei Heron II contra os romanos As suas descobertas matematicas para o calculo de volumes foram a pedra fundamental para o desenvolvimento do Calculo Integral Na sua obra Sobre Espirais Arquimedes estudou minuciosamente as propriedades das espirais ρ aθ Veja httpwwwgroupsdcs standacukhistory Mathematicians Archimedeshtml Figura 1126 ρ 2 θ Figura 1127 ρ 3 4 θ I A espiral de Arquimedes Esta espiral foi estudada detalhadamente por Arquimedes por volta de 225 aC Num sistema de coordenadas polares Oρθ a espiral de Arquimedes e o lugar geometrico dos pontos P ρ θOρθ do plano cuja distˆancia ρ ao polo O raio polar e um multiplo fixo do ˆangulo polar θ ˆangulo do eixo polar para OP Isto e um ponto P pertence a espiral se e somente se as suas coorde nadas polares ρ e θ satisfazem a equacao Figuras 1126 e 1127 ρ a θ Espiral de Arquimedes 116 Figura 1128 Espiral de Arquimedes Observe que o ponto da espiral de Arquimedes com coordenada po lar angular θ 0 e o polo O e que a espiral intersecta o eixo polar nos pontos cuja coordenada polar angular e multiplo natural de 2π Isto e se E ρ a θ e uma espiral e OA o eixo polar entao E OA 2 a kπ 2 k πOρθ k N Numa espiral trˆes pontos P1 ρ1 θ1 P2 ρ2 θ2 e P3 ρ3 θ3 sao chamados consecutivos se existe um ˆangulo α tal que θ2 θ1 α e θ3 θ2 α note que α pode ser positivo ou negativo 175 CEDERJ Coordenadas polares Na Figura 1128 mostramos uma espiral de Arquimedes E ρ aθ com trˆes pontos consecutivos P1 ρ1 θ1 P2 ρ2 θ2 ρ2 θ1 α e P3 ρ3 θ3 ρ3 θ1 2α Como P1 P2 P3 E temos ρ1 aθ ρ2 aθ aα ρ3 aθ 2aα Resumindo temos Caracterizacao geometrica da espiral de Arquimedes Se P1 ρ1 θ1Oρθ P2 ρ2 θ2Oρθ e P3 ρ3 θ3Oρθ sao pontos conse cutivos numa espiral de Arquimedes entao o raio ρ2 e a media aritmetica dos raios adjacentes ρ1 e ρ3 isto e ρ2 ρ1 ρ3 2 Figura 1129 Excˆentrico formado por dois arcos de espirais de Arquimedes Hojeemdia a espiral de Arquime des e usada na fabricacao de excˆentricos mecˆanicos pecas cujo bordo e formado por dois arcos um arco espiral de Ar quimedes ρ a θ 0 θ π junto com a sua reflexao com relacao a reta que contem o eixo polar Note que A propriedade geometrica ao lado significa que os raios ρ1 ρ2 ρ3 estao numa progressao aritmetica De fato conforme a notacao utilizada temos ρ2 ρ1 a α ρ3 ρ2 a α assim ρ1 ρ2 e ρ3 estao numa progressao aritmetica de razao a α Quando o excˆentrico gira em torno do polo O o ponto P de intersecao com o eixo polar se desloca sobre o eixo polar para frente e para tras Desta forma movimento circular e trans formado em movimento retilıneo Veja as Figuras 1130 1131 1132 e 1133 Figura 1130 Rotacao de π 6 Figura 1131 Rotacao de 5π 6 Figura 1132 Rotacao de 5π 6 Figura 1133 A rotacao do excˆentrico transforma o movimento circular em movimento retilıneo CEDERJ 176 Coordenadas polares Isto e a equacao da espiral logarıtmica e ρ eaθ Espiral logarıtmica 117 A espiral logarıtmica encantou o matematico suıco Jacob Bernoulli pela sua propriedade de autosimilaridade Esta propriedade significa que a espiral nao muda o seu aspecto perante mudancas de escala Pense por exemplo que vocˆe vˆe a espiral perto do polo a olho nu depois com oculos depois com uma lente de aumento e finalmente com um microscopio nao importa quao perto ou longe vocˆe veja a espiral ela sempre vai aparecer com o mesmo aspecto Nas Figuras 1135 1136 1137 e 1138 mostramos a espiral ρ e 1 5 θ em escalas diferentes Figura 1135 ρ e 1 5 θ Figura 1136 ρ e 1 5 θ Figura 1137 ρ e 1 5 θ Figura 1138 ρ e 1 5 θ Mais ainda Bernoulli observou que um giro na espiral tem o mesmo efeito que uma mudanca de escala Para verificarmos isso primeiro observamos que uma rotacao da espiral por um ˆangulo ϕ no sentido horario equivale a somar ϕ a variavel θ na equacao 117 dando lugar a espiral ρ eaθϕ eaθaϕ eaθeaϕ CEDERJ 178 Coordenadas polares M ODULO 1 AULA 11 Figura 1139 Rotacao e mudanca de escala Isto e a espiral obtida apos a rotacao e a mesma ampliada ou reduzida a uma escala de fator eaϕ Na Figura 1139 mostramos as espirais L e L onde L ρ e 1 5 θ e L ρ e 1 5 π 3 e 1 5θ Isto e L e obtida girando L de π 3 no sentido horario Nessas espirais temos OQ e 1 5 π 3 OP Outra maneira de perceber a relacao entre a autosimilaridade e a invariˆancia da es piral logarıtmica perante rotacoes consiste em analisar pontos consecutivos Voltando a Figura 1134 vemos que os triˆangulos OP1P2 e OP2P3 sao semelhantes por um fator de escala igual a eaα pois o triˆangulo OP2P3 e obtido aplicando uma rotacao de ˆangulo α no sentido antihorario ao triˆangulo OP1P2 e depois uma mudanca de escala III Outras espirais Ha ainda muitas outras espirais que nao iremos considerar como a espiral de Lituus estudada por Roger Cotes em 1722 cuja forma e a da samambaia havaiana Figura 1121 ρ 1 θ Espiral de Lituus Figura 1140 Lituus ρ 1 θ Figura 1141 Braco de violino Da forma da equacao da espiral de Lituus vemos que quando o ˆangulo θ se aproxima de 0 o raio polar ρ tende a ser muito grande e que quando o ˆangulo polar θ e muito grande o raio polar se aproxima de zero e portanto o ponto correspondente fica muito proximo do polo Figura 1140 A espiral de Lituus tem inspirado muitas manifestacoes da arte como podemos ver no braco de um antigo violino Figura 1141 179 CEDERJ Coordenadas polares Para saber mais Se vocˆe ficou motivado com esta pequena introducao as curvas espirais procure mais informacoes nos seguintes enderecos httpxahleeorgSpecialPlaneCurvesdir httpwwwgroupsdcsstandacukhistoryCurves CEDERJ 180 Equacoes parametricas das cˆonicas M ODULO 1 AULA 12 Como P1 x1 y1 C1 e P2 x2 y2 C2 temos x1 a cos t e y2 b sen t Como x x1 e y y2 as equacoes parametricas de E sao Equacoes parametricas da elipse E x2 a2 y2 b2 1 E x a cos t y b sen t t R Caso E x x02 a2 y y02 b2 1 seja uma elipse transladada entao suas equacoes parametricas sao obtidas transladando a equacao anterior para o ponto x0 y0 Equacoes parametricas da elipse transladada E xx02 a2 yy02 b2 1 E x x0 a cos t y y0 b sen t t R Para verificar isto basta substituir as expressoes de x e y dessas equacoes parametricas na equacao cartesiana de E x0 a cos t x02 a2 y0 a sen t y02 b2 a2 cos2 t a2 b2 sen2 t b2 1 Figura 124 Hiperbole H x2 a2 y2 b2 1 II Hiperboles Seja H a hiperbole x2 a2 y2 b2 1 Reveja Na Aula 24 do Modulo 2 do PreCalculo a construcao geometrica da hiperbole Vamos obter equacoes parametricas para H A seguir assumimos 0 b a e vocˆe ficara encarregado de fazer as adaptacoes necessarias para o caso em que 0 a b Acompanhe o procedimento na Figura 124 Sejam as retas s1 x b e s2 x a Consideremos um ponto P x y H no primeiro quadrante Seja P1 x1 y1 o ponto de intersecao de s1 com a reta paralela ao eixo OX que passa por P Seja t a medida em radianos do ˆangulo do semieixo positivo OX para a semireta OP1 Da Trigonometria temos P1 x1 y1 b b tg t Note que as segundas coordenadas de P e P1 sao iguais Daı concluımos que y y1 b tg t Ou seja P x y x y1 x b tg t Para obter a coordenada x do ponto P seja P2 o ponto de intersecao da semireta OP1 com a reta s2 Da Trigonometria temos OP2 a sec t Note que o cırculo de centro na origem e raio OP2 intersecta o semi eixo positivo OX num ponto P0 x0 0 com x0 OP2 a sec t 183 CEDERJ Equacoes parametricas das cˆonicas Como t e um arco do primeiro quadrante a sec t e um numero positivo Logo x0 a sec t Afirmamos que x x0 isto e P x y x b tg t x0 b tg t a sec t b tg t Para verificar a afirmativa basta mostrar que o ponto de coordenadas a sec t b tg t satisfaz a equacao cartesiana da hiperbole H a sec t2 a2 b tg t2 b2 sec2 t tg2 t 1 Na Figura 126 designamos por H o ramo da hiperbole H que intersecta o semieixo positivo OX e por H o ramo de H que intersecta o semieixo negativo OX Com isso a hiperbole completa e H H H a sec t 0 e b tg t 0 para π 2 t π b tg t 0 para π t 3π 2 Figura 125 Ramo de H no quarto quadrante Figura 126 Hiperbole H completa Finalmente observe que conforme t percorre todos os valores do in tervalo 0 π 2 o ponto P percorre todos os pontos da hiperbole que estao no primeiro quadrante como vemos na Figura 124 Para obter os pontos do quarto quadrante fazemos a mesma cons trucao variando t no intervalo π 2 0 Neste caso o ponto P x y da hiperbole tem a sua segunda coordenada negativa coincidindo com b tg t que e tambem um numero negativo Veja a Figura 125 Para obter o ramo da hiperbole que intersecta o semieixo negativo OX repetimos a construcao variando t no intervalo π 2 3π 2 Neste caso temos Com essa analise chegamos as seguintes equacoes parametricas da hiperbole H x2 a2 y2 b2 1 H x a sec t y b tg t t π 2 π 2 π 2 3π 2 CEDERJ 184 Equacoes parametricas das cˆonicas M ODULO 1 AULA 12 Quando t varia no intervalo π 2 π 2 obtemos o ramo da hiperbole H que intersecta o semieixo positivo OX e quando t varia no intervalo π 2 3π 2 obtemos o ramo de H que intersecta o semieixo negativo OX Observacao Podemos determinar equacoes parametricas de cada ramo da hiperbole isoladamente fazendo variar t num mesmo intervalo De fato ja sabemos que as equacoes parametricas H x a sec t y b tg t t π 2 π 2 descrevem as coordenadas dos pontos do ramo H de H que intersecta o semieixo positivo OX Tambem como t π 2 3π 2 se e somente se t π π 2 π 2 e a sec t a sect π e a tg t a tgt π vemos que as coordenadas dos pontos do ramo H de H que intersecta o semieixo negativo OX sao dadas pelas equacoes parametricas H x a sec t y b tg t t π 2 π 2 Portanto H e descrita completamente pelas equacoes parametricas H x a sec t y b tg t t π 2 π 2 H x a sec t y b tg t t π 2 π 2 Observacao Funcoes hiperbolicas As funcoes hiperbolicas sao definidas a partir da funcao exponencial Cosseno hiperbolico cosh t 1 2 et et Seno hiperbolico senh t 1 2 et et e descrevem as coordenadas x e y respectivamente dos pontos da hiperbole x2 y2 1 de maneira similar as funcoes cos t e sen t que descrevem as coordenadas x e y respectivamente dos pontos do cırculo x2 y2 1 Em particular vale a relacao cosh2 t senh2 t 1 Podemos obter outras equacoes parametricas para a hiperbole H uti lizando as funcoes hiperbolicas Para isso consideremos as equacoes pa rametricas 1 x a cosh t y b senh t t R e 2 x a cosh t y b senh t t R Substituindo as equacoes de 1 na equacao cartesiana de H a cosh t2 a2 b senh t2 b2 cosh2 t senh2 t 1 185 CEDERJ Equacoes parametricas das cˆonicas Figura 127 Hiperbole H H H O mesmo ocorre ao se substituir as equacoes de 2 na equacao cartesiana de H Alem disso variando t em R vemos que x a cosh t a percorre todos os valores em a a enquanto que y b senh t percorre todos os valores reais Portanto 1 sao equacoes parametricas para o ramo H de H que intersecta o semieixo positivo OX e 2 sao equacoes parametricas para o outro ramo H de H III Parabolas As equacoes cartesianas canˆonicas das parabolas se caracterizam por apresentar uma das variaveis no primeiro grau Isso permite expressar essa variavel como dependente da variavel do segundo grau Assim escolhemos o parˆametro t igual a variavel independente do segundo grau da equacao cartesiana percorrendo todos os valores reais Figura 128 P x a2 ky b Assim na parabola P de equacao cartesiana x a2 ky b Figura 128 escrevemos y 1 kx a2 b Portanto escolhendo a variavel indepen dente x como sendo o parˆametro t a variavel dependente y se expressa como y 1 kt a2 b Portanto P tem por equacoes pa rametricas P x t y 1 kt a2 b t R Observacao O procedimento utilizado para obter equacoes parametricas das parabolas se aplica para obter equacoes parametricas de partes de elipses e hiperboles CEDERJ 186 Equacoes parametricas das cˆonicas Exercıcios 1 Verifique que x 1 2 sec t y 3 3 tg t π 2 t π 2 sao equacoes parametricas de um ramo da hiperbole x 12 4 y 32 9 1 2 Seja a hiperbole de equacao x2 y2 9 1 Dˆe as equacoes parametricas do ramo desta hiperbole que intersecta o semieixo positivo OX Como sao as equacoes parametricas desse ramo expressando uma variavel em funcao da outra 3 Determine equacoes parametricas para a hiperbole H y2 4 x2 2 1 fazendo y t veja o Exemplo 122 4 Determine a equacao cartesiana da elipse E x 1 cos t y 2 sen t t R 5 Sejam a e b numeros reais positivos Verifique que o lugar geometrico cujas equacoes parametricas sao H x a tg t y b sec t t R e uma hiperbole cujo eixo focal e o eixo y Descreva a forma dessa hiperbole nos casos a b e b a 6 Determine a equacao cartesiana da hiperbole H x 2 tan t y 3 3 sec t t R 7 Determine equacoes parametricas para a hiperbole H xy 1 fazendo uma das variaveis igual ao parˆametro 8 Verifique que x t3 e y t6 4t3 t R sao equacoes parametricas de uma parabola Dˆe a equacao cartesiana dessa parabola 9 Verifique que H x cosh t senh t y cosh t senh t t R sao equacoes pa rametricas de um ramo da hiperbole xy 1 CEDERJ 188 Equacoes parametricas das cˆonicas M ODULO 1 AULA 12 10 Verifique que E x 2cos t sen t y 3cos t sen t t R sao equacoes parametricas de uma elipse Dˆe a equacao cartesiana dessa elipse Autoavaliacao Se vocˆe resolveu os Exercıcios de 1 a 6 aprendeu a verificar se um par de equacoes sao equacoes parametricas de uma dada curva Ao resolver os Exercıcios de 7 a 10 vocˆe fixou as tecnicas para obter equacoes parametricas das cˆonicas em relacao a uma variavel Caso nao tenha conseguido resolver algum exercıcio releia a aula e procure orientacao com os tutores 189 CEDERJ Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas Figura 1310 Cicloide A cicloide pertence a uma classe mais ampla de curvas rolantes deno minadas trocoides Definicao 1332 Seja C um cırculo de centro C e raio r e seja s uma reta Consideremos uma semireta radial OB e um ponto P nessa semireta Uma trocoide e o lugar geometrico descrito pelo ponto P quando C rola sobre a reta s sem deslizar A trocoide e denominada cicloide longa quando P e exterior a C isto e R dP C r cicloide quando P pertence a C isto e R dP C r cicloide curta quando P e interior a C isto e R dP C r O procedimento para obter equacoes parametricas dessas trˆes curvas e analogo ao caso da cicloide que analisamos anteriormente Acompanhe nas Figuras 1311 e 1312 a designacao dos seguintes ele mentos assumimos que o cırculo C tem centro C 0 r raio r e rola sobre a reta s eixo OX sejam C1 e C2 cırculos de centros O1 e O2 representando C no inıcio do movimento e apos transcorrido um instante t respectivamente designamos por P x y o ponto rolante que descreve a trocoide partindo da posicao 0 r R no instante t 0 seja A o ponto de contato do cırculo C2 com a reta s sejam Q e T as projecoes de P sobre os eixos OX e OY seja M a projecao de P sobre a reta y r que contem os centros O1 e O2 seja N a projecao de P sobre a reta O2A Figura 1311 Cicloide curta Figura 1312 Cicloide longa CEDERJ 194 Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas M ODULO 1 AULA 13 Como no caso da cicloide temos x OQ OA QA rt O2M y OT OO1 TO1 r O2N onde O2M R sen t O2N R cos t e o sinal e escolhido segundo a posicao de P em relacao a O2 Isto depende em qual dos intervalos 0 π 2 π 2 π π 3π 2 ou 3π 2 2π esta o valor t Em qualquer caso vocˆe pode verificar que as curvas trocoides tˆem equacoes parametricas x rt R sen t y r R cos t t R sendo a trocoide uma cicloide curta se R r uma cicloide se R r uma cicloide longa se R r Figura 1313 Cicloide curta Figura 1314 Cicloide longa Figura 1315 Trocoides Nas Figuras 1313 e 1314 mostra mos a cicloide curta e a cicloide longa tracadas em intervalos maiores Na Figura 1315 vemos os trˆes tipos de trocoides III Epicicloides e hipocicloides Definicao 1333 Epicicloide Consideremos dois cırculos Γ e C de raios R e r respectivamentetais que Γ e C se tocam apenas em um ponto P os pontos de C diferentes de P estao no exterior de Γ Denominamos epicicloide o lugar geometrico descrito pelo ponto P quando C rola sobre Γ sem deslizar Para saber mais Sobre a epicicloide e outras curvas cicloidais veja httpwwwhistorymcs standrewsacukhistory CurvesEpicycloidhtml httpxahleeorg SpecialPlaneCurvesdir EpiHypocycloiddir epiHypocicloidhtml As epicicloides e outras curvas similares que veremos mais adiante as hipocicloides foram muito estudadas por grandes matematicos da idade moderna como Desargues 1640 Huygens 1679 Leibniz Newton 1686 de LHopital 1690 Jacob Bernoulli 1690 la Hire 1694 Johann Bernoulli 1695 Daniel Bernoulli 1725 Euler 1745 1781 e pelo matematico e artista Durer 1525 195 CEDERJ Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas x R r cos θ r cos Rr r θ y R r sen θ r sen Rr r θ t R Observe que quando C percorre um arco de Γ de comprimento igual a 2πr o ponto P volta a tocar Γ Portanto se R r n onde n N entao o ponto P toca Γ n vezes e a nesima vez coincide com sua posicao inicial Para verificar isto basta observar que o comprimento de Γ contem n vezes o comprimento de C 2πR 2πnr n2πr Nas seguintes figuras mostramos varias epicicloides indicando os va lores de r e R assim como suas equacoes parametricas Figura 1320 r 1 2 R 3 2 Figura 1321 r 2 3 R 4 3 Figura 1322 r 5 R 8 8 x 2 cos θ 1 2 cos4θ y 2 sen θ 1 2 sen4θ 8 x 2 cos θ 2 3 cos3θ y 2 sen θ 2 3 sen3θ 8 x 13 cos θ 5 cos 13 5 θ y 13 sen θ 5 sen 13 5 θ Figura 1323 r 2 R 1 Figura 1324 r 2 R 2 Figura 1325 r 3 R 2 8 x 3 cos θ 2 cos 3 2θ y 3 sen θ 2 sen 3 2 θ 8 x 2 2 cos θ 2 cos 2 2 2 θ y 2 2 sen θ 2 sen 2 2 2 θ 8 x 5 cos θ 3 cos 5 3θ y 5 sen θ 3 sen 5 3θ Para saber mais Outras curvas rolantes sao as epitrocoides e as hipotrocoides essas curvas sao construıdas da mesma forma que as epicicloides e as hipocicloides quando o ponto que descreve a curva esta no interior ou exterior do cırculo que rola dentro ou fora do cırculo fixo Veja httpxahleeorg SpecialPlaneCurvesdir specialPlaneCurveshtml Outra classe de curvas rolantes analoga a epicicloide e a seguinte Definicao 1334 Hipocicloide Consideremos dois cırculos Γ C de raios R e r respectivamente tais que r R CEDERJ 198 Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas que t Rθ r obtemos as seguintes equacoes parametricas da hipocicloide x R r cos θ r cos Rr r θ y R r sen θ r sen Rr r θ t R Procure verificar que as mesmas equacoes parametricas sao obtidas quando P esta em outras posicoes com respeito ao centro O2 Figura 1330 r 3 7 R 3 Figura 1331 r 3 5 R 3 Figura 1332 Deltoide r 1 R 3 8 x 18 7 cos θ 3 7 cos6θ y 18 7 sen θ 3 7 sen6θ 8 x 12 5 cos θ 3 5 cos4θ y 12 5 sen θ 3 5 sen4θ 8 x 2 cos θ cos2θ y 2 sen θ sen2θ Figura 1333 r 9 5 R 3 Figura 1334 r 24 11 R 3 Figura 1335 r 2π 5 R 3 8 x 6 5 cos θ 9 5 cos 2 3θ y 6 5 sen θ 9 5 sen 2 3θ 8 x 9 11 cos θ 24 11 cos 3 8θ y 9 11 sen θ 24 11 sen 3 8θ 8 x 152π 5 cos θ 2π 5 cos 152π 2π θ y 152π 5 sen θ 2π 5 sen 152π 2π θ IV A bruxa de Agnesi Como na historia da Matematica nunca existiram bruxas comecamos por esclarecer o nome dado a esta curva Estudada por Pierre de Fermat em 1703 sua construcao geometrica foi detalhada apenas em 1718 pelo ma tematico italianoGrandi que dera o nome de versoria cujo significado em latim e corda que vira a vela vela de barco e traduzira tambem o nome para o italiano em versiera que significa virar Em meados do seculo XVIII a matematica italiana Maria Agnesi publi cou o livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana que consistia CEDERJ 200 Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas Substituindo essas relacoes em 138 obtemos OD 2r cos t sen t 2r cotg t e RB 2r sen2 t 139 Substituindo as identidades 139 nas identidades 137 obtemos as equacoes parametricas da bruxa de Agnesi x 2 r cotg t y 2 r sen2 t t π 2 π 2 e tracamos o seu lugar geometrico Figura 1337 Bruxa de Agnesi Resumo Neste apˆendice vimos como obter as equacoes parametricas de varias curvas planas usando relacoes trigonometricas basicas e observando as condicoes que um ponto deve satisfazer para pertencer a uma curva dada Exercıcios 1 Verifique que x 1 2sect e y 3 3tgt π 2 t π 2 sao equacoes parametricas de um ramo da hiperbole x12 4 y32 9 1 2 Verifique que x t3 e y t6 4t3 t R sao equacoes parametricas de uma parabola Dˆe a equacao cartesiana dessa parabola 3 Verifique que x coshtsenht e y coshtsenht t R sao equacoes parametricas de um ramo da hiperbole xy 1 4 Verifique que x 2costsent e y 3costsent t R sao equacoes parametricas de uma elipse Dˆe a equacao cartesiana dessa elipse 5 Seja a hiperbole de equacao x2 y2 9 1 Dˆe as equacoes parametricas do ramo desta hiperbole que intersecta o semieixo positivo OX Como sao as equacoes parametricas desse ramo expressando uma variavel em funcao da outra CEDERJ 202 Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas M ODULO 1 AULA 13 6 Dˆe as equacoes parametricas da cicloide descrita pelo ponto P 0 0 pertencente ao cırculo de equacao x2 y 22 4 quando este rola sobre o eixo OX 7 Dˆe as equacoes parametricas da cicloide estreita descrita pelo ponto P 0 3 pertencente ao cırculo de equacao x2y52 25 quando este rola sobre o eixo OX 8 Dˆe as equacoes parametricas da cicloide larga descrita pelo ponto P 0 1 pertencente ao cırculo de equacao x2 y 32 9 quando este rola sobre o eixo OX 9 Seja S a cicloide larga descrita pelo ponto P 0 2 pertencente ao cırculo de equacao x2y52 25 quando este rola sobre o eixo OX Verifique que S esta contida na faixa do plano entre as retas x 2 e x 7 10 Dˆe as equacoes parametricas da hipocicloide descrita pelo ponto P 6 0 pertencente ao cırculo de equacao x 72 y2 1 quando este rola sobre cırculo de equacao x2 y2 36 11 Esboce o grafico de uma hipocicloide em que R 4 e r 2 12 Que tipo de curva e descrita pelos centros do cırculo x42 y2 16 quando rolamos esta cırculo sobre o eixo OY Dˆe a equacao dessa curva 13 Considere o cırculo C x2 y 32 9 e a curva obtida da seguinte forma da origem tracamos uma semireta u que intersecta C em um ponto R e intersecta a reta y 4 num ponto Q Seja QD a perpendi cular ao eixo OX Trace a reta s paralela a OX que passa por R A reta s intersecta em um ponto P x y Dˆe as equacoes parametricas dos pontos P assim obtidos ao tracarmos a famılia das semiretas com as mesmas propriedades da reta u Sugestao para o Exercıcio 14 Reveja a curva desenhada na Figura 1334 e compare com a curva da Figura 1335 Tente decifrar se elas sao fechadas ou nao 14 O que vocˆe pode afirmar sobre uma epicicloide ou uma hipocicloide quando a razao entre os raios dos cırculos considerados e a um numero racional b um numero iracional 203 CEDERJ Apˆendice Parametrizacoes de curvas planas Autoavaliacao Se vocˆe resolveu os Exercıcios de 1 a 4 aprendeu a identificar as equacoes parametricas de uma curva dada Ao resolver os Exercıcios de 5 a 12 vocˆe fixou a forma de obter equacoes parametricas de algumas curvas e a analise da forma da curva em relacao a variacao do parˆametro Se resolveu o Exercıcio 13 vocˆe aprendeu como obter as equacoes parametricas de uma curva a partir das condicoes dadas Se vocˆe teve dificuldades na resolucao de algum exercıcio procure orientacao CEDERJ 204 1 Secoes cˆonicas Figura 1338 Duplo cone circular reto Nesta secao vamos estudar as seguintes cur vas do plano cırculo parabola elipse e hiperbole Conceitos Numeros reais reta real potˆencias de numeros reais de sigualdades sistema de coordenadas car tesianas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 7 a 14 Veremos como obter as suas equacoes descre vendoas por meio de suas propriedades e apren deremos a desenhar os seus graficos Essas curvas sao obtidas pela intersecao de um plano com um duplo cone circular reto por este motivo sao chamadas de secoes cˆonicas ou simplesmente cˆonicas Um duplo cone circular reto e uma super fıcie obtida pela rotacao de uma reta chamada geratriz em torno de uma reta concorrente fixa o eixo de simetria do cone Apolˆonio 262190 aC Nasceu em Perga no sul da Asia Menor Ainda jovem foi para a Alexandria estudar com os sucessores de Euclides Apolˆonio foi um notavel astrˆonomo e escreveu sobre diversos assuntos de Matematica ficando famoso pela sua obra Secoes Cˆonicas Nas Figuras 1339 a 1342 ilustramos como cada uma dessas curvas e obtida pela intersecao de um plano com um duplo cone circular reto Observe que a inclinacao do plano em relacao ao eixo de simetria do cone determina a natureza da curva Figura 1339 Cırculo Figura 1340 Parabola 205 CEDERJ Figura 1341 Elipse Figura 1342 Hiperbole No estudo elementar da Geometria a principal questao e a propriedade do objeto geometrico no plano e no espaco Os objetos geometricos tratados ate aqui foram ponto e reta no plano As curvas planas cırculo parabola elipse e hiperbole serao descritas como um lugar geometrico Isto significa descrever o conjunto dos pontos do plano que satisfazem uma propriedade especıfica neste caso dependendo apenas do conceito de distˆancia Cırculo Portanto o cırculo de centro h k e raio r tem equacao x h2 y k2 r2 Desenvolvendo os quadrados desta equacao obtemos a equacao equivalente x2 y2 2hx 2ky h2 k2 r2 O grafico do cırculo e o conjunto Graf x y x h2 y k2 r2 Exemplo 141 A equacao do cırculo de centro C 0 0 e raio r e x2y2 r2 Observe que os pontos r 0 r 0 0 r e 0 r sao pontos deste cırculo A Figura 142 ilustra o grafico deste cırculo Figura 142 Cırculo de centro 0 0 e raio r Exemplo 142 A equacao x32y22 5 representa um cırculo de centro C 3 2 e raio r 5 Exemplo 143 A equacao x2 y2 4x 2y 11 0 e de um cırculo De fato reescrevemos esta equacao como x2 4x y2 2y 11 0 x2 4x 4 4 y2 2y 1 1 11 0 x 22 4 y 12 1 11 0 x 22 y 12 16 x 22 y 12 42 Observe que a primeira equivalˆencia foi obtida completando os quadrados dos polinˆomios nas variaveis x e y Portanto o centro do cırculo e C 2 1 e o raio e r 4 CEDERJ 208 Cırculo M ODULO 1 AULA 14 Exemplo 146 Fixemos o cırculo C de centro C 1 2 e raio 3 cuja equacao e x 12 y 22 9 Os pontos P a b tais que a 12 b 22 9 nao estao no cırculo C Por exemplo os pontos A 1 3 e B 2 5 tˆem esta propriedade pois a 12 b 22 5 se a b 1 3 10 se a b 2 5 Faca um desenho de C e observe que A esta no interior de C e que B esta no exterior de C Os pontos P a b tais que a12b22 9 sao ditos pontos interiores ao cırculo C Por outro lado os pontos P a b tais que a12b22 9 sao ditos pontos exteriores ao cırculo C Todo cırculo divide o plano em duas partes chamadas interior e exterior do cırculo Se a equacao do cırculo e x h2 y k2 r2 e P x0 y0 entao P esta no interior do cırculo x0 h2 y0 k2 r2 P esta no cırculo x0 h2 y0 k2 r2 P esta no exterior do cırculo x0 h2 y0 k2 r2 Exemplo 147 Figura 144 Cırculo de centro 2 1 e raio 5 2 Na figura ao lado esbocamos o grafico do cırculo de centro C 2 1 e raio r 5 2 cuja equacao e x 22 y 12 25 4 O ponto A 2 3 esta no interior do cırculo e o ponto B 1 2 esta no ex terior do cırculo Dˆe outros exemplos de pontos situados no interior e exterior deste cırculo Curiosidade Outras curvas planas podem ser construıdas a partir do cırculo Veja mos alguns exemplos interessantes 211 CEDERJ Cırculo Exemplo 148 A cicloide e a curva descrita por um ponto fixado no cırculo que rola sem deslizar em linha reta Esta curva pode ser observada se um ponto e marcado no pneu de uma bicicleta Na figura a seguir ilustramos a cicloide descrita por um ponto P fixado no cırculo de raio r 1 Inicialmente o ponto P e o ponto de contato do cırculo com a reta Figura 145 Cicloide com raio r 1 Exemplo 149 Consideremos dois cırculos de raios r e R com r R e fixemos um ponto P no cırculo de raio menor Quando o cırculo de raio menor rola sem deslizar no interior do cırculo de raio maior conforme mostra a Figura 146 o ponto P descreve uma curva plana Quando r R 2 a curva descrita pelo ponto P e um segmento de reta Veja a Figura 147 Figura 146 Cırculo menor rolando den tro do maior Figura 147 Ponto P descrevendo um seg mento se r R 2 Quando r R 2 a curva descrita pelo ponto P e chamada hipocicloide A hipocicloide nos casos r R 3 e r R 4 e conhecida como deltoide e astroide respectivamente Escolhendo r R n onde n e um inteiro positivo verificamos que este pro cesso permite dividir o cırculo de raio R em n partes iguais Desta maneira podemos construir um polıgono regular de n lados CEDERJ 212 Cırculo M ODULO 1 AULA 14 Figura 148 Deltoide r R 3 Figura 149 Astroide r R 4 Resumo Vocˆe aprendeu a determinar a equacao do cırculo a partir do raio r e das coordenadas h k do centro C a esbocar o grafico do cırculo a determinar as coordenadas do centro e do raio a partir da equacao do cırculo a determinar a reta tangente e a reta normal em um ponto do cırculo e a determinar a posicao relativa de um ponto do plano com respeito a um cırculo Exercıcios 1 Escreva a equacao do cırculo de centro C e raio r dados a C 3 4 e r 2 b C 1 3 e r 3 c C 2 3 e r 4 d C 2 1 e r 6 e C 0 0 e r 8 2 Determine o centro e o raio do cırculo de equacao dada a x2 y2 4x 6y 4 0 b x2 y2 6x 0 c x2 y2 10x 6y 4 0 d x2 y2 x y 1 0 e 9x2 9y2 6x 12y 31 0 213 CEDERJ Cırculo f 2x2 2y2 x y 3 0 3 Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano sao cırculos Caso afirmativo ache o centro C e o raio r Caso negativo identifique o subconjunto a S x y x2 y2 2x 4y 3 0 b S x y x2 y2 4x 6y 9 0 c S x y x2 y2 6x 10y 2 0 d S x y 4x2 4y2 4x 8y 23 0 e S x y x2 y2 10x 14y 25 0 f S x y x2 y2 2x 4y 7 0 g S x y 4x2 4y2 4x 8y 20 0 4 Determine a equacao do cırculo tal que A 4 3 e B 2 7 sao pontos diametralmente opostos 5 Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos A e B do exercıcio anterior Com um compasso e uma regua sem escala cons trua o ponto medio do segmento AB Veja exercıcio 10 da Aula 14 Agora desenhe o cırculo 6 Determine a equacao do cırculo que satisfaz a propriedade dada a Tangente a ambos os eixos coordenados centro no primeiro qua drante e raio 2 b Centro em 4 6 passando por 1 2 c Passa pelos pontos 1 1 1 2 e 2 3 7 Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos do item c do exercıcio anterior Usando apenas regua sem escala e compasso determine o centro do cırculo que passa por estes pontos e depois desenhe o cırculo 8 Escreva a equacao da reta tangente ao cırculo x2y214x18y39 0 no ponto do segundo quadrante deste cırculo tal que x 2 9 Encontre a equacao da reta tangente ao cırculo x2 y2 180 que tem inclinacao 2 CEDERJ 214 Cırculo M ODULO 1 AULA 14 10 Encontre os pontos de intersecao dos cırculos com equacoes x2 y2 2x 0 e x2 y2 3y 0 11 Mostre que o cırculo x2 y2 ax by c 0 e tangente ao eixo x se e somente se 4c a2 12 Determine o centro e o raio do cırculo que passa pelos pontos dados a P1 2 3 Q1 4 1 e R1 2 2 b P2 1 4 Q2 4 6 e R2 0 7 13 Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos dos itens a e b do exercıcio anterior Usando apenas uma regua sem escala e um compasso determine os centros C1 e C2 dos cırculos do exercıcio anterior e desenheos 14 Determine as retas tangentes ao cırculo x2 y2 4 que passam pelo ponto 4 2 2 2 15 Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distˆancias a dois pontos fixos A e B e uma constante k 0 Determine a equacao do lugar geometrico descrito pelo ponto P e identifiqueo Sugestao Seja a dA B Considere o sistema de coordenadas com o eixo x sendo a reta que passa por A e B com origem A e orientada de A para B Neste sistema de coordenadas temos A 0 0 B a 0 e P x y Vocˆe deve considerar os casos k a2 2 k a2 2 e k a2 2 16 Esboce os seguintes subconjuntos do plano a A x y x 22 y 32 1 b B x y x 42 y 32 2 c C x y x 22 y 32 4 d D A B e E A C 17 Considere os seguintes conjuntos A x y x2 y 12 4 B x y x 12 y 22 1 215 CEDERJ Cırculo C x y x y 1 Determine os subconjuntos do plano A B A C e B C 18 Desafio Considere 2 cırculos de raios r e R Quando o cırculo de raio r rola sem deslizar no exterior do cırculo de raio R um ponto P fixado no cırculo do exterior descreve uma curva plana chamada epicicloide Considere inicialmente o ponto P como o ponto de contato dos 2 cırculos a Visualize as curvas nos casos em que r R r R 2 r R 3 e r R 4 A primeira curva e chamada cardioide b O que podemos afirmar sobre o ponto P quando r aR e a e um numero racional Sugestao escreva a p q com p e q numeros inteiros positivos primos entre si c O que podemos afirmar sobre o ponto P quando r aR e a e um numero irracional Autoavaliacao Vocˆe deve prosseguir apenas se souber identificar a equacao de um cırculo determinando as coordenadas do centro e o raio Sabe localizar pontos do plano com respeito a um cırculo Os exercıcios consolidam os conceitos aprendidos e os relacionam com outras areas do conhecimento Para melhorar a sua aprendizagem faca muitos exercıcios Vamos para a Aula 18 conhecer as belas propriedades da parabola CEDERJ 216 Parabola M ODULO 1 AULA 15 Aula 15 Parabola Objetivos Descrever a parabola como um lugar geometrico determinando a sua equacao reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo x paralelo a diretriz ℓ e origem no vertice V Determinar as coordenadas do foco F do vertice V e da diretriz ℓ Esbocar o grafico da parabola a partir da sua equacao e fazer trans lacoes Localizar o ponto de maximo ou de mınimo e calcular o seu valor Conceitos Sistemas de coordenadas cartesianas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Varias residˆencias tˆem antenas instaladas no telhado para recepcao de som e imagens transmitidas por satelite Todos conhecem as antenas pa rabolicas E por que usamos estas antenas Antes de responder precisamos conhecer as propriedades da parabola A superfıcie da antena e obtida pela rotacao de uma parabola em torno de uma reta fixa o seu eixo de simetria Os farois de automoveis e espelhos para telescopios astronˆomicos tambem tˆem superfıcie parabolica A trajetoria seguida por varios objetos em movi mento e uma parabola Por exemplo uma bola de basquete quando lancada na cesta uma bola de futebol quando chutada uma bala disparada por um revolver ou por um canhao etc Na Figura 152 vemos a trajetoria percor rida pela bala de um canhao Figura 151 Antena pa rabolica Figura 152 Trajetoria de uma bala de canhao Fixemos no plano uma reta ℓ e um ponto F nao pertencente a ℓ A parabola e o lugar geometrico dos pontos P do plano equidistantes da reta ℓ e do ponto F A saber parabola P dP F dP ℓ A distˆancia de um ponto a uma reta e definida como a menor das distˆancias de P aos pontos Q da reta Vimos na AULA 16 que dP ℓ 217 CEDERJ Parabola dP P onde P e o ponto de intersecao da reta ℓ com a perpendicular a ℓ passando por P chamado pe da perpendicular a ℓ passando por P Portanto parabola P dP F dP P onde P e o pe da perpendicular a reta ℓ passando por P Figura 153 Parabola de vertice V foco F e diretriz ℓ A reta ℓ e chamada diretriz o ponto F foco e o ponto V de intersecao do eixo de simetria com a parabola vertice Para encontrar a equacao de uma parabola vamos fixar um sistema de coordenadas Para isto seja 2p onde p 0 a distˆancia de F a reta ℓ Consideramos a origem O situada na reta perpendicular a reta ℓ passando por F e equidistante de F e ℓ O eixo x sera a reta paralela a ℓ com uma orientacao fixada A reta perpendicular a ℓ passando por F sera o eixo y com a orientacao conveniente lembrese de que girando a parte positiva do primeiro eixo o eixo x no sentido antihorario em torno de O obtemos o sentido positivo do segundo eixo o eixo y Figura 154 Parabola sua diretriz ℓ e foco F escolha dos eixos x e y com dF ℓ 2p A posicao relativa de F com respeito a diretriz ℓ e a escolha dos eixos coordenados esta ilustrada na Figura 154 Observe que a origem O 0 0 do sistema de coordenadas construıdo e o vertice da parabola Temos dois casos a considerar CEDERJ 218 Parabola M ODULO 1 AULA 15 Nos dois casos considerados a equacao da parabola na forma reduzida e y ax2 onde a R e a 0 o foco e F 0 1 4a e a equacao da diretriz e y 1 4a O grafico da equacao e Grafy ax2 x y y ax2 x ax2 x R Observe na Figura 158 como o grafico desta equacao se comporta em termos do numero real a Figura 158 A parabola y ax2 para a 0 e a 0 Exemplo 154 Qual e o subconjunto C x y y 2x2 12x 16 Para identificar este subconjunto do plano vamos tentar escrever a equacao que relaciona as variaveis x e y na forma reduzida da equacao da parabola y 2x2 12x 16 colocando 2 em evidˆencia 2x2 6x 8 completando o quadrado do polinˆomio em x 2x2 6x 9 9 8 2x 32 1 fazendo o produto por 2 2x 32 2 Desta maneira obtemos y 2 2x 32 Esta equacao e de uma parabola Por quˆe Sabemos que y 2x2 e uma parabola com vertice V 0 0 foco F 0 1 4a 0 1 42 0 1 8 diretriz y 1 4a 1 8 e o eixo de simetria e x 0 Quando esta parabola e transladada de h 3 unidades horizon talmente e de k 2 unidades verticalmente uma parabola congruente e obtida tendo equacao yk 2xh2 que e equivalente a y2 2x32 A Figura 159 ilustra o grafico destas duas parabolas 221 CEDERJ Parabola Figura 159 Parabolas y 2x2 e y 2 2x 32 y 2x2 y 2 2x 32 vertice 0 0 h k 3 2 foco 0 1 4a 0 1 8 h k 1 4a 3 2 1 8 3 15 8 diretriz y 1 4a 1 8 y k 1 4a 2 1 8 17 8 eixo de simetria x 0 x h 3 Duas figuras sao congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir uma com a outra Figura 1510 y ax2 e y k ax h2 De modo geral a parabola y ax2 tem vertice 0 0 e eixo de simetria x 0 Quando esta parabola e transladada de h unidades horizontalmente e de k unidades verticalmente uma parabola congruente e obtida tendo equacao y k ax h2 A figura ao lado ilustra esta translacao O vertice O 0 0 e transladado para h k e o foco a diretriz e o eixo de simetria sao transladados como indicado a seguir y ax2 y k ax h2 vertice 0 0 h k foco 0 1 4a h k 1 4a diretriz y 1 4a y k 1 4a eixo de simetria x 0 x h Observe que no vertice h k temos x0 h e y0 k onde k e o valor mınimo ou maximo de y para todo P x y que esta na parabola de equacao y k ax h2 Pois i Se a 0 entao a parabola esta voltada para cima e y ax h2 k 0 k ah h2 k ax0 h2 k y0 CEDERJ 222 Parabola M ODULO 1 AULA 15 logo y y0 portanto k e o valor mınimo de y ii Se a 0 entao a parabola esta voltada para baixo e y ax h2 k 0 k ah h2 k ax0 h2 k y0 logo y y0 portanto k e o valor maximo de y Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a parabola como um lugar geometrico a determinar a sua equacao reduzida a partir da sua propriedade geometrica no sistema de coordenadas com origem no vertice eixo x paralelo a diretriz ℓ e eixo y como o eixo de simetria a esbocar o seu grafico a fazer translacoes a determinar as coordenadas do foco F do vertice V e a equacao da diretriz ℓ a partir da equacao reduzida a determinar o ponto de maximo ou mınimo e o seu valor maximo ou mınimo respectivamente x0 h e y0 k onde V h k Exercıcios 1 Determine o foco a equacao da diretriz e esboce o grafico de cada uma das seguintes parabolas a y 8x2 b y 8x2 c y 16x2 d y 16x2 e 2y 5x2 f 2y 5x2 g y 1 16x2 0 h y 3 4x2 i y 5 4x2 2 Determine a equacao reduzida da parabola o vertice a equacao da diretriz a equacao do eixo de simetria e esboce o grafico a y 1 4x2 x 4 b 8y x2 4x 12 0 c 2y x2 4x 4 d 20y x2 2x 39 0 e y 2x x2 f x2 6x 8y 17 0 3 Determine o valor de x para o qual y assume o valor maximo ou mınimo em cada uma das parabolas do exercıcio anterior 4 Determine a equacao reduzida da parabola que satisfaz a propriedade dada e esboce o grafico 223 CEDERJ Parabola a Foco F 0 3 4 e diretriz y 3 4 b Foco F 0 5 8 e vertice 0 0 c Diretriz y 3 2 e vertice 0 0 d Vertice 2 5 e diretriz y 7 e Vertice 0 0 eixo de simetria vertical e o ponto 2 2 esta na parabola f Vertice 0 0 eixo de simetria x 0 e passa pelo ponto 2 3 g Foco F 4 5 e diretriz y 1 h Vertice 4 1 e diretriz y 3 5 Determine a intersecao da parabola com o eixo y a y 1 4x2 x 4 b 8y x2 4x 12 0 c 2y x2 4x 4 d 20y x2 2x 39 0 e y 2x x2 f x2 6x 8y 17 0 6 Esboce os subconjuntos do plano a A x y 2x 3 y 4x x2 b B x y x2 2x y 4x x2 c C x y 2x 8 y x2 d D x y x2 2 y 2x2 6x 7 A parabola y ax2 bx c assim como uma reta naovertical divide o plano em dois subconjuntos disjuntos os pontos acima y ax2 bx c e os pontos abaixo da parabola y ax2 bx c Autoavaliacao Se vocˆe souber determinar o vertice o foco e a equacao da diretriz da parabola a partir da sua equacao reduzida e esbocar o seu grafico entao pode passar para a proxima aula E claro que resolveu os exercıcios 1 a 5 Vamos para a Aula 19 Continuaremos a estudar a parabola e aprenderemos a sua propriedade reflexiva CEDERJ 224 Parabola continuacao M ODULO 1 AULA 16 Aula 16 Parabola continuacao Objetivos Descrever a parabola como um lugar geometrico determinando a sua equacao reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo a diretriz ℓ eixo x como eixo de simetria e origem no vertice V Determinar as coordenadas do foco F do vertice V e da diretriz ℓ Esbocar o grafico da parabola a partir da sua equacao Fazer translacoes Aprender a propriedade reflexiva da parabola Conceitos Sistemas de coordenadas cartesianas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Na aula anterior encontramos uma equacao reduzida da parabola quando o seu eixo de simetria e o eixo y o eixo x e paralelo a diretriz ℓ e a origem e o vertice Poderıamos ter procedido de outra maneira Vamos construir outro sistema de coordenadas e escrever equacoes reduzidas para a parabola Para isto seja ainda 2p onde p 0 a distˆancia do foco F a reta diretriz ℓ Consideramos a origem O situada na reta perpendicular a reta ℓ passando por F e equidistante de F e ℓ A reta perpendicular a ℓ passando por F sera o eixo x com uma orientacao fixada O eixo y sera a reta paralela a ℓ com a orientacao conveniente lembrese que girando a parte positiva do primeiro eixo o eixo x no sentido antihorario em torno de O obtemos o sentido positivo do segundo eixo o eixo y A posicao relativa de F com respeito a diretriz ℓ e a escolha dos eixos coordenados esta ilustrada na Figura 161 Figura 161 Sistemas de coordenadas com eixo y paralelo a diretriz Observe que a origem O 0 0 do sistema de coordenadas construıdo e novamente o vertice V da parabola Temos dois casos a considerar conforme a Figura 161 225 CEDERJ Parabola continuacao Figura 164 Parabola x y2 4p com foco F p 0 e vertice V 0 0 Escrevendo a equacao da parabola na forma reduzida x y2 4p e sabendo que F p 0 temos p 3 2 Logo p 3 2 4p 4 3 2 6 1 4p 1 6 e x y2 4p y2 6 Nos dois casos a equacao da parabola na forma reduzida e x ay2 onde a R e a 0 Note que esta parabola tem foco F 1 4a 0 diretriz x 1 4a e o seu grafico e Grafx ay2 x y x ay2 ay2 y y R Observe na Figura 165 como o grafico desta equacao se comporta em termos do numero real a A parabola esta voltada para a direita quando a 0 e para a esquerda quando a 0 Figura 165 Parabolas x ay2 com a 0 e a 0 Figura 166 Parabolas x ay2 e x h ay k2 com a 0 CEDERJ 228 Parabola continuacao M ODULO 1 AULA 16 De modo geral a parabola x ay2 tem vertice 0 0 e eixo de simetria y 0 Quando esta parabola e transladada de h unidades horizontalmente e de k unidades verticalmente obtemos uma parabola congruente de equacao xh ay k2 Na Figura 166 estao esbocados os graficos das parabolas x ay2 e x h ay k2 com a 0 O vertice 0 0 e transladado para h k e o foco a diretriz ℓ e o eixo de simetria sao transladados como indicado a seguir x ay2 x h ay k2 vertice 0 0 h k foco 1 4a 0 h 1 4a k diretriz x 1 4a x h 1 4a eixo de simetria y 0 y k Exemplo 164 Qual e a equacao reduzida da parabola com vertice V 3 2 e diretriz x 9 2 Sendo a diretriz uma reta vertical a equacao da parabola e da forma x h ay k2 onde h k 3 2 Escrevendo a equacao da diretriz x h 1 4a 9 2 obtemos 1 4a 9 2h 9 2 3 3 2 Logo 4a 2 3 e portanto a 1 6 Assim a equacao reduzida da parabola e x3 1 6y 22 que e equivalente a x3 1 6y 22 Agora ja sabemos identificar a equacao da parabola na forma reduzida Na pratica as aplicacoes da parabola sao decorrˆencia da sua propriedade de reflexao se uma fonte de luz for colocada no foco F entao os raios que esta fonte irradia incidem na parabola e sao refletidos ao longo de retas paralelas ao eixo de simetria Figura 167 Linhas paralelas ao eixo focal sao refletidas pela parabola em linhas que passam pelo foco 229 CEDERJ Parabola continuacao Um holofote ou um farol de automovel utilizam este princıpio numa superfıcie parabolica espelhada por dentro Esta superfıcie chamada paraboloide e obtida pela rotacao da parabola em torno do seu eixo de simetria e se constitui de uma infinidade de parabolas com mesmo foco e mesmo eixo de simetria conforme a Figura 168 Figura 168 Paraboloide As antenas parabolicas sao utilizadas para amplificar os sinais captados concentrandoos no foco Os sinais incidem no paraboloide a superfıcie da antena paralelos ao eixo de simetria refletindo para o foco Resumo Vocˆe aprendeu a determinar a equacao reduzida da parabola a partir da sua propriedade geometrica no sistema de coordenadas com origem no vertice eixo y paralelo a diretriz ℓ e eixo x como o eixo de simetria ou eixo focal a esbocar o grafico da parabola a fazer translacoes a determinar as coordenadas do foco F do vertice V e a equacao da diretriz ℓ a partir da equacao da parabola alem da propriedade reflexiva da parabola Exercıcios 1 Determine o vertice o foco a equacao da diretriz o eixo de simetria e trace o grafico das parabolas a x 6y2 b 2x 2y2 c x y2 2y 1 d x y2 3y 4 e x y2 2y 5 f x y2 4y 7 CEDERJ 230 Parabola continuacao M ODULO 1 AULA 16 g x 2y2 4y 5 h 8x y2 4y 20 0 2 Determine o ponto de intersecao de cada uma das parabolas do exercıcio anterior com o eixo x Lembre que a equacao do eixo x e y 0 3 Determine a equacao reduzida da parabola que satisfaz a propriedade dada e esboce o grafico a Foco F 3 4 0 e diretriz x 3 4 b Foco F 1 0 e vertice 0 0 c Diretriz x 3 2 e vertice 0 0 d Vertice 1 3 e diretriz x 3 e Vertice 0 1 eixo de simetria horizontal e o ponto 2 2 esta na parabola f Vertice 0 0 eixo de simetria y 0 e passa pelo ponto 2 3 g Foco F 4 5 e diretriz x 1 h Vertice 4 1 e diretriz x 3 4 Esboce os subconjuntos do plano A parabola x ay2 by c assim como uma reta vertical divide o plano em dois subconjuntos disjuntos os pontos a direita x ay2 by c e os pontos a esquerda da parabola x ay2 by c a A x y y 3 x 2y2 b B x y y2 2y x 4y y2 c C x y y2 2y x y2 y 1 d D x y y2 2 x 2y2 6y 7 Autoavaliacao Se vocˆe souber determinar o vertice o foco e a equacao da diretriz da parabola a partir da sua equacao e esbocar o seu grafico entao pode passar para a proxima aula E claro que resolveu os exercıcios 1 a 4 Vamos para a Aula 20 onde ha interessantes aplicacoes relacionando as propriedades do grafico da parabola com problemas do nosso cotidiano 231 CEDERJ Parabola aplicacoes M ODULO 1 AULA 17 Aula 17 Parabola aplicacoes Objetivos Expressar o vertice da parabola em termos do discriminante e dos coeficientes da equacao quadratica Expressar as raızes das equacoes quadraticas em termos do discri minante e dos coeficientes da equacao quadratica Estudar o sinal das equacoes quadraticas Resolver problemas modelados por equacoes quadraticas Conceitos Desigualdades e a equacao da parabola Referˆencias Aulas 11 e 18 Ate aqui estudamos a parabola sob o ponto de vista geometrico As tecnicas graficas e algebricas desenvolvidas no estudo da curva plana parabola podem ser usadas para resolver uma grande variedade de problemas que en volvem equacoes quadraticas isto e equacoes do segundo grau Vejamos alguns exemplos Exemplo 171 A estimativa e que 14000 pessoas assistirao a uma partida de futebol com o ingresso a R 7 00 Para cada R 0 25 adicionados ao preco do ingresso o numero de pessoas que vai ao estadio decresce de 280 Qual deve ser o preco do ingresso para que a renda do jogo seja a maior possıvel Para equacionar este problema chamamos de x o numero de vezes que R 0 25 e adicionado ao preco do ingresso e de y a renda do jogo Entao y 7 0 25x14000 280x 70x2 1540x 98000 Portanto determinar o preco do ingresso para que a renda seja a maior possıvel e equivalente a calcular o valor de x tal que y assuma um valor maximo Exemplo 172 Um pedaco de papelao retangular tem o comprimento 20 cm maior do que a largura Sera construıda uma caixa sem tampa cortando 4 quadrados iguais dos vertices do papelao Quais as dimensoes do papelao para que o volume da caixa seja de 11 25 dm3 sabendo que o lado do quadrado e de 10 cm Antes de mais nada devemos considerar os seguintes passos 1 Selecionar as informacoes necessarias do enunciado 2 Representar a informacao algebricamente 3 Desenhar uma figura que ilustre a situacao 4 Escrever e resolver uma equacao 5 Interpretar a solucao que satisfaca as condicoes do problema 233 CEDERJ Parabola aplicacoes Seguindo este roteiro vamos solucionar o problema Seja x a largura do papelao em cm Entao o comprimento do papelao e x 20 Figura 171 Montando a caixa de papelao As dimensoes da caixa em centımetros sao x 20 x e 10 Portanto o volume da caixa em centımetros cubicos e 11250 10xx 20 10x2 20x Dividindo ambos os membros desta igualdade por 10 obtemos 1125 x2 20x que e equivalente a x2 20x 1125 0 A solucao deste problema e a determinacao das raızes do polinˆomio fx x2 20x 1125 que geometricamente significa calcular os pontos de in tersecao do grafico da parabola y x2 20x 1125 com o eixo x Os exemplos 171 e 172 ilustram a importˆancia na pratica do conhe cimento do grafico da curva y ax2 bx c onde a b c sao numeros reais fixados com a 0 junto com o estudo das raızes e o sinal do trinˆomio do segundo grau As seguintes propriedades sao fundamentais O vertice V x0 y0 da parabola e o ponto onde y assume a o valor mınimo y0 para todo x R quando a 0 b o valor maximo y0 para todo x R quando a 0 Para que valores de x temos y 0 Ou entao quais os pontos de intersecao do grafico da parabola com o eixo x ou quais as raızes do polinˆomio fx ax2 bx c Para que valores de x temos y 0 e para que valores de x temos y 0 Ou ainda para que valores de x o grafico da parabola esta abaixo ou acima do eixo x Isto e como o sinal de y depende de x Antes de prosseguir faca os graficos de y x2 4x3 y x2 4x4 y x2 4x 5 y x2 4x 3 y x2 4x 4 e y x2 4x 5 CEDERJ 234 Parabola aplicacoes Agora podemos resolver o primeiro exemplo desta aula Solucao do Exemplo 171 Como a 70 0 a renda y 70x2 1540x 98000 assume um valor maximo no vertice da parabola x0 b 2a 1540 2 70 1540 140 11 Portanto o valor do ingresso deve ser de 7 0 25 11 7 2 75 9 75 reais Para saber o valor da renda maxima calcule 4a 15402 4 70 98000 4 70 Nas Figuras 172 173 e 174 ilustramos os graficos de parabolas com a 0 Figura 172 y x2 4x 3 4 Figura 173 y x2 4x 4 0 Figura 174 y x24x 5 4 Nas Figuras 175 176 e 177 ilustramos os graficos de parabolas com a 0 Figura 175 y x2 4x 3 4 Figura 176 y x2 4x 4 0 Figura 177 y x24x 5 4 CEDERJ 236 Parabola aplicacoes Solucao do Exemplo 172 Como b2 4ac 202 4 1 1125 400 4500 4900 e 4900 70 pelas formulas de Bhaskara temos que as raızes do polinˆomio sao x1 b 2a 20 70 2 25 e x2 b 2a 20 70 2 45 Como x 0 temos que x x2 45 Portanto a largura do papelao e 45 cm e o comprimento e 65 cm Assim a caixa tem 25 cm de largura por 45 cm de comprimento Exemplo 173 Volte as Figuras 172 a 177 determine as raızes de cada trinˆomio do 2o grau quando existirem e estude o seu sinal Exemplo 174 Uma industria produz bonecas O custo diario C em dolares para produzir n bonecas e dado pela expressao quadratica C n2 120n4200 Quantas bonecas devem ser produzidas diariamente para o custo ser mınimo Qual e o custo mınimo O custo C e mınimo em n0 b 2a 120 2 60 bonecas O custo mınimo e C0 4a 1202 4 4200 4 120 30 4200 600 dolares Exemplo 175 Uma bola e lancada verticalmente do chao a uma velocidade de 27 metros por segundo A formula s 27t 9t2 da a altura da bola apos t segundos Qual e a altura maxima atingida pela bola Quanto tempo a bola permanecera no ar Os pares t s estao sobre o grafico de uma parabola onde a 9 O discriminante da equacao do 2o grau e 272 4 9 0 272 A altura maxima atingida pela bola sera s0 4a 272 4 9 27 27 36 27 3 4 81 4 20 25 metros em t0 b 2a 27 2 9 3 2 1 5 segundos A bola permanecera no ar no intervalo de tempo entre 0 e 3 segundos pois s 0 para t 0 3 onde 0 e 3 sao as raızes de 27t 9t2 9t3 t 0 Resumo Vocˆe aprendeu a determinar as coordenadas do vertice V da parabola em termos do discriminante e dos coeficientes da equacao do 2o grau a determinar as raızes da equacao do 2o grau a determinar o sinal do trinˆomio CEDERJ 240 Parabola aplicacoes M ODULO 1 AULA 17 do 2o grau e a usar estas informacoes junto com o grafico da parabola para modelar e resolver problemas Exercıcios 1 Identifique se y assume um valor maximo ou mınimo determineo e diga em que numero real x0 este valor ocorre a y x2 2x 8 b y x2 2x 3 c y 2x2 3x 2 d y x2 10x 18 e y x2 6x 9 f y 2x2 15x 28 2 Esboce o grafico das parabolas do exercıcio anterior determinando caso existam os pontos de intersecao do grafico com o eixo x e com o eixo y 3 Resolva as desigualdades e usando intervalos dˆe o conjunto solucao a x2 2x 8 0 b x2 2x 3 0 c 2x2 3x 2 0 d x2 10x 18 0 e x2 6x 9 0 f 2x2 15x 28 0 g 2x2 3x 2 x2 2x 3 0 h x2 10x 18 x2 2x 8 0 i x 5 x 3 0 j x3 4x 0 4 Determine os pontos de intersecao da parabola com os eixos coordena dos a y 1 4x2 x 4 b 8y x2 4x 12 0 c 2y x2 4x 4 d 20y x2 2x 39 0 e y 2x x2 f x2 6x 8y 17 0 5 Quais os dois numeros reais cuja soma e igual a 8 e a soma dos seus quadrados e 56 no mınimo e 104 no maximo Quais os numeros inteiros que satisfazem a esta propriedade 6 O departamento de propaganda de uma fabrica de patinetes estimou que venderia 600 patinetes por semana a 100 reais cada Mas concluiu tambem que se reduzisse 5 reais no preco unitario venderia 50 patinetes 241 CEDERJ Parabola aplicacoes a mais por semana Qual deve ser o preco de venda dos patinetes para que a fabrica tenha a maior renda possıvel mensalmente 7 Em volta de uma piscina retangular com 10 metros de largura por 18 metros de comprimento sera colocado um piso antiderrapante com area de 60 metros quadrados e largura constante Qual a largura do piso 8 O lucro diario de uma empresa em reais e l 2x2 200x 800 onde x e o numero de artigos produzidos por dia Quantos artigos devem ser produzidos para que o lucro seja maximo Qual o lucro maximo 9 Um arame de 40 metros sera usado para construir uma cerca de um jardim retangular Quais as dimensoes do jardim para que a sua area seja a maior possıvel 10 Mostre que entre os retˆangulos com perımetro fixado o de maior area e o quadrado 11 Um terreno tem a forma de um triˆangulo retˆangulo cuja soma dos catetos e igual a 14 metros Determine as dimensoes do terreno de area maxima 12 Se a diferenca de dois numeros e 22 quais sao os numeros cujo produto e o menor possıvel Autoavaliacao Se vocˆe souber determinar o vertice em termos do discriminante e dos coeficientes da equacao do 2o grau determinar o sinal do trinˆomio do 2o grau e suas raızes e modelar e resolver problemas com estes conhecimentos entao podera passar para a proxima aula Vamos para a Aula 21 onde estudaremos a elipse CEDERJ 242 Elipse M ODULO 1 AULA 18 Aula 18 Elipse Objetivos Descrever a elipse como um lugar geometrico Determinar a equacao reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto medio entre os focos e eixo x como o eixo focal Esbocar o grafico da elipse a partir da equacao reduzida e fazer translacoes Identificar os parˆametros ab e c e a sua excentricidade Determinar as coordenadas dos focos e dos vertices a partir da equacao reduzida Conceitos Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Como acabamos de mencionar na aula anterior ha muitas aplicacoes para a parabola sendo esta curva plana encontrada em varias situacoes na pratica cotidiana A elipse curva plana que vamos descrever nesta aula nao e tao facilmente encontrada na natureza Porem observe as seguintes figuras Figura 181 Vemos uma elipse olhando um cırculo de lado Figura 182 Elipse na superfıcie da agua num copo inclinado Figura 183 Elipse no telhado do planetario Ty cho Brahe em Copenha gen Dinamarca Kepler 15711630 Nasceu perto de Stuttgart Obteve o modelo para o movimento dos planetas usando os dados observados pelo astrˆonomo Tycho Brahe Embora os gregos ja conhecessem as cˆonicas apenas em 1609 o astrˆonomo alemao Johann Kepler descobriu que as orbitas dos planetas eram elipses Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 A elipse e o lugar geometrico dos pontos do plano cuja soma das distˆancias aos pontos F1 e F2 e constante Escrevendo esta constante como 2a temos elipse P dP F1 dP F2 2a Os pontos F1 e F2 sao chamados focos da elipse Foi Kepler quem introduziu o nome foco 243 CEDERJ Elipse Figura 184 Vista da orbita que a Terra faz ao redor do Sol Figura 185 A soma das distˆancias de um ponto da elipse a F1 e F2 e constante d1d2 2a Vocˆe ja deve ter observado que os jardineiros preferencialmente cons troem canteiros circulares e elıpticos E muito facil desenhar na terra ou no papel cırculos e elipses O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto fixa os dois gravetos na terra a uma distˆancia menor que o comprimento do barbante e com um terceiro graveto estica o barbante Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse Vocˆe pode desenhar uma elipse no papel prendendo as extremidades do barbante com tachas e usando um lapis para esticar o barbante As tachas serao os focos da elipse Observe que a distˆancia entre os focos e obviamente menor do que o comprimento do barbante Figura 186 Desenhando uma elipse no papel Seja 2c a distˆancia entre F1 e F2 Note que 2c 2a isto e c a Para encontrar a equacao de uma elipse vamos fixar um sistema de coordenadas Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2 com a origem O situada no ponto medio do segmento F1F2 e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O A orientacao do eixo x CEDERJ 244 Elipse M ODULO 1 AULA 18 Figura 1810 Elipse x2 4 y2 1 1 Figura 1811 Elipse x2 9 y2 4 1 Note que 1 um ponto P x y esta na elipse x y tambem esta na elipse 2 um ponto P x y esta na elipse x y tambem esta na elipse 3 um ponto P x y esta na elipse x y tambem esta na elipse As propriedades anteriores sao consequˆencia das variaveis x e y apare cerem ao quadrado na equacao da elipse e significam respectivamente que 1 o grafico da elipse e simetrico com respeito ao eixo x 2 o grafico da elipse e simetrico com respeito ao eixo y 3 o grafico da elipse e simetrico com respeito a origem O Figura 1812 Visualizacao das simetrias dos pontos da elipse A excentricidade da elipse e o numero real e c a 0 e 1 A excentricidade da elipse e responsavel pela forma da elipse Elipses com excentricidade proxima de zero tˆem os semieixos com com primentos proximos Elas sao aproximadamente um cırculo pois e c a 0 c 0 c2 0 b2 a2 c2 a2 b a o sımbolo significa aproximadamente 247 CEDERJ Elipse Elipses com excentricidade proxima de um tˆem uma forma alongada com o semieixo menor de comprimento proximo de zero pois e c a 1 c a c2 a2 b2 a2 c2 0 b 0 Os planetas tˆem orbitas elıpticas em torno do Sol um dos focos com excentricidade proxima de zero O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma volta em torno do Sol com orbita elıptica com excentricidade 0 96 enquanto a excentricidade da orbita da Terra e 0 02 Exemplo 181 Qual e o subconjunto do plano E x y 4x2 8x 9y2 36y 4 Para responder vamos tentar reescrever a equacao anterior tomando como modelo a equacao reduzida da elipse Temos 4 4x2 8x 9y2 36y isolando os polinˆomios em x e em y 4x2 8x 9y2 36y colocando 4 e 9 em evidˆencia na primeira e segunda parcelas respectivamente 4x2 2x 9y2 4y completando os quadrados dos polinˆomios em x e y respectivamente 4x2 2x 1 1 9y2 4y 4 4 reescrevendo 4x2 2x 1 4 9y2 4y 4 36 escrevendo os quadrados 4x 12 9y 22 40 Esta igualdade e equivalente a 4x 12 9y 22 36 Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36 obtemos x 12 9 y 22 4 1 Figura 1813 Elipses x2 9 y2 4 1 e x12 9 y22 4 1 que e a equacao de uma elipse obtida pela translacao de 1 unidade horizon talmente e de 2 unidades verticalmente dos pontos da elipse com equacao CEDERJ 248 Elipse M ODULO 1 AULA 18 x2 9 y2 4 1 O centro 0 0 desta ultima elipse e transladado para 1 2 De modo geral a elipse x2 a2 y2 b2 1 tem centro 0 0 e eixos de simetria x 0 e y 0 Quando esta elipse e transladada de h unidades horizontal mente e de k unidades verticalmente uma elipse congruente e obtida tendo equacao x h2 a2 y k2 b2 1 O centro 0 0 e transladado para o ponto h k e os focos os vertices as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria sao transladados como indicado a seguir x2 a2 y2 b2 1 x h2 a2 y k2 b2 1 centro 0 0 h k focos c 0 e c 0 c h k e c h k vertices a 0 e a 0 a h k e a h k extremidades do eixo menor 0 b e 0 b h b k e h b k eixos de simetria x 0 e y 0 x h e y k Atencao A translacao nao afeta a excentricidade porque a translacao nao de forma a figura Figura 1814 Elipses x2 a2 y2 b2 1 e xh2 a2 yk2 b2 1 com a b 249 CEDERJ Elipse Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a elipse como um lugar geometrico a deter minar os parˆametros a b e c da elipse a partir da equacao reduzida obtida no sistema de coordenadas onde o eixo x e o eixo focal e a origem e o centro de simetria da elipse a fazer translacoes a determinar as coordenadas dos focos dos vertices e do eixo menor a determinar a excentricidade da elipse e o seu significado Exercıcios 1 Esboce o grafico das elipses a x2 16 y2 9 1 b x2 4 y2 1 1 c x2 25 y2 16 1 d 8x2 9y2 72 e x2 9y2 36 f x 12 9 y 22 4 1 g 9x 32 16y 22 144 h 4x 22 9y 32 36 i 9x2 25y2 225 2 Considere as elipses do exercıcio anterior Determine a as coordenadas dos focos e dos vertices b a excentricidade 3 Determine a equacao reduzida da elipse satisfazendo a propriedade dada a Centro 0 0 eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6 b Focos 3 0 e vertices 5 0 c Os pontos limitantes dos eixos maior e menor sao respectiva mente 3 1 9 1 e 6 1 6 3 d Focos 2 4 e 6 4 eixo menor de comprimento 8 4 Determine as coordenadas do centro vertices e focos das elipses 4x2 8x 9y2 36y 4 0 e 16y2 64y x2 4x 52 0 5 O Sputnik primeiro satelite lancado da Terra em 1957 descrevia uma orbita elıptica sendo o centro da Terra um dos focos Determine a equacao da sua orbita sabendo que aproximadamente a sua maior CEDERJ 250 Elipse M ODULO 1 AULA 18 altitude foi de 840 km a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra e de 570 km Autoavaliacao Se vocˆe sabe determinar a equacao reduzida da elipse a partir das propriedades geometricas esbocar o grafico da elipse usando a sua equacao reduzida determinar as coordenadas dos vertices dos focos e das extremi dades do eixo menor a partir da equacao reduzida entao pode passar para a proxima aula Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a sua interessante propriedade reflexiva 251 CEDERJ Elipse continuacao M ODULO 1 AULA 19 Aula 19 Elipse continuacao Objetivos Desenhar a elipse com compasso e regua com escala Determinar a equacao reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto medio entre os focos e eixo y como o eixo focal Esbocar o grafico da elipse fazer translacoes e identificar os parˆametros a b c e tambem a excentricidade a partir da equacao reduzida Determinar as coordenadas dos focos e vertices a partir da equacao reduzida Localizar pontos do plano com respeito a elipses Aprender a propriedade reflexiva da elipse Conceitos Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Vimos na Aula 17 que equacoes do 2o grau nas variaveis x e y com os coeficientes de x2 e y2 numeros reais naonulos e iguais nem sempre eram cırculos No exemplo abaixo veremos que equacoes do 2o grau nas variaveis x e y com os coeficientes de x2 e y2 numeros reais naonulos de mesmo sinal e valor absoluto distinto nem sempre sao elipses Exemplo 191 Determinando os subconjuntos do plano definidos pelas equacoes 4x2 8x 9y2 36y 40 e 4x2 8x 9y2 36y 50 veremos que estes conjuntos nao sao elipses De fato as duas equacoes diferem da equacao 4x2 8x 9y2 36y 4 apenas no termo independente de x e y isto e a constante Procedendo de maneira analoga ao exemplo da elipse de equacao 4x2 8x 9y2 36y 4 completamos os quadrados em ambas as equacoes olhando para os po linˆomios em x e y 4x2 8x 9y2 36y 40 4x2 2x 1 1 9y2 4y 4 4 40 4x 12 4 9y 22 36 40 4x 12 9y 22 40 40 4x 12 9y 22 0 como a soma de quadrados de numeros reais e sempre um numero real maior ou igual a zero temos que a unica solucao da primeira equacao e x 1 0 e y 2 0 253 CEDERJ Elipse continuacao 4x2 8x 9y2 36y 50 4x2 2x 1 1 9y2 4y 4 4 50 4x 12 4 9y 22 36 50 4x 12 9y 22 40 50 4x 12 9y 22 10 como as parcelas do lado esquerdo desta equacao sao maiores ou iguais a zero nao existem numeros reais x e y que a satisfacam Portanto apenas o ponto 1 2 e solucao da primeira equacao e o conjunto solucao da segunda equacao e o conjunto vazio Cuidado Como acabamos de verificar a equacao b2x2 a2y2 dx fy g 0 0 b a nem sempre representa uma elipse podendo ter como solucao um unico ponto ou o conjunto vazio Geralmente para determinar o conjunto solucao desta equacao vocˆe deve completar os quadrados na equacao repetindo o que foi feito no exem plo anterior Exemplo 192 Vamos descrever um procedimento para construir usando compasso e regua com escala a elipse de equacao x2 a2 y2 b2 1 onde b a Cırculos concˆentricos sao cırculos com o mesmo centro 1 Construa dois cırculos concˆentricos na origem C e C de raios a e b respectivamente Veja a Figura 191 2 Marque um ˆangulo θ com 0o θ 360o a partir do eixo x no sentido antihorario definindo um segmento de reta comecando na origem 3 Este segmento de reta intersecta C em A e intersecta C em B Veja a Figura 192 CEDERJ 254 Elipse continuacao Observacao Para escrevermos uma equacao em primeiro lugar fixamos um sis tema de coordenadas Sabemos esbocar o grafico da parabola quando a sua equacao e obtida nos sistemas de coordenadas com os eixos coordenados esco lhidos paralelos ao eixo focal e a diretriz No caso da elipse sabemos esbocar o seu grafico quando a sua equacao e obtida nos sistemas de coordenadas com eixos paralelos aos seus eixos de simetria Nosso estudo da elipse levou em conta a escolha do sistema de coordenadas onde a origem e o ponto medio entre os focos situados no eixo x a uma distˆancia 2c e a medida do eixo maior e 2a determinado pelos vertices situados tambem no eixo x Poderıamos ter escolhido o sistema de coordenadas com a origem no ponto medio entre F1 e F2 o eixo y como o eixo focal orientado de O para F2 e o eixo x perpendicular ao eixo focal com uma orientacao conveniente Neste caso ha uma reversao dos papeis das variaveis x e y verifique dando lugar a equacao reduzida x2 b2 y2 a2 1 onde b a pois b2 a2 c2 sendo os focos F1 0 c e F2 0 c os vertices A1 0 a e A2 0 a e as extremidades do eixo menor B1 b 0 e B2 b 0 Veja a Figura 194 onde a direita esta o grafico da elipse x2 b2 y2 a2 1 com b a Figura 194 Graficos das elipses x2 a2 y2 b2 1 e x2 b2 y2 a2 1 com b a Exemplo 193 Determinemos a excentricidade da elipse de equacao 16x2 96x 9y2 36y 36 0 Para isto precisamos de c e a onde 2c e a distˆancia focal 2a e o compri mento do eixo maior 2b e o comprimento do eixo menor e b2 a2 c2 Para CEDERJ 256 Elipse continuacao M ODULO 1 AULA 19 acharmos a equacao reduzida da elipse dada reescrevemos a sua equacao como 16x2 6x 9y2 4y 36 0 Completando os quadrados temos 16x2 6x 9 9 9y2 4y 4 4 36 0 que e equivalente a 16x2 6x 9 16 9 9y2 4y 4 9 4 36 0 Escrevendo os quadrados obtemos 16x 32 144 9y 22 36 36 0 Assim 16x 32 9y 22 144 Dividindo por 144 temos a equacao reduzida x 32 9 y 22 16 1 Portanto a 16 4 b 9 3 c2 a2 b2 16 9 7 e c 7 Logo e c a 7 4 Observe que o centro desta elipse e C 3 2 os focos sao os pontos F1 3 2 7 e F2 3 2 7 e os vertices sao A1 3 2 e A2 3 6 Alem disso as extremidades do eixo menor sao os pontos B1 0 2 e B2 6 2 Basta transladar de 3 unidades as abcissas e de 2 unidades as ordenadas dos focos vertices e extremidades do eixo menor da elipse x2 9 y2 16 1 Figura 195 Graficos das elipses x2 9 y2 16 1 e x32 9 y22 16 1 257 CEDERJ Elipse continuacao De modo geral a elipse x2 b2 y2 a2 1 com b a tem centro 0 0 e eixos de simetria x 0 e y 0 Quando esta elipse e transladada de h unidades horizontalmente e de k unidades verticalmente uma elipse congruente e obtida tendo equacao x h2 b2 y k2 a2 1 O centro 0 0 e transladado para h k e os focos os vertices as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria sao transladados como indicado a seguir x2 b2 y2 a2 1 x h2 b2 y k2 a2 1 centro 0 0 h k focos 0 c e 0 c h c k e h c k vertices 0 a e 0 a h a k e h a k extremidades do eixo menor b 0 e b 0 b h k e b h k eixos de simetria x 0 e y 0 x h e y k Note que a translacao nao afeta a excentricidade porque a translacao nao deforma a figura Figura 196 Numa elipse raios que saem de um foco incidem apos refletidos no outro foco A elipse tambem tem uma propriedade reflexiva interessante se uma fonte de luz ou som esta em um dos focos as ondas de luz ou sonoras se refletirao na elipse e incidirao no outro foco conforme ilustrado na figura ao lado Exemplo 194 De modo analogo ao cırculo toda elipse divide o plano em dois subconjuntos disjuntos Fixe mos a elipse E com equacao x 12 1 y 22 4 1 CEDERJ 258 Hiperbole M ODULO 1 AULA 20 Aula 20 Hiperbole Conceitos Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Objetivos Descrever a hiperbole como um lugar geometrico Determinar a sua equacao reduzida no sistema de coordenadas com origem no ponto medio entre os focos e eixo x como o eixo focal Esbocar o grafico fazer translacoes e identificar os parˆametros a b c e tambem a excentricidade e a partir da sua equacao reduzida Determinar as coordenadas dos focos e dos vertices Aplicacoes da hiperbole sao um pouco mais difıceis de encontrar No entanto alguns cometas podem ter orbitas hiperbolicas em vez de elıpticas O que isto significa Cometas em orbitas elıpticas em torno da Terra podem ser vistos varias vezes pois retornam a um ponto da orbita como o cometa Halley enquanto cometas em orbitas hiperbolicas aparecem uma vez e jamais retornam As ondas de choque sonoras de um jato supersˆonico voando a baixa alti tude e paralelamente ao solo se propagam ao longo de cones com eixo paralelo a superfıcie Esses cones intersectam a superfıcie da Terra em hiperboles conforme a Figura 201 Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e proximo a uma parede vemos duas regioes bem iluminadas cujos contornos sao hiperboles Veja a Figura 202 Figura 201 Ondas de choque de um jato supersˆonico intersectando a superfıcie do planeta em hiperboles Figura 202 Cones de luz intersectando a parede ao longo de hiperboles 263 CEDERJ Hiperbole B1 0 b e B2 0 b nao estao na hiperbole mas desempenham um papel importante para tracar o seu grafico O segmento de reta B1B2 tem comprimento 2b e e chamado eixo imaginario da hiperbole Nao se esqueca que os focos da hiperbole estao situados no eixo x e sao F1 c 0 e F2 c 0 As retas verticais passando por A1 e A2 e as retas horizontais passando por B1 e B2 determinam um retˆangulo de vertices C D E e F cujas diago nais passam pela origem e tˆem equacoes y b ax chamadas de assıntotas da hiperbole As assıntotas da hiperbole tˆem a seguinte propriedade um ponto da hiperbole muito afastado do centro O esta a uma distˆancia muito pequena proxima de zero da assıntota Na pratica isto significa que o desenho do grafico da hiperbole se aproxima da assıntota quando o ponto da hiperbole se afasta do centro conforme a Figura 205 Figura 205 Desenho das assıntotas da hiperbole Mais precisamente 1 Pontos da hiperbole do primeiro e terceiro quadrantes com x muito grande estao proximos de y b ax 2 Pontos da hiperbole do segundo e quarto quadrantes com x muito grande estao proximos de y b ax O exercıcio 5 desta aula da um roteiro para a demonstracao das propri edades acima Daremos aqui apenas uma ideia da validade das propriedades usando os nossos conhecimentos dos numeros reais Observe que a equacao da hiperbole pode ser reescrita como y2 x2 b2 a2 b2 x2 pois x 0 Sabemos que quando x e muito grande x2 x2 tambem e muito grande Logo 1 x2 0 e b2 x2 0 Desta maneira vemos que CEDERJ 266 Hiperbole A excentricidade da hiperbole e responsavel pela sua forma Hiperboles com excentricidade muito grande tˆem assıntotas tendendo a retas verticais neste caso o eixo y pois o valor absoluto b a das inclinacoes das assıntotas y b ax e muito grande c a muito grande c2 a2 muito grande b2 a2 c2 a2 a2 c2 a2 1 c2 a2 b a c a b a muito grande Hiperboles com excentricidade proxima de 1 tˆem assıntotas proximas de retas horizontais neste caso o eixo x pois a inclinacao das assıntotas se aproxima de zero c a 1 c a c2 a2 b2 c2 a2 0 b 0 b a 0 Aqui uma pequena excentricidade A palavra excentricidade sempre sera qualidade ou condicao do que e excˆentrico ou seja aquilo que se desvia ou se afasta do centro Em Matematica excentricidade e c a ou seja a razao entre a distˆancia c do centro de simetria da cˆonica ao foco e a distˆancia a do centro ao vertice O que nao tem nada a ver com esquisitice ou extravagˆancia expressao mais conhecida na nossa lıngua Apresentamos na Figura 209 uma hiperbole com excentricidade muito grande e na Figura 2010 uma hiperbole com excentricidade proxima de 1 Figura 209 Hiperbole com excentrici dade muito grande Figura 2010 Hiperbole com excentrici dade proxima de 1 Exemplo 201 Vamos determinar os vertices os focos e a excentricidade da hiperbole H x y 4x2 8x 9y2 36y 68 Reescrevemos a equacao dada tentando obter a sua equacao na forma redu zida Temos 68 4x2 8x 9y2 36y isolando os polinˆomios em x e y 4x2 8x 9y2 36y colocando 4 e 9 em evidˆencia na primei ra e segunda parcelas respectivamente 4x2 2x 9y2 4y completando os quadrados dos polinˆomios em x e y respectivamente 4x2 2x 1 1 9y2 4y 4 4 reescrevendo 4x2 2x 1 4 9y2 4y 4 36 escrevendo os quadrados 4x 12 9y 22 32 CEDERJ 268 Hiperbole M ODULO 1 AULA 20 Esta igualdade e equivalente a 4x 12 9y 22 36 Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36 temos x 12 9 y 22 4 1 que e a equacao de uma hiperbole obtida pela translacao de 1 unidade ho rizontalmente e de 2 unidades verticalmente dos pontos da hiperbole x2 9 y2 4 1 Figura 2011 x2 9 y2 4 1 e x12 9 y22 4 1 Esta ultima hiperbole tem vertices A1 3 0 e A2 3 0 c2 9 4 13 focos F1 13 0 e F2 13 0 e excentricidade e 13 3 Somando 1 as abcissas e 2 as ordenadas dos vertices e dos focos obtemos que os vertices da hiperbole dada sao A 1 2 2 e A 2 4 2 e os focos sao F 1 1 13 2 e F 2 1 13 2 A sua excentrici dade tambem e e 13 3 Figura 2012 x2 a2 y2 b2 1 e xh2 a2 yk2 b2 1 De modo geral a hiperbole de equacao x2 a2 y2 b2 1 tem centro 0 0 ei xos de simetria x 0 e y 0 e as retas de equacoes y b ax e y b ax como assıntotas Quando esta hiperbole e transladada de h unida des horizontalmente e de k unidades verticalmente uma hiperbole congru ente e obtida com equacao xh2 a2 yk2 b2 1 O centro 0 0 e transladado para h k e os focos os vertices os eixos de simetria e as assıntotas sao transla dados como indicado a seguir 269 CEDERJ Hiperbole x2 a2 y2 b2 1 x h2 a2 y k2 b2 1 centro 0 0 h k focos c 0 e c 0 c h k e c h k vertices a 0 e a 0 a h k e a h k eixos de simetria x 0 e y 0 x h e y k assıntotas y b ax e y b ax y k b ax h e y k b ax h Atencao A excentricidade nao se altera com uma translacao Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a hiperbole como um lugar geometrico a determinar os parˆametros a b e c da hiperbole com a equacao reduzida obtida no sistema de coordenadas onde a origem e o seu centro de simetria e o eixo x e o eixo focal da hiperbole a esbocar o grafico e as assıntotas da hiperbole e a fazer translacoes a determinar as coordenadas dos focos dos vertices e das extremidades do eixo imaginario a determinar a excentricidade e o seu significado Exercıcios 1 Esboce o grafico das hiperboles tracando as assıntotas a x2 16 y2 9 1 b x2 4 y2 1 1 c 8x2 9y2 72 d 16x 32 9y 22 144 e 9x 22 4y 32 36 f 25x2 9y2 225 2 Considere as hiperboles do exercıcio anterior Determine a as coordenadas dos focos e dos vertices b a excentricidade CEDERJ 270 Hiperbole 6 Desafio Reformule o exercıcio anterior para mostrar que a assıntota aos pontos do quarto quadrante de H e a reta de equacao y b ax Autoavaliacao Se vocˆe souber determinar a equacao reduzida da hiperbole no sistema de coordenadas com eixo x como eixo focal e origem no ponto medio entre os focos a partir das propriedades geometricas esbocar o seu grafico e suas assıntotas usando a sua equacao reduzida determinar as coordenadas dos vertices dos focos e das extremidades do eixo imaginario a partir da equacao reduzida souber fazer translacoes e determinar a excentricidade entao pode prosseguir e aprender mais sobre a hiperbole CEDERJ 272 Hiperbole continuacao M ODULO 1 AULA 21 Aula 21 Hiperbole continuacao Conceitos Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano Referˆencias Aulas 13 e 14 Objetivos Aprender a desenhar a hiperbole com compasso e regua com escala Determinar a equacao reduzida da hiperbole no sistema de coordena das com origem no ponto medio entre os focos e eixo y como eixo focal Esbocar o grafico e as assıntotas e fazer translacoes Identificar os parˆametros a b c e tambem a excentricidade da hiperbole a partir da equacao reduzida Determinar as coordenadas dos focos dos vertices e das extremidades do eixo imaginario a partir da equacao reduzida Aprender a propriedade reflexiva da hiperbole Vimos na Aula 22 que equacoes do 2o grau nas variaveis x e y com os coeficientes de x2 e y2 numeros reais naonulos de mesmo sinal e valor absoluto distinto nem sempre sao elipses Veremos que equacoes do 2o grau nas variaveis x e y com os coeficientes de x2 e y2 numeros reais naonulos e de sinais opostos nem sempre sao hiperboles Exemplo 211 Vamos identificar o conjunto S x y 4x2 8x 9y2 36y 32 Inspirados nos calculos do ultimo exemplo da Aula 23 fazemos uma translacao e reescrevemos a equacao dada eliminando as potˆencias de 1o grau nas variaveis x e y Temos 32 4x2 8x 9y2 36y isolando os polinˆomios em x e em y 4x2 8x 9y2 36y colocando 4 e 9 em evidˆencia na pri meira e segunda parcelas respectivamente 4x2 2x 9y2 4y completando os quadrados dos polinˆo mios em x e y respectivamente 4x2 2x 1 1 9y2 4y 4 4 reescrevendo 4x2 2x 1 4 9y2 4y 4 36 escrevendo os quadrados 4x 12 9y 22 32 Esta igualdade e equivalente a 4x129y22 0 que pode ser reescrita como 2x 1 3y 2 2x 1 3y 2 0 Como o produto de dois numeros reais e zero se e somente se um dos fatores e zero temos que 2x 1 3y 2 0 ou 2x 1 3y 2 0 que e equivalente a 2x 3y 4 0 ou 2x 3y 8 0 Portanto 273 CEDERJ Hiperbole continuacao S x y 2x 3y 4 x y 2x 3y 8 que e a uniao das assıntotas da hiperbole H do ultimo exemplo da Aula 23 Assim o conjunto S e formado por duas retas Dizemos que e o caso degenerado da hiperbole assim como um ponto e o conjunto vazio sao os casos degenerados do cırculo e da elipse DEGENERAR Semelhante ao uso corrente da linguagem o termo aqui empregado tambem significa perder as qualidades ou caracterısticas primitivas Exemplo 212 Vamos descrever um procedimento para construir com compasso e regua com escala a hiperbole H de equacao x2 a2 y2 b2 1 onde c2 a2 b2 a 0 e b 0 Note que se x y e um ponto de H entao i x a a pois x2 a2 a2y2 b2 a2 x a para todo y ii y R pois a2y2 b2 x2 a2 0 y 0 Figura 211 Repre sentacao geometrica da tangente e secante Inspirados na identidade trigonometrica 1 tg2 θ sec2 θ para todo θ e na representacao geometrica da tangente e da secante no cırculo trigonome trico veja a figura ao lado vamos construir o ramo da hiperbole constituıdo dos pares x y tais que x a e y reescrevendo a equacao da hiperbole como 1 y2 b2 x2 a2 Vamos seguir agora um roteiro acompanhando cada item nas Figuras 212 a 216 que ilustram o caso b a 1 Construa as retas verticais x a e x b veja a Figura 212 2 Marque um ˆangulo θ com 90o θ 90o a partir do eixo x no sentido antihorario definindo o segmento de reta rθ comecando na origem Figura 213 Figura 212 Passo 1 Figura 213 Passo 2 CEDERJ 274 Hiperbole continuacao M ODULO 1 AULA 21 3 O segmento de reta rθ intersecta x a em A e x b em B Figura 214 Note que A a a tg θ e B b b tg θ 4 O cırculo C de centro na origem O e raio OA a sec θ intersecta a semireta positiva do eixo x no ponto D a sec θ 0 Figura 215 Figura 214 Passo 3 Figura 215 Passo 4 5 Construa a reta vertical s passando por D a reta horizontal t passando por B e o ponto P definido por P s t Figura 216 Observe que P a sec θ b tg θ Figura 216 Passo 5 Os pontos P da hiperbole sao determinados por P s t Seguindo o mesmo roteiro e escolhendo valo res sucessivos de θ satisfazendo 90o θ 90o faca a construcao com um compasso e uma regua com escala do ramo da direita da hiperbole de equacao x2 9 y2 4 1 Nesse caso a 3 e b 2 Por que esta construcao funciona Observe que um ponto P x y esta no ramo da direita da hiperbole de equacao x2 a2 y2 b2 1 x a2 1 y b2 x a x a sec θ e y b tg θ para algum θ com 90o θ 90o x a sec θ e y b tg θ para algum θ com 90o θ 90o P x y s t onde s tem equacao x a sec θ e t tem equacao y b tg θ para algum θ com 90o θ 90o Para fazer a construcao vocˆe deve escolher sucessivamente ˆangulos θ1 θ2 θ3 Para construir o ramo da esquerda da hiperbole vocˆe pode fazer a simetria com respeito ao eixo y dos pontos da hiperbole ja construıdos 275 CEDERJ Hiperbole continuacao A hiperbole tambem tem uma propriedade reflexiva interessante seme lhante a da elipse se uma fonte de luz ou som esta em um dos focos entao as ondas de luz ou sonoras incidirao no outro ramo da hiperbole refletindo no seu foco Figura 217 Raios que saem de um dos focos e incidem no outro ramo da hiperbole convergem no outro foco O estrondo de um aviao supersˆonico e um cone que segue o aviao A intersecao deste cone com a superfıcie do solo e uma hiperbole Pessoas situadas ao longo da hiperbole ouvem o barulho ao mesmo tempo O sistema de navegacao LORAN LOng RAnge Navegation Navegacao de Longo Curso utiliza as propriedades da hiperbole o radar e os sinais de pares de estacoes de radio para localizar a posicao de um navio As ondas concˆentricas dos sinais das estacoes se intersectam em hiperboles Para saber mais sobre o sistema de navegacao LORAN consulte wwwcamosunbcca jbrittonHomehtm Observacao Para escrevermos uma equacao em primeiro lugar fixamos um sis tema de coordenadas Sabemos esbocar o grafico da parabola quando a sua equacao e obtida nos sistemas de coordenadas com os eixos coordenados esco lhidos paralelos ao eixo focal e a diretriz No caso da elipse sabemos esbocar o seu grafico quando a sua equacao e obtida nos sistemas de coordenadas com eixos paralelos aos seus eixos de simetria Todo o nosso estudo da equacao da hiperbole levou em conta a escolha do sistema de coordenadas onde os focos estavam situados no eixo x a uma distˆancia 2c O eixo real da hiperbole tinha comprimento 2a determinado pelos vertices situados tambem no eixo x sendo a c Podemos escolher o sistema de coordenadas com a origem O no ponto medio entre F1 e F2 o eixo y como o eixo focal eixo real orien tado de O para F2 e o eixo x eixo imaginario perpendicular ao eixo focal com uma orientacao conveniente Neste caso ha uma reversao dos papeis das variaveis x e y verifique dando lugar a equacao reduzida x2 b2 y2 a2 1 onde c2 a2 b2 CEDERJ 276 Hiperbole continuacao Figura 219 Hiperbole H x2 1 y2 4 1 Vemos que as retas y a b x 2x sao as diagonais do retˆangulo limitado pelas retas x 1 x 1 y 2 e y 2 Essa hiperbole tem excentricidade e c a 5 2 O seu grafico esta ilustrado na Figura 219 Esbocando no mesmo sistema de coordena das o grafico da hiperbole H de equacao x2 4 y2 1 1 e suas assıntotas obtemos a Figura 2110 Ob serve que os parˆametros de H sao a 2 b 1 c 5 e e c a 5 2 que sao os mesmos parˆametros de H E as assıntotas de H sao as retas y b ax 1 2x as diagonais do retˆangulo limitado pelas retas x 2 x 2 y 1 e y 1 Por um giro de 90o o grafico da hiperbole H de equacao x2 4 y2 1 1 Figura 219 coincide com o grafico da hiperbole H pois essas hiperboles sao congruentes Figura 2110 Hiperboles H x2 4 y2 1 1 e H x2 1 y2 4 1 Lembre que duas figuras sao congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir com a outra Faca no mesmo sistema de coordenadas os graficos das hiperboles x2 9 y2 4 1 e x2 9 y2 4 1 O que vocˆe observou Essas hiperboles nao sao congruentes e as suas assıntotas sao as mesmas Na pratica para desenhar as hiperboles x2 4 y2 1 1 e x2 4 y2 1 1 construımos o retˆangulo limitado pelas retas x 2 x 2 y 1 e y 1 cujas diagonais sao as assıntotas das duas hiperboles Devemos ter cuidado com a determinacao do parˆametro a que ocorre como coeficiente da variavel com sinal positivo Na primeira hiperbole temos a 1 e b 2 e na segunda CEDERJ 278 Hiperbole continuacao M ODULO 1 AULA 21 a 2 e b 1 Note que nos dois casos c2 a2 b2 5 e portanto c 5 No entanto a primeira hiperbole tem excentricidade e 5 1 5 e a segunda e 5 2 veja a Figura 2111 Essas hiperboles nao sao congruentes Figura 2111 Hiperboles x2 4 y2 1 1 e x2 4 y2 1 1 Exemplo 213 Vamos determinar a excentricidade da hiperbole H x y 16x2 96x 9y2 36y 252 Para isto precisamos de c e a onde 2c e a distˆancia focal 2a e o comprimento do eixo real 2b e o comprimento do eixo imaginario e b2 c2 a2 Vamos determinar a equacao reduzida da hiperbole dada Reescrevemos a equacao como 16x2 6x 9y2 4y 252 Completando os quadrados dos polinˆomios em x e y temos 16x2 6x 9 9 9y2 4y 4 4 252 que e equivalente a 16x2 6x 9 16 9 9y2 4y 4 9 4 252 Escrevendo os quadrados obtemos 16x 32 144 9y 22 36 252 Assim 16x 32 9y 22 252 144 36 144 Dividindo por 144 temos a equacao reduzida x 32 9 y 22 16 1 Portanto a 16 4 b 9 3 c2 a2 b2 16 9 25 e c 25 5 Logo e c a 5 4 Observe que o centro de H e 3 2 H e uma translacao de 3 2 dos pontos da hiperbole x2 9 y2 16 1 com focos 0 5 e 0 5 vertices 0 4 e 0 4 e extremidades do eixo imaginario 3 0 e 3 0 Basta transladar de 3 unidades as abcissas e de 2 unidades as ordenadas dos focos vertices 279 CEDERJ Hiperbole continuacao e extremidades do eixo imaginario da hiperbole x2 9 y2 16 1 Assim os focos de H sao os pontos 3 3 e 3 7 os seus vertices sao 3 2 e 3 6 e as suas extremidades do eixo imaginario sao os pontos 0 2 e 6 2 As assıntotas de H sao as retas que passam por 3 2 com inclinacao 4 3 Figura 2112 Hiperboles x2 9 y2 16 1 e x32 9 y22 16 1 De modo geral a hiperbole x2 b2 y2 a2 1 tem centro 0 0 eixos de simetria x 0 e y 0 e eixo real vertical Quando esta hiperbole e transladada de h unidades horizontalmente e de k unidades verticalmente uma hiperbole congruente e obtida tendo equacao x h2 b2 y k2 a2 1 O centro 0 0 e transladado para h k e os focos os vertices os eixos de simetria e as assıntotas sao transladados como indicado a seguir x2 b2 y2 a2 1 x h2 b2 y k2 a2 1 centro 0 0 h k focos 0 c e 0 c h k c e h k c vertices 0 a e 0 a h k a e h k a eixos de simetria x 0 e y 0 x h e y k assıntotas y a bx y k a bx h y a bx y k a bx h CEDERJ 280 Hiperbole continuacao M ODULO 1 AULA 21 Nao se esqueca que c2 a2 b2 e as extremidades do eixo imaginario da primeira hiperbole B1 b 0 e B2 b 0 sao transladadas para h b k e h b k respectivamente Chegamos ao final do Modulo 1 Na Geometria Analıtica vocˆe apren dera mais sobre as cˆonicas Gostarıamos de fazer algumas consideracoes importantes sobre a relacao entre os conceitos aprendidos aqui e o estudo que sera feito na Geometria Analıtica Observacao Final A equacao geral do 2o grau em duas variaveis e ax2 bxy cy2 dx ey f 0 Vocˆe aprendeu a identificar esta equacao quando b 0 podendo ser um cırculo uma parabola uma elipse uma hiperbole ou os casos degenerados um unico ponto duas retas ou o conjunto vazio Para identificar a curva fizemos translacoes porque a translacao elimina o termo do 1o grau em x e em y Nao podemos deixar de mencionar que a equacao geral do 2o grau em duas variaveis representa uma cˆonica ou os casos degenerados Na disciplina Geometria Analıtica vocˆe aprendera a fazer rotacoes no sistema de coordena das A rotacao elimina na equacao geral do 2o grau o termo bxy deixando a nova equacao obtida com b 0 A rotacao coloca o sistema de coordenadas na posicao em que uma translacao nos permite identificar o subconjunto do plano que satisfaz a equacao Apos a rotacao aplicamos as tecnicas apren didas aqui e identificamos o subconjunto do plano Os graficos das cˆonicas com termo bxy e b 0 estao ilustrados na Figura 2113 Figura 2113 Cˆonicas com termo bxy e b 0 281 CEDERJ Hiperbole continuacao M ODULO 1 AULA 21 a 4x2 y2 8x 6y 11 0 b 9x2 16y2 90x 32y 353 0 c 4x2 9y2 32x 36y 64 0 d x2 4y2 6x 24y 31 0 5 Construa seguindo o roteiro dado as hiperboles cujas equacoes sao x2 4y2 4 9x2 y2 9 e x2 y2 1 Atencao com os valores de a e b Autoavaliacao Se vocˆe souber determinar a equacao reduzida da hiperbole a partir das propriedades geometricas esbocar o seu grafico usando a sua equacao reduzida determinar as coordenadas dos vertices dos focos e das extremida des do eixo imaginario a partir da equacao reduzida souber fazer translacoes e determinar a excentricidade entao pode prosseguir Atencao Terminamos o Modulo 1 Vocˆe deve refletir sobre os conceitos as equacoes e graficos apresentados Antes de passar para o Modulo 2 esclareca todas as suas duvidas procurando os tutores e tambem interagindo com os seus colegas 283 CEDERJ