En 435 Mata 12ano 2002 2f

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO\n12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)\nCursos Gerais e Cursos Tecnológicos\nDuração da prova: 120 minutos\n2002\nPROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA\nVERSÃO 1\nNa sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova.\nA ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I.\nV.S.F.F.\n435.V1/1 A prova é constituída por dois Grupos, I e II.\n• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.\n• O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez.\nNa página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha.\n435.V1/2 Grupo I\n• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.\n• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.\n• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.\n• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.\n• Não apresente cálculos.\n1. Na figura estão parcialmente representados os gráficos de duas funções polinomiais, r e s.\nQual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função r/s?\n(A) R (B) R\\{0}\n(C) R\\{-1, 1} (D) R\\{-1, 0, 1}\nV.S.F.F.\n435.V1/3 Seja f uma função de domínio R. Na figura está representada parte do gráfico de f'', segunda derivada da função f.\n\nRelativamente ao gráfico da função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? \n\n(A) O ponto de abscissa a é um ponto de inflexão.\n(B) O ponto de abscissa c é um ponto de inflexão.\n(C) A concavidade está voltada para baixo no intervalo [0, b].\n(D) A concavidade está sempre voltada para cima.\n\nConsidere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r: Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se a distância de 2 unidades da recta r.\n\nSeja d(α) a distância de P à r, após uma rotação de amplitude α.\n\nQual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α?\n\n(A) d(α) = 1 + cos α (B) d(α) = 2 + sen α\n(C) d(α) = 1 - cos α (D) d(α) = 2 - sen α\n\n435.V1/4 Considere, num referencial o n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular de altura 1, cuja base está contida no plano xOy.\n\nPara cada c ∈ [0, 1], seja V(c) o volume da parte da pirâmide constituída pelos pontos cuja cota é superior ou igual a c.\n\nQual dos gráficos seguintes pode ser o da função V ?\n\n(A) (B)\n(C) (D)\n\nV.S.F.F.\n435.V1/5 Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dos quais dois são de Astronomia. De quantas maneiras diferentes podemos fazer, de tal forma que os dois primeiros livros, do lado esquerdo, sejam os de Astronomia?\n\n(A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 60\n\nNa figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na figura B.\n\nLança-se este dado duas vezes. Considera as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência:\n\nX1: número saído no primeiro lançamento.\nX2: quadrado do número saído no segundo lançamento.\nX3: soma dos números saídos nos dois lançamentos.\nX1: produto dos números saídos nos dois lançamentos.\n\nUma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades:\n\nValores da variável | 2 | 0 | 1 |\nProbabilidades | 2/9 | 5/9 | 2/9 |\n\nQual delas?\n\n(A) X1 (B) X2 (C) X3 (D) X1\n\nNa figura está representado um rectângulo, de comprimento 4 e largura 2, centrado na origem do plano complexo.\n\nSeja z um número complexo qualquer, cuja imagem geométrica está situada no interior do rectângulo.\n\nQual dos seguintes números complexos tem também, necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do rectângulo?\n\n(A) z⁻¹ (B) \u0304z (C) z² (D) 2z\n\n435.V1/6 Grupo II\n\nNas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçãoes necessárias.\nAtenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.\n\n1. Em \\mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere\nz1 = 1 + i (i designa a unidade imaginária).\n\n1.1. Determine os números reais b e c para os quais z1 é raiz do polinómio x² + bx + c.\n\n1.2. Seja z2 = cisiα.\nCalcule o valor de α, pertencente ao intervalo [0, 2π], para o qual z1 × z2 é um número real negativo (z2 designa o conjugado de z2).\n\n2. Considere as funções f e g, de domínio \\mathbb{R}, definidas por\nf(x) = \\frac{1}{3} e^{-1-x} \n\ng(x) = 2 sin x - cos x\n\n2.1. Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes:\n\n2.1.1. Estude a função f quanto à existência de assimptotas paralelas aos eixos coordenados.\n\n2.1.2. Resolva a equação f(x) = g(π), apresentando a solução na forma ln(k e), onde k representa um número real positivo.\n\n(ln designa logaritmo de base e)\n\n2.2. Recorriendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f(x) > g(x), no intervalo [0, 2π]. Explique como proceedeu.\n\nV.S.F.F.\n\n435.V/1/7 3. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.\n\n3.1. Mostre que a área total da embalagem é dada por\nA(x) = \\frac{2x^3 + 8}{x}\n(x é o comprimento da aresta da base, em dm)\nNota: recorde que 1 litro = 1 dm³\n\n3.2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima e determine-o.\n\n4. Seja f uma função de domínio \\mathbb{R}, com derivada finita em todos os pontos do domínio, e crescente.\nSejam a e b dois quaisquer números reais. Considera as rectas r e s, tangentes ao gráfico f nos pontos de abscissa a e b, respectivamente. Prove que as rectas r e s não podem ser paralelas.\n\n5. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valete.\n\n5.1. Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.\n\n5.2. De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam E1, C2 e F2 os acontecimentos:\nE1: sair Espadas na primeira extração;\nC2: sair Copas na segunda extração;\nF2: sair uma figura na segunda extração.\n\nSem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de P((F2 ∩ C2) | E1). Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique o raciocínio que efetuo. O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de P((F2 ∩ C2) | E1), no contexto da situação descrita.\n\nFIM\n\n435.V/1/8 Grupo I............................................................................63\nCada resposta certa ................................................................ +9\nCada resposta errada.............................................................. -3\nCada questão não respondida ou anulada................................. 0\nNota:\nUm total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.\n\nGrupo II...........................................................................137\n1. ............................................................................. 21\n1.1. ...........................................................................10\n1.2. ...........................................................................11\n\n2. ............................................................................. 49\n2.1. ..........................................................................33\n2.1.1. ........................................................................16\n2.1.2. ........................................................................17\n2.2. ........................................................................16\n\n3. ............................................................................. 27\n3.1. ........................................................................10\n3.2. ........................................................................17\n\n4. ............................................................................. 10\n\n5. ............................................................................. 30\n5.1. .........................................................................15\n5.2. .........................................................................15\n\nTOTAL ..........................................................................200\n\nV.S.F.F.\n\n435.V/1/9 Formulário\nÁreas de figuras planas\nLosango: Diagonal maior x Diagonal menor\n2\nTrapézio: Base maior + Base menor\n2 x Altura\nPolígono regular: Semiperímetro x Apótema\nCírculo: π r² (r - raio)\n\nÁreas de superficies\nÁrea lateral de um cone: π r g\n(r - raio da base; g - geratriz)\nÁrea de uma superfície esférica: 4 π r²\n(r - raio)\n\nVolumens\nPrisma: Área da base x Altura\nCilindro: Área da base x Altura\nPirâmide: 1/3 Área da base x Altura\nEsfera: 4/3 π r³ (r - raio)\n\nTrigonometria\nsen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a\ncos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b\ntg (a + b) = tg a + tg b\n1 - tg a . tg b\n\nComplexos\n(ρ cis θ).(ρ' cis θ') = ρρ' cis(θ + θ')\nρ cis θ = ρ/cis θ' - ρ/cis θ'\n(ρ cis θ) = ρ² cis (2θ)\n√ ρ cis θ = √ρ cis(θ/2 + k.2π/n), k ∈ {0, ..., n - 1}\n\nProgressões\nSoma dos n primeiros termos de uma\nProg. Aritmética: u₁ + uₙ\n2 x n\nProg. Geométrica: u₁ 1 - rⁿ\n1 - r\n\nRegras de derivação\n(u + v)' = u' + v'\n(uv)' = u'v + u.v'\n(uu)' = u' u + u.v'\n(x^n)' = n.x^(n - 1) (n ∈ R)\n(sen u)' = u' . cos u\n(cos u)' = -u' . sen u\n(tg u)' = u'/(cos u)²\n(e^y)' = u'. e^y\n(ln u)' = u'/u\n(log_a u)' = u'/(u . ln a) (a ∈ R+ \\ {1})\n\nLimites notáveis\nlim sen x/x = 1\nx→0\nlim (x-1)/(x-1) = 1\nx→0\nlim ln(x+1)/x = 1\nx→0\nlim x^p/x^p = +∞ (p ∈ R)\n\n435.V1/11