En 435 Mata 12ano 2001 1f Cha2

PROVA 435/10 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos 2001 1.ª FASE 2.ª CHAMADA VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. • O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. • O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de dez. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2 Grupo I • As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos. 1. Seja h a função, de domínio R , definida por 1 + e^x , se x < 0 h(x) = 2 , se x = 0 3x + 2 , se x > 0 Relativamente à continuidade da função h, no ponto 0, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) É contínua (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda (D) É descontínua à esquerda e à direita 2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio R, definida por g(x) = f(x) - 2 Quantos são os zeros da função g? (A) um (B) dois (C) três (D) quatro V.S.F.F. 435.V1/3 3. Na figura estao representados, em referencial o.n.: xOy: um quarto de circulo, de centro na origem e raio 1 uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0) um ponto A pertencente a esta semi-recta um angulo de amplitude a, cujo lado origem e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade e a semi-recta OA. Qual das expressoes seguintes da a area da regiao sombreada, em funcao de a? (A) \frac{\pi}{4} + \frac{\tan \alpha}{2} (B) \frac{\pi}{4} + \frac{2}{\tan \alpha} (C) \pi + \frac{\tan \alpha}{2} (D) \pi + \frac{2}{\tan \alpha} 4. Considere as funcoes f e g, de dominio R, definidas por f(x) = 2^x e g(x) = 3^x Qual e o conjunto solucao da inequacao f(x) > g(x) ? (A) Conjunto vazio (B) R^{-} (C) R^{+} (D) R 5. Num curso superior existem dez disciplinas de indole literaria, das quais tres sao de literatura contemporanea. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso. Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de literatura contemporanea? (A) 3\binom{C}{2} + 7\binom{C}{4} \times \binom{C}{3} (B) 3\binom{C}{2} + 7\binom{C}{4} + 7\binom{C}{3} (C) 3\binom{C}{2} \times 7\binom{C}{4} \times 7\binom{C}{3} (D) 3\binom{C}{2} \times 7\binom{C}{4} + 7\binom{C}{3} 435.V1/4 6. Seja E o espaco de resultados associado a uma certa experiencia aleatoria. Sejam A e B dois acontecimentos (A \subset E e B \subset E). Tem-se que: P(A \cap B) = 10% P(A) = 60% P(A \cup B) = 80% Qual e o valor da probabilidade condicionada P(A|B)? (A) \frac{1}{5} (B) \frac{1}{4} (C) \frac{1}{3} (D) \frac{1}{2} 7. Na figura esta representado, no plano complexo, um heptagono regular inscrito numa circunferencia de centro na origem e raio 1. Um dos vertices do heptagono pertence ao eixo imaginario. Os vertices do heptagono sao, para um certo numero natural n, as imagens geometricas das raizes de indice n de um numero complexo z. Qual e o valor de z ? (A) 1 + i (B) 1 - i (C) i (D) - i V.S.F.F. 435.V1/5 Grupo II Nas questoes deste grupo apresente o seu raciocinio de forma clara, indicando todos os calculos que tiver de efectuar e todas as justificacoes necessarias. Atencao: quando nao e indicada a aproximacao que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Em C, conjunto dos numeros complexos, seja z_1 = 4i (i designa a unidade imaginaria). 1.1. No plano complexo, a imagem geometrica de z_1 e um dos quatro vertices de um losango de perimetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os numeros complexos cujas imagens geometricas sao os restantes vertices do losango. 1.2. Sem recorrer a calculadora, resolva a equacao (\sqrt{2} cis \frac{-\pi}{4})^2 \cdot z = 2 + z_1 Apresente o resultado na forma algebrica. 2. Considere que a altura A (em metros) de uma crianca do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em funcao do seu peso p (em quilogramas), por A(p) = 0,52 + 0,55 \ln(p) (ln designa logaritmo de base e) Recorrendo a metodos analiticos e utilizando a calculadora para efectuar calculos numericos, resolva as duas alineas seguintes. 2.1. O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estao de acordo com a igualdade referida, qual sera o seu peso? Apresente o resultado em quilogramas, arredondado as unidades. Nota: sempre que, nos calculos intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no minimo, duas casas decimais. 2.2. Verifique que, para qualquer valor de p, a diferenca A(2p) - A(p) e constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais) e interprete esse valor, no contexto da situacao descrita. 435.V1/6 Formulário Áreas de figuras planas Lozango: \( \frac{Diagonal \ maior \times Diagonal \ menor}{2} \) Trapézio: \( \frac{Base \ maior + Base \ menor}{2} \times Altura \) Polígono regular: \( Semiperímetro \times Apótema \) Círculo: \( \pi r^2 \quad (r = raio) \) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: \( \pi rg \) \((r = raio \ da \ base, \ g = geratriz) \) Área de uma superfície esférica: \(4 \pi r^2\) \( (r = raio) \) Volumes Prisma: \( \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Cilindro: \( \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Pirâmide: \( \frac{1}{3} \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Cone: \( \frac{1}{3} \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Esfera: \( \frac{4}{3} \pi r^3 \quad (r = raio) \) Trigonometria \(\sen(a + b) = \sen a \cdot \cos b + \sen b \cdot \cos a \) \(\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b \) \(\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \cdot \tg b} \) Complexos \( (\rho cis \theta) \cdot (\rho' cis \theta') = \rho \rho' cis(\theta + \theta') \) \( \frac{\rho cis \theta}{\rho' cis \theta'} = \frac{\rho}{\rho'} cis(\theta - \theta') \) \( (\rho cis \theta)^n = \rho^n cis(n \theta) \) \( \sqrt[n]{\rho \text{cis} a} = \sqrt[n]{\rho} \text{cis} \frac{a + 2k\pi}{n}, \quad k \in \{0, \ldots, n - 1 \} \) Progressões Soma dos n primeiros termos de uma Prog. Aritmética: \( \frac{u_1 + u_n}{2} \times n \) Prog. Geométrica: \( u_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \) Regras de derivação \( (u + v)' = u' + v' \) \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \) \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2} \) \( (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \quad (n \in \mathbb{R}) \) \( (\sen u)' = u' \cdot \cos u \) \( (\cos u)' = - u' \cdot \sen u \) \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) \( (e^u)' = u' \cdot e^u \) \( (a^u)' = u' \cdot a^u \ln a \quad (a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}) \) \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) \( (\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a} \quad (a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}) \) Limites notáveis \( \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^p} = + \infty \quad (p \in \mathbb{R}) \) 435.V1/11