Geometria Analítica - Avaliação sobre Dependência Linear e Mudança de Base

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARA COORDENAC AO DE MATEMATICA DISCIPLINA DE GEOMETRIA ANALITICA SEGUNDA AVALIAC AO PROF DAVI LUSTOSA Aluno 1 Prove que se uv w e LI entao u v w u v 3v tambem e LI o mesmo sucedendo com u v u wv w 2 Mostre que se u v u v e LI entao uv e LI 3 Sejam E e1e2e3 F f1 f2 f3 G g1g2g3 basescom e1 3 2 f1 1 2 f3 e2 1 2 f1 3 2 f3 e3 f2 e g1 e1 e2 e3 g2 e1 e2 g3 e1 Ache todas as matrizes de mudanca 4 Sendo E e1e2e3 e F f1 f2 f3 bases com f1 2e1 e3 f2 e2 2e3 f3 7e3 e w e1 e2 e3 ache w em termos da base F 5 Seja OABC um tetraedro e M o ponto medio de BC a Explique porque OA OB OC e uma base b Determine as coordenadas de AM nesta base 6 Se E e1e2e3 e uma base prove que F αe1 βe2 γe3 e base desde que α β e γ nao sejam nulos 1 7 Ache m de modo que u 1 2 2 seja combinacao linear de v m 1 1 m2 e w m1 m1 2 Em seguida determine m para que uv w seja LD Boa Prova 2 1 Prove que se u v w é LI então u v w u v 3v também é LI o mesmo sucedendo com u v u w v w i Se u v w são LI então a u βv γw 0 α β γ 0 ii Agora vejamos u v w u v 3v αu v w βu v γ3v 0 α β u α β 3γ v α w 0 Devido a i sabemos que isso implica que α β α β 3 γ α 0 Como α 0 α β 0 β 0 analogamente γ 0 Portanto αu v w βu v γ3v 0 α β γ 0 o que implica que o conjunto u v w u v 3v é LI De forma completamente análoga para u v u w v w αu v βu w γv w 0 α β u α γ v β γ w 0 Por hipótese α β α γ β γ 0 α β γ 0 ou seja αu v βu w γv w 0 α β γ 0 o que implica que o conjunto u v u w v w é LI 2 Mostre que se u v u v é LI então u v é LI i Se u v u v L I então αu v ρu v 0 α β 0 reajustando sistema α β u α β v 0 como α β 0 α β α β 0 Desse modo α β u α β v 0 α β α β 0 o que implica que o conjunto u v é L I 3 Sejam E e₁ e₂ e₃ F f₁ f₂ f₃ G g₁ g₂ g₃ bases com e₁ 32 f₁ 12 f₃ e₂ 12 f₁ 32 f₃ e₃ f₂ e g₁ e₁ e₂ e₃ g₂ e₁ e₂ g₃ e₁ Ache todas as matrizes de mudança i F E e₁ 32 f₁ 0 f₂ 12 f₃ e₂ 12 f₁ 0 f₂ 32 f₃ e₃ 0 f₁ 1 f₂ 0 f₃ Portanto 32 0 12 12 0 32 0 1 0 XF XE De modo que MEF 32 0 12 12 0 32 0 1 0 ii E F MEF MEF1 32 12 0 0 0 1 12 32 0 iii E G g₁ e₁ e₂ e₃ g₂ 0e₁ e₂ 2e₃ g₃ 0e₁ 0e₂ 7e₃ 1 1 1 0 1 2 0 0 7 XE XG De modo que ME9 1 1 1 0 1 2 0 0 7 ii G E M9E MEG1 1 1 17 0 1 27 0 0 17 iii F G F G F E G MF9 MFE ME9 MF9 32 0 12 12 0 32 0 1 0 1 1 1 0 1 2 0 0 7 32 32 3 72 12 12 73 12 0 1 2 iv G F M9F MFG1 73 114 3 714 1 17 37 1 114 314 0 4 Sendo E e1 e2 e3 e F f1 f2 f3 bases com f1 2 e1 e3 f2 e2 2 e3 f3 7 e3 e w e1 e2 e3 ache w em termos da base F i Primeiramente achemos a matriz mudança de base Como f1 2 e1 0 e2 e3 f2 0 e1 1 e2 2 e3 f3 0 e1 0 e2 7 e3 E F UEF 2 0 1 0 1 2 0 0 7 XF 2 0 1 0 1 2 0 0 7 1 1 1T 1 3 7 XF f1 3 f2 7 f3 5 Seja OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC a Explique porque OA OB OC é uma base b Determine as coordenadas de AM nesta base A Se OABC é um tetraedro temos que necessariamente A B e C formam um plano sendo assim OA OB OC são LI como estamos definidos no R³ então OA OB e OC formam uma base B M B C2 M α OA β OB γ OC M α OA β OB γ OC α β γ O β 12 γ 12 α β γ 1 α 1 M OA 12 OB 12 OC 6 Se E e1 e2 e3 é uma base prove que F αe1 βe2 γe3 é base desde que α β e γ não sejam nulos Se E é uma base a1e1 a2e2 a3e3 0 a1 a2 a3 0 Para que F seja uma base αe1 βe2 γe3 têm que ser LI ou seja b1αe1 b2βe2 b3γe3 0 b1 b2 b3 0 Reescrevendo o sistema b1αe1 b2βe2 b3γe3 0 que por hipótese nos diz que b1α b2β b3γ 0 com α β γ 0 ou seja b1 b2 b3 0 Logo F também é uma base 7 Ache m de modo que u 1 2 2 seja combinação linear de v m 1 1 m 2 e w m 1 m 1 2 Em seguida determine m para que u v w seja LD u αv βw 1 αm 1 βm 1 2 α βm 1 2 αm 2 β2 0 mβ α 3β α 3β α mβ α i β α λ 1 2mλ 2 mλ 2 4mλ 2 mλ 3mλ 0 λ 0 ABS m 0 ii m 3 v 2 1 1 w 4 2 2 iii Consideremos o sistema αu βv γw 0 α βm 1 γm 1 0 d2 β γm 1 0 d2 βm 2 γ2 0 1 m1 m1 2 1 m1 2 m2 2 3mm 3 logo m R 03 temos que u v w serão LD