Atividade 3

Exercício 1 a Seja f ab R contínua e não decrescente Mostre que se E ab é não vazio então sup fE f sup E b Sejam a R e fg R R duas funções contínuas em a tais que fa ga Mostre que existe r 0 tal que fx gy para quaisquer xy a r a r Ou seja fa r a r g a r a r Exercício 2 Sejam fg 01 R funções contínuas satisfazendo inf fx inf gx x01 x01 Mostre que existe x₀ 01 tal que fx₀ gx₀ Exercício 3 Seja f R R uma função contínua em x 0 tal que f0 0 e fx₁ x₂ f x₁ f x₂ para quaisquer x₁x₂ R Mostre que f é uniformemente contínua Exercício 4 Suponha que f R R é uma função tal que fx 0 em R Mostre que se f é limitada então f é uma função constante Exercício 5 Sejam fg ab R integráveis tais que fx gx para todo x ab e que x ab fx gx seja enumerável Mostre que ₐᵇ fx dx ₐᵇ gx dx