Atividade Geometria Analítica e Álgebra Linear

MAPA GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Nome RA Data ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais desde a mecânica clássica até a economia e a biologia Considere o sistema a seguir E1 x 4y E2 2x 3y a Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2 b Qual o determinante da matriz de a c Qual a matriz inversa da matriz de a ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear T xy E1 E2 a Qual a transformação de 12 b Qual a transformação de 11 c Qual a transformação de 34 d Qual o Núcleo da TL e sua dimensão e Qual a imagem da TL e sua dimensão ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear Especificamente se A é uma matriz nn então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor a Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2 b Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2 c Sabendo que para ser estável todos os autovalores devem ser negativos o sistema é estável ou instável MAPA GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Nome RA Data ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais desde a mecânica clássica até a economia e a biologia Considere o sistema a seguir E1 x 4y E2 2x 3y a Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2 A matriz que representa os coeficientes do sistema é a 1 4 2 3 b Qual o determinante da matriz de a O determinante de a é det a13 4 2 det a38 det a11 Portanto o determinante de a é 11 c Qual a matriz inversa da matriz de a Podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a matriz inversa de uma matriz 2 x 2 a b c d 1 1 det a b c d d b c a Como já temos o determinante de a que é igual a 11 então 1 4 2 3 1 1 11 3 4 2 1 3 11 4 11 2 11 1 11 A matriz acima é a matriz inversa de a ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear T xy E1 E2 a Qual a transformação de 12 Basta multiplicar a matriz a pelo vetor coluna 1 2 1 4 2 3 1 2 114 2 213 2 9 4 Portanto a transformação de 12 é 94 b Qual a transformação de 11 Basta multiplicar a matriz a pelo vetor coluna 1 1 1 4 2 3 1 1 1 14 1 21 31 5 1 Portanto a transformação de 11 é 51 c Qual a transformação de 34 Basta multiplicar a matriz a pelo vetor coluna 3 4 1 4 2 3 1 1 1 34 4 23 34 13 18 Portanto a transformação de 34 é 1318 d Qual o Núcleo da TL e sua dimensão Para encontrar o núcleo fazemos o sistema ser igual a zero E1x14 x20 E22x13 x20 Da segunda equação 2 x13x2 O que é verdadeiro somente se x1x20 Então o núcleo da TL é igual ao vetor nulo 00 e sua dimensão consequentemente é zero e Qual a imagem da TL e sua dimensão Como sabemos que det a110 essa TL vai transformar cada um dos vetores do R 2 para outro vetor R 2 Isso significa que a imagem da TL é o próprio espaço R² e consequentemente sua dimensão é 2 ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear Especificamente se A é uma matriz nn então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor a Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2 Fazemos det aλI 0 e as raízes dessa equação são os autovalores da transformação det 1 4 2 3λ 1 0 0 10 det 1λ 4 2 3λ0 1λ 3λ 4 20 3λ3 λ λ 280 λ 22 λ110 Fazemos a fórmula de Bhaskara a1 b2 c11 λbb 24 ac 2a λ22 24 111 2 1 λ2444 2 λ248 2 λ22 43 2 λ22²3 2 λ123 Então há dois autovalores para essa transformação λ1123 λ2123 b Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2 O seguinte sistema matricial deve ser resolvido aλI x0 Já temos aλI 1λ 4 2 3λ x1 x2 0 0 Fazendo a multiplicação da primeira linha 1λ x14 x20 x14 x2 1λ x1 4 x2 λ1 Substituindo o primeiro autovalor x1 4 x2 1231 x1 4 x2 223 Racionalizando x1 4 x2 223 223 223 x1 x2 883 8 x1x213 Então fazendo x21 x113 Então o primeiro autovetor é v1131 Substituindo o segundo autovalor x1 4 x2 1231 x1 4 x2 223 Racionalizando x1 4 x2223 223 223 x1 x2 883 8 x1x213 Então fazendo x21 x113 Então o segundo autovetor é v1131 c Sabendo que para ser estável todos os autovalores devem ser negativos o sistema é estável ou instável O segundo autovalor é claramente negativo λ2123 Porém sabendo que 3173 o primeiro autovalor é λ1121730 Então os autovalores têm sinais opostos e não são ambos negativos Portanto o sistema não é estável mas sim instável