Atividade Cálculo

Exercício 11 Esboce a região limitada pelas curvas y x² 3x 0 x 5 e encontre sua área Exercício 12 Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área R xy R² 0 y sen x 0 x 2π Exercício 13 Represente a área da região R por uma integral onde R é a região de interseção dos círculos x² y² 4 e x 2² y 2² 4 Exercício 14 Determine m de modo que a área da região acima da reta y mx e abaixo da parábola y 2x x² seja 36 Exercício 15 Determine o volume do sólido S tal que a base de S é a região limitada pela parábola y 1 x² e pelo eixo x e as seções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com altura igual à base Exercício 16 Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y x23 x 1 y 0 em torno do eixo y Exercício 17 Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y 4x 2² y x² 4x 7 em torno do eixo y Exercício 18 Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por y x x 2 x 4 y 0 ao redor da reta x 1 Exercício 19 Seja S o toro gerado pela rotação do círculo x R² y² r² ao redor do eixo y Construa as integrais que representam o volume do S pelo método das seções transversais e pelo método das cascas cilíndricas Exercício 110 Calcule o comprimento da curva x y48 14y² 1 y 2 Exercício 111 Determine o centróide da região limitada por x² y² 1 x² y² 4 x 0 y 0 Exercício 112 Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas y 1 x 0 x 1 em torno do eixo y Exercício 113 Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma partícula ao longo da elipse 9x² 4y² 24y 0 com ponto inicial 2 3 e percorrida no sentido antihorário Exercício 114 Determine o comprimento da curva C xt 2t sen t yt 21 cos t t 02π Exercício 11 Esboce a região limitada pelas curvas y x² 3x 0 x 5 e encontre sua área Para esboçar a região vamos encontrar os zeros da função y x² 3x x² 3x 0 xx 3 0 x 0 ou x 3 O gráfico intersecta o eixo x em x 0 e x 3 Queremos a área da região destacada em vermelho uma vez que 0 x 5 O cálculo da área será dado pela seguinte integral A ₀³ x² 3x dx ₃⁵ x² 3x dx Resolvendo A x³3 3x²2 ₀³ x³3 3x²2 ₃⁵ 3³3 33²2 0³3 30²2 5³3 35²2 3³3 33²2 273 272 1253 752 273 272 713 212 1426 636 796 Portanto a área da região dada é de 796 Exercício 12 Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área R xy R² 0 y sen x 0 x 2π A função y sen x nos proporciona o seguinte gráfico Sendo assim y sen x iria abranger apenas a parte positiva da função seno ou seja y sen x Analisando esses gráficos podemos deduzir que 0 y sen x onde 0 x 2π será a região dada por Sua área será calculada por meio da seguinte integral por 2 ₀²π sen x dx Calculando obtemos A 2 ₀²π senx dx 2 cosx₀²π 2 cosπ cos0 2 1 1 2 1 1 22 4 Portanto a área da região é 4 Exercício 13 Represente a área da região R por uma integral onde R é a região de interseção dos círculos x2 y2 4 e x 22 y 22 4 A equação x2 y2 4 representa um círculo de centro na origem e raio 2 A equação x 22 y 22 4 representa um círculo de centro 2 2 e raio 2 Representandoos graficamente fica mais interessante sua análise A interseção ocorre no 1 quadrante então x2 y2 4 y2 4 x2 Como queremos a parte acima do eixo x segue que y 4 x2 x 22 y 22 4 y 22 4 x 22 y 22 4x x2 y 22 4x x2 Queremos a parte inferior dessa circunferência ou seja y 2 4x x2 y 4x x2 2 Em ambos os casos 0 x 2 Logo a área da região R é representada por A 02 4 x2 4x x2 2 dx Ou ainda A 02 4 x2 4x x2 2 dx Exercício 14 Determine m de modo que a área da região acima da reta y mx e abaixo da parábola y 2x x2 seja 36 O enunciado nos faz deduzir que a região é limitada inferiormente por y mx e superiormente por y 2x x2 Sendo assim A ab 2x x2 mx dx Fazendo a interseção entre a reta e a parábola obtemos a e b 2x x2 mx x2 2x mx 0 x2 2 mx 0 xx 2 m 0 x 0 ou x 2 m Logo 02m 2x x2 mx dx 36 Resolvendo 02m 2x x2 mx dx 2x22 x33 mx2202m 2 m2 2 m33 m2 m22 62 m26 22 m36 3m2 m26 2 m2 6 22 m 3m6 2 m2 6 4 2m 3m6 2 m2 2 m6 2 m36 Logo 2 m36 36 2 m3 216 2 m 216 2 m 6 m 2 6 m 4 Portanto para a área entre as regiões dados ser 36 o valor de m é 4 Exercício 15 Determine o volume do sólido S tal que a base de S é a região limitada pela parábola y 1 x2 e pelo eixo x e as seções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com altura igual à base Esboço da região y 1 x2 1 x2 0 x 1 O cálculo do volume será dado pela integral V ab Ax dx Sabendo que a altura e a base da seção transversal a são ambas y 1 x2 segue que Ax 1 x21 x22 1 x22 2 1 2x2 x4 2 Sendo assim V 11 1 2x2 x4 2 dx 12 x 2x33 x5511 12 1 23 15 12 1 23 15 12 13 110 12 13 110 1 23 15 15 10 3 15 815 Portanto o volume de S é 815 O cálculo do volume para este caso será dado por V ab Aydy Esboço da região A interseção entre y x23 e x 1 ocorre no ponto 11 Logo a 0 e b 1 A área será dada por Ay π y322 π y3 Logo V 01 π y3 dy π 01 y3 dy π y44 from 0 to 1 π4 Inicialmente é válido determinar o intervalo de variação de x por meio da interseção das regiões Para isso precisamos ainda analisar qual a maior delas As raízes de y 4x22 são reais enquanto as de y x2 4x 7 são complexas No primeiro caso o gráfico toca o eixo x enquanto no não ocorre no segundo Então a região fica abaixo de y x2 4x 7 e acima de y 4x22 Logo x2 4x 7 4x22 x2 4x 7 4x2 4x 4 Δ 16 12 4 x2 4x 7 4x2 16x 16 x1 4 22 22 1 x2 4x2 12x 7 16 0 3x2 12x 9 0 3 x2 4 2 2 62 3 x2 4x 3 0 Pelo método das cascas cilíndricas V ab 2π x fx dx Daí V 2π 13 x 3x2 12x 9 dx 2π 13 3x3 12x2 9x dx 2π 3x44 12x33 9x22 from 1 to 3 2π 3814 12273 992 2π 34 123 92 2π 2404 3123 722 2π 60 104 36 2π8 16π Portanto o volume do sólido é 16π Esboço da região Para 0 y 2 teremos uma região onde a área é dada por A1y π 412 π 212 Para 2 y 4 teremos uma região onde a área é dada por A2y π 412 π y12 Sendo assim o volume do sólido gerado será V 01 A1y dy π 02 412 212 dy π 24 412 y12 dy π 02 8 dy π 24 9 y2 2y 1 dy π 8y from 0 to 2 π 8y y33 y2 from 2 to 4 π16 π32 643 16 16 83 4 16π π 28 563 16π 283 π 76π3 Portanto V 76π3 Exercicio 19 Seja S o toro gerado pela rotacao do circulo x R2 y2 r2 ao redor do eixo y Construa as integrais que representam o volume do S pelo metodo das secoes transversais e pelo metodo das cascas cilindricas Secoes transversais x R2 y2 r2 x R2 r2 y2 x R raiz de r2 y2 x R raiz de r2 y2 Sendo V pi integral de a ate b r2 dy segue que V pi integral de r ate r R raiz de r2 y22 R raiz de r2 y22 dy pi integral de r ate r R2 2R raiz de r2 y2 r2 R2 2R raiz de r2 y2 r2 dy pi integral de r ate r 4R raiz de r2 y2 dy 4pi R integral de r ate r raiz de r2 y2 dy Metodo das cascas cilindricas Para esse metodo temos o volume dado por V 2pi integral de a ate b r h dx Assim y raiz de r2 x R2 Logo h raiz de r2 x R2 raiz de r2 x R2 2 raiz de r2 x R2 A integral do volume fica portanto V 2pi integral de R r ate R r x h dx 2pi integral de R r ate R r 2x raiz de r2 x R2 dx 4pi integral de R r ate R r x raiz de r2 x R2 dx Exercicio 110 Calcule o comprimento da curva x y48 14y2 1 y 2 Podemos calcular o comprimento dessa curva por meio da seguinte integral L integral de a ate b raiz de 1 dxdy2 dy Efetuando os calculos para aplicar na integral x y48 14y2 pode ser expresso como x y48 y24 Daí dxdy 4y38 2y34 y32 y32 y32 12y3 Como 1 y 2 segue que L integral de 1 ate 2 raiz de 1 y32 12y32 dy E possivel reescrever o integrando raiz de 1 y322 2y3212y3 12y32 raiz de 1 y64 12 14y6 raiz de y64 12 14y6 raiz de y12 2y6 1 4y6 raiz de y6 12 2y3 y6 1 2y3 y62y3 12y3 y32 y32 Logo a integral do comprimento sera reescrita como L integral de 1 ate 2 y32 y32 dy y48 y2412 248 224 18 14 168 116 18 116 3216 116 216 416 3316 Portanto o comprimento da curva é 3316 Exercicio 111 Determine o centroide da regiao limitada por x2 y2 1 x2 y2 4 x 0 y 0 Inicialmente precisamos determinar a area dessa regiao que sera dada pela diferenca entre o circulo maior e o menor A pi r2 A1 pi 12 pi e A2 pi 22 4 pi A 4 pi pi 3 pi Precisamos agora encontrar duas integrais uma em relacao a x e outra um relacao a y recorrendo as equacoes em forma de funcoes y raiz de 1 x2 e y raiz de 4 x2 Sabendo que a formula geral para o centroide de uma regiao plana é dada por xbar ybar 1A integral sobre K x dy dx 1A integral sobre K y dy dx Podemos efetuar os devidos calculos xbar 1A integral sobre K x dy dx Por coordenadas polares sera mais simples de resolver a integral Como x 0 e y 0 o angulo varia de 0 a pi2 a serq 0 theta pi2 O raio nesse caso ira variar de 1 ate 2 Sendo xbar r costheta segue que integral dupla sobre K x dy dx integral de 0 ate pi2 integral de 1 ate 2 r cos theta r dr d theta integral de 0 ate pi2 integral de 1 ate 2 r2 cos theta dr d theta integral de 0 ate pi2 r33 cos theta de 1 ate 2 d theta integral de 0 ate pi2 83 cos theta 13 cos theta d theta integral de 0 ate pi2 73 cos theta d theta 73 integral de 0 ate pi2 cos theta d theta 73 sin theta0pi2 73 sinpi2 73 sin 0 73 Vimos que a area de toda a regiao e 3 pi mas queremos apenas a area referente ao primeiro quadrante ou seja A 3 pi 4 Assim xbar 1 3 pi 4 73 43 pi 73 28 9 pi Analogamente para ȳ ȳ 1A R y dy dx R y dy dx 02 0 π2 r² sin θ dr dθ 0 π2 r² cos θ 02 dθ 0 π2 r² dθ r³3 12 83 13 73 Como 1A 43π segue que ȳ 43π 73 289π Portanto o centroide da região dada é x ȳ 289π 289π Abaixo deixa um esboço da região analisada imagem do gráfico com área em destaque Exercício 112 Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas y1x 0 x 1 em torno do eixo y A área de uma superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo y é dada por A ab 2π fy 1 fy² dy Sendo fy 1y segue que fy 1 Substituindo na integral A ab 2π 1y 1 1² dy ab 22 π 1y dy Para determinar o intervalo consideremos 0 x 1 onde 0 x 1 1 x 0 11 1x 10 0 y 1 Logo A 22 π 011y dy 22 π y y²201 22 π 1 12 22 π 2 π 2 π Exercício 113 Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma partícula ao longo da elipse 9x² 4y² 24y 0 com ponto inicial 23 e percorrida no sentido antihorário Para parametrizar a elipse vamos colocar sua equação na forma reduzida Para isso serão necessárias algumas manipulações na equação dada no enunciado 9x² 4y² 24y 0 9x² 2y² 226y 6² 6² 0 9x² 2y 6² 36 0 9x² 2y 6² 36 36 9x²36 2y 6²36 1 x²4 2y 66² 1 x2² y 33² 1 Sabendo que sin²t cos²t 1 teremos x2 cos t e y33 sin t x 2 cos t y 3 sin t 3 A variação do parâmetro será definida considerando o ponto inicial 23 no sentido antihorário e levando também em consideração que uma volta completa da elipse é 2π 2 cos t 2 e 3 sin t 3 3 cos t 1 3 sin t 3 3 cos¹cos t cos¹1 sin t 0 t π sin¹sin t sin¹0 t π Logo a variação de t será π t π 2π π t 3π Portanto as equações paramétricas procuradas são x 2 cos t t π 3π y 3 sin t 3 Exercício 114 Determine o comprimento da curva C xt 2t sen t t 0 2π yt 21 cos t Como a curva está parametrizada o seu comprimento será dado por S ab rt dt Sendo rt 2t 2sen t 2 2cos t t 0 2π segue que rt 2 2cos t 2sen t rt 2 2cos t2 2sen t2 4 8cos t 4cos2 t 4sen2 t 4 8cos t 4 8 8cos t 8 1 cos t Sabendo que sent2 1 cos t2 temos 1 cos t2 sen2t2 1 cos t 2 sen2t2 Logo rt 8 1 cos t 8 2 sen2t2 16 sen2t2 4 sent2 Aplicando na integral S 02π 4 sent2 dt 4 0π senu 2 du 8 cosu 0π 8 cosπ 8 cos0 81 8 1 8 8 16 u t2 0 t 2π dudt 12 dt 2 du 0 u π Portanto o comprimento da curva é S 16