En 435 Mata 12ano 2005 Ee

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO\n12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 268/89, de 29 de Agosto)\nCursos Gerais e Cursos Tecnológicos\nDuração da prova: 120 minutos\nPROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA\nVERSÃO 1\nNa sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova.\nA ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I.\nA prova é constituída por dois Grupos, I e II.\n• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.\n• O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez.\nV.S.F.F.\n435 Grupo I\n• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.\n• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.\n• Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão.\n• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.\n• Não apresente cálculos, nem justificações.\n1. Considere a função f, de domínio R\\{3}, definida por f(x) = x−2/x−3\nEm cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações. Em qual das opções as duas equações definem as assintotas do gráfico de f?\n(A) x = 2 e y = 1\n(B) x = 2 e y = 2\n(C) x = 3 e y = 1\n(D) x = 3 e y = 2\n2. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por\nf(x) = { k + sen x se x ≤ 0\n 3x + ln(1+x)/x se x > 0\nQual é o valor de k ?\n(A) 1\n(B) 2\n(C) 3\n(D) 4 3. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua derivada é dada por f′(x) = x³ − 3x + 1.\nEm qual dos conjuntos seguintes o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo?\n(A) ]−1, 1[\n(B) ]−∞, −1[\n(C) ]0, 3[\n(D) ]−∞, 0[\n4. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e^(ax) + 1 (a é uma constante real positiva).\nNa figura está também representada a recta r, que é tangente ao gráfico de f no ponto em que este intersecta o eixo OY.\nA recta r intersecta o eixo Ox no ponto de abscissa − 6.\nQual é o valor de a?\n(A) 1/2\n(B) 1/3\n(C) 2/3\n(D) 3/2 Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes. Seja X a variável aleatória que designa o \"número de vezes que, nesses dois lançamentos, sai face par\". A distribuição de probabilidades da variável X é: xi 0 1 2 P(X=xi) 1/4 a b Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a = 1/4 e b = 1/2 (B) a = 1/4 e b = 1/4 (C) a = 1/2 e b = 1/4 (D) a = 1/2 e b = 1/2 Escolhe-se, ao acaso, um aluno de uma turma de uma escola secundária. Consideres os acontecimentos: A: \"o aluno é uma rapariga\" B: \"o aluno não usa óculos\" Qual é o acontecimento contrário de A ∪ B? (A) O aluno é um rapaz e usa óculos (B) O aluno é um rapaz e não usa óculos (C) O aluno é um rapaz ou usa óculos (D) O aluno é um rapaz ou não usa óculos Considere, no plano complexo, um ponto A, imagem geométrica de um certo número complexo z. Sabe-se que A não pertence a qualquer um dos eixos do plano complexo. Seja B o ponto simétrico do ponto A, relativamente ao eixo imaginário. Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o ponto B? (A) z (B) 1/z (C) -z (D) -z. 5. Na figura estão representadas uma semi-reta \\( \\overline{AB} \\) e uma circunferência de centro \\( O \\) e raio 1 (os pontos \\( O, A \\) e \\( B \\) são colineares; o ponto \\( A \\) pertence à circunferência).\n\nConsidere que um ponto \\( P \\) se desloca ao longo da semi-reta \\( \\overline{AB} \\), nunca coincidindo com o ponto \\( A \\).\nOs pontos \\( R \\) e \\( S \\) acompanham o movimento do ponto \\( P \\), de tal forma que as retas \\( \\overline{PR} \\) e \\( \\overline{PS} \\) são sempre tangentes à circunferência, nos pontos \\( R \\) e \\( S \\), respectivamente.\nSeja \\( \\alpha \\) a amplitude, em radianos, do ângulo \\( SOR \\) (\\( \\alpha \\in ]0, \\pi[ \\)).\n\n5.1. Mostre que a área do quadrilátero \\( [ORPS] \\) é dada, em função de \\( \\alpha \\), por \\( f(\\alpha) = tg(\\left( \\frac{\\alpha}{2} \\right) \\).\n\n5.2. Calcule \\( \\lim_{\\alpha \\to \\pi} f(\\alpha) \\) e interprete geometricamente o resultado obtido.\n\n5.3. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema:\nQual é o valor de \\( \\alpha \\) para o qual a área do quadrilátero \\( [ORPS] \\) é igual à área da região sombreada?\n\nApresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às décimas.\n\nFIM COTAÇÕES\n\nGrupo I ..................................................................................... 63\nCada resposta certa ................................................................ +9\nCada resposta errada ............................................................... -3\nCada questão não respondida ou anulada ............................... 0\n\nNota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.\n\nGrupo II ...................................................................................... 137\n\n1 .................................................................................................. 21\n1.1 ............................................................................................. 11\n1.2 ............................................................................................. 10\n\n2 .................................................................................................. 32\n2.1 ............................................................................................. 22\n2.1.1 .......................................................................................... 10\n2.1.2 .......................................................................................... 12\n2.2 ............................................................................................. 10\n\n3 .................................................................................................. 29\n3.1 ............................................................................................. 15\n3.2 ............................................................................................. 14\n\n4 .................................................................................................. 15\n\n5 .................................................................................................. 40\n5.1 ............................................................................................. 12\n5.2 ............................................................................................. 14\n5.3 ............................................................................................. 14\n\nTOTAL ................................................................................... 200