Lista de Análise Real - Integral

Integrais 1 Seja f ab R definida pondo fx x quando x e racional e fx x1 quando x e irracional Calcule as integrais inferior e superior de f 2 Seja f aa R integravel Se f e uma funcao par prove que a a fxdx 2 a 0 fxdx 3 Sejam f ab R contınua e α β I ab derivaveis Defina ϕ I R pondo ϕx βx αx ftdt para todo x I Prove que ϕ e derivavel e ϕx fβxβx fαxαx 4 Se a funcao ϕ ab R e positiva e integravel entao b a ϕxdx 0Conclua que se fg ab R sao integraveis e fx gx para todo x ab entao b a fxdx b a gxdx 5 Se f ab R e integravel e fx K para todo x ab entao b a fxdx Kb a 15