En 435 Mata 12ano 2005 2f

3. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico. Considere que um ponto P parte de A(1, 0) e se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta OA e cujo lado extremidade é a semi-recta OP (x ∈ [0, 2π]). Seja g a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área da região sombreada (região limitada pelos segmentos de recta [OP], [PA] e [AO]). Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função g? (A) (B) (C) (D) 435.V1/4 4. Na figura estão representadas partes dos gráficos de duas funções polinomiais, g e h, ambas de domínio ℝ. Qual das expressões seguintes pode definir uma função f, de domínio ℝ, tal que f × g = h? (A) x - 1 (B) -x + 1 (C) x + 1 (D) -x - 1 5. Considere duas caixas, A e B, cada uma delas contendo quatro bolas numeradas, tal como a figura abaixo ilustra. Caixa A: 1, 2, 4, 6; Caixa B: 3, 5, 7, 8. Extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Multiplicam-se os números das três bolas retiradas. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um número par? (A) 0 (B) 1 (C) \( \frac{2 imes 1}{^4C_2 \times ^4C_1} \) (D) \( \frac{3^4C_2 \times ^4C_1}{^4C_2 \times ^4C_1} \) V.S.F.F. 435.V1/5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Em 𝐂, conjunto dos números complexos, considere w_1 = 1 + i, w_2 = √2 cis π/12 e w_3 = √3 cis (-π/2) 1.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de (w_1 x w_2 - 2)/w_3 Apresente o resultado na forma algébrica. 1.2. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição Re(z) ≥ Re(w_1) ∧ |z - w_3| ≤ √3 2. O João tem catorze discos de música ligeira: • seis são portugueses; • quatro são espanhóis; • três são franceses; • um é italiano. 2.1. O João pretende seleccionar quatro desses catorze discos 2.1.1. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos seleccionados sejam de quatro países diferentes, ou seja, um de cada país? 2.1.2. Quantos conjuntos diferentes pode o João fazer, de tal modo que os quatro discos seleccionados sejam todos do mesmo país? 2.2. Considere agora a seguinte experiência: o João selecciona, ao acaso, quatro dos catorze discos. Seja X a variável aleatória: «número de discos italianos seleccionados». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fracção irredutível. V.S.F.F. 435.V1/7 3. Na figura está representada a trajectória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada por um jogador da seleção portuguesa, durante um treino de preparação para o EURO-2004. Desinou-se por a a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontapeada e o ponto onde ela caiu. Considere a função h definida em [0, a] por h(x) = 2x + 10 ln(1 - 0,1x) ( ln designa logaritmo de base e ) Admita que h(1x) é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a x metros do local onde foi pontapeada. 3.1. Recorreando à calculadora, determine o valor de a, arredondado às centésimas. Explique como procedeu, apresentando todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. 3.2. Sem utilizar a calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, estude a função h quanto à monotonia e conclua qual foi a maior altura que a bola atingiu, relativamente ao solo, depois de pontapeada. Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas. 3.3. Sem utilizar a calculadora, mostre que a taxa de variação média da função h, no intervalo [1, 3] , é ln [ e^2 ( 7/9 )^5 ] 435.V1/8 4. Seja f a função, de domínio [0, 2π], definida por f(x) = sen x 4.1. Na figura junta estão representados: • o gráfico da função f ; • duas rectas, r e s, tangentes ao gráfico de f, nos pontos de abcissas a e b, respectivamente. Prove que, se a + b = 2π, então as rectas r e s são paralelas. 4.2. Sem recorrer à calculadora, estude, quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, a função g, de domínio ]0, 2π[\{π}, definida por g(x) = x/f(x) 5. No início de 1972, havia quatrocentos lobos num determinado parque natural. As medidas de protecção a lobos fizeram com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que o número de lobos cresça até bastante perto de um milhar, mas não permitem que este valor seja ultrapassado. Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função P que dá o número aproximado de lobos existentes no parque natural, t anos após o início de 1972. (A) \(\frac{1000}{1+e^{-0,5t}}\) (B) \(\frac{1000}{1+1,5e^{-0,5t}}\) (C) \(\frac{1200}{1+e^{-t}}\) (D) \(1000-\frac{600(t^3+1)}{e^t}\) Qual é a expressão correcta? Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique as razões que o levam a rejeitar as outras três expressões (apresente três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada). Nota: poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora. Se o fizer, deve reproduzir o(s) gráfico(s) obtido(s). FIM V.S.F.F. 435.V1/9 COTAÇÕES Grupo I ............................................................................................. 63 Cada resposta certa ........................................................................ +9 Cada resposta errada ................................................................. - 3 Cada questão não respondida ou anulada ...................................... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II .......................................................................................... 137 1. ......................................................................................................... 21 1.1. ...............................................................................................12 1.2. .................................................................................................9 2. .......................................................................................................... 32 2.1. ..............................................................................................18 2.1.1. ...................................................................................... 2.1.2. .................................................................................. 10 2.2. ............................................................................................. 14 3. ......................................................................................................... 42 3.1. .............................................................................................. 14 3.2. .............................................................................................. 14 3.3. ............................................................................................... 14 4. ......................................................................................................... 28 4.1. .............................................................................................. 14 4.2. .............................................................................................. 14 5. ......................................................................................................... 14 TOTAL .................................................................................................. 200 435.V1/10