Geometria Analitica - Avaliacao Final com Solucao - UECE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARA COORDENAC AO DE MATEMATICA DISCIPLINA DE GEOMETRIA ANALITICA AVALIAC AO FINAL PROF DAVI LUSTOSA Aluno 1 Mostre que se u v u v e LI entao uv e LI 2 Seja OABC um tetraedro e M o ponto medio de BC a Explique porque OA OB OC e uma base b Determine as coordenadas de AM nesta base 3 Mostre que nao existe m de modo que u 1 2 2 seja combinacao linear de v m1 1 m2 e w m 1 m1 2 Em seguida determine m para que uv w seja LD 4 Prove que u 2v w 2u v 3w u 8v 3w e LD quaisquer que sejam os vetores uv w 5 A medida em radianos do ˆangulo entre u e v e π 4 Sabendo que u 5 e v 1 ache a medida em radianos do ˆangulo entre u v e u v Boa Prova 1 Questão 1 Se uv e uv são LI significa que temos uv α uv Se u e v são LI significa que temos u βv Mas note que desenvolvendo a primeira expressão temos uv αuαv uαuv αv uαu vαv αuu vαv α1u1αv u 1α α1 v Assim denominando β 1α α1 obtemos u βv Logo se uv e uv são LI temos que u e v são LI Questão 2 A O próprio enunciado já diz que os vetores OA OB e OC formam um tetraedro ou seja uma figura tridimensional Para que três vetores formem uma figura tridimensional é necessário que estes sejam LI entre si Caso contrário seria formada uma figura plana se os vetores fossem LD Logo ao termos três vetores LI temos uma base para R 3 B Temos AMOMOA AMOBBM OA AMOB 1 2 BCOA AMOB 1 2 OCOBOA AM1 2 OB 1 2 OCOA Questão 3 Aqui montamos a seguinte combinação linear uavbw 122a m11m2b m1m12 Comparando os três termos temos a m1b m11 ab m12 a m22b2 Desenvolvendo temos amabmb1 abmb2 am2a2b2 Da segunda equação temos a2bbm Substituindo no sistema obtemos 2bbmm2bbmbmb1 2bbmbmb2 2bbmm2 2bbm2b2 2mbmb m 22bbmbmb1 2bbmbmb2 2mbmbm 242b2bm2b2 2mbm 2b3bmb3 00 2m3bmbm 22b2b6 2mbm 23bm3 00 2mbm 23bm6 Ou seja chegamos à condição de que 36 o que é um absurdo Assim não existe valor de m para o qual u seja combinação linear dos outros vetores isto é u é linearmente independente dos demais sempre Agora para tornar o conjunto como sendo LD devemos ter que os vetores v e w são LD entre si Para isso devemos ter vaw m11m2a m1m12 Desenvolvendo temos m1ama 1ama m22a Da terceira equação temos am 2 1 Substituindo no sistema obtemos m1 m 2 1m m 2 1 1 m 2 1m m 2 1 00 mm 2 2 m m 2 1m 2 2 m m 2 1 00 mm 2 2 m m 2 0m 2 2 m m 2 00 0m 2 2 m m 2 0m 2 2 m m 2 00 Assim m 2 2 m m 2 0 m 22mm0 m 23m0 m 23m Assim os valores são m0 ou m3 Questão 4 Sejam os vetores au2vw b2uv3w cu8v3w Assim devemos provar que o conjunto a b c é LD Para isso escrevemos na forma matricial a b c 1 2 1 2 1 3 1 8 3 u v w Agora aplicamos operações elementares nas linhas da matriz 1 2 1 2 1 3 1 8 3 L3L3L1 1 2 1 2 1 3 0 10 2 L2L22 L1 1 2 1 0 5 1 0 10 2 L3L32 L2 1 2 1 0 5 1 0 0 0 Como a última linha ficou nula depois das manipulações concluímos que o conjunto a b c é LD Questão 5 O ângulo entre dois vetores é dado pela seguinte fórmula cosθ u v uv Substituindo valores temos cos π 4 uv 51 2 2 uv 5 52 2 uv 10 2 u v Logo para uv e uv temos cosθ uv uv uv uv cosθ uv uv uv uv uv uv cosθ u uv v uv u uv v uv u uv v uv cosθ uuuvvuv v uuu vv uv v uuu vv uv v cosθ uuv v uu2u vv v uu2u vv v cosθ u 2v 2 u 22 10 2 v 2u 22 10 2 v 2 cosθ 51 51015101 cosθ 4 610610 cosθ 4 610 610 cosθ 4 6 210 2 cosθ 4 3610 cosθ 4 26 θarccos 4 26 θ3830 θ06689π rad Questão 1 Se 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 são LI significa que temos 𝑢 𝑣 𝛼𝑢 𝑣 Se 𝑢 e 𝑣 são LI significa que temos 𝑢 𝛽𝑣 Mas note que desenvolvendo a primeira expressão temos 𝑢 𝑣 𝛼𝑢 𝛼𝑣 𝑢 𝛼𝑢 𝑣 𝛼𝑣 𝑢 𝛼𝑢 𝑣 𝛼𝑣 𝛼𝑢 𝑢 𝑣 𝛼𝑣 𝛼 1𝑢 1 𝛼𝑣 𝑢 1 𝛼 𝛼 1 𝑣 Assim denominando 𝛽 1𝛼 𝛼1 obtemos 𝑢 𝛽𝑣 Logo se 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 são LI temos que 𝑢 e 𝑣 são LI Questão 2 A O próprio enunciado já diz que os vetores OA OB e OC formam um tetraedro ou seja uma figura tridimensional Para que três vetores formem uma figura tridimensional é necessário que estes sejam LI entre si Caso contrário seria formada uma figura plana se os vetores fossem LD Logo ao termos três vetores LI temos uma base para 𝑅3 B Temos 𝐴𝑀 𝑂𝑀 𝑂𝐴 𝐴𝑀 𝑂𝐵 𝐵𝑀 𝑂𝐴 𝐴𝑀 𝑂𝐵 1 2 𝐵𝐶 𝑂𝐴 𝐴𝑀 𝑂𝐵 1 2 𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑨𝑴 𝟏 𝟐 𝑶𝑩 𝟏 𝟐 𝑶𝑪 𝑶𝑨 Questão 3 Aqui montamos a seguinte combinação linear 𝑢 𝑎𝑣 𝑏𝑤 122 𝑎𝑚 11 𝑚 2 𝑏𝑚 1 𝑚 12 Comparando os três termos temos 𝑎𝑚 1 𝑏𝑚 1 1 𝑎 𝑏𝑚 1 2 𝑎𝑚 2 2𝑏 2 Desenvolvendo temos 𝑎𝑚 𝑎 𝑏𝑚 𝑏 1 𝑎 𝑏𝑚 𝑏 2 𝑎𝑚 2𝑎 2𝑏 2 Da segunda equação temos 𝑎 2 𝑏 𝑏𝑚 Substituindo no sistema obtemos 2 𝑏 𝑏𝑚𝑚 2 𝑏 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑏 1 2 𝑏 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑏 2 2 𝑏 𝑏𝑚𝑚 22 𝑏 𝑏𝑚 2𝑏 2 2𝑚 𝑏𝑚 𝑏𝑚2 2 𝑏 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑏 1 2 𝑏 𝑏𝑚 𝑏𝑚 𝑏 2 2𝑚 𝑏𝑚 𝑏𝑚2 4 2𝑏 2𝑏𝑚 2𝑏 2 2𝑚 𝑏𝑚2 𝑏 3𝑏𝑚 𝑏 3 0 0 2𝑚 3𝑏𝑚 𝑏𝑚2 2𝑏 2𝑏 6 2𝑚 𝑏𝑚2 3𝑏𝑚 3 0 0 2𝑚 𝑏𝑚2 3𝑏𝑚 6 Ou seja chegamos à condição de que 3 6 o que é um absurdo Assim não existe valor de 𝑚 para o qual 𝑢 seja combinação linear dos outros vetores isto é 𝑢 é linearmente independente dos demais sempre Agora para tornar o conjunto como sendo LD devemos ter que os vetores 𝑣 e 𝑤 são LD entre si Para isso devemos ter 𝑣 𝑎𝑤 𝑚 11 𝑚 2 𝑎𝑚 1 𝑚 12 Desenvolvendo temos 𝑚 1 𝑎𝑚 𝑎 1 𝑎𝑚 𝑎 𝑚 2 2𝑎 Da terceira equação temos 𝑎 𝑚 2 1 Substituindo no sistema obtemos 𝑚 1 𝑚 2 1 𝑚 𝑚 2 1 1 𝑚 2 1 𝑚 𝑚 2 1 0 0 𝑚 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 1 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 1 0 0 𝑚 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 0 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 0 0 0 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 0 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 0 0 Assim 𝑚2 2 𝑚 𝑚 2 0 𝑚2 2𝑚 𝑚 0 𝑚2 3𝑚 0 𝑚2 3𝑚 Assim os valores são 𝑚 0 ou 𝑚 3 Questão 4 Sejam os vetores 𝑎 𝑢 2𝑣 𝑤 𝑏 2𝑢 𝑣 3𝑤 𝑐 𝑢 8𝑣 3𝑤 Assim devemos provar que o conjunto 𝑎 𝑏 𝑐 é LD Para isso escrevemos na forma matricial 𝑎 𝑏 𝑐 1 2 1 2 1 3 1 8 3 𝑢 𝑣 𝑤 Agora aplicamos operações elementares nas linhas da matriz 1 2 1 2 1 3 1 8 3 𝐿3 𝐿3 𝐿1 1 2 1 2 1 3 0 10 2 𝐿2 𝐿2 2𝐿1 1 2 1 0 5 1 0 10 2 𝐿3 𝐿3 2𝐿2 1 2 1 0 5 1 0 0 0 Como a última linha ficou nula depois das manipulações concluímos que o conjunto 𝑎 𝑏 𝑐 é LD Questão 5 O ângulo entre dois vetores é dado pela seguinte fórmula cos 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 Substituindo valores temos cos 𝜋 4 𝑢 𝑣 5 1 2 2 𝑢 𝑣 5 52 2 𝑢 𝑣 10 2 𝑢 𝑣 Logo para 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 temos cos 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣𝑢 𝑣 cos 𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 cos𝜃 𝑢 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣𝑢 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 cos 𝜃 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 2𝑢 𝑣 𝑣 𝑣𝑢 𝑢 2𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 cos 𝜃 𝑢2 𝑣2 𝑢2 2 10 2 𝑣2𝑢2 2 10 2 𝑣2 cos 𝜃 5 1 5 10 15 10 1 cos 𝜃 4 6 106 10 cos 𝜃 4 6 106 10 cos 𝜃 4 62 10 2 cos𝜃 4 36 10 cos 𝜃 4 26 𝜃 arccos 4 26 𝜃 3830 𝜽 𝟎 𝟔𝟔𝟖𝟗𝝅 𝒓𝒂𝒅